4.4 一次函数能力提升专项训练 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

北师大版八上第四章一次函数 4.4 一次函数能力提升专项训练 类型一、翻折对称问题 1.（24-25八年级上·四川成都·期末）如图1所示，一次函数图象与x轴相交与点A，与y轴相交于点B，过点B作一次函数的图象与x轴相交与点C，D是线段的中点； (1)求b的值及点D的坐标； (2)如图2，E是线段上一动点，F是E关于原点的对称点，连接，，，当时，求点E的坐标； (3)如图3，E是直线上一动点，连接，，将沿直线翻折，使得B点的对应点落在直线上，求此时点E的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）由得，，由，得，得，得，即得； （2）设,则，连接，可得，，得，根据，得，得，得,得，得，求得，根据，得，得，得，即得； （3）设,则，连接，根据垂直平分，和折叠，可得是等边三角形，得，得，根据，得，得，即得或． 【详解】（1）解：中，时，；时，， ∴，， 代入， 得， ∴， 当时，， ∴， ∴； （2）设，则， 连接， ∵，， ∴，, ∵D是中点， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴，， ∴， ∴, ∵ F是E关于原点的对称点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，∴， ∴； （3）设，则， 连接， ∵垂直平分， ∴， 由折叠知，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴，或， ∴或． 练1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，交轴正半轴于点，且，点在直线上，直线： 经过点交轴于点． (1)求直线、的函数表达式； (2)是直线上一动点，若，求点的坐标； (3)在轴上有一动点，连接，将沿直线翻折后，点的对应点恰好落在直线上，请求出点的坐标． 【答案】(1)：，： (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，得到点的坐标，再利用待定系数法求出的函数表达式，根据点的坐标特征求出点的坐标，代入即可求出的函数表达式； （2）分以下两种情况讨论：当点在线段的延长线上时；当点在线段上时，求出两条直线的方程，联立求解即可； （3）分两种情况，当点在点的左侧时，构造，使，设直线的函数表达式为，求出直线的函数表达式为，再求出；当点在点的右侧时，构造，使，设直线的函数表达式为，求出直线的函数表达式为，再求出． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 设直线的表达式为， 将，代入直线的表达式得： ， 解得：， 直线的表达式为， 点在直线上， ， ， ， 直线： 经过点， ， ， 直线的函数表达式为 ； （2）解：由已知得：，， 如图，分以下两种情况讨论： 当点在线段的延长线上时， ， ， ， ； 当点在线段上时，在轴上取一点，使得，则， ， 点在直线上， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：， ， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：当点在点的左侧时，如图所示： 在直线： 中，令，得， ， ，， ，，， ， 为直角三角形，且， 将沿直线翻折得到， ， 以为直角边作等腰直角，交射线于点，构造，使， 则，， 可得， 设直线的函数表达式为， 将，代入上式， 得， 解得：， 直线的函数表达式为， 令，得， ； 当点在点的右侧时，如图所示： 由知为直角三角形，且， 将沿直线翻折得到， ， 以为直角边作等腰直角，交射线于点，构造，使， 可得， 设直线的函数表达式为， 将，代入上式，得： ， 解得：， 直线的函数表达式为， 令，得， ， 综上所述，点的坐标为或 类型二、角度问题 例2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴，轴分别交于点两点，一次函数与轴，轴分别交于点两点，两直线相交于点，已知． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，过点作平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，连接，． ①点是直线上一动点，设的面积为的面积为，若，求出点的坐标； ②点是直线上一动点，是否存在动点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或②存在，或 【分析】本题考查了一次函数、平面直角坐标系和垂直平分线的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）先求出点，坐标。再根据等量关系求出，坐标，即可求出直线的函数表达式； （2）①先求出点、、的坐标，再求出，根据点在直线的不同位置，分情况讨论的面积，进而求解； ②连接，延长交于点，另外一种情况是点关于点的对称点，找到点的位置是解题的关键，可证得，然后根据三角形外角的性质和对顶角即可求证，点关于点的对称点，也可得，然后求出直线的解析式，根据点、和的对称关系，即可求出点的坐标. 【详解】（1）解：∵一次函数与轴，轴分别交于点两点， ∴把代入，；把代入，； ∴，， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，， 设直线的函数表达式为：， 把，代入， 解得：，， ∴， 故直线的函数表达式为：； （2）①解：把分别代入和，解得：和； ∴，， 把和联立，解得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 第一种情况：点在线段上，， ， 即， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴点和点重合，即； 第二种情况：点在线段延长线上，， ， 即， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴此种情况不存在，即点不可能在线段延长线上； 第三种情况：点在线段延长线上，， ， 即， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， 把代入，， ∴， 综上所述：点坐标为或； ②存在，连接，延长交于点，另外一种情况是点关于点的对称点， 如图： ∵线段平行于轴，，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴点即为所求， ∵是的垂直平分线，，， ∴点和点关于轴对称， ∴， 设直线解析式为， 把，代入，解得：，， ∴， 把代入，解得， ∴， ∵点关于点的对称点， ∴， ∴， ∵点和点关于轴对称，点关于点的对称点， ∴， 把代入，解得， ∴， 综上所述点的坐标为或； 练1．如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过点C的直线（m，n为常数）与x轴交于点B，且． (1)点A坐标为______；直线的函数表达式为______； (2)点P是直线上一动点， ①如图1，当点P在第二象限时，过点P作轴于点D，交直线与点E，当时，点P的坐标为______； ②当时，点P的坐标为______； (3)如图2，在平面内有一点，连接CM交x轴于点N，连接AM，在平面内存在点Q，使得，且，请直接写出点Q的坐标为______． 【答案】(1)； (2)①；②或 (3)或 【分析】（1）把代入求出点A的坐标即可；求出点C，点B坐标，代入解析式可求解； （2）①设点P的横坐标为t，则，，，根据，列出关于t的方程，解方程即可得出结果； ②先求出的面积，由三角形的面积公式可求解即可； （3）先求出，由“”可证，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴点A的坐标为， 把代入得：， ∴点C的坐标为：， ∴，， ∵， ∴， ∴点， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 故答案为：；． （2）解：①设点P的横坐标为t，则，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为； 故答案为：； ②∵点，点，点， ∴，， ∴， ∴， ∵点P是直线上一动点， ∴设点， ∴， ∴， ∴点或； 故答案为：或． （3）解：如图，延长交y轴于H， 设直线的解析式为， 把点，点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵ ∴设直线的解析式为 把点代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点， ∴， ∴， ∴， 如图，当点Q在的上方时，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴点， 当点在的下方时， ∵， ∴点A是的中点， ∴； 综上所述：点Q坐标为或． 故答案为：或． 类型三、胡不归、瓜豆、将军饮马等问题 例3．如图，在平面直角坐标系中，直线l1和直线l2相交于y轴上的点B，分别交x轴于A、C且∠OBC＝30度． （1）求直线l2的解析式； （2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时的最小值． 【答案】（1）；（2）F（1，），PF+OP的最小值为 ； 【分析】（1）求出B（0，），再由OC=BO•tan30°=1，求出C（1，0），再由待定系数法求直线解析式即可； （2）先确定∠ABC=90°，则可知C点关于直线l2的对称点C'在l2上，过点C'作C'K⊥y轴交K点，易证△C'KB≌△COB（AAS），则C'的纵坐标为2，即可求C'（1，2），连接C'E交l1于F，因为EF+CF=EF+C'F≥C'E，所以当C'、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为C'E；当P、F、Q三点共线时，PF+OP的值最小，过F作FG⊥x轴交l3，于点G，易证△FQG为等腰直角三角形，然后求出最小值即可． 【详解】解：（1）令x=0，则y=， ∴B（0，）， ∴OB=， ∵∠OBC=30°， ∴OC=BO•tan30°=×， ∴C（1，0）， 设直线l2的解析式为y=kx+b， 则， ∴， ∴直线l2的解析式为； （2）令y=0，则， ∴x=3， ∴A（3，0）， ∴OA=3， ∴tan∠ABO=， ∴∠ABO=60°， ∴∠ABC=90°， ∴C点关于直线l1的对称点C'在l2上， 如图1，过点C'作C'K⊥y轴交K点， ∵∠KBC'=∠CBO，∠C'KB=∠BOC，BC=BC'， ∴△C'KB≌△COB（AAS）， ∴BK=BO=， ∴C'的纵坐标为2， ∴， ∴x=1， ∴C'（1，2）， 连接C'E交l1于F， ∵EF+CF=EF+C'F≥C'E， ∴当C'、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为C'E， 设直线C'E的解析式为y=kx+b， ∵E（5，0），C'（-1，2）， 则， ∴， ∴， ∴， 解得x=1， ∴F（1，）， 作第二、四象限的角平分线l3，，过点F作FQ⊥l3，，交y轴于点P，交l3，于点Q， 在Rt△PQO中，∠POQ=45°， ∴， ∴PF+OP=PF+PQ≥FQ， 当P、F、Q三点共线时，PF+OP的值最小， 过F作FG⊥x轴交l3，于点G， ∴△FQG为等腰直角三角形， ∴FQ=FG， ∵l3，的解析式为y=x， ∴G（1，1）， ∴FG=1+， ∴FQ=+， ∴PF+OP的最小值为+． 练1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点． （1）求的值； （2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； （3）求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）利用矩形的性质，用表示点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）首先求出四边形的面积，再根据条件求出的面积，即可解决问题； （3）过点作轴交于点，则，即可转化为求的最小值，作点关于一次函数的对称点，过点作轴的垂线交轴于点，交一次函数于点，即的最小值为，算出长度即可． 【详解】（1）解：在中，令，则， 点的坐标为， ，， ， 把代入中得：， 解得：； （2）解：由（1）得一次函数为，，， ，，， ， 的面积与四边形的面积之比为， 的面积与四边形的面积之比为， ， 设点的横坐标为，则， 解得：， 把代入中得：， ； （3）解：如图所示，过点作轴交于点， ， ， ， 作点关于一次函数的对称点，且与直线交于Q点，过点作轴的垂线交轴于点， ， ， 当、、在同一直线时最小， 即的最小值为， ， ，，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 的最小值为． 例4．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图1所示，当线分别与轴，轴交于两点，点为轴上点左侧一动点，以点为直角顶点，的长为一腰在第三象限内作等腰直角，解答下列问题： (1)求的值； (2)当点的坐标不同时，点的坐标也随之不同，请问在点的运动变化过程中所对应的不同的点坐标是否都在某一条直线上？如果在，请求出该直线的函数表达式，如果不在，请说明理由： (3)在直线上有一点，点在轴上，若是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)在， (3) 【分析】（1）把代入，解二元一次方程组即可得出答案； （2）过点作轴于点，设，则，证明，得出，求出，得出不同的点都在直线上； （3）直线的解析式为，求出，设点R的坐标为，得出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：； （2）解：不同的点的坐标在同一直线上； 过点作轴于点，如图所示： 设，则， 为等腰直角三角形，且以点为直角顶点，的长为一腰， ， ， 轴于点， ， ， 又， ， ， ， ， 设则， ，不同的点都在直线上； （3）解：连接，如图所示： 设直线的解析式为， 将代入得： ， ， ， 直线的解析式为， 在直线上， ， 设点R的坐标为， 则， ， ， 当时，， 即， 解得：， 此时； 当时，， 即， 解得：或（舍去）， 此时； 当时，， 即， 解得：， 此时； 综上分析可知：． 例5．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，分别交轴于，两点．若的三个顶点分别在和轴三条直线上，且满足，，则线段的最大值为 ；当点在轴上时，取的中点，点的坐标为，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、轴对称最短路线等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意知是等腰直角三角形，所以，再结合图形很容易发现当点在轴上，会有最大值，此时也最大，利用一线三垂直全等求解即可； （2）看见求线段和，优先考虑“将军饮马模型”，所以需要找点的运动轨迹，由题易得点在的直线上运动，因此作对称点，求解即可． 【详解】解：(1)由题意得是等腰直角三角形， ∴， ∴当有最大值时，则亦有最大值， 如图，当点在轴上，会有最大值， 过作轴于点，过作轴于点， ∵直线，分别交轴于，两点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴； 如图，设点在上，点在上， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∴点在的直线上， 作点关于的对称点，则， ∴， 连接， ∴，当且仅当三点共线时取等， ∵， ∴， 在中，， ∴最小值为； 故答案为：，． 类型四、全等问题 例6．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴交于点A，交x轴于点B，直线与直线交于点E，与y轴交于点C，与x轴交于点D，且，． (1)求直线的解析式； (2)连接，作交直线于点F，在直线上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标并说明理由； (3)若点N是直线上一点，点H是x轴上一点，当以B、N、H为顶点的三角形与全等时，直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点M的坐标为或，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）先求得点A、B坐标，再证明得出，即可得出点C，D坐标，用待定系数法即可得出结论； （2）先证明得到，过F作轴于G，过E作轴于H，则，联立方程组求得点E的坐标为，证明，则，进而得到点F的坐标为；根据已知和等高的三角形面积比等于底边比得到，分当M为线段中点时，和当点M在延长线上时求解即可； （3）先由勾股定理求得，根据题意分当时和当时两种情况，可分别画出图形，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直线交y轴交于点A，交x轴于点B， ∴当时，，当时，由得， ∴，，则，， ∵， ∴，则， ∴，即，又，， ∴， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 则，解得 ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， 过F作轴于G，过E作轴于H，则， 联立方程组得：，解得：， ∴点E的坐标为， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴点F的坐标为； ∵点M在直线上，且， ∴， 当M为线段中点时，满足，此时； 当点M在延长线上时， ∵，， ∴，则点M与点B重合， ∴， 综上，满足条件的点M坐标为或； （3）解：∵， ∴， ∵,点N是直线上一点，点H是x轴上一点， ∴分两种情况： 当时，则，，，如图， ∵ ∴点N的坐标为； 由（1）中得点N与A重合、H与O重合时，也满足条件，此时； 当时，则，，，此时，， 设直线的解析式为， 当H在B的左侧时，如图，则，代入中，得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得， ∴； 当H在B的右侧时，如图，则，代入中，得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得， ∴； 综上，满足条件的N的坐标为或或或． 练1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OB上，将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，直线DC交AB于点E． （1）求点C的坐标； （2）若点P在直线DC上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当△CPQ和△CBE全等时，直接写出点P的坐标 　 　（不包括这两个三角形重合的情况）． 答案】（1）C（0，）；（2）（﹣2，0）或（2，3）或（﹣） 【分析】（1）首先求出A（3，0），B（0，4），得出AB＝5，设OC＝x，则BC＝4﹣x，在Rt△OCD中，由勾股定理得：x2+22＝（4﹣x）2，解方程即可； （2）首先可证∠BEC＝∠COD＝90°，分当点D与P重合，当CQ＝BC＝时，当PC＝BE＝2，，时，再分别根据图形性质求出点P的坐标即可． 【详解】解：（1） ， 令 则 令 则 A（3，0），B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∵∠AOB＝90°， 由勾股定理得，AB＝， ∵将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处， ∴AD＝AB＝5， ∴OD＝2， 设OC＝x，则， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：x2+22＝（4﹣x）2， 解得x＝， ∴C（0，）； （2）设为 解得： 所以直线CD的解析式为， ∵将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处， ∴∠ABO＝∠CDO， ∵∠BCE＝∠DCO， ∴∠BEC＝∠COD＝90°， ①当点D与P重合时，OP＝2，OC＝， CP＝ 而 则△CPQ△CBE，此时重合， ∴P（﹣2，0）； ②当CQ＝BC＝时，则点Q的纵坐标为﹣1时，如图， 当△CPQ△CEB时， 解得： ∴； ③当PQ＝BE＝2，，时，如图， 点P（2，3）， 综上，点P的坐标为（﹣2，0）或（2，3）或． 类型五、创新题型与对称 例7．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l过原点与x轴正方向所夹锐角为．在x轴上有两个动点A，B，坐标平面内一点P，将沿直线l翻折得到，点Q落在x轴上方，连接，，已知点，，为等边三角形． ①当，，时，则 ； ②当，，时，则 ． 【答案】 6 3 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点关于直线对称的问题，考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，含30度直角三角形的性质等知识，通过辅助线构造特殊三角形是解题的关键． ①过点P作轴于点D，过点Q作轴于点E，延长交直线于点C，连接，交直线于点G，过Q作于F，交直线于点H；则可得都是等边三角形，求出，由轴对称图形的性质得，有，求出，由平行线的性质得，建立关于m的方程，解方程即可． ②由题意得P，B，Q三点共线，由的长度，利用直角三角形的知识求出的长度，进而得到关于a的表达式，由建立关于a的方程，即可求解． 【详解】解：①如图，过点P作轴于点D，过点Q作轴于点E，延长交直线于点C，连接，交直线于点G，过Q作于F，交直线于点H； ∵， ∴是等边三角形； ∵轴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 当时，， ∴； ∵， ∴，； 由轴对称图形的性质得， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴； ∵， ∴由勾股定理得：， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：6． ②过点P作轴于D； 由题意知，， ∴直线； 由对称性质知，，则P、B、Q三点共线； 由题意知，，； 在中，， ∴， 同理：； ∴； 由轴对称的性质知：， ∴； ∵， ∴， 解得：； 练1．（24-25八年级上·四川成都·期末）1.在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过一、三象限，直线l与x轴所夹锐角的度数为．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为点Q，若点Q的纵坐标为正数，且是以°的等腰直角三角形，则称点P为M，N的点． （1）如图，若点，，点P为M、N的点，连接，．则点的坐标为 ； （2）已知，，若点为M，N的点，且点的横坐标为，则 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了对称、一次函数点的坐标特征、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意过作轴于点，则根据等腰直角三角形的性质易求，，再根据，直线是一三象限的角平分线，且P和Q关于l对称，即可和是关于直线l的对称，由此得到P点坐标； （2）由可知，进而求出，根据和，利用直角三角形性质求出，，进而求出长即可求出． 【详解】解：（1）过作于点， ∵Q是以的等腰直角三角形， ∴， ∵点，， ∴，， ∴， ∴， 过作轴于点， ∵，则直线是一三象限的角平分线，且点关于直线l的对称点为点， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图，设中点为点，则在直线上，设与交于点，直线与轴交于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴. 即， 故答案为：． 类型六、存在交点求范围 例8．（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知顶点坐标分别为点、，，l1是过点与x轴垂直的直线．若直线上存在点Q，使点Q关于直线l1的对称点在的内部或边上，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化—对称，数形结合是解题的关键． 求得直线经过点关于直线的对称点时的的值，求得直线经过点关于直线的对称点时的的值，结合图形即可求解． 【详解】解：∵点，是过点与x轴垂直的直线， ∴关于直线的对称点为关于直线的对称点为， 如图，当经过点时，则， 解得， 当直线经过点时，则，解得， 故由图形可知，若直线上存在点，使点关于直线的对称点在的内部或边上， 则的取值范围是． 故答案为：． 练1．（24-25八年级上·四川成都·期末）对于线段外一点M，给出如下定义：若点M满足，则称M为线段的垂点．当或时，称M为线段的等垂点．在平面直角坐标系中，已知点，．    （1）如图，时，直线上存在线段的等垂点，则 ； （2）的顶点坐标分别为，，，若边上（包含顶点）存在线段的垂点，则t的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】（1）设点M是直线上存在的线段的等垂点，根据垂点的定义得到于点Q或于点P，则，分在线段上方和下方，两种情况讨论求解即可； （2）根据新定义结合（1）知，边上（包含顶点）的点的直线与线段垂直，当时，则，此时有最小值，此时，，求出直线的解析式为；再求出平行于直线的直线的解析式为，当点过直线时，此时有最大值，即可得出答案． 【详解】解：（1）当时，点， 设点M是直线上存在的线段的等垂点， 由垂点的定义得， 当时，即， 则，即于点Q， 当时，即， 则，即于点P， 如图，当于点P，且直线在线段上方时，   则， 过点M作轴于点G， 由等垂点的定义得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：； 当直线在线段下方时， 则，过点作轴于点H， 同理可得：， ∴，解得：； 当于点Q，且直线在线段上方时，    同理可得：， ∴，解得：； 当于点Q，且直线在线段下方时， 同理可得：， ∴，解得：； 综上，b的值为或； 故答案为：或； （2）∵边上（包含顶点）存在线段的垂点， 同理（1）知，边上（包含顶点）的点的直线与线段垂直， 如图，   当时，则，此时有最小值， ∴，即， ∴， 解得：； 此时，， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴直线的解析式为； 设平行于直线的直线的解析式为， 当此直线过点B时，则，解得， ∴平行于直线的直线的解析式为， ∵， ∴直线， 当点过直线时，此时有最大值， 则， 解得：，此时，两点重合（不符合题意）， ∴t的取值范围是； 故答案为：． 练2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的直线相交于点D．点D的横坐标为4，直线与x轴相交于点E．点是线段上一点（不含端点），连接． (1)求直线的函数表达式； (2)①若面积等于面积的一半，求m的值； ②点是点D关于直线对称点，连接．当点P在线段上运动时，是否存在最大值或最小值？若存在，请直接写出的最值；若不存在，请说明理由； (3)延长至Q，使，连接．若直线与的边有两个交点，求m的取值范围． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)①；②存在最小值，且最小值为；不存在最大值 (3) 【分析】本题是一次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，对称的性质，三角形三边关系等知识，有一定的综合性，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由点D的横坐标及点D在直线上，可求得点D的坐标，由待定系数法即可求得直线的函数表达式； （2）①求出点B的坐标，则可得的长度；由题意得，，由此即可求得m的值； ②连接，则，分别求出的长，则由可求得的最小值，此时在延长线上；对于，由于点P不与点C重合，不存在最大值； （3）由点P在直线上，则有，代入中得，则直线过定点；求出当直线分别过点B与点Q时的m的取值，即可确定m的范围． 【详解】（1）解：∵直线与经过点直线相交于点D，且点D的横坐标为4， ∴， 即； 把C、D两点坐标代入中，得，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：①在中，令，则， 即， ∴； ∵，面积等于面积的一半， ∴， 即， ∴； ②如图，连接，则； ∵， ∴； 对于，令，则， ∴， 由勾股定理得：； ∵， 即， ∴的最小值为，此时在延长线上； ∵，点P与点C重合时，取得最大值，如图， 由题意知，点P与点C不重合， ∴不存在最大值； （3）解：∵点P在直线上， ∴， 把上式代入中，得， 当时，， ∴直线始终过定点； ∵， ∴， 即； 当直线过点B时，则， 解得：； 当直线过点B时，则， 解得：； 当直线过点Q时，则， 解得：或（舍去）； ∴； 但点P在线段上，则， ∴m的范围为． 类型七、等边三角形相关 例9．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，且，满足，是等边三角形，    (1)求点，点的坐标； (2)如图，在的外角平分线上有一点： ①连接，当最小时，的长度为　　　　； ②在轴上有一动点使得不变，当时，求点的横坐标． 【答案】(1)， (2)①3；②点Q的横坐标为5或7． 【分析】（1）由非负数的性质即可求得a，b的值，从而求得A、B的坐标； （2）①当时，最小，利用含30度直角三角形性质即可求解； ②分两种情况：当点P在点B左侧时，过点P作，证明，则得，过Q作轴于E，利用含30度直角三角形性质即可求解；当点P在点B右侧时，同理可得． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 即， 解得：， ∴，； （2）解：∵是等边三角形，是的外角平分线， ∴，，， 由A、B的坐标知，； ①当时，最小， 则， ∴； 故答案为：3； ②当点P在点B左侧时，如图，过点P作交于H；    则， ∴是等边三角形， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴； 过Q作轴于E， ∵平分，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点Q的横坐标为5； 当点P在点B右侧时，如图，过点P作交延长线于H；    则同理可得：是等边三角形，且，； 同理证明， ∴； 过Q作轴于E，则， ∴， ∴， 即点Q的横坐标为7． 综上，点Q的横坐标为5或7． 例10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线过点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式及点的坐标； (2)如图，作直线，点P在直线上，当的面积为面积的倍时，求点的坐标； (3)如图，点为第二象限内的一点，连接，以为边在的左侧作等边，当，时，求线段的长． 【答案】(1)，； (2)或； (3) 【分析】（）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （）取，过点作直线，则的面积为面积的倍，在的上方取，过点作，则此时的面积为 面积的倍，即可求解； （）证明，得到，则，则 ，即可求解． 【详解】（1）解：设的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，则， 则直线的表达式为：， 令，则，即点； （2）解：由点的坐标得，直线的表达式为：， 取，过点作直线， 则的面积为面积的倍，则点， 则直线的表达式为：， 在的上方取，过点作， 则此时的面积为面积的倍，则点， 则直线的表达式为：， 分别将和的表达式和联立得：或， 解得：或， 则点或； （3）解：在上截取，连接，作轴于点，设交于点， ∵，则为等边三角形， ∵为等边三角形，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 则，，， 则， ∵，， ∴， 则，则， 则，则， 则． 类型八、其他题型 1．（23-24八年级上·浙江·期末）在“探索一次函数的系数k，b与图象的关系”活动中，如图所示，老师给出了平面直角坐标系中的三个点：，，．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，，．分别计算，，的值，其中最大的值等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查一次函数和图象和性质，画出三条直线，比较三个函数在时的函数值，可得直线的一次项与常数项的和最大，利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：如图，作直线，，，与直线的交点分别为，，， 则，，的值等于，，的纵坐标， 由图可知，的纵坐标最大，即的值最大， 将，代入，得， 解得， ， 故答案为：5． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图．在平面直角坐标系中．直线与x轴，y轴分别交于，B两点，与直线交于点C，点C的横坐标为1，点为直线上一动点． (1)求直线的函数表达式； (2)若的面积为6．求线段的长； (3)直线与x轴交于点E，当点B到直线距离最大时．求点D到的距离． 【答案】(1) (2)线段的长为或 (3) 【分析】（1）先求出点C坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）分类讨论，当点D在线段上或者线段延长线上，再将面积转化为的面积，利用面积公式求解即可； （3）根据点D坐标可得，再根据解析式可得其过定点，当点B到直线距离最大时，，进而可得的解析式，再利用等面积，，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵点C在直线上，点C的横坐标为1 ∴， 将，代入 得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：设 ∵，， ∴， 当点D在线段上时，的面积为6， ∴的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当点D在线段延长线上时，的面积为6， ∴的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：线段的长为或； （3）解：直线化为， ∴， ∴直线经过定点， 过点B作于点K，连接，如图： ∵， ∴点K与点H重合时，最大，且为，如图： 连接，过点D作交延长线于点T，延长交轴于点F， 对于直线，当， ∴， 设直线， ∴， 解得：， ∴直线， 当， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴也为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴同理可求直线：， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 而，，， ∴， ∴， ∴点D到的距离为． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于点、，直线关于轴对称的直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点，使得四边形是以为“界线”的“等腰四边形”，且？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点在直线上，横坐标为，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，当常数等于多少时，为定值？ 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】（1）先求出点，可得点，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）当点D在y轴上时，根据题意可得垂直平分，从而得到点D与点B关于x轴对称，可求出点D的坐标；当时，过点D作轴于点H，设，则，根据勾股定理求出s的值，即可求出点D的坐标； （3）先求出点M的坐标为，可设直线的解析式为，从而得到点，，继而得到，设（其中A为定值），，即可求解． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，，当时，， ∴点， ∵直线关于轴对称的直线与轴交于点． ∴点， 设直线的解析式为， 把点代入，得： ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：存在， 如图， 当点D在y轴上时， ∵，， ∴垂直平分， ∴点D与点B关于x轴对称， ∴点D的坐标为， 此时均为等腰三角形，符合题意； 当时，过点D作轴于点H，设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解：对于直线， 当时，， ∴点M的坐标为， 可设直线的解析式为， 当时，，当时，， ∴点，， ∴，， ∴， 设（其中A为定值）， ∴， 即， ∴且， 解得：． 课后练习 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，． (1)当点在轴正半轴上，且时， ①求解析式； ②求点坐标； (2)当点在轴上运动时，连接，求的最小值及此时点坐标． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】（1）①根据，，推出，所以；设直线的解析式为，将点的坐标代入即可求出解析式； ②过点作轴的平行线，分别过点、作轴的平行线，交于、．则，所以，，即； （2）由可知，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，所以，的最小值为的长度，此时，即可求出坐标． 【详解】（1）解：①，， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 解析式：； ②过点作轴的平行线，与分别过点、作轴的平行线交于、． 则， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ，， ； （2）解：由可知，在轴负半轴同理可说明） 点在直线上运动，设直线交轴于点M， 作点关于直线的对称点， ，， ． 当、C、在同一直线上时，的最小值为， ∵，，， ∴， ∴， 此时， ． 2．如图，直线l上与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点． （1）点A坐标为（　　）；点B坐标为（　　）；线段的长为________． （2）当的面积是6时，求点P的坐标； （3）在y轴上是否存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，否则，说明理由． 3．（22-23八年级上·四川成都·期中）已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点；    (1)求点E的坐标和k的值； (2)如图2，点M是y轴上一动点，连接，将沿翻折，当A点对应点刚好落在x轴上时，求所在直线解析式； (3)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出P点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)点E的坐标为，k的值是2 (2)所在直线解析式为或 (3)存在，P的坐标为或 【分析】（1）把代入得，即得，把代入得； （2）分两种情况：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，由知，，设，则，在中，有，可解得，用待定系数法即得直线解析式为；②当的对应点在轴正半轴时，由，可知与重合，即，故的解析式为； （3）当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，证明，得，，设，有，从而可得，直线解析式为，解得；当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，同理可得． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ， 把代入得： ， 解得， 点的坐标为，的值是2； （2）解：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，如图：    由（1）知， 直线解析式为， 在中，令得， ，， ， ∴，，， ∴， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 设直线解析式为，把代入得： ， 解得， 直线解析式为； ②当的对应点在轴正半轴时，如图：     ， ， 与重合，即， 此时的解析式为； 综上所述，所在直线解析式为或； （3）解：在直线上存在点，使得，理由如下： 当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图：   ， 是等腰直角三角形， ， ，， ∴， ，， 设， ，， ，，，， ， 解得， ， 由，可得直线解析式为， 解得， ； 当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图：    同理可得， 由，可得解析式为， 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)如图，已知直线与直线相交于点C，点P为直线上一动点，若有，请求出点P的坐标； (3)点T为平面内一动点，连接，将线段绕点T旋转得到线段．若点Q恰好落在直线上，且当取到最小值时，请求出点T的坐标． 【答案】(1) (2)P的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）非负性求出的值，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而求出，分点在下方和上方，两种情况进行求解即可； （3）分T在O上方和T在O下方，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∴； （2）联立，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在直线下方时：， ∴， 当时，， ∴； 当点在直线上方时：， ∴， 当时，， ∴； 综上：或． （3）当T在O上方时，过T作轴于M，过Q作于N，如图： ∵将线段绕点T旋转得到线段， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最小时，最小， 此时， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 过点作，则：， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵将线段绕点T旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 解得， ∴T； 当T在O下方时，同理可得T， ∴T的坐标为或． 5．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与一次函数交于x轴上的同一点A，且一次函数交y轴于点B，一次函数交y轴于点C． (1)求k的值； (2)若点E是x轴上的一个动点，是以为腰的等腰三角形，求点E的坐标； (3)若点P是上的一个动点，若，求点P的坐标． 【答案】(1)的值为 (2)点的坐标为或 (3)的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，关键是根据已知分类讨论求出所有可能的情况． （1）先求点的坐标，再把点的坐标代入求出的值； （2）由已知为腰，分或两种情况讨论求解； （3）分当在直线右侧和当在左侧两种情况讨论分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得, ∴， 把代入得： 解得， ∴的值为； （2）解：设, 在中，令得， ∴, 在中，令得， ∴， ∴，，； 当，为腰时，， 方程无解，这种情况不存在； 当，为腰时，， 解得或， ∴是以为腰的等腰三角形时，点的坐标为或 （3）解：当在直线右侧时，如图： ∵， ∴轴， 在中，令得， 解得， ∴； 当在左侧时，设交轴于，如图： ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 由，得直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 综上所述，的坐标为或． 6．（19-20八年级下·河南南阳·期中）如图，已知直线经过点和．    (1)求直线的解析式； (2)若把横、纵坐标均为整数的点称为格点，则图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有______个； (3)在图中作点关于直线的对称点D，则点D的坐标为_____； (4)若在直线和y轴上分别存在一点M、N使的周长最短，请在图中标出点M、N（不写作法，保留痕迹）． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查了待定系数法，一次函数的性质，等腰三角形的判定与性质，线段最短问题， （1）设直线的解析式为，把和代入得，，进行计算即可得； （2）分别把，，，代入，求出纵坐标，从而得到图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标； （3）根据得为等腰直角三角形，则，根据点C与点D关于对称得，可得为等腰直角三角形，则，，即可得； （4）作C点关于y轴的对称点E，连接交y轴于点M，交于点N，即点M、N为所作，根据两点之间线段最短可判断此时的周长最短 掌握待定系数法，一次函数的性质，等腰三角形的判定与性质，线段最短问题是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把和代入得，， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：图中阴影部分（不包括边界）所含格点为，，，，，，，，，，共个； （3）解：∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点C与点D关于对称， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 故答案为：； （4）解：如图所示，作C点关于y轴的对称点E，连接交y轴于点M，交于点N，即点M、N为所作，    根据两点之间线段最短可判断此时的周长最短． 7．（2023八年级上·全国·专题练习）如图甲所示，已知直线与x轴和y轴分别相交于点A，B，直线与y轴相交于点C，两直线交于点P． (1)求的面积； (2)如图乙所示，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，若点B，C关于直线对称，求点C的坐标； (3)当是以BC为腰的等腰三角形，求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了一次函数的综合，明确一次函数的相关性质并数形结合是解题的关键． （1）分别求出A和B的坐标，根据三角形的面积公式可得答案． （2）将直线和联立，可得P点坐标，进而求出C点坐标． （3）根据勾股定理，用含k的式子表示出的长，分情况讨论进行计算即可． 【详解】（1）解：在直线中， 当时，， 解得； 当时，， ∴， ∴， ∴的面积为：， （2）解：直线中， 当时，， ∴， 把直线代入直线中，得： ， 解得， ∴， ∴， ∴直线为， ∵点B、C关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； （3）解：由（2）知：，， ∴， ， 当是以为腰的等腰三角形时， 若，， 解得：或， ∴或； 若，， 解得：， ∴， 综上所述，直线的解析式为：或或. 8．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，点． (1)如图1，过O作直线于C．求的长； (2)在（1）的条件下，点Q是直线上一动点，连接，将沿着翻折，若点A恰好落在直线上，请求出Q点的坐标； (3)如图2，点E在直线上，且横坐标为2，过点E作直线，使得．过点E作直线轴于点T，点M在射线上（不与点E重合），点N在射线上，若，请问是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值及此时N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)最小值为， 【分析】（1）根据点，点，得到，结合，根据三角形面积不同表示方法，列式计算即可． （2）分点A的对称点落在第一象限和第三象限两种情况，利用折叠的性质，待定系数法求交点的坐标的思想，规范解答即可． （3）过点D作于点D，且使得，连接，利用三角形全等，待定系数法，两点之间线段最短，解方程组，两点间距离公式解答即可． 【详解】（1）解：∵点，点，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：当对称点落在第一象限时，如图所示， 过点Q作于点G， 根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， 设直线的函数表达式， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式． 当时，， 故． 当对称点N落在第三象限时，如图所示， 连接，交x轴于点M， 根据折叠的性质，得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， 设直线的函数表达式， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式． 当时，， 故． （3）解：∵直线的函数表达式， ∴时，， ∴点， ∴， 过点D作于点D，且使得，连接， ∵直线轴于点T， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵直线轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值就是的最小值， ∵， 故当B，F，N三点共线时，取得最小值，且为的长度， 连接交于点P， 故当N与点P重合时，取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； 设直线的函数表达式， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式． 设直线的函数表达式， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式． 根据题意，得， 解得 ∴， 故． 9．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：分别交x轴和y轴于A，B两点，点C的坐标为，连接． (1)直接写出点B的坐标及直线的函数表达式； (2)连接，若的面积为6，求k的值； (3)在第一象限内的直线上取一点D，连接，当是等腰直角三角形时，求点D的坐标． 【答案】(1)，直线的函数表达式为； (2)的值为或2； (3)的坐标为或或． 【分析】（1）在中，令得，故，再用待定系数法可得直线的函数表达式为； （2）设交轴于，求出，根据的面积为6，，，可得，当在右侧时，，可得；当在左侧时，，可得； （3）设，当为直角顶点时，过作轴于，过作轴于，证明，可得，故；当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得；当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，得． 【详解】（1）解：在中，令得， ， 设直线的函数表达式为， 把，代入得：， 解得， 直线的函数表达式为； （2）解：设交轴于，如图：    在中，令得， ， 的面积为6，，， ， ， 当在右侧时，， ， 解得； 当在左侧时，， ， 解得； 的值为或2； （3）解：设， 当B为直角顶点时，过作轴于，过作轴于，如图∶ 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图： 同理可得， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图： 同理可得， ，， ， 解得， ． 综上所述，的坐标为或或． 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版八上第四章一次函数 4.4 一次函数能力提升专项训练 类型一、翻折对称问题 1.（24-25八年级上·四川成都·期末）如图1所示，一次函数图象与x轴相交与点A，与y轴相交于点B，过点B作一次函数的图象与x轴相交与点C，D是线段的中点； (1)求b的值及点D的坐标； (2)如图2，E是线段上一动点，F是E关于原点的对称点，连接，，，当时，求点E的坐标； (3)如图3，E是直线上一动点，连接，，将沿直线翻折，使得B点的对应点落在直线上，求此时点E的坐标． 练1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，交轴正半轴于点，且，点在直线上，直线： 经过点交轴于点． (1)求直线、的函数表达式； (2)是直线上一动点，若，求点的坐标； (3)在轴上有一动点，连接，将沿直线翻折后，点的对应点恰好落在直线上，请求出点的坐标． 类型二、角度问题 例2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴，轴分别交于点两点，一次函数与轴，轴分别交于点两点，两直线相交于点，已知． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，过点作平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，连接，． ①点是直线上一动点，设的面积为的面积为，若，求出点的坐标； ②点是直线上一动点，是否存在动点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 练1．如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过点C的直线（m，n为常数）与x轴交于点B，且． (1)点A坐标为______；直线的函数表达式为______； (2)点P是直线上一动点， ①如图1，当点P在第二象限时，过点P作轴于点D，交直线与点E，当时，点P的坐标为______； ②当时，点P的坐标为______； (3)如图2，在平面内有一点，连接CM交x轴于点N，连接AM，在平面内存在点Q，使得，且，请直接写出点Q的坐标为______． 类型三、胡不归、瓜豆、将军饮马等问题 例3．如图，在平面直角坐标系中，直线l1和直线l2相交于y轴上的点B，分别交x轴于A、C且∠OBC＝30度． （1）求直线l2的解析式； （2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时的最小值． 练1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点． （1）求的值； （2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； （3）求的最小值． 例4．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图1所示，当线分别与轴，轴交于两点，点为轴上点左侧一动点，以点为直角顶点，的长为一腰在第三象限内作等腰直角，解答下列问题： (1)求的值； (2)当点的坐标不同时，点的坐标也随之不同，请问在点的运动变化过程中所对应的不同的点坐标是否都在某一条直线上？如果在，请求出该直线的函数表达式，如果不在，请说明理由： (3)在直线上有一点，点在轴上，若是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 例5．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，分别交轴于，两点．若的三个顶点分别在和轴三条直线上，且满足，，则线段的最大值为 ；当点在轴上时，取的中点，点的坐标为，连接，则的最小值为 ． 类型四、全等问题 例6．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴交于点A，交x轴于点B，直线与直线交于点E，与y轴交于点C，与x轴交于点D，且，． (1)求直线的解析式； (2)连接，作交直线于点F，在直线上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标并说明理由； (3)若点N是直线上一点，点H是x轴上一点，当以B、N、H为顶点的三角形与全等时，直接写出点N的坐标． 练1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OB上，将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，直线DC交AB于点E． （1）求点C的坐标； （2）若点P在直线DC上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当△CPQ和△CBE全等时，直接写出点P的坐标 　 　（不包括这两个三角形重合的情况）． 类型五、创新题型与对称 例7．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l过原点与x轴正方向所夹锐角为．在x轴上有两个动点A，B，坐标平面内一点P，将沿直线l翻折得到，点Q落在x轴上方，连接，，已知点，，为等边三角形． ①当，，时，则 ； ②当，，时，则 ． 练1．（24-25八年级上·四川成都·期末）1.在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过一、三象限，直线l与x轴所夹锐角的度数为．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为点Q，若点Q的纵坐标为正数，且是以°的等腰直角三角形，则称点P为M，N的点． （1）如图，若点，，点P为M、N的点，连接，．则点的坐标为 ； （2）已知，，若点为M，N的点，且点的横坐标为，则 ． 类型六、存在交点求范围 例8．（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知顶点坐标分别为点、，，l1是过点与x轴垂直的直线．若直线上存在点Q，使点Q关于直线l1的对称点在的内部或边上，则b的取值范围是 ． 练1．（24-25八年级上·四川成都·期末）对于线段外一点M，给出如下定义：若点M满足，则称M为线段的垂点．当或时，称M为线段的等垂点．在平面直角坐标系中，已知点，．    （1）如图，时，直线上存在线段的等垂点，则 ； （2）的顶点坐标分别为，，，若边上（包含顶点）存在线段的垂点，则t的取值范围是 ． 练2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的直线相交于点D．点D的横坐标为4，直线与x轴相交于点E．点是线段上一点（不含端点），连接． (1)求直线的函数表达式； (2)①若面积等于面积的一半，求m的值； ②点是点D关于直线对称点，连接．当点P在线段上运动时，是否存在最大值或最小值？若存在，请直接写出的最值；若不存在，请说明理由； (3)延长至Q，使，连接．若直线与的边有两个交点，求m的取值范围． 类型七、等边三角形相关 例9．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，且，满足，是等边三角形，    (1)求点，点的坐标； (2)如图，在的外角平分线上有一点： ①连接，当最小时，的长度为　　　　； ②在轴上有一动点使得不变，当时，求点的横坐标． 例10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线过点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式及点的坐标； (2)如图，作直线，点P在直线上，当的面积为面积的倍时，求点的坐标； (3)如图，点为第二象限内的一点，连接，以为边在的左侧作等边，当，时，求线段的长． 类型八、其他题型 1．（23-24八年级上·浙江·期末）在“探索一次函数的系数k，b与图象的关系”活动中，如图所示，老师给出了平面直角坐标系中的三个点：，，．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，，．分别计算，，的值，其中最大的值等于 ． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图．在平面直角坐标系中．直线与x轴，y轴分别交于，B两点，与直线交于点C，点C的横坐标为1，点为直线上一动点． (1)求直线的函数表达式； (2)若的面积为6．求线段的长； (3)直线与x轴交于点E，当点B到直线距离最大时．求点D到的距离． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于点、，直线关于轴对称的直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点，使得四边形是以为“界线”的“等腰四边形”，且？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点在直线上，横坐标为，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，当常数等于多少时，为定值？ 课后练习 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，． (1)当点在轴正半轴上，且时， ①求解析式； ②求点坐标； (2)当点在轴上运动时，连接，求的最小值及此时点坐标． 2．如图，直线l上与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点． （1）点A坐标为（　　）；点B坐标为（　　）；线段的长为________． （2）当的面积是6时，求点P的坐标； （3）在y轴上是否存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，否则，说明理由． 3．（22-23八年级上·四川成都·期中）已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点；    (1)求点E的坐标和k的值； (2)如图2，点M是y轴上一动点，连接，将沿翻折，当A点对应点刚好落在x轴上时，求所在直线解析式； (3)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出P点坐标，若不存在请说明理由． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)如图，已知直线与直线相交于点C，点P为直线上一动点，若有，请求出点P的坐标； (3)点T为平面内一动点，连接，将线段绕点T旋转得到线段．若点Q恰好落在直线上，且当取到最小值时，请求出点T的坐标． 5．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与一次函数交于x轴上的同一点A，且一次函数交y轴于点B，一次函数交y轴于点C． (1)求k的值； (2)若点E是x轴上的一个动点，是以为腰的等腰三角形，求点E的坐标； (3)若点P是上的一个动点，若，求点P的坐标． 6．（19-20八年级下·河南南阳·期中）如图，已知直线经过点和．    (1)求直线的解析式； (2)若把横、纵坐标均为整数的点称为格点，则图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有______个； (3)在图中作点关于直线的对称点D，则点D的坐标为_____； (4)若在直线和y轴上分别存在一点M、N使的周长最短，请在图中标出点M、N（不写作法，保留痕迹）． 7．（2023八年级上·全国·专题练习）如图甲所示，已知直线与x轴和y轴分别相交于点A，B，直线与y轴相交于点C，两直线交于点P． (1)求的面积； (2)如图乙所示，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，若点B，C关于直线对称，求点C的坐标； (3)当是以BC为腰的等腰三角形，求直线的函数解析式． 8．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，点． (1)如图1，过O作直线于C．求的长； (2)在（1）的条件下，点Q是直线上一动点，连接，将沿着翻折，若点A恰好落在直线上，请求出Q点的坐标； (3)如图2，点E在直线上，且横坐标为2，过点E作直线，使得．过点E作直线轴于点T，点M在射线上（不与点E重合），点N在射线上，若，请问是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值及此时N点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：分别交x轴和y轴于A，B两点，点C的坐标为，连接． (1)直接写出点B的坐标及直线的函数表达式； (2)连接，若的面积为6，求k的值； (3)在第一象限内的直线上取一点D，连接，当是等腰直角三角形时，求点D的坐标． 7 学科网（北京）股份有限公司 $