27 回归教材专题(2) 三角形中内接矩形问题&重点突破专题(1) 相似与圆-【名师学案】2025-2026学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

跨单元整合 回归教材专题（二）三角形中内接矩形问题 【教材P58复习题T11变式与拓展】 1.【变式1：改变条件，截两个正方形】 如图，AD是△ABC的高，点P,Q在BC边 上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC= 80,AD=60,四边形PQRS是由两个并排放 置的正方形所组成的矩形，则矩形的边PQ 3.【变式3：改变截取方法】 的长为多少？ 一块直角三角形木板的面积为1.5m,其中 一条直角边AB为1.5m,怎样才能把它加工 成一个无拼接且面积最大的正方形桌面？ 甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用 学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求 (加工损耗不计，计算结果中的分数可保留). 2.【变式2：改变条件和问题】 如图，在△ABC内截一个矩形，且一边落在 BC边上，另两个顶点分别在边AB,AC上， AD⊥BC于点D,BC=80,AD=60,求矩形 PQRS面积的最大值. D RC 43 九年级数学·下册 跨单元整合 重点突玻专题（一）相似与圆 解题技巧 解决相似与圆的问题，常用到圆心角、孤、弦之间 的关系定理、圆周角定理及推论、切线的性质定理等 进行角度的转化，进而证明两个三角形相似，再利用 相似三角形的对应边成比例解答.常用的辅助线： ①构造直径所对的圆周角；②连接圆心和切点等 类型一相似三角形与圆的有关性质相结合 1.如图，点A,B,C,D都在⊙O上，BD交AC 于点E,BC=CD,CE=1,BC-2,则AE的长 为 () A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线， 0 CD与AB相交于点E.DF∥AB,交CA的延 长线于点F,CF=CD. 第1题图 第2题图 (1)求∠F的度数； 2.如图，AE是△ABC外接圆⊙O的直径，AD (2)若DE·DC=8,求⊙O的半径， 是△ABC的高.若AB=3,AC=4,AD=2, 则⊙O的半径是 类型二相似三角形与圆的切线相结合 3.如图，在Rt△ABC中， D ∠C=90°，AB=5,点O 在AB上，OB=2,以A B OB为半径的⊙O与 AC相切于点D,交BC于点E,则CE的长为 () A司 B含 C② 2 D.1 4.(2024·内江节选)如图，AB是⊙O的直径， C是弧BD的中点，过点C作AD的垂线，垂 足为点E (1)求证：△ACE∽△ABC; (2)求证：CE是⊙O的切线， 助学助教优质高效 447.解：过点A作AG⊥DE于G,交BC于F.BC∥DE,AG⊥DE,.△ABC∽△ADE, AFLRC.小裙品即沿-9g解得AG=5,答：投影机光源到屏磨的距离是5m 8.号59.解：延长AF交DE于点G,:AF⊥BC,BC∥DE,∴AGLDE,△ABC) AADE.:G-DE.BC=10 m.AF=3 m.FG-12 m.AG=AF+FG=3+12-15(m) 六语-品DE=50m则50÷2+1=25（棵.答：DE处共有26棵树。10，解：AB ⊥AF,CD⊥AF,GH⊥AF,∴.AB∥CD∥GH..△EDC∽△EBA,△FHG∽△FBA.. 能华紧由愿意知DC=G1,-器ACAC解得AC 6 、4 106,浴-E∴后-十06邮得AB=5答：大框塔的商度是5m 4 27.3位似 第1课时位似图形 知识储备 1.一点成比例2.放大缩小 基础练 1.D2.D3.解：点O的位置如图所示.4.A5.B6.A7.D8.C 第3题答图 第9题答图 第11题答图 9.解：如图，△AB'C和△A"B"C"即为所求.10.A11.解：(1)位似中心O的位置如图 所示：(2)1：2(3)如图所示，△AB,C即为所求.12.解：(1)AC∥A'C,理由如下： △ABC与△A'B'C'是位似图形，∴△ABC△A'BC'.∠A=∠BA'C..AC∥A'C'. (2)5 13.(1)2点0(2)证明：：EC'∥EC,ED'∥ED,△0CE∞△OCE, △ODE∽△OD'E',.CE:CE'=OE:OE',DE:D'E=OE:OE,∠CEO=∠CE'O. ∠DEO=∠D'E'O,.CE:C'E'=DE:D'E',∠CED=∠CE'D',.△CDE∽△CD'E'. :△CDE是等边三角形，∴△CD'E是等边三角形. 第2课时平面直角坐标系中的位似 知识储备 (kx,ky)或(-kx,一ky) 基础练 1.D2.(1)A(2)(一4，一3)3.24.(1,0)或（一1,0）5.解：如图所示，△OA'B'即 为所求；A'(-6,2),B(-4,-2).6.D7.(2,23)8.89.(1)解：如图所示，△DEF 即为所求.(2)ma(3)nb 3-2 B -2 第5题答图 第9(1)题答图 微专题（六）确定位似中心的坐标 【例】4x442242x+4-2(-2,0) 【变式练习】1.D2.(-1,0) 回归教材专题（二）三角形中内接矩形问题 1.解：设小正方形边长为x,由题意，得SP=ED=x,AE=60-x,SR=2x,SR∥PQ, ∠ADB=90.△ASRn△ABC,∠APS=∠ADB=90,5=即00-箭解 60 得x=24..PQ=SR=2x=48.答：矩形的边PQ的长为48.2.解：设PQ=x.:AD⊥ BC,∴.∠ADB=90°.矩形PQRS,.PQ∥BC..△APQn△ABC,∠AEP=∠ADB= -159 90小活-是即S-斋AE=是，ED=AD-AE=60-子=PS8sm =(60-是)=-是2+60x(0<<80).-是<0，开日向下，5当x=- 60 =40时，矩形PQRS的面积最大，最大值是1200.3.解：由AB=1.5m, 2x(-) S△c=1.5m,可得BC=2m.甲：过点B作BH⊥AC于点H,交DE于点P.:AB=1. 5m,BC=2m,AC=VAB+BC=2.5m.由Se=号AC·BH=号AB·BC,得 BH=AB,BC=1,2m.设甲设计的正方形桌面的边长为xm,:DE∥AC,“R△BDE AC ∽R△BAC小器-器即。=六·解得一器设乙设计的正方形桌面的边长为 ym由DE∥AB,得R△CDR△CBA小器-8器即六=2学之解得y=号0 <x<y,.x<y,即Sr方形甲<S正为形乙..乙木匠的方法符合要求. 重点突破专题（一）相似与圆 1.B2.33.B4.(1)证明：C是BD的中点，.CB=CD..∠EAC=∠BAC.:AB是 ⊙O的直径，.∠ACB=90°.：CE⊥AE,∴.∠AEC=90°=∠ACB..△ACE∽△ABC; (2)证明：连接OC,.OA=OC,.∠OAC=∠OCA.由(1)知：∠EAC=∠BAC,.∠EAC =∠OCA,∴.OC∥AE..∠OCE=180°-∠AEC=90°...OC⊥EC..OC为⊙O的半径， .CE是⊙O的切线.5.解：(1)连接OD,:FD为⊙O的切线，.∠ODF=9o°.DF∥ AB∴∠A0D=180-∠0DF=90.∠ACD=2∠A0D=45::CF=CD..∠F= ∠CDF=67.5°；(2).OA=OD,∠AOD=90°，.∠EAD=45°..∠ACD=45°，.∠ACD -∠EAD∠ADE-∠CDA,△DMEO△DCA.DeD-DE·DC=8 :DA>0,∴.DA=22.,OA2+OD=2OA=DA=8,OA>0..OA=2,即⊙O的半径 为2. 难点突破专题（一）与相似三角形有关的类比探究问题 1解：(AD1BE,AD=BE,理由：需贯-1CE=CD.CB=CA∠ACB ∠DCE=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∠ACD=∠BCE..△ACD≌△BCE(SAS).∴.AD= BE,∠A=∠CBE=45°.∠ABE=90°，∴.AD⊥BE.即AD⊥BE,AD=BE;(2)BE= nAD.AD1LBE.证明如下：∠ACB=∠DCE=90∠ACD=∠BCE:器-票 m△ADC△BEC÷-C-m:∠CBE-∠ABE-mAD.:∠A+∠ABC 90°，∴.∠CBE+∠ABC=90°..∠ABE=90°，即AD⊥BE.2.(1)245解：(2)① (1)中的结论仍成立，理由如下：连接BD,BF,延长DF交AG于H,交AB于M.·正方 形ABCD和正方形BEFG.∠ABC=∠BAD=∠EBG=∠BGF=S0,∠ABD=专 ∠ABC=45∠GBF=)∠GBE=45.∠ABD=∠GBF.∴∠GBA=∠DBF.又：AB -0-号△AGo△DBR.品-品-号∠6AB=∠BDR÷-E.又 ∠AMH=∠BMD,.∠AHD=∠ABD=45°.②45(3)3 难点突破专题（二）相似与函数 1.1)y=一名十4解：(2)存在点P,使得以A,BP为顶点的三角形与△OBC相似，理 由如下当y0时-8C8.0.∴0B-4,0C-88爱-合：△0BC是直角三角 形，.△APB也是直角三角形.当∠APB=90°时，P(0,3).此时BP=1,PA=2,P 合此时△OBC△PBA:当∠PAB=9O时，∠OCB=∠APB÷2-:即AP=2AB =25,.BP=√AB+AP=5,.P(0,-1);综上所述，P点坐标为(0,3)或(0，-1). 2.A3.-154.(1)y=-2x-2y=-4解：(2)：CDLx轴，C(-2,2),D(-2, 0),CD=2.B(一1,0)，.BD=1..A(0,一2)，.OA=2.若以O,A,P为顶点的三角形 —160