相似的实际应用、相似与圆综合、相似与二次函数综合专项训练-2025-2026学年 人教版九年级数学下册

null相似的实际应用、相似与圆综合、相似与二次函数综合专项训练 相似的实际应用、相似与圆综合、相似与二次函数综合专项训练 考点目录 相似的实际应用 相似与圆综合 相似与二次函数综合 考点一 相似的实际应用 例1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）位于咸阳市统一广场的秦始皇雕像兼具艺术性与历史象征意义，是咸阳市核心文化地标之一．某数学小组的同学利用课堂上学习的知识测量秦始皇雕像的高度．如图，他们在点处放置一面平面镜，随后从点处沿方向移动2米到达点处（即米），此时恰好从平面镜内看到雕像顶端的像；接着继续从点处沿方向移动5.5米到达点处（即米），在点处竖立一根高为1.5米的标杆（即米），此时标杆在阳光下的影子顶端和雕像的影子顶端重合于地面上的点处．经测量得到：米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该数学小组的同学计算秦始皇雕像的高度．（平面镜大小忽略不计） 例2．（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）国庆前夕，某校举行了升旗仪式．小明为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计了如下的测量方案：如图所示，竖直标杆的高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，E，C，A三点共线，于点M，交于点N．求旗杆的高度． 例3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）题文（现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知一条小路上有榕树和灯柱．如图所示，在灯柱上有一盏路灯，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子． 根据上述内容，解答下列问题： (1)小问已知榕树在路灯下的影子为，请画出路灯的位置和榕树在路灯下的影子； (2)如图，若榕树的高度为3.6米，其离路灯的距离为6米，榕树的影长为4米，求路灯的高． 例4．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）【综合与实践】主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点O，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)晒衣架完全稳固张开，求出此时，的长度； (3)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 变式1．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图是凸透镜成像示意图，蜡烛通过凸透镜所成的像是（），点是凸透镜的中心，光线，，点是凸透镜的焦点，已知焦距的长为，蜡烛的长为，点，，，在同一条直线上． (1)如图，当蜡烛通过该凸透镜成正立放大的虚像时，若． ①填空：的值为_______；②求此时虚像的高度； (2)如图，当蜡烛通过该凸透镜成倒立缩小的实像，且时，求此时物距的长． 变式2．（25-26九年级上·江西九江·期中）星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 （1）问题一：现测量得到．海关大楼高高为 （用a，b，c表示） 【数学思维】但在进一步观察海关大楼周围的环境后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． （2）问题二：小星测量得到，请你求出海关大楼的高度． 变式3．（25-26九年级上·河南南阳·期中）福胜寺塔位于河南省邓州市，是一座具有悠久历史的古塔，2006年被国务院公布为第六批全国重点文物保护单位．某实践小组欲测量福胜寺塔的高度，利用双休日进行了实地测量，测量过程见下表． 主题 测量“福胜寺塔”的高度 实物图和测量示意图 测量步骤 步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平线于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米． 根据表格中的信息，解决下列问题． (1)求福胜寺塔AB的高度． (2)实践小组通过网上查阅信息得到福胜寺塔的实际高度是米，你求出的结果与实际高度之间的误差是______米．你认为产生误差的原因是什么？（写出一条即可） 变式4．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一直线上，求灯泡到地面的高度是多少？ 考点二 相似与圆综合 例1．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，四边形是平行四边形，以O为圆心，为半径的圆交于D，延长交于E，连接，，若是的切线， (1)求证：是的切线； (2)若，，则的面积_______． 例2．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，直径弦于点． (1)如图1，过点作弦，求证：． (2)如图2，过点作的平行线，交圆于点，分别与，相交于点，．连接，． ①若，求证：． ②若，．求的面积． 例3．（2024·浙江·模拟预测）如图①，在中，为边上的高，以上一点为圆心的过，两点，且分别与交于点，延长交于点，连结． (1)求与之间满足的数量关系． (2)① 求证： ②已知，求的半径． (3)如图2，连结，当与的面积之比为2时，求的值． 例4．（24-25九年级上·广东·期末）如图，为圆O的直径，为圆O的弦，，、的延长线交于点E．    (1)直接写出与之间的数量关系； (2)若，求的值； (3)在（2）的条件下，若，，求的长 变式1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，四边形是圆内接四边形，连结，交于点，过点作交的延长线于点． 【认识图形】 （1）求证：． （2）求证：． 【探索关系】 （3）当点，关于对称时． ①若，，求的长． ②记，，直接写出关于的函数表达式． 变式2．（2024·广东·三模）如图，为的直径，为圆上的一点，为劣弧的中点，过点作的切线与的延长线交于点，与的延长线交于点，与交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的半径为，，求的长度． 变式3．（2023·安徽宣城·二模）如图，是的直径，是圆上一点，点在圆外，过点作于点，交弧于点，交于点，且，连接． (1)求证：是的切线． (2)已知，若，，求的长． 变式4．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，中，，以为直径作圆O交于点D，过点D作切线交于点E． (1)求证：； (2)若，，求圆O的半径． 考点三 相似与二次函数综合 例1．（25-26九年级上·重庆江北·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是线段上的一动点，过点在线段下方作交抛物线于点P，y轴有一动点，连接，过点作轴交抛物线的对称轴直线于点，连接．当取得最大值时，求点坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度后，再关于轴对称得到抛物线，抛物线交轴于A，G两点，与抛物线交于A，H两点，连接GH，AH，，点为抛物线上一动点．若，请直接写出符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标其中一种情况的过程． 例2．（25-26九年级上·上海·期中）已知：如图，抛物线的图像开口向上，与轴交于点、（在的左边），与轴交于点，顶点为，，且. (1)求抛物线的对称轴和函数解析式； (2)把抛物线的图像先向左平移3个单位，再向下平移个单位得到抛物线，记顶点为，并与轴的交于点，求抛物线的函数解析式； (3)在（2）的基础上，点是轴上一点，当与相似时，求点的坐标. 例3．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，其中， (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一点，点，当点面积最大时，点为轴上一动点，求最小值． 例4．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）如图，对称轴为直线的抛物线的顶点为，与轴相交于点，过点作的垂线交轴于点，交抛物线的对称轴于点，且与抛物线的另一个交点为． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)分别求点，的坐标； (3)在对称轴上找一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标． 变式1．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 变式2．（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测）直线分别交x轴、y轴于A、B两点，绕点O按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过A、C、D三点． (1)写出点A、B、C、D的坐标； (2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3)在直线上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)点在轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点的坐标； (3)如图，作轴于点，点是上方的抛物线上一点，是上一点，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出坐标；若不存在，请说明理由． 变式4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）【阅读理解】在平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标相等的点叫做“不动点”．如，是“不动点”． 【迁移应用】如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，点，与轴交于点． (1)求抛物线表达式及抛物线上“不动点”的坐标； (2)若直线与抛物线有且只有一个交点，试求的值； (3)如图2，当时，将抛物线在直线上方的图像折叠，与原图像剩余部分组成如图所示的粗线部分为新的图象．若上恰好有3个“不动点”，则的值为______． (4)如图3，点为“不动点”，点是抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使？若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $