第四章 7 第四节 第2课时 三角函数的周期性、奇偶性与对称性（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦三角函数周期性、奇偶性与对称性高考核心考点，按“基础概念—性质应用—综合提升”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破难点，体现复习系统性与针对性。 资料采用“问题链驱动+分层训练”模式，如周期性教学融合定义法、公式法、图象法培养数学思维，对称性探究用整体换元法提升数学语言表达。设置自主练、对点练、真题练三级练习，配合即时反馈，高效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供有力支撑。

第2课时　三角函数的周期性、奇偶性与对称性 考点一　三角函数的周期性　　　　自主练透 1.(2025·八省适应性测试)函数f(x)＝cos(x＋)的最小正周期是(　　) A. B. C.π D.2π 答案：D 解析：由题意，f的最小正周期T＝＝2π.故选D. 2.下列函数中，最小正周期为π的函数是(　　) A.f＝sin x＋cos 2x B.y＝ C.f＝tan D.y＝sin 答案：B 解析：对于A，因为f(x＋π)＝sin(x＋π)＋cos 2(x＋π)＝－sin x＋cos 2x≠f，故A不符合题意；对于B，作出函数y＝｜cos x｜的图象，由图可知，函数y＝｜cos x｜的最小正周期为π，故B符合题意； 对于C，f(x)＝tan 的最小正周期为＝2π，故C不符合题意；对于D，函数y＝sin∣x∣＝其图象如图，由图可知，函数y＝sin ｜x｜不是周期函数，故D不符合题意.故选B. 3.函数f(x)＝cos x＋2cosx的一个周期为(　　) A.π B.2π C.3π D.4π 答案：D 解析：易知y1＝cos x，y2＝2cosx的最小正周期分别为2π，4π，则2π，4π的公倍数4π是f(x)的一个周期.故选D. 4.已知函数f＝2sin＋1，则f＋f＋f＋…＋f＝　　　　. 答案：2 025＋ 解析：由f＝2sin ＋1，得f(4k＋m)＝2sin ＋1＝2sin(＋)＋1＝f(m)，所以f(n)的周期为4，所以f＋f＋f＋f＝2sin(＋)＋2sin ＋2sin ＋2sin ＋4＝4，所以f＋f＋f＋…＋f＝4×＋2sin ＋1＝2 025＋. 三角函数周期的计算方法 1.定义法：通过把已知函数变形，利用周期的定义得到f＝f，从而求得三角函数的周期. 2.公式法：函数y＝Asin，y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝. 3.图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期. 　　 考点二　三角函数的奇偶性与对称性　　　　多维探究 角度1　奇偶性 (1)函数f＝cos2＋sin2(x＋)－1是(　　) A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数 (2)已知函数f(x)＝cos(x＋θ)－sin(x＋θ)是奇函数，则θ＝　　　　. 答案：(1)C　(2) 解析：(1)由题得f＝＋－1＝cos－cos(2x＋)＝(cos 2xcos ＋sin 2xsin －cos 2xcos ＋sin 2xsin )＝sin 2x，所以函数f的最小正周期T＝＝π，又因为函数y＝f的定义域为R，定义域关于原点对称，f＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f，所以函数f为奇函数.故选C. (2)f＝cos－sin＝2cos(x＋θ＋)，因为函数f是奇函数，所以θ＋＝＋kπ，k∈Z，解得θ＝＋kπ，k∈Z，因为－≤θ≤，所以θ＝. 角度2　对称性 (1)函数f＝2sinsin图象的对称轴可以是(　　) A.直线x＝ B.直线x＝ C.直线x＝ D.直线x＝ (2)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin(ωx＋)＋b(ω＞0)的最小正周期为T.若＜T＜π，且y＝f(x)的图象关于点(，2)中心对称，则f()＝(　　) A.1 B. C. D.3 答案：(1)A　(2)A 解析：(1)f＝2sin［＋］sin(x＋)＝2cossin＝sin，令2x＋＝＋kπ，解得x＝－＋，所以f图象的对称轴为直线x＝－＋，当k＝1时，x＝.故选A. (2)因为＜T＜π，所以＜＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f(x)的图象关于点(，2)中心对称，所以b＝2，且sin(ω＋)＋b＝2，即sin(ω＋)＝0，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，又2＜ω＜3，所以＜ω＋＜，所以ω＋＝4π，解得ω＝，所以f(x)＝sin(x＋)＋2，所以f()＝sin(×＋)＋2＝sin＋2＝1.故选A. 1.三角函数奇偶性应用技巧 (1)可结合常用结论判断奇偶性. (2)若y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))为奇函数，则当x＝0时，y＝0；若y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))为偶函数，则当x＝0时，y取最大值或最小值. 2.三角函数对称性应用技巧 (1)求函数的所有对称轴方程或对称中心坐标时，可利用整体换元法进行求解，注意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心坐标的形式. (2)判断某一直线、某一点是否为y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的对称轴、对称中心时，可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质进行检验判断. 　　 对点练1.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间(，)单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f(－)＝(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：D 解析：由函数f(x)在区间(，)单调递增，且直线x＝和x＝是函数f(x)的图象的两条相邻对称轴，得＝2(－)，解得ω＝2，则f()＝sin(＋φ)＝－1，所以φ＝－＋2kπ－＝－＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝sin(2x－＋2kπ)，k∈Z，则f(－)＝sin(－＋2kπ)＝sin(－)＝.故选D. 对点练2.(双空题)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(，0)对称，且与点M相邻的f(x)的图象的一条对称轴为直线x＝，则ω＝　　　　，φ＝　　　　. 答案：2　 解析：因为f(x)是偶函数，所以φ＝kπ＋，k∈Z，因为0≤φ≤π，所以φ＝，所以f(x)＝sin(ωx＋)＝cos ωx.设f(x)的最小正周期为T，由题知＝－＝，则T＝π，得ω＝＝2. 考点三　三角函数性质的综合应用　　　　师生共研 (1)(2024·山东临沂二模)已知函数f＝sin(2x＋φ)(＜)图象的一个对称中心为，则(　　) A.f在区间上单调递增 B.x＝是f图象的一条对称轴 C.f在上的值域为 D.将f图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称 (2)(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin(2x－)，下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 答案：(1)D　(2)BC 解析：(1)由题意可得2×＋φ＝kπ，解得φ＝－＋kπ，又＜，故φ＝－，即f＝sin.对于A，当x∈时，2x－∈，由函数y＝sin x在［－，］上不为单调递增，故f在区间上不为单调递增，故A错误；对于B，当x＝时，2x－＝，由x＝不是函数y＝sin x的对称轴，故x＝不是f图象的一条对称轴，故B错误；对于C，当x∈时，2x－∈，则f∈，故C错误；对于D，将f图象上的所有点向左平移个长度单位后，可得y＝sin(2x＋2×－)＝sin＝cos 2x，该函数图象关于y轴对称，故D正确.故选D. (2)对于A，令f(x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)＝sin(2x－)＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x)，g(x)零点不同，故A错误；对于B，显然f(x)max＝g(x)max＝1，故B正确；对于C，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为＝π，故C正确；对于D，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x＝kπ＋⇔x＝＋，k∈Z，g(x)的对称轴满足2x－＝kπ＋⇔x＝＋，k∈Z，显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，故D错误.故选BC. 解决三角函数图象与性质综合问题的方法 　　先将y＝f(x)化为y＝asin ωx＋bcos ωx的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题. 　　 对点练3.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象关于点(，0)中心对称，则(　　) A.f(x)在区间(0，)单调递减 B.f(x)在区间(－，)有两个极值点 C.直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴 D.直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 答案：AD 解析：法一：由2x＋φ＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z).因为函数f(x)的图象关于点(，0)中心对称，所以－＝，即φ＝kπ－(k∈Z)，结合0＜φ＜π，得φ＝，所以f(x)＝sin(2x＋). 法二：因为函数f(x)的图象关于点(，0)中心对称，所以sin(2×＋φ)＝0，可得＋φ＝kπ(k∈Z)，结合0＜φ＜π，得φ＝，所以f(x)＝sin(2x＋).对于A，由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，－≤x≤.因为(0，)⊆(－，)，所以函数f(x)在区间(0，)单调递减，故A正确；对于B，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，当k＝1时，x＝，当k＝2时，x＝，所以函数f(x)在区间(－，)只有一个极值点，故B不正确；对于C，由选项B的分析知，函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－(k∈Z)，而方程－＝(k∈Z)无解，故C不正确；对于D，因为f'(x)＝2cos(2x＋)，若直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线，则由2cos(2x＋)＝－1，得2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以x＝kπ或x＝kπ＋(k∈Z).当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)＝，则由＝－kπ(k∈Z)，解得k＝0；当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝－，方程－＝－kπ－(k∈Z)无解.综上所述，直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线，故D正确.故选AD. 对点练4.(多选)(2024·湖北武汉四调)已知函数f＝sin 2x＋sin，则(　　) A.函数f是奇函数 B.函数f是偶函数 C.f的最大值是 D.f在区间上单调递减 答案：BD 解析：f＝sin 2x＋sin＝sin 2x＋(－sin 2x＋cos 2x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋).对于A，g＝f＝sin［2(x－)＋］＝sin，因为g＝sin(－2x－)＝－sin≠－g，故A错误；对于B，y＝f＝sin＝sin(2x＋)＝cos 2x是偶函数，故B正确；对于C，由f＝sin，知其最大值为1，故C错误；对于D，＜x＜，则＜2x＋＜，由正弦函数的单调性知，函数f＝sin在上单调递减.故D正确.故选BD. [真题再现]　(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f(x)＝sin ｜x｜＋｜sin x｜有下述四个结论： ①f(x)是偶函数； ②f(x)在区间(，π)单调递增； ③f(x)在[－π，π]有4个零点； ④f(x)的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是(　　) A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 答案：C 解析：因为f(－x)＝sin｜－x｜＋｜sin(－x)｜＝sin ｜x｜＋｜sin x｜＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故①正确；当＜x＜π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，所以f(x)在(，π)上单调递减，故②错误；当x∈[－π，π]时，f(x)＝sin ｜x｜＋｜sin x｜＝2｜sin x｜，其图象如图所示，此时f(x)有3个零点，故③错误；因为y＝sin ｜x｜与y＝｜sin x｜的最大值都为1且可以同时取到，所以f(x)的最大值为2，故④正确.故选C. [教材呈现]　(人教A必修一P214T12)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是(　　) A.y＝｜sin x｜ B.y＝cos x C.y＝tan x D.y＝cos 点评：高考题与教材题目非常类似，是课本习题的改编，也是课本习题的升华. 学科网（北京）股份有限公司 $