第四章 6 第五节 第2课时 三角函数的周期性、奇偶性与对称性（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学高考复习资料聚焦三角函数的周期性、奇偶性、对称性及综合应用核心考点，按单一性质到综合应用的逻辑架构知识，通过考点自主练透、多维探究、师生共研等环节，配合方法指导和真题训练，帮助学生系统突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料采用多维探究模式，分奇偶性、对称性角度拆解考点，结合整体换元法、图象分析法等技巧培养学生数学思维，通过真题再现与教材对比引导学生用数学眼光发现联系。设置分层对点练，保障复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第2课时　三角函数的周期性、奇偶性与对称性 考点一　三角函数的周期性自主练透 1.函数f(x)=的最小正周期为(　　) A． B． C．π D．2π 答案：C 解析：f(x)====sin xcos x=sin 2x，所以f(x)的最小正周期T==π.故选C． 2.下列函数中，最小正周期为π的函数是(　　) A．f=sin x+cos 2x B．y= C．f=tan D．y=sin 答案：B 解析：对于A，因为f(x+π)=sin(x+π)+cos 2(x+π)=－sin x+cos 2x≠f，故A不符合题意；对于B，作出函数y=|cos x|的图象，由图可知，函数y=|cos x|的最小正周期为π，故B符合题意； 对于C，f(x)=tan 的最小正周期为=2π，故C不符合题意；对于D，函数y=sin∣x∣=其图象如图，由图可知，函数y=sin |x|不是周期函数，故D不符合题意.故选B． 3.函数f(x)=cos x+2cosx的一个周期为(　　) A．π B．2π C．3π D．4π 答案：D 解析：易知y=cos x，y1=2cosx的最小正周期分别为2π，4π，则2π，4π的公倍数4π是f(x)的一个周期.故选D． 4.(多选)下列函数中，以4π为周期的函数有(　　) A．y=tan B．y=sin C．y=sin |x| D．y=cos |x| 答案：AD 解析：y=tan，则T==4π，故A正确；函数y=sin的最小正周期为8π，故B不正确；函数y=sin |x|不是周期函数，故C不正确；y=cos |x|=cos x，最小正周期为2π，所以4π也是它的一个周期，故D正确.故选AD． 考点二　三角函数的奇偶性与对称性多维探究 角度1　奇偶性 (1)函数f(x)=2sin2－1是(　　) A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数 (2)已知函数f(x)=2sin是偶函数，则θ的值为　　　　.  答案：(1)D　(2) 解析：(1)f(x)=2sin2－1=－=－cos=sin 2x，可得f(x)的最小正周期为=π.因为f(－x)=sin(－2x)=－sin 2x=－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数.故选D． (2)因为函数f(x)为偶函数，所以θ+=+kπ，k∈Z，解得θ=+kπ，k∈Z.又θ∈，所以θ=，经检验，符合题意. 三角函数奇偶性应用技巧 1.可结合常用结论判断奇偶性. 2.若y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))为奇函数，则当x=0时，y=0；若y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))为偶函数，则当x=0时，y取最大值或最小值. 学生用书⬇第101页 角度2　对称性 (1)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增，直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f=(　　) A．－ B．－ C． D． (2)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y=f(x)的图象关于点中心对称，则f=(　　) A．1 B． C． D．3 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)因为f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增，且x=和x=是函数图象的对称轴，所以==，则T=π，ω==2，当x=时，f(x)取得最小值，则2×+φ=2kπ－，k∈Z，则φ=2kπ－，k∈Z，不妨取k=0，得φ=－π，则f(x)=sin，则f=sin=.故选D． (2)因为<T<π，所以<<π，解得2<ω<3.因为y=f(x)的图象关于点中心对称，所以b=2，且sin+b=2，即sin=0，所以ω+=kπ，又2<ω<3，所以<ω+<，所以ω+=4π，解得ω=，所以f(x)=sin+2，所以f=sin+2=sin+2=1.故选A． 三角函数对称性应用技巧 1.求函数的所有对称轴方程或对称中心坐标时，可利用整体换元法进行求解，注意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心坐标的形式. 2.判断某一直线、某一点是否为对称轴、对称中心时，可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质进行检验判断. 对点练1.设函数f(x)=cos，其中常数φ满足－π<φ<0，若函数g(x)=f(x)+f'(x)(其中f'(x)是函数f(x)的导数)是偶函数，则φ=(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案：A 解析：由题意得g(x)=f(x)+f'(x)=cos(x+φ)－sin=2cos.因为函数g(x)为偶函数，所以φ+=kπ，k∈Z，解得φ=－+kπ，k∈Z.又－π<φ<0，所以φ=－.故选A． 对点练2.已知函数f(x)=tan x－sin xcos x，则(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象不关于点对称 D．f(x)的图象关于点(π，0)对称 答案：D 解析：因为f(x+π)=f(x)，所以f(x)的最小正周期不是2π，故A错误；因为f(－x)=－f(x)≠f(x)，所以f(x)是奇函数，其图象不关于y轴对称，故B错误；因为f(π－x)=－tan x+sin xcos x=－f(x)，所以f(x)的图象关于点对称，故C错误；因为f(2π－x)=－tan x+sin xcos x=－f(x)，所以f(x)的图象关于点(π，0)对称，故D正确.故选D． 考点三　三角函数性质的综合应用师生共研 (1)(2024·山东临沂二模)已知函数f=sin(2x+φ)图象的一个对称中心为，则(　　) A．f在区间上单调递增 B．x=是f图象的一条对称轴 C．f在上的值域为 D．将f图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称 (2)(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin，下列说法中正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 答案：(1)D　(2)BC 解析：(1)由题意可得2×+φ=kπ，解得φ=－+kπ，又<，故φ=－，即f=sin.对于A，当x∈时，2x－∈，由函数y=sin x在上不为单调递增，故f在区间上不为单调递增，故A错误；对于B，当x=时，2x－=，由x=不是函数y=sin x的对称轴，故x=不是f图象的一条对称轴，故B错误；对于C，当x∈ 时，2x－∈，则f∈，故C错误；对于D，将f图象上的所有点向左平移个长度单位后，可得y=sin= sin=cos 2x，该函数图象关于y轴对称，故D正确.故选D． (2)对于A，令f(x)=sin 2x=0，解得x=，k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin=0，解得x=+，k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x)，g(x)零点不同，故A错误；对于B，显然f(x)max=g(x)max=1，故B正确；对于C，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为=π，故C正确；对于D，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x=kπ+⇔x=+，k∈Z，g(x)的对称轴满足2x－=kπ+⇔x=+，k∈Z，显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，故D错误.故选BC． 解决三角函数图象与性质综合问题的方法 　　先将y=f(x)化为y=asin ωx+bcos ωx的形式，然后用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再借助y=Asin(ωx+φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题. 对点练3.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　　) A．f(x)在区间单调递减 B．f(x)在区间有两个极值点 C．直线x=是曲线y=f(x)的对称轴 D．直线y=－x是曲线y=f(x)的切线 答案：AD 解析：法一：由2x+φ=kπ(k∈Z)，得x=(k∈Z).因为函数f(x)的图象关于点中心对称，所以=，即φ=kπ－(k∈Z)，结合0<φ<π，得φ=，所以f(x)=sin. 法二：因为函数f(x)的图象关于点中心对称，所以sin=0，可得+φ=kπ(k∈Z)，结合0<φ<π，得φ=，所以f(x)=sin. 对于A，由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ+(k∈Z)，当k=0时，－≤x≤.因为⊆，所以函数f(x)在区间单调递减，故A正确；对于B，由2x+=kπ+(k∈Z)，得x=(k∈Z)，当k=0时，x=－，当k=1时，x=，当k=2时，x=，所以函数f(x)在区间只有一个极值点，故B不正确；对于C，由选项B的分析知，函数f(x)图象的对称轴方程为x=(k∈Z)，而方程=(k∈Z)无解，故C不正确；对于D，因为f'(x)=2cos，若直线y=－x为曲线y=f(x)的切线，则由2cos=－1，得2x+=2kπ+或2x+=2kπ+(k∈Z)，所以x=kπ或x=kπ+(k∈Z).当x=kπ(k∈Z)时，f(x)=，则由=－kπ(k∈Z)，解得k=0；当x=kπ+(k∈Z)时，f(x)=－，方程－=－kπ－(k∈Z)无解.综上所述，直线y=－x为曲线y=f(x)的切线，故D正确.故选AD． 对点练4.(多选)(2024·湖北武汉四调)已知函数f=sin 2x+sin，则(　　) A．函数f是奇函数 B．函数f是偶函数 C．f的最大值是 D．f在区间上单调递减 答案：BD 解析：f=sin 2x+sin=sin 2x+=sin 2x+cos 2x=sin.对于A，g=f=sin=sin，因为g=sin=－sin≠－g，故A错误；对于B，y=f=sin=sin=cos 2x是偶函数，故B正确；对于C，由f=sin，知其最大值为1，故C错误；对于D，<x<，则<2x+<，由正弦函数的单调性知，函数f=sin在上单调递减.故D正确.故选BD． 学生用书⬇第102页 [真题再现]　(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f(x)=sin |x|+|sin x|有下述四个结论： ①f(x)是偶函数； ②f(x)在区间单调递增； ③f(x)在[－π，π]有4个零点； ④f(x)的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是(　　) A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 答案：C 解析：因为f(－x)=sin|－x|+|sin(－x)|=sin |x|+|sin x|=f(x)，所以f(x)为偶函数，故①正确；当<x<π时，f(x)=sin x+sin x=2sin x，所以f(x)在 上单调递减，故②错误；当x∈[－π，π]时，f(x)=sin |x|+|sin x|=2|sin x|，其图象如图所示，此时f(x)有3个零点，故③错误；因为y=sin |x|与y=|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，所以f(x)的最大值为2，故④正确.故选C． [教材呈现]　(人教A必修一P214T12)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是(　　) A．y=|sin x| B．y=cos x C．y=tan x D．y=cos 点评：高考题与教材题目非常类似，是教材习题的改编，也是教材习题的升华. 学科网（北京）股份有限公司 $