第5讲：函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性四大性质综合讲义-2026届高三数学大一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数单调性、奇偶性、对称性、周期性四大性质综合应用，按“定义梳理-性质关联-题型突破”逻辑架构知识体系，通过复习导航明确目标、核心性质表解易错点、分题型模板及真题专项训练，帮助学生构建“判定-转化-应用”逻辑链，系统突破高考高频难点。 讲义创新采用“性质组合结论速查表”和“六步解题闭环”，如综合题型中结合奇偶性与对称性推导周期，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置基础巩固到拓展提升分层练习，配合易错点警示，确保高效突破，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供精准指导。

【第5讲：函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性四大性质综合】 >核心定位：夯实基础·突破综合·规范逻辑·提升应用 一、复习导航 维度 核心目标 知识目标 1.掌握四大性质定义、公式、判定方法；>2.熟记12个高频结论； 3.理清性质关联；4.掌握抽象/分段函数综合应用逻辑. 能力目标 1.会用模板解基础题、迁移解综合题； 2.具备“判定→转化→应用”逻辑链； 3.规范答题步骤，规避错误. 易错突破 1.单一性质易错点（定义域、符号、区间表示）；综合应用遗漏性质、逻辑断层；3.易混结论辨析（对称vs周期、周期vs最小正周期）. 二、核心性质梳理 （一）基础定义/公式/判定/易错点 性质类型 核心定义/公式 判定方法 易错点 单调性 增：任意，；：任意，；导数：增，减 定义法、导数法、复合函数法、图像法 特殊值代“任意”；区间用“∪”；漏定义域 奇偶性 奇：定义域对称且；偶：定义域对称且； 充要条件： 定义法、图像法、性质法、导数法 未判定义域对称；变形错；误写 对称性 轴对称：（直线）；中心对称：（点） 定义法、图像法、代换法 混淆对称表达式；误将对称当周期 周期性 定义：，任意，；>常见周期：→；双对称→；轴对称+中心对称→ 定义法、性质法、迭代法 公式记忆错；漏“任意”；混淆周期与最小正周期 （二）12个高频结论 性质组合 结论 应用场景 单调+奇偶 1.奇函数对称区间单调性一致； 2.偶函数对称区间单调性相反； 3.单调奇函数： 解不等式、比较大小 对称+周期 4.双轴对称→；5.双中心对称→；轴对称+中心对称→ 求周期、解析式 奇偶+周期 7.奇函数→； 8.偶函数→ 周期推导、转化 单一性质 9.奇函数原点有定义→；.单调函数至多1个零点；11.周期函数的导函数同周期； 12.单调奇函数的反函数仍单调奇 求参数、零点判断 三、核心题型总览 题型编号 题型名称 对应性质 难度等级 核心考点 基础题型1 单一性质判定（分性质细分题型） 单个性质 基础 定义理解、步骤规范 基础题型2 单一性质应用（分性质细分题型） 单个性质 基础-提升 公式应用、定义域优先 综合题型1 两性质综合（单调+奇偶/对称+周期等） 两个性质关联 提升 性质转化、逻辑推导 综合题型2 三/四性质综合 多性质关联 提升-拓展 多性质叠加、结论迁移 拓展题型 抽象/分段函数性质综合 四大性质+抽象/分段 拓展 赋值法、衔接点检验 四、分题型突破模块 ▶基础题型1：单一性质判定（分性质细分题型+模板） 1.奇偶性判定 奇偶性判定模板 核心前提：必做「定义域关于原点对称判定」（奇偶性的核心前提，定义域不对称直接非奇非偶） 一、关键知识点（浓缩版） 1.定义本质：定义域对称基础上，（奇），（偶）； 2.常见函数：奇函数（），偶函数（），非奇非偶（）； 3.运算性质：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇； 4.特殊结论：奇函数过原点（定义域含0时，）. 二、细分题型极简模板（含知识点嵌入） 题型 核心步骤（含知识点） 分式函数 1.定定义域（分母≠0，验证关于原点对称）；2.化简（通分/因式分解）；3.对比与定结论 根式函数 1.定定义域（根号下非负，验证关于原点对称）；2.有理化；3.对比与定结论 分段函数 1.定定义域（各分段区间对称衔接，验证关于原点对称）；2.逐段验证；3.检验衔接点一致性，全段统一结论 整式/多项式函数 1.定定义域（通常为，天然对称）；2.化简（合并同类项）；3.看奇偶次项：仅奇次项为奇，仅偶次项+常数为偶 三、易错提醒（3点核心） 1.定义域优先：不对称直接非奇非偶，勿跳过定义域直接判； 2.变形规范：化简需彻底（通分、有理化、因式分解），避免符号错误； 3.特殊情况：仅适用于定义域含0的奇函数，原点无定义时不成立. 【专项训练】 【例题1：函数的奇偶性判断】（安徽省江淮十校2026届高三上学期第二次联考数学试题）已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【小试牛刀】（四川省成都市蓉城名校联盟2026届高三第一次联合诊断性考试数学试题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数可能是（   ） A． B． C． D． 【例题2：由函数的奇偶性求参数】（浙江省稽阳联谊学校2026届高三上学期11月联考数学试题）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【小试牛刀】（2025届湖北省黄冈市蕲春县实验高级中学高三模拟预测数学试题）已知为奇函数，则实数的值是 ． 【例题3：由函数的奇偶性求解析式】（湖北省黄冈市2026届高三上学期九月调研考试数学试题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为 ． 【小试牛刀】（广东省广州市天河区2025届高三下学期综合测试（三）数学试卷）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 2.单调性判定 单调性判定核心模板 核心前提：所有判定必做「定义域求解」（单调性是区间性质，定义域是基础） 关键知识点铺垫 1.单调性定义本质：自变量大小关系与函数值大小关系的一致性（增函数“同增”，减函数“反增”）； 2.导数判定逻辑：→严格递增，→非严格递增（含常函数段）；→严格递减，→非严格递减； 3.复合法则核心：“同增异减”（内外层单调性相同则复合函数增，相反则减）； 4.常见函数单调性结论：一次函数（全增，全减）、二次函数（对称轴分区间，左减右增）、反比例函数（在和分别减，不可用“∪”）. 细分题型 核心模板（含知识点融入） 整式函数（定义法） 1.定定义域（整式函数通常为，含根号/对数需额外限制）； 2.任取（“任意”是定义关键，不可用特殊值替代）； 3.作差变形（常用配方、因式分解、提取公因式，目标：转化为可直接判号的因式乘积/平方形式）； 4.判符号（根据推导各因式符号，结合不等式性质）； 5.定结论（严格增/减，标注区间，二次函数需按对称轴拆分）. 分式函数（导数法） 1.定定义域（分母≠0，列不等式求解，排除无定义点）； 2.求导化简（用商的导数公式：，合并同类项、因式分解）； 3.判导数符号（分子分母分别分析，注意定义域对符号的限制，导数为0的点不影响单调性）； 4.定区间（严格增/减区间，断开区间用“和”连接，不可用“∪”）。 复合函数（同增异减） 1.分解内外层（外层：基本初等函数如；内层：整式/分式函数如）； 2.求定义域交集（外层定义域+内层定义域，如对数复合函数需满足真数）； 3.判内外层单调性（外层按基本初等函数性质，内层用定义/导数法）； 4.用“同增异减”定区间（内外层均增→复合增；一增一减→复合减）. 对数/指数函数 1.定定义域（对数函数真数>0，指数函数通常为，含根号内层需额外限制）； 2.判底数单调性（对数：外层减，外层增；指数：同对数规律）； 3.分析内层函数的单调区间（用定义/导数法）； 4.结合“同增异减”定结论（注意：对数函数真数需始终大于0，需同步验证内层函数值域）. 通用知识点+易错提醒 1.区间表示：单调区间用“()”，断开区间（如反比例函数）用“和”，不可用“∪”（并集表示的是两个区间的整体，不满足单调性定义的“任意两点”）； 2.特殊函数：反比例函数、分式函数的单调区间必须排除分母为0的点，不可笼统表述为“在上单调”； 3.导数与单调性：导数为0的点可能是极值点，但不影响整体单调区间（如，，但在上单调递增）； 4.作差变形技巧：整式函数优先因式分解，二次函数优先配方，确保变形后能直接通过判号. 【专项训练】 【题型1：由定义法判断单调性】(25-26高三上·辽宁沈阳东北育才学校·一模)已知函数是定义域为的奇函数，. (1)求的值； (2)用定义法证明的单调性； (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【小试牛刀】（上海市格致中学2024届高三下学期三模数学试卷）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 【题型2：复合函数的单调性】（湖北省宜荆荆随恩2024届高三5月联考（二模）数学试题）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【小试牛刀】（黑龙江省大庆市2024届高三第一次教学质量检测数学试题）函数在上单调递减，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3：由函数的单调性求参数】（浙江省金华市义乌市2025届高三下学期适应性考试（三模）数学试题）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【小试牛刀】(24-25高三上·广东茂名·)已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型4：分段函数的单调性】（高三数学综合原创基础小卷04）若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【小试牛刀】（江苏省江阴市祝塘中学2024届高三第二次适应性模拟考试数学试卷）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 3.对称性判定 对称性判定模板 核心前提：先明确「对称类型假设」（优先判断轴对称/中心对称，再验证充要条件） 一、关键知识点 1.定义本质：轴对称→（关于直线）；中心对称→（关于点）； 2.关联性质：关于对称→偶函数；关于对称→奇函数； 3.特殊结论：二次函数的对称轴为；反比例函数关于中心对称. 二、细分题型极简模板（含知识点嵌入） 题型 核心步骤（含知识点） 代数法判定 1.假设对称类型（轴对称/中心对称）；2.代入对应表达式（轴对称用，中心对称用）；3.化简验证等式是否恒成立，成立则确定对称元素（或） 图像法判定 1.绘制函数关键点（顶点、零点、交点等）；2.观察是否关于某直线折叠重合（轴对称）或某点旋转180°重合（中心对称）；3.代数法验证猜想（图像法仅辅助，需代数确认） 分段函数判定 1.确定各分段区间的对称对应关系（如与对应，为对称轴横坐标）；2.逐段验证对称表达式；3.检验衔接点（如对称轴处、对称中心处）函数值是否符合规律 三、易错提醒（3点核心） 1.表达式混淆：轴对称是“相等”关系，中心对称是“和为定值”关系，勿写错公式； 2.元素标注：对称轴是直线（写），对称中心是点（写），勿混淆坐标形式； 3.验证严谨：需确保等式对定义域内所有恒成立，不可用特殊值替代验证. 【专项训练】 【题型1：判断函数的对称性】．(25-26高三上·云南大理州·)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：曲线是中心对称图形； 【小试牛刀】【多选题】（2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在单调递增 D．函数有两个零点 【题型2：由对称性求参数】（湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三模拟试（三）数学试卷）已知函数的图象关于直线对称，则 【小试牛刀】（广东省2025届普通高中毕业生第四届久洵杯一月调研测试数学试卷）若函数关于直线对称，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 4.周期性判定 周期性判定模板 核心前提：必验「任意」（周期定义要求对定义域内所有恒成立，不可用特殊值替代） 一、关键知识点 1.定义本质：，对任意，（为周期，最小正周期是最小正数周期）. 2.常见周期公式：、、. 3.关联性质：双轴对称/双中心对称→；轴对称+中心对称→. 4.常见周期函数：、（）；（）. 二、细分题型模板 题型 核心步骤（含知识点） 显性周期（已知关系式） 1.提取周期关系式（如）；2.迭代推导（用常见周期公式快速判定）；3.验证“任意”，确定周期（优先写最小正周期）. 隐性周期（对称推导） 1.提取对称条件（双轴对称/双中心对称/轴+中心对称）；2.用高频结论求周期（双对称→，轴+中心→）；3.代入验证等式恒成立. 分段函数周期 1.逐段分析周期规律（假设周期，验证）；2.确保各分段周期一致；3.检验衔接点（如处）是否满足. 三、易错提醒（3点核心） 1.公式混淆：勿将的周期误记为，正确为. 2.遗漏“任意”：仅部分满足关系式不构成周期，需验证定义域内所有. 3.周期与最小正周期：结论优先写最小正周期（如的周期可写，而非）. 【专项训练】 【题型1：判断函数的周期性】【多选题】（2025届青海省海东市高三三模数学试卷）定义在上的函数满足，，则（    ） A． B． C． D．2为的一个周期 【小试牛刀】(24-25高三下·黑龙江大庆·)已知定义域为的函数满足，且，则 . 综合题型1：两性质综合（解题逻辑+细分组合） 组合类型 解题逻辑 单调+奇偶 1.判奇偶性→简化函数；2.奇偶性转化区间（）；.单调性求解（比较大小/解不等式） 对称+周期 1.提取对称关系式；>2.推导周期；周期化简（求函数值/解析式） 单调+对称 1.对称转化函数值（）；单调性定区间关系； 3.求解参数/区间 奇偶+对称 1.判奇偶性；2.对称转化关系式；推导周期/求解析式 奇偶+周期 1.判奇偶性； 2.求周期；.转化自变量到已知区间求函数值 单调+周期 1.求周期；.周期转化区间（将未知区间自变量映射到已知单调区间）； 3.利用单调性比较大小/求最值/解不等式 【专项训练】 【题型1：单调性+奇偶性】（广东省肇庆市2026届高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知，若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【小试牛刀】(25-26高三上·上海嘉定区·一模)已知，且，则实数的取值范围是 . 【题型2：对称性+周期性】（浙江省宁波市鄞州中学2025届高三高考适应性考试数学试卷）已知定义域为的函数的图象经过坐标原点，若，，且为偶函数，则（   ） A．190 B．210 C．230 D．400 【小试牛刀】（宁夏回族自治区盐池县2025届高三第二次模拟考试数学试卷）定义在上的函数满足，且，当时，，当时，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型3：单调性+对称性】（2026届辽宁省丹东市高三上学期总复习阶段测试数学试卷）已知，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【小试牛刀】（黑龙江省大庆市2026届高三第一次教学质量检测数学试题）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【题型4：奇偶性+对称性】(25-26高三上·山西吕梁·)已知定义在上的函数与满足，其中为奇函数，的图象关于直线对称，且，则 ． 【小试牛刀】（湖南省郴州市2026届高三第一次教学质量监测数学试卷）函数对，且为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．的周期为6 C．的图象关于中心对称 D． 【题型5：奇偶性+周期性】（福建省泉州市2026届高三上学期质量监测（一）数学试题）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【小试牛刀】【多选题】(25-26高三上·四川绵阳·)已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则（   ） A． B． C． D．若，则 ▶综合题型2：三/四性质综合（细分题型+解题模板） 1.细分题型 细分题型 核心特征 单调+奇偶+周期 三性质叠加，需先推导周期，再转化区间单调性 单调+奇偶+对称 以奇偶性+对称为基础推导周期，结合单调性求解 对称+周期+奇偶 周期由对称性推导，奇偶性简化函数表达式 四性质综合（单调+奇偶+对称+周期） 多性质环环相扣，需按“判定→转化→应用”逐步拆解 2.通用解题模板 四大性质综合题型通用实用答题模板 核心原则：定义域先行+性质关联+范围缩小+精准求解 （适配所有三/四性质综合题，含抽象函数、分段函数、具体函数） 一、通用解题步骤（6步闭环，每步可直接落地） 步骤 具体操作（含实用技巧） 四大性质融合要点 Step1：定定义域（必做第一步） 1.列定义域限制条件：分式分母≠0、对数真数>0、根号下≥0、三角函数定义域等； 2.化简定义域区间，验证是否关于原点对称（为奇偶性判定铺垫）； 3.标注定义域边界、无定义点（后续性质判定需排除）. 定义域是所有性质的基础，不对称直接排除奇偶性；无定义点会断开单调/周期区间. Step2：逐判核心性质（按“易→难”顺序） 1.判奇偶性（最快上手）： -定义域不对称→非奇非偶，跳过； -对称则化简，对比，标记“奇/偶/非奇非偶”； -若为奇函数且定义域含0，直接写（速求参数）. 2.判对称/周期（关联性最强）： -有对称表达式（如）→先定对称类型（轴/中心）； -无显性周期→用“奇偶+对称”推导： ✅奇函数+轴对称→周期； ✅偶函数+轴对称→周期； ✅奇函数+中心对称→周期； -有显性周期关系式（如）→直接得（速记公式）. 3.判单调性（最后判定，需缩小范围）： -用周期/奇偶性锁定“核心区间”（如）； -核心区间内用导数法/定义法判增减； -延展到全定义域：奇函数对称区间单调性一致，偶函数相反，周期函数重复核心区间单调性. 性质判定不孤立：奇偶性是推导周期的关键，周期/对称性能缩小单调性判定范围. Step3：性质关联串联（搭建解题桥梁） 1.列已判定性质清单：如“奇函数+轴对称+周期+核心区间增”； 2.补全隐含性质： -周期→（）； -偶函数→（解不等式速用）； 3.标记“可转化关系”：如→（奇偶转化），→（周期转化）. 关联是综合题核心：无关联则无法缩小求解范围，如仅知单调+奇偶，需用对称补周期. Step4：自变量转化（统一到核心区间） 1.目标自变量（未知区间）→用周期转化：（），得； 2.若在核心区间外→用奇偶/对称转化： -如→（轴对称）或（奇偶转化）； 3.最终将转化为核心区间内的（已知单调性/解析式）. 转化的目的是“化未知为已知”，所有综合题都需这一步缩小范围. Step5：目标求解（按题型精准突破） 1.求参数： -列方程：（奇函数）、周期关系式、对称条件、单调性边界条件； -联立求解，代入定义域/性质验证. 2.解不等式（如）： -用奇偶性→（偶函数）； -用单调性→脱“”，得（增函数）； -结合定义域、周期限制解集. 3.求解析式： -核心区间内先求解析式（用已知条件、定义法）； -用奇偶/周期延展到全定义域； -验证衔接点（如处）函数值一致. 4.求最值/零点： -周期内找最值点/零点→全定义域内个数=周期数×个数+剩余区间个数； -结合单调性锁定极值点，对称点函数值相等（简化计算）. 求解需紧扣已判定性质，每一步都要标注性质依据（如“由周期得”）. Step6：验证检验（避免踩坑） 1.性质一致性检验：周期是否符合所有分段、奇偶性是否满足衔接点、单调性是否与导数符号一致； 2.特殊点验证：代入、（对称轴）、（周期点），验证函数值是否合理； 3.定义域检验：解集/解析式是否在定义域内，无超出限制. 综合题易错点多，验证是最后一道防线，至少验证1个特殊点. 二、实用工具包（直接套用，省去推导） 1.性质关联速查表（核心桥梁） 已知性质组合 隐含结论（直接用） 奇函数+轴对称 周期 偶函数+轴对称 周期 奇函数+中心对称 周期 双轴对称（和） 周期 轴对称+中心对称 周期 2.常见题型秒杀技巧 抽象函数赋值法：遇、，先令求，再令判奇偶性； 分段函数综合：各分段分别用模板，重点验证“分段衔接点”的性质一致性（如处奇偶性、处周期性）； 三角函数综合：直接用已知性质（如是奇函数+周期+中心对称），跳过复杂判定. 三、易错防控清单（必看，避免丢分） 1.定义域遗漏：如对数真数>0未考虑，导致奇偶性判定错误； 2.周期公式记错：的周期是，非； 3.区间表示错误：周期函数单调区间需加（），断开区间用“和”非“∪”； 4.脱“”忘条件：必须先确保自变量在“同一单调区间”，再用单调性脱； 5.分段衔接点忽略：如是分段点，需验证（连续性）和性质一致性. 【专项训练】 【题型1：四个性质综合】【多选题】（2026届辽宁省丹东市高三上学期总复习阶段测试数学试卷）定义在上的奇函数满足，在区间上单调递增，且，则（   ） A． B．在上单调递减 C．关于直线对称 D． 【小试牛刀】【多选题】(25-26高三上·陕西商洛镇安中学·模拟)已知定义域为的函数在上单调递增，满足，且的图象关于点对称，则以下结论正确的有（    ） A． B． C．在上单调递减 D． ▶拓展题型：抽象/导函数与原函数性质综合（细分题型+模板） 1.抽象函数性质综合（细分3类题型） 细分题型 答题模板 抽象函数两性质综合 Step1赋值法推导基础性质（令//等）；2建立性质关联（如奇偶+对称→周期）；3按两性质综合逻辑求解 抽象函数三/四性质综合 Step1逐次赋值推导所有已知性质（先奇偶性，再对称/周期，最后单调性）；Step2用高频结论串联性质（如赋值得和→推导）；转化自变量到“可求解区间”（如→）； Step4结合所有性质求解（求函数值/不等式/参数） 抽象函数不等式证明 Step1构造辅助函数（利用奇偶性/单调性变形）；推导辅助函数性质（单调/奇偶）； Step3转化不等式为辅助函数的区间关系；4结合定义域证明 【专项训练】 【题型1：抽象函数的奇偶性对称性单调性周期性】【多选题】（黑龙江省2024届高三冲刺卷（四）数学试卷）已知函数的定义域为，若，有，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．4为函数的一个周期 【小试牛刀】【多选题】（河南省开封市2024届高三第三次质量检测数学试题）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B． C．是周期函数 D．的解析式可能为 2.导函数与原函数奇偶性、对称性核心技巧 一、核心性质对应（直接套用） 1.奇偶性 原奇（）→导偶（） 原偶（）→导奇（） 导偶→原=奇函数+常数（，定义域含0） 导奇→原=偶函数+常数（，定义域含0） 2.对称性 原关于轴对称（）→导关于中心对称（） 原关于中心对称（）→导关于轴对称（） 二、解题核心步骤 1.顺推（原→导） 1.验定义域对称+原函数可导 2.写原函数性质定义式 3.两边求导（复合函数法则） 4.化简得导函数性质 2.逆推（导→原） 1.验定义域对称+原函数连续（必含条件） 2.写导函数性质表达式 3.构辅助函数消常数（如） 4.推导得原函数性质 三、秒杀工具+避坑要点 1.速记口诀 奇偶性：原奇导偶，原偶导奇；导偶加常为原，导奇加常为原 对称性：原轴→导中心，原中心→导轴（对称点/轴横坐标不变） 2.避坑3点 逆推必验原函数连续性，否则结论不成立 常数项不影响导函数性质，但逆推必须补常数 定义域需对称，可导区间与导函数定义域一致 【专项训练】 【题型1：导函数与原函数的奇偶性对称性关系】【多选题】（广东省韶关市2024届高三综合测试（二）数学试题）已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（    ） A．关于直线对称 B． C．的周期为4 D． 【小试牛刀】（广东省深圳市龙岗区德琳学校2023届高三二模数学试题）已知函数，在R上的导函数分别为，，若为偶函数，是奇函数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．是R上的奇函数 D．是R上的奇函数 课后针对训练 一、单选题 1．（2024·四川成都·三模）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2025·云南·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏镇江·模拟预测）函数，若不等式在上有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·全国·模拟预测）设函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数．若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知一函数，其定义域为，则满足不等式的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·河南·一模）已知曲线关于点中心对称，则（    ） A．2 B．1 C． D． 10．（2025·湖南·一模）已知均为定义在上的函数，，若的图象关于直线对称，且，则的值是（　　） A．463 B．464 C．465 D．466 11．（24-25高三下·湖北·开学考试）已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（2025·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．4是的一个周期 C． D．的图象关于点对称 13．（2025·云南昆明·一模）已知函数，则（    ） A．在定义域上单调递减 B．曲线关于点对称 C．当时， D． 14．（25-26高三上·重庆·月考）设函数的定义域为R，且满足，为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．关于对称 C． D．的导函数的周期为 15．（2025·福建福州·一模）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 16．（2024·河南郑州·二模）已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 三、填空题 17．（2025·广东广州·模拟预测）若函数是奇函数，则实数 . 18．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知定义在上的函数满足，则 ；若为偶函数，，且时，，则图象与曲线的交点个数为 . 19．（2024·陕西西安·二模）已知函数满足，.则 . 四、解答题 20．（24-25高三上·四川绵阳·月考）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 【第5讲：函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性四大性质综合】 >核心定位：夯实基础·突破综合·规范逻辑·提升应用 一、复习导航 维度 核心目标 知识目标 1.掌握四大性质定义、公式、判定方法；>2.熟记12个高频结论； 3.理清性质关联；4.掌握抽象/分段函数综合应用逻辑. 能力目标 1.会用模板解基础题、迁移解综合题； 2.具备“判定→转化→应用”逻辑链； 3.规范答题步骤，规避错误. 易错突破 1.单一性质易错点（定义域、符号、区间表示）；综合应用遗漏性质、逻辑断层；3.易混结论辨析（对称vs周期、周期vs最小正周期）. 二、核心性质梳理 （一）基础定义/公式/判定/易错点 性质类型 核心定义/公式 判定方法 易错点 单调性 增：任意，；：任意，；导数：增，减 定义法、导数法、复合函数法、图像法 特殊值代“任意”；区间用“∪”；漏定义域 奇偶性 奇：定义域对称且；偶：定义域对称且； 充要条件： 定义法、图像法、性质法、导数法 未判定义域对称；变形错；误写 对称性 轴对称：（直线）；中心对称：（点） 定义法、图像法、代换法 混淆对称表达式；误将对称当周期 周期性 定义：，任意，；>常见周期：→；双对称→；轴对称+中心对称→ 定义法、性质法、迭代法 公式记忆错；漏“任意”；混淆周期与最小正周期 （二）12个高频结论 性质组合 结论 应用场景 单调+奇偶 1.奇函数对称区间单调性一致； 2.偶函数对称区间单调性相反； 3.单调奇函数： 解不等式、比较大小 对称+周期 4.双轴对称→；5.双中心对称→；轴对称+中心对称→ 求周期、解析式 奇偶+周期 7.奇函数→； 8.偶函数→ 周期推导、转化 单一性质 9.奇函数原点有定义→；.单调函数至多1个零点；11.周期函数的导函数同周期； 12.单调奇函数的反函数仍单调奇 求参数、零点判断 三、核心题型总览 题型编号 题型名称 对应性质 难度等级 核心考点 基础题型1 单一性质判定（分性质细分题型） 单个性质 基础 定义理解、步骤规范 基础题型2 单一性质应用（分性质细分题型） 单个性质 基础-提升 公式应用、定义域优先 综合题型1 两性质综合（单调+奇偶/对称+周期等） 两个性质关联 提升 性质转化、逻辑推导 综合题型2 三/四性质综合 多性质关联 提升-拓展 多性质叠加、结论迁移 拓展题型 抽象/分段函数性质综合 四大性质+抽象/分段 拓展 赋值法、衔接点检验 四、分题型突破模块 ▶基础题型1：单一性质判定（分性质细分题型+模板） 1.奇偶性判定 奇偶性判定模板 核心前提：必做「定义域关于原点对称判定」（奇偶性的核心前提，定义域不对称直接非奇非偶） 一、关键知识点（浓缩版） 1.定义本质：定义域对称基础上，（奇），（偶）； 2.常见函数：奇函数（），偶函数（），非奇非偶（）； 3.运算性质：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇； 4.特殊结论：奇函数过原点（定义域含0时，）. 二、细分题型极简模板（含知识点嵌入） 题型 核心步骤（含知识点） 分式函数 1.定定义域（分母≠0，验证关于原点对称）；2.化简（通分/因式分解）；3.对比与定结论 根式函数 1.定定义域（根号下非负，验证关于原点对称）；2.有理化；3.对比与定结论 分段函数 1.定定义域（各分段区间对称衔接，验证关于原点对称）；2.逐段验证；3.检验衔接点一致性，全段统一结论 整式/多项式函数 1.定定义域（通常为，天然对称）；2.化简（合并同类项）；3.看奇偶次项：仅奇次项为奇，仅偶次项+常数为偶 三、易错提醒（3点核心） 1.定义域优先：不对称直接非奇非偶，勿跳过定义域直接判； 2.变形规范：化简需彻底（通分、有理化、因式分解），避免符号错误； 3.特殊情况：仅适用于定义域含0的奇函数，原点无定义时不成立. 【专项训练】 【例题1：函数的奇偶性判断】（安徽省江淮十校2026届高三上学期第二次联考数学试题）已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】安徽省江淮十校2026届高三上学期第二次联考数学试题 【分析】寻找图象中函数的性质，代入函数式验证. 【详解】观察图象可以看到，函数是奇函数，且在处函数值为负， 对于A：, ，满足，A正确； 对于B：，不满足，B错误； 对于C：，不满足，C错误； 对于D：， ，不满足，D错误； 故选：A. 【小试牛刀】（四川省成都市蓉城名校联盟2026届高三第一次联合诊断性考试数学试题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】四川省成都市蓉城名校联盟2026届高三第一次联合诊断性考试数学试题 【分析】利用函数图象并结合奇偶性的定义与函数值的正负逐个排除求解即可. 【详解】根据图象可知，是奇函数， 对于A，由题意得， 则是奇函数，符合题意，故A正确， 对于B，， 则是奇函数，令，则， 当时，在上单调递减， 则，与图象不符，故B错误， 对于C，由题意得，， 则， 可得不是奇函数，故C错误， 对于D，由题意得， ， 则 可得不是奇函数，故D错误. 故选：A. 【例题2：由函数的奇偶性求参数】（浙江省稽阳联谊学校2026届高三上学期11月联考数学试题）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【来源】浙江省稽阳联谊学校2026届高三上学期11月联考数学试题 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称得出，再应用奇函数定义结合对数运算得出参数，最后计算求解. 【详解】的定义域，由， 若，由不等式可解得函数定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数， 若，解得函数定义域为， 若为奇函数，必有，解得； 又， 解得， 故选：C. 【小试牛刀】（2025届湖北省黄冈市蕲春县实验高级中学高三模拟预测数学试题）已知为奇函数，则实数的值是 ． 【答案】4 【来源】2025届湖北省黄冈市蕲春县实验高级中学高三模拟预测数学试题 【分析】根据函数是奇函数的定义恒成立，结合对数运算计算求解. 【详解】因为函数是奇函数， ， 即恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 整理得恒成立， ，解得或， 当时，函数定义域为，定义域不关于原点对称，函数不是奇函数， 当时，， 由，可得或， ，满足是奇函数， 所以； 故答案为：4. 【例题3：由函数的奇偶性求解析式】（湖北省黄冈市2026届高三上学期九月调研考试数学试题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为 ． 【答案】 【来源】湖北省黄冈市2026届高三上学期九月调研考试数学试题 【分析】利用奇、偶函数的定义，列出方程组，求解即得函数解析式，结合辅助角公式和正弦函数的性质即可求得函数最大值. 【详解】因为偶函数，则①， 又为奇函数，则②， 由①－②，整理得，则，其中， 故当时，即时，的最大值为. 故答案为：. 【小试牛刀】（广东省广州市天河区2025届高三下学期综合测试（三）数学试卷）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【来源】广东省广州市天河区2025届高三下学期综合测试（三）数学试卷 【分析】由题可得，根据函数和的奇偶性，可求得，，代入化简即可求解. 【详解】∵，∴. ∵是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， ∴，，∴， ∴，. ∴. 故选：D. 2.单调性判定 单调性判定核心模板 核心前提：所有判定必做「定义域求解」（单调性是区间性质，定义域是基础） 关键知识点铺垫 1.单调性定义本质：自变量大小关系与函数值大小关系的一致性（增函数“同增”，减函数“反增”）； 2.导数判定逻辑：→严格递增，→非严格递增（含常函数段）；→严格递减，→非严格递减； 3.复合法则核心：“同增异减”（内外层单调性相同则复合函数增，相反则减）； 4.常见函数单调性结论：一次函数（全增，全减）、二次函数（对称轴分区间，左减右增）、反比例函数（在和分别减，不可用“∪”）. 细分题型 核心模板（含知识点融入） 整式函数（定义法） 1.定定义域（整式函数通常为，含根号/对数需额外限制）； 2.任取（“任意”是定义关键，不可用特殊值替代）； 3.作差变形（常用配方、因式分解、提取公因式，目标：转化为可直接判号的因式乘积/平方形式）； 4.判符号（根据推导各因式符号，结合不等式性质）； 5.定结论（严格增/减，标注区间，二次函数需按对称轴拆分）. 分式函数（导数法） 1.定定义域（分母≠0，列不等式求解，排除无定义点）； 2.求导化简（用商的导数公式：，合并同类项、因式分解）； 3.判导数符号（分子分母分别分析，注意定义域对符号的限制，导数为0的点不影响单调性）； 4.定区间（严格增/减区间，断开区间用“和”连接，不可用“∪”）。 复合函数（同增异减） 1.分解内外层（外层：基本初等函数如；内层：整式/分式函数如）； 2.求定义域交集（外层定义域+内层定义域，如对数复合函数需满足真数）； 3.判内外层单调性（外层按基本初等函数性质，内层用定义/导数法）； 4.用“同增异减”定区间（内外层均增→复合增；一增一减→复合减）. 对数/指数函数 1.定定义域（对数函数真数>0，指数函数通常为，含根号内层需额外限制）； 2.判底数单调性（对数：外层减，外层增；指数：同对数规律）； 3.分析内层函数的单调区间（用定义/导数法）； 4.结合“同增异减”定结论（注意：对数函数真数需始终大于0，需同步验证内层函数值域）. 通用知识点+易错提醒 1.区间表示：单调区间用“()”，断开区间（如反比例函数）用“和”，不可用“∪”（并集表示的是两个区间的整体，不满足单调性定义的“任意两点”）； 2.特殊函数：反比例函数、分式函数的单调区间必须排除分母为0的点，不可笼统表述为“在上单调”； 3.导数与单调性：导数为0的点可能是极值点，但不影响整体单调区间（如，，但在上单调递增）； 4.作差变形技巧：整式函数优先因式分解，二次函数优先配方，确保变形后能直接通过判号. 【专项训练】 【题型1：由定义法判断单调性】(25-26高三上·辽宁沈阳东北育才学校·一模)已知函数是定义域为的奇函数，. (1)求的值； (2)用定义法证明的单调性； (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷 【分析】（1）利用奇函数性质得，进而解得即可. （2）利用定义法得到函数的单调性即可. （3）利用奇函数性质得，再由单调性得，即，最后利用均值不等式求解参数范围即可. 【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数， 所以，得， 又，即，解得， 则，经检验符合题意. （2）由已知得，则， 任取，且令，则 ，得到， 故，则是减函数. （3）由题意得在时恒成立， 因为是单调递减的奇函数， 所以，即在时恒成立， 得到，且令，即恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 得到，得到，即. 【小试牛刀】（上海市格致中学2024届高三下学期三模数学试卷）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 【答案】(1)（） (2)在区间上为严格增函数，证明见解析 【来源】上海市格致中学2024届高三下学期三模数学试卷 【分析】（1）根据函数为奇函数和求出，即可得解； （2）利用作差法求解即可. 【详解】（1）根据题意，是定义在上的奇函数， 则有，解得， 又由，解得，所以，定义域为， 且，所以（）； （2）在区间上为严格增函数， 证明如下：设任意， 则， 由，得， 即，，， 所以，即，故在区间上为严格增函数. 【题型2：复合函数的单调性】（湖北省宜荆荆随恩2024届高三5月联考（二模）数学试题）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省宜荆荆随恩2024届高三5月联考（二模）数学试题 【分析】先由题设条件证明，再验证时条件满足即可. 【详解】若在上单调递增， 则必然在处有定义，所以，即； 若，则当时，所以在上有定义， 再由知在上单调递增，所以在上单调递增. 故选：C. 【小试牛刀】（黑龙江省大庆市2024届高三第一次教学质量检测数学试题）函数在上单调递减，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】黑龙江省大庆市2024届高三第一次教学质量检测数学试题 【分析】根据复合函数的单调性可得的单调性，从而可求得t的取值范围. 【详解】因为函数在上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数在上单调递减，则，解得. 故选：A 【题型3：由函数的单调性求参数】（浙江省金华市义乌市2025届高三下学期适应性考试（三模）数学试题）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】浙江省金华市义乌市2025届高三下学期适应性考试（三模）数学试题 【分析】利用导数值恒大于或等于0，再利用分离参变量思想即可求解. 【详解】求导得， 要满足函数在区间上单调递增， 则，即， 因为，所以，即， 故选：B. 【小试牛刀】(24-25高三上·广东茂名·)已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东省茂名市2024-2025学年高三上学期第一次综合测试数学试题 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 【题型4：分段函数的单调性】（高三数学综合原创基础小卷04）若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】高三数学综合原创基础小卷04 【分析】先分别求两段函数单调递增得出参数范围，再根据分段函数解析式的特点得出分界点的不等关系，解出不等式组即可判断参数范围. 【详解】二次函数的图象开口向下， 对称轴为直线，所以，即得, 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以当时，,此时函数单调递增，又单调递增， 则，单调递增； 所以解得， 故的取值范围为． 故选：A. 【小试牛刀】（江苏省江阴市祝塘中学2024届高三第二次适应性模拟考试数学试卷）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【来源】江苏省江阴市祝塘中学2024届高三第二次适应性模拟考试数学试卷 【分析】运用分段函数单调性知识，结合一次函数和指数型函数单调性知识可解. 【详解】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减， 所以，解得，则. 故答案为：. 3.对称性判定 对称性判定模板 核心前提：先明确「对称类型假设」（优先判断轴对称/中心对称，再验证充要条件） 一、关键知识点 1.定义本质：轴对称→（关于直线）；中心对称→（关于点）； 2.关联性质：关于对称→偶函数；关于对称→奇函数； 3.特殊结论：二次函数的对称轴为；反比例函数关于中心对称. 二、细分题型极简模板（含知识点嵌入） 题型 核心步骤（含知识点） 代数法判定 1.假设对称类型（轴对称/中心对称）；2.代入对应表达式（轴对称用，中心对称用）；3.化简验证等式是否恒成立，成立则确定对称元素（或） 图像法判定 1.绘制函数关键点（顶点、零点、交点等）；2.观察是否关于某直线折叠重合（轴对称）或某点旋转180°重合（中心对称）；3.代数法验证猜想（图像法仅辅助，需代数确认） 分段函数判定 1.确定各分段区间的对称对应关系（如与对应，为对称轴横坐标）；2.逐段验证对称表达式；3.检验衔接点（如对称轴处、对称中心处）函数值是否符合规律 三、易错提醒（3点核心） 1.表达式混淆：轴对称是“相等”关系，中心对称是“和为定值”关系，勿写错公式； 2.元素标注：对称轴是直线（写），对称中心是点（写），勿混淆坐标形式； 3.验证严谨：需确保等式对定义域内所有恒成立，不可用特殊值替代验证. 【专项训练】 【题型1：判断函数的对称性】．(25-26高三上·云南大理州·)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：曲线是中心对称图形； 【详解】（1）由，则切点为，因为，所以切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由题意知，函数的定义域为， 因为， 所以曲线的对称中心为，则曲线是中心对称图形； 【小试牛刀】【多选题】（2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在单调递增 D．函数有两个零点 【答案】ACD 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 【分析】先求出函数的定义域，然后将函数利用对数的运算变形，再利用复合函数的单调性的判断法则以及二次函数的性质依次判断A,B,C即可；分析函数与函数的单调性结合图象的交点，即可判断函数零点个数，从而判断D. 【详解】函数定义域为，又， 令，，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增，故选项C正确； 因为， 所以函数的对称中心为对称，故选项B错误，选项A正确； 因为，所以函数，函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，又函数在上为增函数， 则函数与函数在平面直角坐标系中的图象如下图所示： 故函数与函数在区间上有两个交点，即函数有两个零点，故D正确. 故选：ACD． 【题型2：由对称性求参数】（湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三模拟试（三）数学试卷）已知函数的图象关于直线对称，则 【答案】－2 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三模拟试（三）数学试卷 【分析】根据函数的定义域，结合函数图象对称性求出，又由函数的对称性列出，整理计算求出即可. 【详解】函数的定义域满足，即， 由题知的定义域关于对称，故． 则， 即，故， 则，解得． 故． 故答案为：. 【小试牛刀】（广东省2025届普通高中毕业生第四届久洵杯一月调研测试数学试卷）若函数关于直线对称，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【来源】广东省2025届普通高中毕业生第四届久洵杯一月调研测试数学试卷 【分析】由题意可得，代入展开后，结合等式恒成立，即可求得答案. 【详解】由题意函数关于直线对称， 故，即， 即， 即, 故需满足且，即， 则， 故选：B 4.周期性判定 周期性判定模板 核心前提：必验「任意」（周期定义要求对定义域内所有恒成立，不可用特殊值替代） 一、关键知识点 1.定义本质：，对任意，（为周期，最小正周期是最小正数周期）. 2.常见周期公式：、、. 3.关联性质：双轴对称/双中心对称→；轴对称+中心对称→. 4.常见周期函数：、（）；（）. 二、细分题型模板 题型 核心步骤（含知识点） 显性周期（已知关系式） 1.提取周期关系式（如）；2.迭代推导（用常见周期公式快速判定）；3.验证“任意”，确定周期（优先写最小正周期）. 隐性周期（对称推导） 1.提取对称条件（双轴对称/双中心对称/轴+中心对称）；2.用高频结论求周期（双对称→，轴+中心→）；3.代入验证等式恒成立. 分段函数周期 1.逐段分析周期规律（假设周期，验证）；2.确保各分段周期一致；3.检验衔接点（如处）是否满足. 三、易错提醒（3点核心） 1.公式混淆：勿将的周期误记为，正确为. 2.遗漏“任意”：仅部分满足关系式不构成周期，需验证定义域内所有. 3.周期与最小正周期：结论优先写最小正周期（如的周期可写，而非）. 【专项训练】 【题型1：判断函数的周期性】【多选题】（2025届青海省海东市高三三模数学试卷）定义在上的函数满足，，则（    ） A． B． C． D．2为的一个周期 【答案】ACD 【来源】2025届青海省海东市高三三模数学试卷 【分析】根据给定条件求得函数的周期，再逐项分析判断. 【详解】对于D，由，得，则2为的一个周期，D正确； 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确. 故选：ACD 【小试牛刀】(24-25高三下·黑龙江大庆·)已知定义域为的函数满足，且，则 . 【答案】 【来源】黑龙江省大庆市2024-2025学年高三下学期第三次教学质量检测数学试题 【分析】由迭代法可得函数的周期性，利用赋值法，可得答案. 【详解】由，令代替，可得， 则，可得， 由，令，则， 所以. 故答案为：. 综合题型1：两性质综合（解题逻辑+细分组合） 组合类型 解题逻辑 单调+奇偶 1.判奇偶性→简化函数；2.奇偶性转化区间（）；.单调性求解（比较大小/解不等式） 对称+周期 1.提取对称关系式；>2.推导周期；周期化简（求函数值/解析式） 单调+对称 1.对称转化函数值（）；单调性定区间关系； 3.求解参数/区间 奇偶+对称 1.判奇偶性；2.对称转化关系式；推导周期/求解析式 奇偶+周期 1.判奇偶性； 2.求周期；.转化自变量到已知区间求函数值 单调+周期 1.求周期；.周期转化区间（将未知区间自变量映射到已知单调区间）； 3.利用单调性比较大小/求最值/解不等式 【专项训练】 【题型1：单调性+奇偶性】（广东省肇庆市2026届高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知，若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】广东省肇庆市2026届高三上学期第一次模拟考试数学试题 【分析】确定给定函数的奇偶性及单调性，进而求解不等式. 【详解】函数的定义域为R，，则函数是奇函数， 而函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 不等式，则，解得， 所以x的取值范围是. 故选：A 【小试牛刀】(25-26高三上·上海嘉定区·一模)已知，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【来源】上海市嘉定区2025-2026学年高三上学期一模数学试卷 【分析】根据题意求函数的定义域，并判断的奇偶性和单调性，结合函数性质解不等式即可. 【详解】令，等价于，可得，解得， 可知函数的定义域为， 因为，即， 可知函数为奇函数， 且， 因为在内单调递增，则在内单调递减， 且在定义域内单调递增，可知函数在内单调递减， 若，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【题型2：对称性+周期性】（浙江省宁波市鄞州中学2025届高三高考适应性考试数学试卷）已知定义域为的函数的图象经过坐标原点，若，，且为偶函数，则（   ） A．190 B．210 C．230 D．400 【答案】D 【来源】浙江省宁波市鄞州中学2025届高三高考适应性考试数学试卷 【分析】利用的关系式，借助于为偶函数，通过先后赋值代入可推得的周期，分别计算出一个周期内的函数值，代入所求式，利用函数周期及求和计算即得． 【详解】由，得（*）． 在中，用替换，可得， 则，即①， 在①式中，用替换，则得②． 又因为偶函数，所以③， 故由②③，可得，用替换，可得 ， 比较两式，可得，即是以4为一个周期的函数． 因为的图象经过原点，所以，由（*）可得． 在中，令，得，所以， 在中，令，可得， 在中，令，可得， 则， 则 ． 故选：D 【小试牛刀】（宁夏回族自治区盐池县2025届高三第二次模拟考试数学试卷）定义在上的函数满足，且，当时，，当时，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】宁夏回族自治区盐池县2025届高三第二次模拟考试数学试卷 【分析】由题，可得的周期为4，由求得，，结合对称性求得在一个周期内的值域，得解. 【详解】由，即，可得的图象关于点对称； 由，即，可得的图象关于点对称， ，所以的周期为4． 易知，所以，所以，， 所以在上的值域为． 又的图象关于点对称，所以当时，， 即在一个周期内的值域为，所以的最小值为. 故选：D． 【题型3：单调性+对称性】（2026届辽宁省丹东市高三上学期总复习阶段测试数学试卷）已知，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】2026届辽宁省丹东市高三上学期总复习阶段测试数学试卷 【分析】先判断，得到关于对称，再利用函数和的单调性得到的单调性，然后结合对称性解抽象函数不等式即可. 【详解】因为， 所以 ， 所以，所以的图象关于对称， 又因为在上均为单调递增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，结合对称性可得， 两边平方后化简可得，解得或， 所以的取值范围是. 故选：B. 【小试牛刀】（黑龙江省大庆市2026届高三第一次教学质量检测数学试题）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】黑龙江省大庆市2026届高三第一次教学质量检测数学试题 【分析】根据给定条件，利用对称性及单调性求解函数不等式. 【详解】由函数的定义域为，得函数的图象关于直线对称， 又函数在上单调递减，则不等式， 即，解得，所以所求不等式的解集为. 故选：D 【题型4：奇偶性+对称性】(25-26高三上·山西吕梁·)已知定义在上的函数与满足，其中为奇函数，的图象关于直线对称，且，则 ． 【答案】4 【来源】山西省吕梁市2025-2026学年高三上学期阶段性测试数学试题 【分析】根据已知条件推导出与是周期函数，进而利用函数的周期求出的值． 【详解】已知为奇函数， 则，即， 用代替，则，即． 因为的图象关于直线对称，所以． 已知，则， 用代替，可得， 由和 ， 可得，即， 因为，且， 将两式相加可得， 用代替，则． 由和，可得， 所以函数的周期为4． 因为，用代替，则． 由和，且， 可得，即， 所以函数的周期也为4． 由，令，得，即， 所以， ． 所以． 故答案为：4． 【小试牛刀】（湖南省郴州市2026届高三第一次教学质量监测数学试卷）函数对，且为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．的周期为6 C．的图象关于中心对称 D． 【答案】C 【来源】湖南省郴州市2026届高三第一次教学质量监测数学试卷 【分析】对于A选项，首先通过奇偶性得：，然后根据已知条件通过赋值进行求解； 对于B选项，根据奇偶性及周期性的结论进行求解即可； 对于C选项，通过奇偶性可得函数关于中心对称，再根据函数周期性即可判断正误； 对于D选项，利用函数周期性可得：，再根据通过赋值可得：，进而可以判断选项正误. 【详解】对于A选项，已知为奇函数，则有， 令，得：， 又，令，得：， 因此可得：，故A选项错误. 对于B选项，已知为奇函数，则有， 又，则有， 由此可得：，即有： 因此可得：的周期为，故B选项错误. 对于C选项：已知为奇函数，则有， 因此可得：函数关于中心对称，又函数的周期为， 所以关于中心对称，故C选项正确； 对于D选项：已知函数的周期为，则有， 又，令，得：， 因此可得：，即，故D选项错误. 故选：C 【题型5：奇偶性+周期性】（福建省泉州市2026届高三上学期质量监测（一）数学试题）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】福建省泉州市2026届高三上学期质量监测（一）数学试题 【分析】根据条件，利用函数的性质，得，再将代入，即可求解. 【详解】因为奇函数，又，知的一个周期为， 所以， 又当时，，所以，则， 故选：D. 【小试牛刀】【多选题】(25-26高三上·四川绵阳·)已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【来源】四川省绵阳市2025-2026学年高三上学期第一次诊断性考试数学试题 【分析】根据函数的偶函数特性以及函数的周期性逐项判断并计算即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以. 因为，令， 则，故，所以A正确； 所以，即. 所以函数的周期为2. 当时，，所以，所以B错误； ， 因为，所以，所以C正确； 因为，函数周期为2， 所以，所以D正确. 故选：ACD. ▶综合题型2：三/四性质综合（细分题型+解题模板） 1.细分题型 细分题型 核心特征 单调+奇偶+周期 三性质叠加，需先推导周期，再转化区间单调性 单调+奇偶+对称 以奇偶性+对称为基础推导周期，结合单调性求解 对称+周期+奇偶 周期由对称性推导，奇偶性简化函数表达式 四性质综合（单调+奇偶+对称+周期） 多性质环环相扣，需按“判定→转化→应用”逐步拆解 2.通用解题模板 四大性质综合题型通用实用答题模板 核心原则：定义域先行+性质关联+范围缩小+精准求解 （适配所有三/四性质综合题，含抽象函数、分段函数、具体函数） 一、通用解题步骤（6步闭环，每步可直接落地） 步骤 具体操作（含实用技巧） 四大性质融合要点 Step1：定定义域（必做第一步） 1.列定义域限制条件：分式分母≠0、对数真数>0、根号下≥0、三角函数定义域等； 2.化简定义域区间，验证是否关于原点对称（为奇偶性判定铺垫）； 3.标注定义域边界、无定义点（后续性质判定需排除）. 定义域是所有性质的基础，不对称直接排除奇偶性；无定义点会断开单调/周期区间. Step2：逐判核心性质（按“易→难”顺序） 1.判奇偶性（最快上手）： -定义域不对称→非奇非偶，跳过； -对称则化简，对比，标记“奇/偶/非奇非偶”； -若为奇函数且定义域含0，直接写（速求参数）. 2.判对称/周期（关联性最强）： -有对称表达式（如）→先定对称类型（轴/中心）； -无显性周期→用“奇偶+对称”推导： ✅奇函数+轴对称→周期； ✅偶函数+轴对称→周期； ✅奇函数+中心对称→周期； -有显性周期关系式（如）→直接得（速记公式）. 3.判单调性（最后判定，需缩小范围）： -用周期/奇偶性锁定“核心区间”（如）； -核心区间内用导数法/定义法判增减； -延展到全定义域：奇函数对称区间单调性一致，偶函数相反，周期函数重复核心区间单调性. 性质判定不孤立：奇偶性是推导周期的关键，周期/对称性能缩小单调性判定范围. Step3：性质关联串联（搭建解题桥梁） 1.列已判定性质清单：如“奇函数+轴对称+周期+核心区间增”； 2.补全隐含性质： -周期→（）； -偶函数→（解不等式速用）； 3.标记“可转化关系”：如→（奇偶转化），→（周期转化）. 关联是综合题核心：无关联则无法缩小求解范围，如仅知单调+奇偶，需用对称补周期. Step4：自变量转化（统一到核心区间） 1.目标自变量（未知区间）→用周期转化：（），得； 2.若在核心区间外→用奇偶/对称转化： -如→（轴对称）或（奇偶转化）； 3.最终将转化为核心区间内的（已知单调性/解析式）. 转化的目的是“化未知为已知”，所有综合题都需这一步缩小范围. Step5：目标求解（按题型精准突破） 1.求参数： -列方程：（奇函数）、周期关系式、对称条件、单调性边界条件； -联立求解，代入定义域/性质验证. 2.解不等式（如）： -用奇偶性→（偶函数）； -用单调性→脱“”，得（增函数）； -结合定义域、周期限制解集. 3.求解析式： -核心区间内先求解析式（用已知条件、定义法）； -用奇偶/周期延展到全定义域； -验证衔接点（如处）函数值一致. 4.求最值/零点： -周期内找最值点/零点→全定义域内个数=周期数×个数+剩余区间个数； -结合单调性锁定极值点，对称点函数值相等（简化计算）. 求解需紧扣已判定性质，每一步都要标注性质依据（如“由周期得”）. Step6：验证检验（避免踩坑） 1.性质一致性检验：周期是否符合所有分段、奇偶性是否满足衔接点、单调性是否与导数符号一致； 2.特殊点验证：代入、（对称轴）、（周期点），验证函数值是否合理； 3.定义域检验：解集/解析式是否在定义域内，无超出限制. 综合题易错点多，验证是最后一道防线，至少验证1个特殊点. 二、实用工具包（直接套用，省去推导） 1.性质关联速查表（核心桥梁） 已知性质组合 隐含结论（直接用） 奇函数+轴对称 周期 偶函数+轴对称 周期 奇函数+中心对称 周期 双轴对称（和） 周期 轴对称+中心对称 周期 2.常见题型秒杀技巧 抽象函数赋值法：遇、，先令求，再令判奇偶性； 分段函数综合：各分段分别用模板，重点验证“分段衔接点”的性质一致性（如处奇偶性、处周期性）； 三角函数综合：直接用已知性质（如是奇函数+周期+中心对称），跳过复杂判定. 三、易错防控清单（必看，避免丢分） 1.定义域遗漏：如对数真数>0未考虑，导致奇偶性判定错误； 2.周期公式记错：的周期是，非； 3.区间表示错误：周期函数单调区间需加（），断开区间用“和”非“∪”； 4.脱“”忘条件：必须先确保自变量在“同一单调区间”，再用单调性脱； 5.分段衔接点忽略：如是分段点，需验证（连续性）和性质一致性. 【专项训练】 【题型1：四个性质综合】【多选题】（2026届辽宁省丹东市高三上学期总复习阶段测试数学试卷）定义在上的奇函数满足，在区间上单调递增，且，则（   ） A． B．在上单调递减 C．关于直线对称 D． 【答案】AB 【来源】2026届辽宁省丹东市高三上学期总复习阶段测试数学试卷 【分析】利用已知条件迭代可得周期，结合奇函数性质可判断A；利用和奇函数定义可得函数的图象关于对称，根据对称性，结合已知可判断B；求出和可判断函数图象关于直线对称，结合周期可判断C；利用周期性可判断D. 【详解】因为，所以， 所以， 故， 所以，所以， 所以，6是函数的一个周期. 对于A，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，正确； 对于B，因为， 因为是的周期，所以，故 所以函数的图象关于对称，又在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减，正确； 对于C，因为，所以， 又，所以， 所以的图象不关于直线对称， 根据周期性可知，的图象不关于直线对称，错误； 对于D，因为，， 所以，错误. 故选：AB 【小试牛刀】【多选题】(25-26高三上·陕西商洛镇安中学·模拟)已知定义域为的函数在上单调递增，满足，且的图象关于点对称，则以下结论正确的有（    ） A． B． C．在上单调递减 D． 【答案】ABC 【来源】陕西省商洛市镇安中学2025-2026学年高三上学期模拟预测数学试题 【分析】由已知确定函数的周期性，结合对称性得单调性，然后判断各选项. 【详解】对A，的图象关于点对称，则，又（说明的图象关于直线对称）， 所以， 所以， 对B，，B正确； 对C，在上单调递增，又的图象关于直线对称，所以在上单调递减，C正确； 对D，由A知，结合B知，D错， 故选：ABC ▶拓展题型：抽象/导函数与原函数性质综合（细分题型+模板） 1.抽象函数性质综合（细分3类题型） 细分题型 答题模板 抽象函数两性质综合 Step1赋值法推导基础性质（令//等）；2建立性质关联（如奇偶+对称→周期）；3按两性质综合逻辑求解 抽象函数三/四性质综合 Step1逐次赋值推导所有已知性质（先奇偶性，再对称/周期，最后单调性）；Step2用高频结论串联性质（如赋值得和→推导）；转化自变量到“可求解区间”（如→）； Step4结合所有性质求解（求函数值/不等式/参数） 抽象函数不等式证明 Step1构造辅助函数（利用奇偶性/单调性变形）；推导辅助函数性质（单调/奇偶）； Step3转化不等式为辅助函数的区间关系；4结合定义域证明 【专项训练】 【题型1：抽象函数的奇偶性对称性单调性周期性】【多选题】（黑龙江省2024届高三冲刺卷（四）数学试卷）已知函数的定义域为，若，有，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．4为函数的一个周期 【答案】ACD 【来源】黑龙江省2024届高三冲刺卷（四）数学试卷 【分析】根据已知条件进行赋值，以及利用变量替换推出函数性质，逐一判断选项即可求解. 【详解】根据题意，， 取，得，因为，所以 ，A正确; 取，得，所以 ，B错误; 取，得，即 ， 所以为偶函数，C正确; 取，得，所以， 即4为函数的一个周期，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：解答抽象函数问题，常用的方法是赋值法，求函数值时，通常令等式中的变量取等特殊值；判断函数奇偶性时，通常通过赋值使等式中出现；当然要结合所求灵活赋值，根据函数的性质进行求解. 【小试牛刀】【多选题】（河南省开封市2024届高三第三次质量检测数学试题）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B． C．是周期函数 D．的解析式可能为 【答案】ABC 【来源】河南省开封市2024届高三第三次质量检测数学试题 【分析】利用赋值法求判断A；赋值法可得函数奇偶性即可判断D；利用赋值法求得，化简得，即可判断C,由周期性和奇偶性即可求解B. 【详解】由， 令，，有，可得,故A正确； 令，则，则， 函数是偶函数， 而为奇函数，故D错误， ，令， 则， 所以， 则， ， 所以，则周期为6，C正确． 由于为偶函数且周期为6，故，B正确， 故选：ABC 2.导函数与原函数奇偶性、对称性核心技巧 一、核心性质对应（直接套用） 1.奇偶性 原奇（）→导偶（） 原偶（）→导奇（） 导偶→原=奇函数+常数（，定义域含0） 导奇→原=偶函数+常数（，定义域含0） 2.对称性 原关于轴对称（）→导关于中心对称（） 原关于中心对称（）→导关于轴对称（） 二、解题核心步骤 1.顺推（原→导） 1.验定义域对称+原函数可导 2.写原函数性质定义式 3.两边求导（复合函数法则） 4.化简得导函数性质 2.逆推（导→原） 1.验定义域对称+原函数连续（必含条件） 2.写导函数性质表达式 3.构辅助函数消常数（如） 4.推导得原函数性质 三、秒杀工具+避坑要点 1.速记口诀 奇偶性：原奇导偶，原偶导奇；导偶加常为原，导奇加常为原 对称性：原轴→导中心，原中心→导轴（对称点/轴横坐标不变） 2.避坑3点 逆推必验原函数连续性，否则结论不成立 常数项不影响导函数性质，但逆推必须补常数 定义域需对称，可导区间与导函数定义域一致 【专项训练】 【题型1：导函数与原函数的奇偶性对称性关系】【多选题】（广东省韶关市2024届高三综合测试（二）数学试题）已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（    ） A．关于直线对称 B． C．的周期为4 D． 【答案】ACD 【来源】广东省韶关市2024届高三综合测试（二）数学试题 【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得、，通过合理赋值即可判断BCD. 【详解】由，得①， ②，得③， 由①②③，得，所以函数图象关于直线对称，故A正确； 由，得，令，得； 由，得， 令，得， ∴④， 又⑤，令，得，故B错误； ④⑤两式相加，得，得， 所以，即函数的周期为4，故C正确； 由，令，得，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的对称性和周期性，结合导数的运算，寻找关系式、和是解题的关键，原函数与导函数的联系，对称性与周期性的联系，都是解题的思路. 【小试牛刀】（广东省深圳市龙岗区德琳学校2023届高三二模数学试题）已知函数，在R上的导函数分别为，，若为偶函数，是奇函数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．是R上的奇函数 D．是R上的奇函数 【答案】AD 【来源】广东省深圳市龙岗区德琳学校2023届高三二模数学试题 【分析】利用函数的奇偶性、周期性、对称性，以及原函数与导函数的奇偶性，即可判断各选项正误. 【详解】解：已知为偶函数，可知关于对称， 所以关于对称， 因为是奇函数，可知关于对称， 所以关于对称， 又因为，则，即， 所以与关于对称， 因为关于对称的点为，直线关于对称的直线为， 所以关于对称，关于直线对称，是偶函数， 而关于对称，，又， 则，，， 即是周期为4的偶函数，故C选项错误； 由关于直线对称，，关于对称，， 则，， 所以，即是周期为4的偶函数， 由于是周期为4的偶函数，则， 等号两边同时求导，可得，所以是周期为4的奇函数， 同理，由于是周期为4的偶函数，则， 等号两边同时求导，可得，是周期为4的奇函数， 所以与均是周期为4的奇函数，故D选项正确； 由于关于对称，，，则， 所以，故A选项正确； ，故B选项错误； 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的对称性得到函数的奇偶性及周期性，再利用复合函数的导数可得导函数的性质进而即得. 课后针对训练 一、单选题 1．（2024·四川成都·三模）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再根据时的函数值为正排除余下两个中的一个即得. 【详解】函数的定义域为，， 函数是奇函数，图象关于原点对称，BD不满足； 当时，，则，C不满足，A满足. 故选：A 2．（2025·云南·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数、偶函数的定义可得出关于、的等式组，求出的解析式，代值计算可得的值. 【详解】因为函数为奇函数，即， 所以，可得①， 因为函数是偶函数，即， 所以，可得②， 联立①②可得，因此. 故选：C. 3．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据条件判断函数在上为增函数，在保证每一段函数单调递增的情况下，注意分界点处的值的大小关系，列不等式组求解即可． 【详解】根据题意，函数对任意的，且，都有， 所以在上为增函数， 又， 所以有， 即，解得， 故选：D． 4．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】由且，得，即或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 5．（2025·江苏镇江·模拟预测）函数，若不等式在上有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知函数为奇函数，且在内单调递减，根据题意可得原题意等价于不等式在上有解，构建，利用导数求其最大值即可得结果. 【详解】因为，可知的定义域为， 且， 可知函数为奇函数， 又因为在内单调递增，可知在内单调递增， 则在内单调递减， 且在定义域内单调递增，可知在内单调递减， 可得在内单调递减，可知在内单调递减， 若， 即，可得，且，即， 原题意等价于不等式在上有解， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，所以实数的取值范围为. 故选：B. 6．（2025·全国·模拟预测）设函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数奇偶性，得到函数为偶函数，再分析单调性，根据偶函数单调性相反即可把不等式转化为，解不等式即可. 【详解】函数的定义域为，且，即为偶函数． 当时，和，和均在上单调递增，所以和均在上单调递增，则在上单调递增，所以不等式等价于，即，解得或． 所以不等式的解集为． 故选:D 7．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数．若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过对变量替换，即令，将原函数变为，通过求导判断的单调性，利用其严格递增性将原不等式转化为，最终求解一元二次不等式. 【详解】令，则原函数可改写为：， 定义辅助函数，则， 由，故是奇函数， ，又（当且仅当时取等号），且,, 因此，在上严格递增， 原不等式转化为：，即， 因为为奇函数，即，所以， 又在上严格递增，故，所以，得， 故选：A 8．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知一函数，其定义域为，则满足不等式的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数定义域，再利用函数奇偶性及单调性解不等式即可. 【详解】由题可知函数，所以为偶函数， 当时，，又与在上单调递减， 所以在也单调递减， ，即， 所以解得或， 所以的取值范围为. 故选：D. 9．（2025·河南·一模）已知曲线关于点中心对称，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，计算即可得出结果. 【详解】因为关于点中心对称， 所以， 所以，可得， 故选：C． 10．（2025·湖南·一模）已知均为定义在上的函数，，若的图象关于直线对称，且，则的值是（　　） A．463 B．464 C．465 D．466 【答案】B 【分析】根据的图象关于直线对称，可得，再根据可转化得为奇函数，从而得函数的周期为4，根据对称性与周期性求值即可得出结论. 【详解】由的图象关于直线对称，可得的图象关于直线对称， 即的图象关于直线对称，则， 由，可得， 又，得， 所以， 即，所以的图象关于点对称，即为奇函数， 所以，函数的周期为4； 由可得， 又因为，所以， 根据函数的性质，得 所以． 故选：B. 11．（24-25高三下·湖北·开学考试）已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据累加法可得即可求解. 【详解】当时， 因为， 故 由累加法可得， 故，故AB错误， 由， 所以故，所以C错误,D正确， 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用累加法可得. 二、多选题 12．（2025·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．4是的一个周期 C． D．的图象关于点对称 【答案】ABD 【分析】由已知及复合导数的求法、偶函数性质得，结合得、、判断A、B、D；利用周期性求函数值判断C； 【详解】因为为偶函数，所以，则， 而，故，所以， 又为偶函数，所以，即， 所以，故，且， 所以，则4是的周期，故B正确． A：由两边求导得， 令得，解得，A正确； C：由上知，令，则， 则，C错误； D，因为，，则， 所以，则的图象关于对称，D正确． 故选：ABD 13．（2025·云南昆明·一模）已知函数，则（    ） A．在定义域上单调递减 B．曲线关于点对称 C．当时， D． 【答案】BC 【分析】先求出函数定义域，再由特殊函数值大小比较判断A；通过是否成立判断B；由对数复合函数的单调性计算判断C；根据解析式及对数运算性质求函数值判断D. 【详解】对于A，由，可得或， 所以函数定义域为，而 ，错误； 对于B，， 所以曲线关于点对称，正确； 对于C，由在区间上单调递减， 当时，，正确； 对于D，，错误． 故选：BC 14．（25-26高三上·重庆·月考）设函数的定义域为R，且满足，为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．关于对称 C． D．的导函数的周期为 【答案】BCD 【分析】由为奇函数可得对恒成立，故对恒成立，即可判断选项A，B；结合，可得，推导可得，即可判断选项C，选项D. 【详解】∵为奇函数，对恒成立， ∴对恒成立，∴函数为奇函数， 且函数的图象关于对称，故选项A错误，选项B正确； ∵，∴， 故，而的图象关于对称，即有， 故，则， ∴， ∴函数是周期为8的周期函数， 对于。令，可得， ∴，故选项C正确； 又，∴，∴的周期为8，故选项D正确. 故选：BCD. 15．（2025·福建福州·一模）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误. 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得，即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 16．（2024·河南郑州·二模）已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】令，可判断A；令，可判断B；由函数图象的变换可得的图象关于对称，结合奇偶性可得周期性，即可判断C；根据周期性和赋值法求得，然后可判断D. 【详解】令，得，即，A正确； 令，得， 又，所以对任意恒成立， 因为，所以不恒为0， 所以，即，B错误； 将的图象向左平移1个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象， 因为的图象关于对称，所以的图象关于对称， 所以， 又为奇函数， 所以， 所以，所以4为的周期. 由可得，C正确； 因为，，， 所以，D正确. 故选：ACD 【点睛】难点点睛：本题难点在于合理赋值，利用对称性求得周期，然后即可求解. 三、填空题 17．（2025·广东广州·模拟预测）若函数是奇函数，则实数 . 【答案】1 【分析】根据函数奇偶性的定义及对数运算性质即可求解. 【详解】， 所以， 因为为奇函数， 所以， 所以， 即，所以， 所以， 所以，解得， 此时定义域为，关于原点对称，满足奇函数要求，符合题意. 故答案为：1. 18．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知定义在上的函数满足，则 ；若为偶函数，，且时，，则图象与曲线的交点个数为 . 【答案】 【分析】在等式中，令可得出的值；利用已知条件推出函数的对称性和周期性，数形结合可得出图象与曲线的交点个数. 【详解】在等式中，令可得，解得； 在等式中，用替代可得， 即，即， 因为，则， 由可得，即函数为奇函数， 因为为偶函数，则，即， 所以，函数的图象关于直线对称，且有， 所以，， 所以，函数的图象关于直线对称， 由，可得， 所以，，故函数是周期为的周期函数， 当时，，且， 则， 所以，函数在上单调递增，且， 又因为函数为上的奇函数，则， 设的图象为曲线， 当时，， 在曲线上取点，则点关于轴的对称点为，则， 即点也在曲线上，所以，曲线关于轴对称，作出函数的图象和曲线如下图所示： 由图可知，函数的值域为， 因为，，且，， 所以，点、在曲线上， 对于曲线，将代入曲线的方程可得，可得，且， 由图象可知，函数的图象和曲线有个公共点， 故答案为：；. 19．（2024·陕西西安·二模）已知函数满足，.则 . 【答案】. 【分析】根据题意，取，求得，再令，得到，结合，利用等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由函数满足， 取，可得， 令，可得， 即 则 . 故答案为：. 四、解答题 20．（24-25高三上·四川绵阳·月考）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【答案】(1)，. (2)函数在上为减函数；证明见解析 (3). 【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，且，即可求得解析式；（2）用函数单调性的定义证明即可；（3）由前两问可得函数的单调性，结合已知条件的奇偶性，利用函数性质解不等式. 【详解】（1））函数是定义在上的奇函数，， 解得：， ∴，而，解得， ∴，. （2）函数在上为减函数；证明如下： 任意且， 则， 因为，所以，， 所以，即，所以函数在上为减函数. （3）由题意，不等式可化为， 所以，解得，所以该不等式的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $