精品解析：山东省济南市章丘区2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题

章丘区2025-2026学年第一学期期中考试 九年级数学试题 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． （选择题部分 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 图中立体图形的俯视图是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应该在俯视图中 【详解】根据图形可得俯视图为： 故选B． 【点睛】此题考查简单组合的三视图，难度不大 2. 下列条件中，不能判定 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，相似三角形的判定方法有：“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，“三边对应成比例，两三角形相似”，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定方法依次判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴ ，故A能判定 ； B、根据不能证明 ，故B不能判定 ； C、∵， ∴ ，故C能判定 ； D、∵． ∴ ，故D能判定 ； 故选：B． 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性，根据解析式可得反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再由，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 4. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得， ，点E在上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得，，，则河的宽度为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．证明 ，根据相似三角形对应边成比例列式计算，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， ，，， ， 解得 ， 故选：D． 5. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ） A. 40个 B. 35个 C. 20个 D. 15个 【答案】B 【解析】 【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.3，根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵摸到黄球的概率为0.3 ∴黄球的个数为 ∴白球可能有个 故选B． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 6. 如图，中， ，，，则为（ ） A. 40 B. 35 C. 25 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，由 可得出，由相似三角形的性质可知，结合，进一步即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ， ∴， ∴， 设，， ∴， 解得：， ∴， 故选C 7. 关于x的方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 8. 一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质，根据四个选项中的图象，先由反比例函数图象得到 的正负，进而得到直线图象即可得到答案，熟记一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、如图所示： 反比例函数中的 ，则直线中，即直线过第一三四象限，该选项不符合题意； B、如图所示： 反比例函数中的 ，则直线中，即直线过第一三四象限，该选项符合题意； C、如图所示： 反比例函数中的，则直线中，即直线过第一二四象限，该选项不符合题意； D、如图所示： 反比例函数中的，则直线中，即直线过第一二四象限，该选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图，在中，，按以下步骤作图： 以点 为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交于点，连接；以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，在内与前一条弧相交于点；连接并延长交于点．若点恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据题意可知，， ，进而利用证明与 全等，得到，再证明，，代入计算即可． 【详解】解：根据题意可知，， ， 在与 中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴，则 ∵点H恰好为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论： ①；②；③平分 ；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】证明，可得，可判断结论①；由，可判断结论②；由正方形的性质可得垂直平分，，可得，由角的数量关系可推出，可判断结论③；证明，可判断结论④；即可得解． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴，故结论①错误； 在 中，， ∴， ∴， ∵， ∴故结论②错误； ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ， ∴垂直平分，， ∴， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴平分 ，故结论③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，故结论④正确， ∴正确结论的个数是2个． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等边对等角，平行线的性质等知识，掌握正方形的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． （非选择题部分 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如今网上购物已经成为一种时尚，某网店“双十一”全天交易量逐年增长，2022年交易额为40万元，2024年交易额为万元，则2022年至2024年该网店“双十一”交易额的年平均增长率为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用．正确理解题意，列出相应的一元二次方程是解题的关键． 设2022年至2024年该网店“双十一”交易额的年平均增长率为，根据2022年至2024年该网店“双十一”全天交易额，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设2022年至2024年该网店“双十一”交易额的年平均增长率为， 由题意得， 解得，（舍去）． 故答案为： ． 12. 如图，已知菱形的对角线的长分别为，于点E，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先由菱形的性质得到，，再由勾股定理得到，据此利用等面积法求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为；． 13. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比例．如图，点 为的黄金分割点，即．若，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ， ， 故答案为：． 14. 如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为______cm． 【答案】16 【解析】 【分析】正确理解小孔成像的原理，因为所以∽，则有而AB的值已知，所以可求出CD． 【详解】∽ ， 又 ． 【点睛】相似比等于对应高之比在相似中用得比较广泛． 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的OA边在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上， ，反比例函数与正方形BC边交于点D，与边AB交于点E，点P在y轴上，若的面积为，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的 的意义，得到 点的坐标为，设，，根据列方程求出或 （不合题意，舍去），得到反比例函数，则，，作点D关于 轴的对称点，连接交 轴于点P，连接，则为最小值，利用勾股定理求出答案即可． 【详解】解：四边形是正方形， ， 则 点的坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ， 解得，或 （不合题意，舍去）， ∴反比例函数， ∴，， 作点D关于 轴的对称点，连接交 轴于点P，连接， 则为最小值， ∴， 即的最小值是． 故答案为： 三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2） ． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 则或， 解得：，； 【小问2详解】 解： ， ， 则 或， 解得： ， ． 17. 如图，在菱形中， 分别是边上的点，且． 求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到，再由线段的和差关系证明，则可利用证明，据此由全等三角形对应边相等可证明． 【详解】略． 18. 如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝4m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影． （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，请你计算DE的长． 【答案】（1）画图见解析，（2） m， 【解析】 【分析】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，即可画出投影； （2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；构造比例关系AB：DE＝BC：EF．计算可得DE的值． 【详解】解：（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影． （2）∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE． ∵∠ABC＝∠DEF＝90° ∴△ABC∽△DEF． ∴AB：DE＝BC：EF， ∵AB＝4m，BC＝3m，EF＝8m， ∴4：3＝DE：8 ∴DE＝（m）． 【点睛】本题考查了平行投影，在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．解题关键是明确投影的知识并结合相似画图与计算． 19. 如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽 【答案】花边的宽为1米． 【解析】 【分析】可以设花边的宽为x米，可以根据（矩形图案的长+两个花边的宽）×（矩形图案的宽+两个花边的宽）=地毯的面积列出方程解题． 【详解】解：设花边的宽为x米，列方程为 解之得（舍去） 答：花边的宽为1米． 考点：实际问题与一元二次方程 【点睛】本题可根据关键语句和等量关系列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 20. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为 ； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）10 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 ． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使 、 ，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，点为所作； 【小问2详解】 解：如图所示，为所作； 【小问3详解】 解：∵与的位似比为 ， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 21. 如图，，与交于点E，且，，． （1）求的长； （2）求证： ； （3）若 ，求长． 【答案】（1）12 （2）见解析 （3）8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）证明，得到，从而求出 ，即可得解； （2）根据两边成比例且夹角相等判定相似即可； （3）根据相似三角形的性质，先求出，再求出即可． 【小问1详解】 解：， ，， ， ， ，，， ， ， ； 【小问2详解】 证明：，， ， ， ． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ． 22. 某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果 （单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）第10分钟时消毒效果为________效力； （2）当时，求 与之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】（1）3 （2）深消毒阶段为线段的函数关系式；降消毒阶段为反比例函数解析式 （3）消毒有效 【解析】 【分析】（1）根据图象信息直接解答即可 （2）设线段的函数关系式为，结合和，利用待定系数法解答即可．根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可． （3）根据解析式为，，当 时，； 当 时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据图象知，当10分钟时，效力为3， 故答案为：3． 【小问2详解】 解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和，利用根据题意，得， 解得， 所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故． 【小问3详解】 解：根据解析式为，， 当 时，； 当 时，； 持续时长为． 故本次消毒有效． 23. 某数学小组为调查放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A：乘坐电动车，B：乘坐普通公交车，C：乘坐学校的定制公交车，D：乘坐家庭汽车，E：步行或其他”这五种方式中选择种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题： （1）本次调查中，E选项对应的扇形圆心角是______度； （2）请补全条形统计图； （3）若该校九年级共有学生960人，则估计该校学生放学选择乘坐学校定制公交车的人数是______； （4）若甲、乙两名学生放学时从A、B、C、D、E五种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种方式的概率． 【答案】（1）72 （2） 补全条形图如下： （3）240 （4） 【解析】 【分析】（1）根据B的人数以及百分比，得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可； （2）求出C组的人数即可补全图形； （3）求出C组的百分比，乘以960即可； （4）列表得出所有等可能结果，即可运用概率公式得甲、乙两名学生恰好选择同一种方式的概率． 【小问1详解】 解：本次调查的学生人数为60÷30%＝200（名）， 扇形统计图中，E项对应的扇形圆心角是360°×＝72°， 故答案为： 72； 【小问2详解】 解：C选项的人数为200﹣（20+60+30+40）＝50（名）， 【小问3详解】 解：该校学生放学选择乘坐学校定制公交车的人数为： （人）， 答：该校学生放学选择乘坐学校定制公交车的人数为240人； 【小问4详解】 画表如图： A B C D E A A A A B A C A D A E B B A B B C B D B E C C A C B C C C D C E D D A D B D C D D D E E E A E B E C E D E E 共有25个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的结果有5个， ∴甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率为． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图和概率公式，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出解题的有关信息，正确列出表格． 24. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与 轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的表达式为； （2）16 （3）点E的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）先设出点E的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点F的坐标即可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数， 解得 ， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令 ，则 ， ∴的面积； 【小问3详解】 解：设点E的坐标为， 过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， ， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，点E的坐标为， ∴，， ∴点F的坐标为． ∵点F在函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， 所以点E的坐标为． 25. 四边形和四边形都是正方形． （1）连接，如图1，试猜想与的数量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，如图2，连接 ，若， ①求证：； ②求的长． （3）如图3，四边形和四边形都是平行四边形，，，且，，连接，试探究与的数量关系． 【答案】（1），见解析 （2）①见解析；② （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）①利用正方形和勾股定理，证明出，而，即可证明； ②由相似三角形的性质得出结论即可； （3）连接，过点A作，先求出的长，再证明，再由相似三角形的性质得出结论即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： 四边形和四边形是正方形， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵正方形， ∴，， ∴，即， ，， ， ∴； ②∵ ， ∵， 故． 【小问3详解】 解：如图，连接，过点A作， ， ∴ 为等腰直角三角形，， ∴同上可得 ∵， ， ∵平行四边形， ∴ ， ， ， ， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∵， 则， ∵， ∴ ， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴ ∴， ∴， 即． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 章丘区2025-2026学年第一学期期中考试 九年级数学试题 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． （选择题部分 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 图中立体图形的俯视图是(　　) A. B. C. D. 2. 下列条件中，不能判定 的是（ ） A. B. C. D. 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得， ，点E在 上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得，，，则河的宽度为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 60 5. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ） A. 40个 B. 35个 C. 20个 D. 15个 6. 如图，中， ，，，则为（ ） A. 40 B. 35 C. 25 D. 20 7. 关于x的方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 8. 一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交 于点，交于点，连接；以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，在内与前一条弧相交于点； 连接 并延长交于点．若点恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交， 于点，，连接，则下列结论： ①；②；③平分 ；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 （非选择题部分 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如今网上购物已经成为一种时尚，某网店“双十一”全天交易量逐年增长，2022年交易额为40万元，2024年交易额为万元，则2022年至2024年该网店“双十一”交易额的年平均增长率为______. 12. 如图，已知菱形的对角线的长分别为，于点E，则的长是________． 13. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比例．如图，点为的黄金分割点，即．若，则 的长为________． 14. 如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为______cm． 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的OA边在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上， ，反比例函数与正方形BC边交于点D，与边AB交于点E，点P在y轴上，若的面积为，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2） ． 17. 如图，在菱形中， 分别是边上的点，且． 求证：． 18. 如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝4m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影． （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，请你计算DE的长． 19. 如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽 20. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为 ； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 21. 如图，，与交于点E，且，，． （1）求的长； （2）求证： ； （3）若 ，求 长． 22. 某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段， 段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）第10分钟时消毒效果为________效力； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 23. 某数学小组为调查放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A：乘坐电动车，B：乘坐普通公交车，C：乘坐学校的定制公交车，D：乘坐家庭汽车，E：步行或其他”这五种方式中选择种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题： （1）本次调查中，E选项对应的扇形圆心角是______度； （2）请补全条形统计图； （3）若该校九年级共有学生960人，则估计该校学生放学选择乘坐学校定制公交车的人数是______； （4）若甲、乙两名学生放学时从A、B、C、D、E五种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种方式的概率． 24. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 25. 四边形和四边形都是正方形． （1）连接，如图1，试猜想与 的数量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，如图2，连接 ，若， ①求证：； ②求的长． （3）如图3，四边形和四边形都是平行四边形，，，且，，连接，试探究与 的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $