专题8 运算求解能力讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦运算求解能力核心考点，涵盖定义公式变形应用、建系解决几何问题等考向，按方法储备、典例精讲、拓展提升逻辑架构知识。通过考点梳理明确考查要求，方法指导提炼解题技巧，真题训练强化实战应用，帮助学生系统突破运算难点。 资料特色在于分层设计与创新教法，如用直角三角形特殊值法判断三角形四心培养数学思维，建系解决球与圆锥几何问题发展数学眼光。结合各地模拟题分层练习，确保复习针对性，助力学生高效提升运算求解能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

【二轮复习—运算求解能力】 专题8 运算求解能力 【方法储备】考向一 定义、公理公式及其变形中的运算技巧 1.牢固掌握运算所需要的概念、性质、公式、法则、定理等是进行数学运算的基础，对公式、法则的使用做到会顺用、逆用、变形用. 2.圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质特征，揭示了曲线存在的条件及其包含的几何性质，灵活运用性质，灵活运用圆锥曲线的定义常常会给解题带来极大方便.圆锥曲线中未知直线的巧妙设置，可以避开分类讨论，运算过程中巧妙使用点差法设而不求，面积转化法，化齐次方程等，可以简化复杂的计算. 3.三角函数部分公式的正用、逆用与变形用主要是从公式的结构方面着手考虑问题的，因此必须要熟悉每个三角公式的特点，同时解题时要善于观察所给三角函数式的结构特点与已知公式的结构的差异，在局部上寻求共同点. 【典例精讲】 例1.(2025·北京市·模拟题)已知的内角、、的对边分别为、、，为内一点，若分别 满足下列四个条件： 则点分别为的(    ) A. 外心、内心、垂心、重心 B. 内心、外心、垂心、重心 C. 垂心、内心、重心、外心 D. 内心、垂心、外心、重心 解：考虑直角三角形，可令，，， 可得，，，设， ，即为， 即有，，解得， 即有到，轴的距离为，在角的平分线上，且到的距离也为， 则为的内心； ，设为垂心，三条高分别为，，交于． 则，同理可得， 又知，，由平面向量基本定理，与重合，为垂心； ， 即为， 可得，，解得，， 由，故为的外心； ，可得， 即为，，解得，， 由的中点为，，，即分中线比为：， 故为的重心， 故选D． 例2.(2025·安徽省·联考题)（多选）已知正实数，，满足，，，则下列选项正确的是(    ) A. B. C. D. 解：对于因为，，为正实数，，结合基本不等式可得， 解得，当且仅当时等号成立，当时，代人， 得，此时这个等式不成立，所以，所以，故A错误 对于，，由基本不等式可得 ， 解得当且仅当，即，时等号成立， 当，时代入，可得 ， 再代入，得，无解，所以，所以 ，故 B正确； 对于，由，可得， 构造成余弦定理得， 由，也构造成余弦定理得 ， 由，构造成勾股定理得，令，，， 如图则有，，， 可知，则，  ，则， 而由，可得，所以，故C正确； 则 又由：， 而， 所以有，故D正确． 故选：． 【拓展提升】 练1-1.(2025·河北省·月考试卷)（多选）已知抛物线的焦点为，抛物线上存在个点，，，且满足，则下列结论中正确的是(    ) A. 时， B. 时，的最小值为 C. 时， D. 时，的最小值为 解：由题意可知，，以为坐标原点，分别以轴、轴的正方向为为轴、轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则，抛物线在新坐标系下的方程为， 设，，， 记，， 代入中，得， 即，即， 通过验证，可得抛物线为， 即，， A.当时，，， 所以原式，故选项A错误； B.当时，， ，， 则原式， 令，且， 构造函数，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 且，，，， 所以，所以原式，故选项B正确； C.当时，，， ，， 所以，， 所以原式，故选项C正确； D.原式 ， 等号当且仅当时取得， 根据抛物线的对称性，等号可以取到，故原式的最小值为， 选项D错误． 故选BC． 练1-2.(2025·浙江省杭州市·联考题)已知，函数． 若函数的值域为，求； 当时，求证：； 当时，求证：． 解：设，则可得， 因，关于的方程有实根． 当时，可得，即，方程有解； 当时，由可得， 因函数的值域为，故方程有两根为和， 故，解得； 证明：当，时，由 ，可得； 证明：先证：当时，． 由可得， 故不等式右侧得证； 再证：即需证，， 以为主元可得关于的一次函数，故只需证明时不等式成立即可． 即 对于，需证， 令，因，则， 即，故需证，而此式显然成立； 对于，需证， 即证， 即证，因，故此式显然成立． 综上，不等式得证． 【方法储备】考向二 建系解决几何问题 1.数形结合思想通过“以形助教，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合. 2.运算求解能力是思维能力和运算技能的结合，运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等．运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力. 【典例精讲】 例3.(2025·江苏省连云港市·模拟题)平面向量，，满足，，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 解：因为， 所以， 即，解得． 因为，所以． 设，则， 所以为等边三角形． 以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 设， 则 ， 因为， 所以， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆． ，， 所以 ． 表示圆上的点与点的距离的平方， 因为， 所以点在圆外， 所以 ， 所以 ． 故选B． 【拓展提升】 练2-1.(2025·湖南省·联考题)如图，球的半径为，是球的一条直径，是线段上的动点，过点且与垂直的平面与球的球面交于，是的一个内接正六边形． 若是的中点． (ⅰ)求六棱锥的体积 (ⅱ)求二面角的余弦值 设的中点为，求证：为定值． 解：因为到的距离为，所以的半径为， 所以正六边形的边长为， 所以正六边形的面积为， 且到的距离为， 所以六棱锥的体积为． 以为原点，为轴，的中垂线为轴，为轴建系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量， 则 令，得， 设平面的一个法向量 则． 令，得 所以，． 又二面角的平面角为锐角， 则二面角的余弦值为． 由已知，点在过且与所在平面垂直的一个平面内，记这个平面为． 在平面内，以为坐标原点，以为轴，以中垂线为轴建立平面直角坐标系， 设，则，，因为， 所以，即， 又，的坐标分别为，， 所以．  练2-2. (2025·湖北省襄阳市·月考试卷)如图，已知圆锥的高与母线所成的角为，过的平面与圆锥的高所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为，短轴为，长轴长为，的中心为，再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于， 用，，分别表示， 若，，， (ⅰ)求椭圆的焦距； (ⅱ)椭圆左右焦点分别为，，上不同两点，在长轴同侧，且，设直线，交于点，记，设，请写出的解析式不要求求出定义域． 解：在中，，， 由正弦定理得， 同理，在中，由正弦定理得 在点，，，四点所构成的圆中， 由圆幂定理得， ， ， 又，， 故求椭圆的焦距为 依题意，设， ， ， ， ， ， 以为坐标原点，以向量，方向分别为轴，轴正方向，建立平面直角坐标系，则延长交于点，由对称性知， 设，，则 即， ，， ， ， ， 两边同除以，得， 设，其中， 则有，可得， ． 共10页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $