比例的性质、成比例线段、平行线分线段成比例、黄金分割专项训练-2025-2026学年 人教版九年级数学下册

比例的性质、成比例线段、平行线分线段成比例、黄金分割专项训练 比例的性质、成比例线段、平行线分线段成比例、黄金分割专项训练 考点目录 比例的性质 成比例线段 平行线分线段成比例 黄金分割 考点一 比例的性质 例1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）若，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ，且， ∴ ，故选项A正确。 对于选项B：由得，即（∵ ），故B错误。 对于选项C：由得，则， ∴ ，故C错误。 对于选项D：由，设，（），则， ∴ ，故D错误。 故选：A． 例2．（25-26九年级上·湖南永州·期中）已知，则直线一定经过（） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，，， 三式相加得：， ∴， 当时，，； 当时，，． 当时，直线经过第一、二、三象限； 当时，直线经过第二、三、四象限． 综上，直线一定经过第二、三象限． 故选：B． 例3．（25-26九年级上·湖南永州·期中）若，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知，则 ． 【答案】 【详解】解：设，则，，， ∴． 故答案为：． 变式1．（25-26九年级上·湖南永州·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ， 又 ∵ ， ∴ ． 故选：A． 变式2．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）若，则的值是（    ） A．7 B． C． D．-2 【答案】A 【详解】解：设，则， 故， 故选：A． 变式3．（25-26九年级上·广东佛山·期中），则的值为 ． 【答案】 【详解】解：因为 ， 所以，，， 代入分式，得：， 注意到分子， 所以． 故答案为：． 变式4．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：设（），则，，． 代入得：． 故答案为：． 考点二 成比例线段 例1．（25-26九年级上·福建泉州·期中）下列各组的四条线段成比例的是（    ） A．1，2，3，4 B．1，2，， C．1，4，5，6 D．2，3，， 【答案】B 【详解】解：A选项：∵，∴不成比例； B选项：∵，相等，∴成比例； C选项：∵，∴不成比例； D选项：∵，∴不成比例； 故选：B． 例2．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故选：D． 例3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知线段是线段a，b的比例中项，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：因为线段 是线段 和 的比例中项， 所以 ， 当 ，时， ， 因此 ． 故答案为：． 变式1．（25-26九年级上·河南周口·月考）现有四条线段，长度按从短到长的顺序分别为．若这四条线段是成比例线段，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：∵有四条线段，长度按从短到长的顺序分别为．且这四条线段是成比例线段， ∴， ∴， 故选：D． 变式2．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）下列四条线段成比例的是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【详解】解：对于每个选项，计算线段长度的乘积： 选项A：由可知：，∴不成比例； 选项B：由可知：，∴不成比例； 选项C：由，可知：，∴成比例； 选项D：由，可知：，∴不成比例； 故选C． 变式3．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）已知是成比例线段，其中，，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵是成比例线段， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 考点三 平行线分线段成比例 例1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，点、分别在边、上，连接，．若，，则的长为（　　） A．16 B．18 C．6 D．12 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 例2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴． 故选：D ． 例3．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么等于 ． 【答案】/ 【详解】解：， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图是某花架及其侧面示意图，已知，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 变式1．（25-26九年级上·陕西铜川·期中）如图，，直线a，b与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 变式2．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，在中，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， 设，则， ， 故选：D． 变式3．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在中，已知，，，那么 ． 【答案】4 【详解】解：， ， ，， ， 解得：． 故答案为：4． 变式4．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，直线，，，那么的值是 ． 【答案】4 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 考点四 黄金分割 例1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则下列两条线段的比等于黄金比的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：假设，则， ∵， ∴根据勾股定理得， 根据画图可得，，， A. ，不是黄金比，不符合题意； B. ，不是黄金比，不符合题意； C. ，不是黄金比，不符合题意； D. ，是黄金比，符合题意； 故选：D． 例2．（25-26九年级上·湖南永州·期中）大自然巧夺天工，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 例3．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）已知是的黄金分割点，，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】或 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，， ∴或， 若，则， 若，则， ∴的长为或． 故答案为：或． 例4．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C和D是线段的两个黄金分割点，则支撑点C到端点A的距离为 （结果保留根号）． 【答案】 【详解】解：由图可得，支撑点是线段的黄金分割点（靠近端点B）， ∴线段是较长部分， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 变式1．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（   ） A．4.6cm B．6.4cm C．7.2cm D．7.4cm 【答案】D 【详解】解：由题知， 与之比为黄金比， ， ， ． 故选：D． 变式2．（25-26九年级上·山东青岛·期中）黄金分割（比值约为）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为（    ）（结果保留到） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴． 故选B． 变式3．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度为 ． 【答案】 【详解】解：∵点P为的黄金分割点． ∴，即：， 整理得：， ， ∴（负值舍去） 即：， ∵， ∴， 故答案为：． 变式4．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段近似于黄金分割．已知，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【详解】解：点C分线段近似于黄金分割点， ， 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $比例的性质、成比例线段、平行线分线段成比例、黄金分割专项训练 比例的性质、成比例线段、平行线分线段成比例、黄金分割专项训练 考点目录 比例的性质 成比例线段 平行线分线段成比例 黄金分割 考点一 比例的性质 例1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）若，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·湖南永州·期中）已知，则直线一定经过（） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 例3．（25-26九年级上·湖南永州·期中）若，则的值是 ． 例4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知，则 ． 变式1．（25-26九年级上·湖南永州·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）若，则的值是（    ） A．7 B． C． D．-2 变式3．（25-26九年级上·广东佛山·期中），则的值为 ． 变式4．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知，则的值为 ． 考点二 成比例线段 例1．（25-26九年级上·福建泉州·期中）下列各组的四条线段成比例的是（    ） A．1，2，3，4 B．1，2，， C．1，4，5，6 D．2，3，， 例2．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 例3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知线段是线段a，b的比例中项，若，，则线段的长为 ． 变式1．（25-26九年级上·河南周口·月考）现有四条线段，长度按从短到长的顺序分别为．若这四条线段是成比例线段，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 变式2．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）下列四条线段成比例的是（    ） A． B． C．， D．， 变式3．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）已知是成比例线段，其中，，，则线段的长为 ． 考点三 平行线分线段成比例 例1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，点、分别在边、上，连接，．若，，则的长为（　　） A．16 B．18 C．6 D．12 例2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 例3．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么等于 ． 例4．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图是某花架及其侧面示意图，已知，，，则的长为 ． 变式1．（25-26九年级上·陕西铜川·期中）如图，，直线a，b与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 变式2．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，在中，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在中，已知，，，那么 ． 变式4．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，直线，，，那么的值是 ． 考点四 黄金分割 例1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则下列两条线段的比等于黄金比的是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·湖南永州·期中）大自然巧夺天工，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）已知是的黄金分割点，，则的长为 （结果保留根号）． 例4．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C和D是线段的两个黄金分割点，则支撑点C到端点A的距离为 （结果保留根号）． 变式1．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（   ） A．4.6cm B．6.4cm C．7.2cm D．7.4cm 变式2．（25-26九年级上·山东青岛·期中）黄金分割（比值约为）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为（    ）（结果保留到） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度为 ． 变式4．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段近似于黄金分割．已知，则的长为 ．（结果保留根号） 2 学科网（北京）股份有限公司 $