精品解析：江苏省常州市田家炳高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷

2023-2024学年江苏省常州市田家炳高级中学高一（上）月考 数学试卷 （12月份） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数且图象所过定点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则 A B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是偶函数（e是自然对数的底数），则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下面关于叙述中正确的是（ ） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 函数是奇函数 10. 下列关于函数的叙述正确的是（ ）． A. 的定义域为，值域为 B. 的图象关于轴对称 C. 当时，有最小值2，但没有最大值 D. 函数有2个零点 11. 要得到的图象，可以将函数y＝sinx的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 B. 向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 C. 横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度 12. 已知满足不等式，对于函数的最大值和最小值描述正确的是（ ） A. 最小值 B. 最大值为2 C. 当时取得最小值 D. 当时取得最大值 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 对于，命题“”为真命题的充要条件是__________. 14. 函数的递增区间是_________． 15. 已知定义在上的偶函数满足：对任意的，都有且，则不等式的解集为__________. 16. 若函数在区间上存在唯一使得，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）当时，求函数的最大值，以及取得最大值时的值． 18. 已知. （1）求的值； （2）若为第二象限角，求的值. 19. 已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为. （1）求函数在上的单调递增区间. （2）求函数在上最大和最小值. 20. 已知，函数. （1）试将表示为关于的函数，并解关于的不等式； （2）若，求函数的值域. 21. 如图，有一块矩形空地ABCD，要在这块空地上开辟一个内接四边形EFGH为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝a（a＞2），BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝x，绿地EFGH面积为y． （1）写出y关于x的函数解析式，并求出它的定义域； （2）当AE为何值时，绿地面积y最大？并求出最大值． 22. 设函数(，且)是定义域为R的奇函数. （1）求的值； （2）若，求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围； （3）若函数的图象过点，是否存在实数，使函数在上的最大值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年江苏省常州市田家炳高级中学高一（上）月考 数学试卷 （12月份） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式求得余弦值. 【详解】由诱导公式知， 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 解方程组,可得答案. 【详解】解方程组，可得，则． 故选：D 3. 函数且的图象所过定点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 令，求出的值，即为图象所过定点的坐标. 【详解】令，得 即 所以的图象所过定点 故选：B. 4. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量比较，运用中间量比较 【详解】则．故选B． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用诱导公式即可求解. 【详解】， 故选：A 6. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件利用完全平方公式以及同角三角函数关系式平方和为1求出的值，再结合，解得即可得出的值. 【详解】， ， ， ， 从而， ，可得， ，则且， ，与联解， 可得， 因此. 故选：B. 7. 若函数是偶函数（e是自然对数的底数），则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，得出，利用对数的运算性质整理成，分析即得. 【详解】依题意，，即， 整理得：，即，则有， 因不恒为0，故必有，解得，. 故选：B. 8. 已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 分析出函数为上的奇函数，且该函数在上为增函数，进而可得出函数为上的增函数，由化简可得出对任意的恒成立，由此可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】对任意的，，所以，函数的定义域为， 由， 可得， 可知函数为奇函数，又由， 当时，函数和单调递增， 任取，则，，可得，即， 所以，函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 由于函数在上连续，则函数在上的增函数， 由，有， 有，可得， 由题意可知，不等式对任意的恒成立， 有，解得． 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下面关于叙述中正确的是（ ） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 函数是奇函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】将代入即可判断AB；根据求出，结合三角函数的图象即可判断C；求出的解析式即可判断D. 【详解】， 对于AB：因为，不为最值， 的图象关于点对称，且不为对称轴，故A正确，B错误； 对于C：当时，，且正弦函数在内单调递增， 在区间上单调递增，C正确； 对于D：又为奇函数，D正确. 故选：ACD. 10. 下列关于函数的叙述正确的是（ ）． A. 的定义域为，值域为 B. 的图象关于轴对称 C. 当时，有最小值2，但没有最大值 D. 函数有2个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】 直接利用函数的图象和性质的应用，函数的单调性，函数的对称性，函数的值域判断、、、的结论． 【详解】解：根据函数的关系式， 画出函数的图象，如图所示： 对于：根据函数的图象，的定义域为，值域为，故错误； 对于：函数的图象关于轴对称，故正确； 对于：如图所示：当，时，有最小值2，但没有最大值，故正确； 对于：令，设，则函数和函数的图象有两个交点，即函数有两个零点，故正确． 故选：． 【点睛】本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，函数的单调性，函数的对称性，函数的值域，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力． 11. 要得到的图象，可以将函数y＝sinx的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 B. 向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 C. 横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度 【答案】AD 【解析】 【分析】 利用三角函数图象平移变换和伸缩变换求解. 【详解】将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到y＝sin(x)， 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin(2x)． 也可以将函数y＝sinx的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin2x， 再把所得各点向右平行移动个单位长度得到y＝sin2(x)＝sin(2x)． 故选：AD． 12. 已知满足不等式，对于函数的最大值和最小值描述正确的是（ ） A. 最小值为 B. 最大值2 C. 当时取得最小值 D. 当时取得最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解法求出的范围，再根据二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】设，则等价于，解得， 而， 设，是开口向上，对称轴为的二次函数， 其中， 而， 所以，故选项A，B均正确； 由，知，所以当时，取得最小值，故选项C错误； 由，知，所以当时，取得最大值，故选项D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 对于，命题“”为真命题的充要条件是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据充要条件的概念，利用余弦函数的奇偶性判断即可. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递减， 若，则. 故答案为：. 14. 函数的递增区间是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 设函数，根据二次函数的性质，得到函数的单调性，再结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解. 【详解】设函数，可得对应的图象开口向上，对称轴的方程为， 所以函数在区间单调递减，在区间单调递增， 又由函数为定义域上的单调递减函数， 根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数在区间单调递增， 即函数的递增区间是. 故答案为：. 15. 已知定义在上的偶函数满足：对任意的，都有且，则不等式的解集为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】先根据 ，可推断在上单调递减，又由于是偶函数，可知在单调递增．分区间判断的取值情况，可得不等式的解集． 【详解】定义在上的偶函数满足对任意的，都有， 所以在上单调递减， 根据偶函数的对称性可得，在上单调递增， 因为，所以， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 当或或时，， 则不等式可得或， 所以或. 故答案为：或. 16. 若函数在区间上存在唯一的使得，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】函数在区间上存在唯一的使得，由求出，利用正弦函数的图形得到，从而得到的取值范围. 【详解】函数在区间上存在唯一的使得， 由于，故， 所以，解得. 故实数的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）当时，求函数的最大值，以及取得最大值时的值． 【答案】（1）；（2）时，取得最大值为1． 【解析】 【分析】（1）结合二次方程与二次不等式的关系及二次不等式的求法即可求解， （2）化简，然后结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）由题意得， 因为方程有两个不等实根，， 又二次函数的图象开口向下， 所以不等式的解集为 （2）， ，， ， 当且仅当，即时取等号． 综上，时，函数的最大值为1． 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解及利用基本不等式求解最值，属于基础试题． 18. 已知. （1）求的值； （2）若为第二象限角，求的值. 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式对式子进行化简，根据同角三角函数关系进行弦切互化，将代入即可得到答案. （2）利用同角三角函数关系及为第二象限角求出，利用诱导公式对所求式子进行化简，将代入即可得到答案. 【小问1详解】 由于，解得. 故. 【小问2详解】 由（1）知， 则，解得或， 又为第二象限角，则，，故， 所以. 19. 已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为. （1）求函数在上的单调递增区间. （2）求函数在上最大和最小值. 【答案】（1）单调递增区间为 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由周期求得，进而由对称轴求得；再通过正弦函数单调区间即可求解； （2）由，得到，即可求解. 【小问1详解】 的图象相邻两个最高点的距离为， 的最小正周期； 又的图象关于直线对称， ， ，又， ， ， 当时，， 令或， 解得或. ∴函数在上的单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，， ， ∴函数在上的最大值为，最小值为. 20. 已知，函数. （1）试将表示为关于的函数，并解关于的不等式； （2）若，求函数的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，代入化简可得，结合对数函数性质解不等式， （2）求函数的定义域，再结合对数函数性质二次函数性质求函数的值域即可. 【小问1详解】 由，知， 所以， 即， 不等式等价于， 所以， 所以，解得或， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 因为， 所以，解得， 所以， 所以， 故函数的值域为. 21. 如图，有一块矩形空地ABCD，要在这块空地上开辟一个内接四边形EFGH为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝a（a＞2），BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝x，绿地EFGH面积为y． （1）写出y关于x的函数解析式，并求出它的定义域； （2）当AE为何值时，绿地面积y最大？并求出最大值． 【答案】（1），其中定义域为 （2）当时，则时绿地面积取最大值； 当时，则时绿地面积取最大值 【解析】 【分析】(1)求得，，利用化简即可求解； (2)通过（1）可知的图象开口向下的抛物线，且对称轴为， 比较对称轴与的大小关系结合函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 由，依题意知：， ，则， 所以， 由题意知：，解得：， 所以，其中定义域为. 【小问2详解】 由（1）知：， 图象为开口向下的抛物线，对称轴为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，即时，则在处函数取最大值； 当时，即时，函数在上单调递增，则在处函数取最大值； 综上所述：当时，则时绿地面积取最大值； 当时，则时绿地面积取最大值. 22. 设函数(，且)是定义域为R的奇函数. （1）求的值； （2）若，求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围； （3）若函数的图象过点，是否存在实数，使函数在上的最大值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，实数. 【解析】 【分析】（1）根据为上奇函数，可得，代入求解得的值，再检验得到的值是否符合题意；（2）先根据，求出的取值范围，，然后利用定义法判断的单调性，再根据对一切恒成立，得到关于的不等式，利用恒成立思路求解；（3）根据函数过点，求出，再令，根据是单调递增函数，得的范围，然后得到，再利用二次函数的最值求解的值. 【详解】（1）是定义域为上的奇函数， ，且，所以， ，经检验知符合题意. （2）由（1）得， ，所以，又， 由，得， 为奇函数，， 为上的增函数， 对一切恒成立，即对一切恒成立， 故，解得. （3）函数的图象过点， ，假设存在实数符合题意， 由，得， 设，则， ，，记， ∴则函数在有最大值为， （i）若对称轴， ，不合题意. （ii）若对称轴， ， 综上所述：故存在实数，使函数在上的最大值为. 【点睛】对于函数中求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题；对于函数中的恒成立问题，转化为，转化为计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $