期末复习05整式的乘法讲义(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学整式乘法复习讲义以“法则-公式-应用”为主线构建知识体系，通过表格化梳理7个核心知识点，涵盖单项式与多项式乘除、平方差及完全平方公式，明确易错点警示与内在逻辑，形成系统知识框架。 讲义亮点在于“典例+跟踪训练”分层设计，如多项式乘多项式结合图形面积计算，渗透模型意识，通过易错点剖析提升运算能力。综合题型覆盖公式应用与实际问题，助力学生分层提升，为教师提供精准复习指导。

期末复习05 整式的乘法讲义 【知识点01】单项式乘单项式 核心法则 1.系数相乘 把两个单项式的系数作为有理数进行乘法运算，注意符号的确定（同号得正，异号得负）。 2.同底数幂相乘 对于底数相同的幂，按照同底数幂的乘法法则计算：am⋅an=am+n（底数不变，指数相加）。 3.单独字母保留 只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式，不能遗漏。 易错点警示 符号错误：忽略负号的运算，如 (−2x)⋅(3x2) 误算为 6x3，正确应为 −6x3。 指数错误：将同底数幂的指数相乘，如 x2⋅x3 误算为 x6，正确应为 x5。 漏乘单独字母：如 2a2⋅3b 误算为 6a2，正确应为 6a2b。 【知识点02】单项式乘多项式 1.法则公式： m(a+b+c)=ma+mb+mc（其中m是单项式，a+b+c是多项式） 2.法则解读： *用单项式m依次乘多项式的每一项（a、b、c）； *把每次相乘得到的积相加； *运算时要注意符号，多项式中每一项的符号要与该项系数一起参与运算。 易错点警示 漏乘常数项：如计算 3x(x2−2) 时，容易漏掉乘常数项 −2，误算为 3x3，正确应为 3x3−6x。 符号处理失误：多项式中的负项要带符号相乘，如 −2x(3x−5) 误算为 −6x2−10x，正确应为 −6x2+10x。 同底数幂指数计算错误：如 x⋅x2 误算为 x2，正确应为 x3。 【知识点03】多项式乘多项式 1.法则推导依据 乘法分配律的连续应用，以 (a+b)(m+n) 为例：(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn 2.法则步骤 逐项相乘：用一个多项式的每一项，依次去乘另一个多项式的每一项； 积相加：把所有单项式乘单项式的结果相加； 合并同类项：将所得的和中同类项合并，化为最简整式。 易错点警示 漏乘项：如(x+1)(x−2)误算为x2−2x+1，漏掉 1×(−2) 这一项，正确应为x2−x−2。 符号错误：多项式中的负项要带符号相乘，如(2x−3)(x−1)误算为2x2−2x+3x−3，正确应为2x2−2x−3x+3=2x2−5x+3。 完全平方公式漏中间项：最常见错误是 (a+b)2=a2+b2，忘记加上2ab。 【知识点04】单项式的除法法则 核心法则 1.系数相除 把两个单项式的系数作为有理数进行除法运算，注意符号的确定（同号得正，异号得负）。 2.同底数幂相除 对于底数相同的幂，按照同底数幂的除法法则计算：am÷an=am−n（a≠0，m、n都是正整数，且m>n）运算本质：底数不变，指数相减。 3.单独字母保留 只在被除式中出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式；只在除式中出现的字母，则不能出现在商中。  易错点警示 符号错误：忽略系数的符号运算，如 −16x4÷4x2误算为4x2，正确应为−4x2。 指数错误：将同底数幂的指数相除，如 a5÷a2 误算为 a5÷2=a2.5，正确应为 =a3。 漏写单独字母：如 15x2y÷3x 误算为 5x，正确应为 5xy（y 是被除式的单独字母）。 忽略限制条件：同底数幂除法中，底数 a 不能为 0，否则无意义。 【知识点05】多项式除以单项式的法则 核心法则 1.法则公式 (a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m（其中m是单项式且m≠0，a+b+c是多项式） 2.法则解读 *用多项式的每一项分别除以单项式； *把所得的商相加； *运算时要注意符号，多项式中每一项的符号要与该项一起参与除法运算。 易错点警示 漏除常数项：如 (4x2+2x)÷2x 误算为2x，漏掉 2x÷2x=1，正确结果应为2x+1。 符号处理失误：多项式中的负项相除时，注意符号变化，如 (−6x2+3x)÷3x误算为−2x−1，正确应为−2x+1。 单项式除法法则混淆：计算单项除时，易出现指数错误，如x3÷x误算为x3，正确应为x2。 忽略限制条件：除数单项式不能为 0，否则除法运算无意义。 【知识点06】平方差公式 公式表达式 1. 代数形式 (a+b)(a−b)=a2−b2 2. 文字语言 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 二、 公式特征（判断能否用公式的关键） 1.结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数。 相同项：公式中的 a 相反项：公式中的 b 和 −b 2.结果特征：结果等于相同项的平方减去相反项的平方，没有中间项。 易错点警示 混淆项的符号：如 (x−2)(−x−2)，相同项是 −2，相反项是 x 和 −x，正确结果是 (−2)2−x2=4−x2，避免误算为 x2−4。 漏平方系数：如 (2x+1)(2x−1) 误算为 2x2−1，正确应为 (2x)2−12=4x2−1。 非公式结构误用：如 (x+2)(x+3) 不满足 “一项相同、一项相反”，不能用平方差公式，需按多项式乘多项式法则计算。 【知识点07】完全平方公式 一、 公式表达式 公式类型 代数形式 文字语言 和的完全平方 (a+b)2=a2+2ab+b2 两个数和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数积的 2 倍 差的完全平方 (a−b)2=a2−2ab+b2 两个数差的平方，等于这两个数的平方和，减去这两个数积的 2 倍 二、 公式特征（判断与应用的关键） 结构特征：两个因式完全相同，是二项式的平方形式（区别于平方差公式的 “和 × 差”）。 结果特征：展开后是三项式，首尾两项是平方项且符号为正，中间项是交叉项的 2 倍，符号由原式的 “和” 或 “差” 决定。 口诀记忆：首平方，尾平方，首尾乘积的 2 倍放中央，符号看前方。 易错点警示 漏写中间项：最常见错误，如 (a+b)2 误算为 a2+b2，忘记加 2ab；(a−b)2 误算为 a2−b2，混淆完全平方与平方差公式。 系数漏平方：如 (2x+3)2 误算为 2x2+12x+9，正确应为 (2x)2+12x+9=4x2+12x+9。 符号处理错误：如 (−a−b)2 误算为 a2−2ab+b2，正确应为 [−(a+b)]2=(a+b)2=a2+2ab+b2。 题型1.单项式乘单项式 【典例】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 计算两个单项式的乘积，需将系数相乘，同底数幂相乘指数相加． 【详解】解：， 故选：C． 【跟踪训练1】下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，正确的计算是解题的关键．根据单项式乘以单项式，同底数幂的乘法逐项计算即可求解． 【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；     B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意；     D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D 【跟踪训练2】定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【详解】解：由题意得，； 故答案为 ． 题型2.单项式乘多项式的计算与求值 【典例】已知．则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了单项式乘多项式，已知代数式的值求式子的值．将所求表达式展开并化简得，利用已知条件进行代入计算。 【详解】解：∵， 则 ， 故答案为：1 【跟踪训练1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据单项式乘多项式进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪训练2】现规定一种新的运算，，其中为实数，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算，读懂规定运算的运算方法并列出代数式是解题的关键．根据规定运算的运算方法，运算符号前后两数的积加上前面的数，再减去后面的数，再减去1，列出算式，然后根据单项式乘多项式的法则去掉括号，再加减计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：A． 题型3.多项式乘多项式 【典例】下列计算结果为是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式相乘的运算法则． 根据多项式相乘的运算法则逐项进行验证即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 【跟踪训练1】已知多项式除以的商为，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据题意得，根据多项式乘以多项式将其展开，与原多项式比较系数，即可求解． 【详解】解：依题意， ， ∴， 解得：，， ∴， 故选：C． 【跟踪训练2】若一个三角形的底边为，底边上的高为，则面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式和多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．根据三角形面积公式列式，再按照多项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵一个三角形的底边为，底边上的高为， ∴该三角形的面积为 ． 故答案为：． 题型4.多项式乘多项式-化简求值 【典例】已知，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘以多项式并求值，根据多项式乘以多项式的法则，将表达式展开后，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解： ∵，， ∴ 故选D． 【跟踪训练1】若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得到，将等式左侧展开，比较系数可得关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：是由整式与另一个整式相乘得到的， ， ， ， 解得：，， 故选：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【跟踪训练2】若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的表达式，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：6． 题型5.多项式乘多项式与图形面积 【典例】在下面四个整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘法与图形面积．根据题意列式表示出该阴影部分的面积． 【详解】解：图中阴影部分面积为：或， 故选：A． 【跟踪训练1】图中的四边形均为长方形，根据图形面积写出一个正确的等式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式表示面积，用不同的方法表示图形的面积是解题的关键． 大长方形的长为，宽为，因此面积为，图中四个小长方形的面积和为，据此即可解答． 【详解】解：由图形面积的不同计算方法可得． 故答案为：． 【跟踪训练2】如果用张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片，张长、宽分别为的长方形纸片，拼成一个长为，宽为的大长方形，则 ， ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法的应用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．根据拼接前后纸片的总面积相等进行求解即可． 【详解】解：依题意， ∴，， 故答案为：，，． 题型6.多项式乘积缺某一项时求字母的值 【典例】若的展开式中不含项，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算是解题的关键．展开乘积后，合并同类项，令项的系数为零，解出a的值． 【详解】解：∵ ， 又∵展开式中不含项， ∴， ∴． 故选：B． 【跟踪训练1】计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的乘法． 先计算，再根据结果不含项计算即可． 【详解】 ， ∵的结果不含项， ∴， 即． 故选：D． 【跟踪训练2】若关于的代数式化简后不含项，则 ． 【答案】 【分析】该题考查了多项式乘法中的无关项问题，将代数式展开并合并同类项后，令项的系数为零，即可求出的值． 【详解】解：， 由于化简后不含项，故项的系数为0，即：， 解得：． 故答案为：． 题型7.同底数幂的除法运算 【典例】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，包括单项式的乘法、合并同类项、积的乘方和同底数幂的除法；根据运算法则逐一判断． 【详解】解：选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：，符合题意； 故选D． 【跟踪训练1】若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，准确的计算是解决本题的关键． 利用同底数幂的除法法则，将指数相减转化为幂的除法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 【跟踪训练2】．已知，则 ． 【答案】1 【分析】根据同底数幂的除法法则解答即可． 【详解】∵5x-3y-1=0， ∴35x÷33y÷3=35x-3y-1=30=1； 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 题型8.零指数幂 【典例】当 时，． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂的定义． 根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂等于1，因此当底数不为零时，成立． 【详解】解：由零指数幂法则，（），可知，解得， 即时，恒成立． 故答案为：． 【跟踪训练1】如果，那么满足条件的所有整数的值为 ． 【答案】1，或2 【分析】本题主要考查了0指数幂的性质，全面分类是解题的关键； 根据任何非0数的0次幂等于1；1的任何次幂都是1；的偶数次幂等于1这三种情况分类求解即可． 【详解】解：当且时，解得，符合题意； 当时，解得，符合题意； 当且为偶数时，解得，符合题意； 综上，满足条件的所有整数的值为1，或2； 故答案为：1，或2． 【跟踪训练2】若，则的取值有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了含参数的零指数幂的知识点，掌握其知识点时解题关键； 根据指数为零或底数为，分类讨论即可求解. 【详解】解：当时，即，原式； 当 时，即，原式； 当时，即，原式； 的取值有3个； 故选：C. 题型9.多项式除以单项式 【典例】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的除法，直接计算多项式除以单项式即可． 【详解】解：． 故选：A． 【跟踪训练1】若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率，已知p，a，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的变形与求解．解题的关键是根据给定的毛利率公式，将其看作关于b的方程，通过移项、合并同类项等步骤解出b的表达式． 已知毛利率公式，将其视为关于b的方程，先去分母得到，再通过移项把含b的项合并，最后将b的系数化为1，即可得到用p和a表示b的代数式． 【详解】解：已知毛利率， 去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得b． 两边同时除以，得 故选：A． 【跟踪训练2】若一个多项式与单项式的乘积为，则这个多项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式，掌握知识点是解题的关键． 将已知乘积除以单项式，即可得到所求多项式． 【详解】解：由题意，得 故答案为：． 题型10.运用平方差公式进行计算 【典例】下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的特点：，是解题的关键． 根据平方差公式，判断是否具有使用公式的条件，即看乘积中是否能写成的形式，是否可以整理或转化成这种形式，注意这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． 【详解】解：A、，x相同，a与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算； B、，两项都互为相反数，无相同项，不符合公式，故不能用平方差公式进行计算； C、，中x相同，b与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算； D、，m相同，b与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算． 故选：B． 【跟踪训练1】若，且，则的值为（    ） A． B．8 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式的应用和代数式的求值，关键是通过条件确定的符号． 由平方差公式可得，结合和的条件，即可求出的值，再代入求解． 【详解】， ． ，即， ． ， ， ． 故选：A． 【跟踪训练2】已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，把已知转化为，再利用平方差公式计算即可得到答案，掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型11.平方差公式与几何图形 【典例】若长方形玻璃的长为，对应的宽为，则此玻璃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的应用． 根据平方差公式计算即可． 【详解】解：若长方形玻璃的长为，对应的宽为， 则此玻璃的面积为， 故选：A． 【跟踪训练1】如图，在长方形中，正好放置了两个正方形和，若正方形的面积等于14，的面积为5，则正方形的边长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】A 【分析】本题考查长方形与正方形的边长关系及三角形面积公式，解题关键是利用平方差公式结合面积列方程求解． 设边长，定底高，用面积公式结合平方差求边长即可． 【详解】解：设正方形的边长为（），正方形的边长为， 则长方形的长为，宽为， 则，底边，高为， ， ， ． ， ． 或（舍）． 正方形的边长为2． 故选：A． 【跟踪训练2】如图，正方形与正方形的面积差是5，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式在几何图形中的应用，解题的关键是用含、的代数式表示出阴影部分的面积．设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为5，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故阴影部分的面积为2.5． 故答案为：． 题型12.运用完全平方公式进行计算 【典例】填空： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可知，对比等式左边，可知空白处应填4． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪训练1】一个圆柱的底面直径是，高为．如果它的高不变，底面直径增加了，那么它的体积增加了 （用含c的代数式表示，结果保留）． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式、圆柱体的体积公式以及完全平方公式的应用， 根据圆柱体体积公式，先计算原始体积和新体积，再求体积增加量． 【详解】解： 原始体积， 新体积， 体积增加量 ． 故答案为：． 【跟踪训练2】若，，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，有理数的大小比较，利用完全平方公式将变形后进行判断即可．将原式进行正确地变形是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选：C． 题型13.完全平方公式在几何图形中的应用 【典例】如图，两个正方形边长分别为，．已知，阴影部分的面积为14，则值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式与图形的问题，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故选C． 【跟踪训练1】以下图形的面积能说明的关于、的完全平方公式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，数形结合是解题的关键．根据灰色的左下方的正方形面积为，也可以表示为，即可求解． 【详解】解：灰色的左下方的正方形面积为，也可以表示为， ， 故答案为：． 【跟踪训练2】有两类正方形，其边长分别为．现将放在的内部得图1，将并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为2和10，则正方形的面积之和为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用和整体代入的数学思想，根据图形得出数量关系是解题的关键．根据图1的阴影部分面积求出的值，根据图2阴影部分的面积求出的值，再根据完全平方公式求出的值即可得到答案． 【详解】解：由图1得：，即， 由图2得：，整理得， ∴， ∴． 即正方形A、B的面积之和为12． 故答案为：12． 题型14.完全平方公式中字母系数求解 【典例】若是完全平方式，则的值是（    ） A． B．6 C． D．18 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的定义，将表达式与标准形式比较系数求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴可设为， 比较系数，得：， ∴。 又， ， 得或， 解得． 故选：A． 【跟踪训练1】整式为某完全平方式展开后的结果，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解决问题的关键． 根据完全平方公式，对于形如的二次式，若其为完全平方式，则常数项等于一次项系数一半的平方即可得到答案． 【详解】解：由题意，整式为某完全平方式展开后的结果，则根据完全平方公式，可得， ， 故答案为：． 【跟踪训练2】若关于a的多项式（k和n表示常数）可以写成另一多项式的平方，则这组常数k和n的值可能是 ． 【答案】，或， 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由于多项式可以写成另一多项式的平方，因此它必须是一个完全平方式，根据完全平方公式的结构特征，分两种情况求解即可． 【详解】解：由题意可知，多项式是完全平方式， 若和是平方项，则， ， ，； 若和是平方项，则， ， ，， ，； 故答案为：，或，． 1.．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式的运算．熟练掌握单项式除以单项式的运算是解题的关键． 根据单项式除以单项式的运算法则，系数相除，同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【详解】． 故答案为． 3．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则的逆用． 逆用同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可． 【详解】解：， ∴该器件一秒可以擦写次， 故答案为：． 5．一个长方体的长、宽、高分别是和，则它的体积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．根据长方体的体积等于长宽高，进而计算单项式乘以多项式即可求解． 【详解】解：依题意，长方体的体积为 ． 故项：D． 6．若的展开式中不含项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则展开式子，进而由展开式中不含项，得到项的系数为，据此解答即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故选：． 7．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，熟练掌握这一公式变形是解题的关键．利用完全平方公式的变形，将转化为，代入已知条件计算． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：11． 8．若，则的值为（    ） A．8 B．5 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式，掌握乘法法则是关键； 通过展开左边多项式，与右边对比系数，得出m的值． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴， 比较系数，得：， ∴． 9．一个大矩形按如图方式分割成6个小矩形，且只有标号为①，⑥的两个小矩形为正方形，若②的面积为10，则的面积当 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，三角形的面积，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 设①，⑥两个正方形的边长为，，则③的长和宽为与，③的长和宽为与，根据图形的面积公式列代数式即可得到结论． 【详解】解：设①，⑥两个正方形的边长为，，则③的长和宽为与，③的长和宽为与， 设②的另外一条边长为， ②的面积为10， ， 的面积， 故答案为：． 10．如图是某一工件横截面的形状，由图中所标数据可知，该工件横截面的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式及整式混合运算，数形结合表示出工件横截面的面积代数式是解决问题的关键． 可将题图补全，变成一个大长方形，则题图中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去两个小长方形的面积，再由整式混合运算法则化简即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 该工件横截面的面积为 ， 故答案为：． 11．观察下列各式： ； ； ； … 根据以上规律计算：=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘法规律探究，找出规律是解题的关键．观察等式得出，利用归纳总结的规律求解即可． 【详解】解：由原题中的等式可得：， 当时，． 故选：D． 12．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）利用单项式除以单项式、同底数幂的乘法、积的乘方运算法则即可求解； （2）首先计算括号内的多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，然后合并同类项，然后计算多项式除以单项式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，乘方，除法法则，是解题的关键： （1）逆用同底数幂的乘法和乘方法则进行计算即可； （2）逆用同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． 14．（1）运用乘法公式简便计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）1；（2），6 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是灵活运用完全平方公式和平方差公式． （1）先将原式变形为，再利用平方差公式计算即可； （2）先将所求式子利用完全平方公式和平方差公式展开，再去括号合并同类项，最后将数值代入计算． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时， 原式． 15．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：），解答下列问题： (1)写出用含x、y的代数式表示厨房的面积是_____；卧室的面积是_____； (2)写出用含x、y的代数式表示这套房的总面积是多少平方米？ (3)当时，求小王这套房的总面积是多少平方米？ (4)若在（3）中，小王到某商店挑选了的地砖来镶客厅和卧室，他应买多少块才够用？（结果保留整数） 【答案】(1)； (2) (3)388平方米 (4)488块 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，正确理解题意表示出对应图形的面积是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式求解即可； （2）表示出卫生间和客厅的面积，再结合（1）所求可求出房屋总面积； （3）根据（2）所求代值计算即可； （4）表示出卫生间和客厅的面积，进而求出卫生间和客厅的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，厨房的面积为，卧室的面积为； （2）解： ， ∴这套房的总面积是， （3）解：当时，， ∴小王这套房的总面积是388平方米； （4）解： ， 当时，， ∴客厅和卧室的总面积为312平方米， ∵， ∴他应买488块才够用． 16．如图所示的是人民公园的一块长为米，宽为米的长方形空地．工作人员计划在空地上建造一个网红打卡观景台，如图中阴影部分所示． (1)根据图中标注的数据，请用含m、n的代数式表示观景台的面积（结果化为最简）； (2)已知修建观景台每平方米的费用为100元．若，，求修建观景台的费用为多少元？ 【答案】(1)观景台的面积为平方米 (2)修建观景台的费用为32600元 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的应用，代数式求值： （1）用最大的长方形面积减去三块空白部分的面积即可得到答案； （2）根据（1）所求结合，求出观景台的面积，进而求出费用即可． 【详解】（1）解：观景台的面积． 答：观景台的面积为平方米． （2）解：当，时， 修建观景台的费用为：（元）． 答：修建观景台的费用为32600元． 17．如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：    (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积（即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积）． 方法1：________； 方法2：________； (2)从中你得到等式：________； (3)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，灵活将公式进行变形是解题的关键． （1）方法1采用两个正方形的面积和，方法2用大正方形的面积减去两个长方形的面积； （2）利用面积相等得出结论； （3）①由（2）的结论，代入计算即可； ②设，，则，，，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：方法1，阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，即， 方法2，从边长为的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即， 故答案为：，； （2）解：∵（1）中的两种方法都表示阴影部分面积， ∴， 故答案为：； （3）解：①∵， ∴， 又∵， ∴； ②设，，则，， ∴， ∴． 18．你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法． (1)填空： _____________； _____________； _____________． (2)猜想：_____________． (3)请你利用上面的结论计算：． 【答案】(1)；；， (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据多项式乘以多项式计算即可； （2）归纳总结得到规律，写出结果即可； （3）原式乘以，变形后，即可利用得出的规律计算得到结果． 【详解】（1）解：； ； ； （2）； （3）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习05 整式的乘法讲义 【知识点01】单项式乘单项式 核心法则 1.系数相乘 把两个单项式的系数作为有理数进行乘法运算，注意符号的确定（同号得正，异号得负）。 2.同底数幂相乘 对于底数相同的幂，按照同底数幂的乘法法则计算：am⋅an=am+n（底数不变，指数相加）。 3.单独字母保留 只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式，不能遗漏。 易错点警示 符号错误：忽略负号的运算，如 (−2x)⋅(3x2) 误算为 6x3，正确应为 −6x3。 指数错误：将同底数幂的指数相乘，如 x2⋅x3 误算为 x6，正确应为 x5。 漏乘单独字母：如 2a2⋅3b 误算为 6a2，正确应为 6a2b。 【知识点02】单项式乘多项式 1.法则公式： m(a+b+c)=ma+mb+mc（其中m是单项式，a+b+c是多项式） 2.法则解读： *用单项式m依次乘多项式的每一项（a、b、c）； *把每次相乘得到的积相加； *运算时要注意符号，多项式中每一项的符号要与该项系数一起参与运算。 易错点警示 漏乘常数项：如计算 3x(x2−2) 时，容易漏掉乘常数项 −2，误算为 3x3，正确应为 3x3−6x。 符号处理失误：多项式中的负项要带符号相乘，如 −2x(3x−5) 误算为 −6x2−10x，正确应为 −6x2+10x。 同底数幂指数计算错误：如 x⋅x2 误算为 x2，正确应为 x3。 【知识点03】多项式乘多项式 1.法则推导依据 乘法分配律的连续应用，以 (a+b)(m+n) 为例：(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn 2.法则步骤 逐项相乘：用一个多项式的每一项，依次去乘另一个多项式的每一项； 积相加：把所有单项式乘单项式的结果相加； 合并同类项：将所得的和中同类项合并，化为最简整式。 易错点警示 漏乘项：如(x+1)(x−2)误算为x2−2x+1，漏掉 1×(−2) 这一项，正确应为x2−x−2。 符号错误：多项式中的负项要带符号相乘，如(2x−3)(x−1)误算为2x2−2x+3x−3，正确应为2x2−2x−3x+3=2x2−5x+3。 完全平方公式漏中间项：最常见错误是 (a+b)2=a2+b2，忘记加上2ab。 【知识点04】单项式的除法法则 核心法则 1.系数相除 把两个单项式的系数作为有理数进行除法运算，注意符号的确定（同号得正，异号得负）。 2.同底数幂相除 对于底数相同的幂，按照同底数幂的除法法则计算：am÷an=am−n（a≠0，m、n都是正整数，且m>n）运算本质：底数不变，指数相减。 3.单独字母保留 只在被除式中出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式；只在除式中出现的字母，则不能出现在商中。  易错点警示 符号错误：忽略系数的符号运算，如 −16x4÷4x2误算为4x2，正确应为−4x2。 指数错误：将同底数幂的指数相除，如 a5÷a2 误算为 a5÷2=a2.5，正确应为 =a3。 漏写单独字母：如 15x2y÷3x 误算为 5x，正确应为 5xy（y 是被除式的单独字母）。 忽略限制条件：同底数幂除法中，底数 a 不能为 0，否则无意义。 【知识点05】多项式除以单项式的法则 核心法则 1.法则公式 (a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m（其中m是单项式且m≠0，a+b+c是多项式） 2.法则解读 *用多项式的每一项分别除以单项式； *把所得的商相加； *运算时要注意符号，多项式中每一项的符号要与该项一起参与除法运算。 易错点警示 漏除常数项：如 (4x2+2x)÷2x 误算为2x，漏掉 2x÷2x=1，正确结果应为2x+1。 符号处理失误：多项式中的负项相除时，注意符号变化，如 (−6x2+3x)÷3x误算为−2x−1，正确应为−2x+1。 单项式除法法则混淆：计算单项除时，易出现指数错误，如x3÷x误算为x3，正确应为x2。 忽略限制条件：除数单项式不能为 0，否则除法运算无意义。 【知识点06】平方差公式 公式表达式 1. 代数形式 (a+b)(a−b)=a2−b2 2. 文字语言 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 二、 公式特征（判断能否用公式的关键） 1.结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数。 相同项：公式中的 a 相反项：公式中的 b 和 −b 2.结果特征：结果等于相同项的平方减去相反项的平方，没有中间项。 易错点警示 混淆项的符号：如 (x−2)(−x−2)，相同项是 −2，相反项是 x 和 −x，正确结果是 (−2)2−x2=4−x2，避免误算为 x2−4。 漏平方系数：如 (2x+1)(2x−1) 误算为 2x2−1，正确应为 (2x)2−12=4x2−1。 非公式结构误用：如 (x+2)(x+3) 不满足 “一项相同、一项相反”，不能用平方差公式，需按多项式乘多项式法则计算。 【知识点07】完全平方公式 一、 公式表达式 公式类型 代数形式 文字语言 和的完全平方 (a+b)2=a2+2ab+b2 两个数和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数积的 2 倍 差的完全平方 (a−b)2=a2−2ab+b2 两个数差的平方，等于这两个数的平方和，减去这两个数积的 2 倍 二、 公式特征（判断与应用的关键） 结构特征：两个因式完全相同，是二项式的平方形式（区别于平方差公式的 “和 × 差”）。 结果特征：展开后是三项式，首尾两项是平方项且符号为正，中间项是交叉项的 2 倍，符号由原式的 “和” 或 “差” 决定。 口诀记忆：首平方，尾平方，首尾乘积的 2 倍放中央，符号看前方。 易错点警示 漏写中间项：最常见错误，如 (a+b)2 误算为 a2+b2，忘记加 2ab；(a−b)2 误算为 a2−b2，混淆完全平方与平方差公式。 系数漏平方：如 (2x+3)2 误算为 2x2+12x+9，正确应为 (2x)2+12x+9=4x2+12x+9。 符号处理错误：如 (−a−b)2 误算为 a2−2ab+b2，正确应为 [−(a+b)]2=(a+b)2=a2+2ab+b2。 题型1.单项式乘单项式 【典例】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】定义新运算：，则的运算结果是 ． 题型2.单项式乘多项式的计算与求值 【典例】已知．则的值为 ． 【跟踪训练1】计算： ． 【跟踪训练2】现规定一种新的运算，，其中为实数，那么等于（    ） A． B． C． D． 题型3.多项式乘多项式 【典例】下列计算结果为是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】已知多项式除以的商为，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】若一个三角形的底边为，底边上的高为，则面积为 ． 题型4.多项式乘多项式-化简求值 【典例】已知，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 【跟踪训练1】若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 题型5.多项式乘多项式与图形面积 【典例】在下面四个整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】图中的四边形均为长方形，根据图形面积写出一个正确的等式： ． 【跟踪训练2】如果用张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片，张长、宽分别为的长方形纸片，拼成一个长为，宽为的大长方形，则 ， ， ． 题型6.多项式乘积缺某一项时求字母的值 【典例】若的展开式中不含项，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【跟踪训练1】计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 【跟踪训练2】若关于的代数式化简后不含项，则 ． 题型7.同底数幂的除法运算 【典例】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】若，，则 ． 【跟踪训练2】．已知，则 ． 题型8.零指数幂 【典例】当 时，． 【跟踪训练1】如果，那么满足条件的所有整数的值为 ． 【跟踪训练2】若，则的取值有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型9.多项式除以单项式 【典例】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率，已知p，a，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】若一个多项式与单项式的乘积为，则这个多项式为 ． 题型10.运用平方差公式进行计算 【典例】下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】若，且，则的值为（    ） A． B．8 C． D．4 【跟踪训练2】已知，那么 ． 题型11.平方差公式与几何图形 【典例】若长方形玻璃的长为，对应的宽为，则此玻璃的面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，在长方形中，正好放置了两个正方形和，若正方形的面积等于14，的面积为5，则正方形的边长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【跟踪训练2】如图，正方形与正方形的面积差是5，则阴影部分的面积是 ． 题型12.运用完全平方公式进行计算 【典例】填空： ． 【跟踪训练1】一个圆柱的底面直径是，高为．如果它的高不变，底面直径增加了，那么它的体积增加了 （用含c的代数式表示，结果保留）． 【跟踪训练2】若，，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 题型13.完全平方公式在几何图形中的应用 【典例】如图，两个正方形边长分别为，．已知，阴影部分的面积为14，则值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【跟踪训练1】以下图形的面积能说明的关于、的完全平方公式为 ． 【跟踪训练2】有两类正方形，其边长分别为．现将放在的内部得图1，将并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为2和10，则正方形的面积之和为 ． 题型14.完全平方公式中字母系数求解 【典例】若是完全平方式，则的值是（    ） A． B．6 C． D．18 【跟踪训练1】整式为某完全平方式展开后的结果，则的值为 ． 【跟踪训练2】若关于a的多项式（k和n表示常数）可以写成另一多项式的平方，则这组常数k和n的值可能是 ． 1.．若，则 ． 2．计算： ． 3．已知，，则 ． 4．据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 5．一个长方体的长、宽、高分别是和，则它的体积等于（   ） A． B． C． D． 6．若的展开式中不含项，则（　　） A． B． C． D． 7．已知，，则的值为 ． 8．若，则的值为（    ） A．8 B．5 C．2 D． 9．一个大矩形按如图方式分割成6个小矩形，且只有标号为①，⑥的两个小矩形为正方形，若②的面积为10，则的面积当 ． 10．如图是某一工件横截面的形状，由图中所标数据可知，该工件横截面的面积为 ． 11．观察下列各式： ； ； ； … 根据以上规律计算：=（   ） A． B． C． D． 12．计算： (1) (2) 13．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 14．（1）运用乘法公式简便计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 15．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：），解答下列问题： (1)写出用含x、y的代数式表示厨房的面积是_____；卧室的面积是_____； (2)写出用含x、y的代数式表示这套房的总面积是多少平方米？ (3)当时，求小王这套房的总面积是多少平方米？ (4)若在（3）中，小王到某商店挑选了的地砖来镶客厅和卧室，他应买多少块才够用？（结果保留整数） 16．如图所示的是人民公园的一块长为米，宽为米的长方形空地．工作人员计划在空地上建造一个网红打卡观景台，如图中阴影部分所示． (1)根据图中标注的数据，请用含m、n的代数式表示观景台的面积（结果化为最简）； (2)已知修建观景台每平方米的费用为100元．若，，求修建观景台的费用为多少元？ 17．如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：    (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积（即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积）． 方法1：________； 方法2：________； (2)从中你得到等式：________； (3)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 18．你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法． (1)填空： _____________； _____________； _____________． (2)猜想：_____________． (3)请你利用上面的结论计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $