重难点11 勾股定理解决三类旋转折叠问题 【精英班课程】2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册同步培优讲义

本讲义聚焦勾股定理解决旋转折叠问题，系统梳理三角形翻折（顶点角平分线、斜边中点、任意两点模型）、矩形翻折（对角线、顶点、边上两点模型）及三角形旋转（顶点、边上点旋转）核心知识点，构建从基础模型到综合应用的递进学习支架。 资料通过分类模型帮助学生用数学眼光观察图形变换中的不变量，例题与跟踪训练层层递进，培养推理意识与运算能力（数学思维），以“条件-结论”形式强化模型意识（数学语言），课中辅助分层教学，课后通过足量训练助学生查漏补缺，提升应用能力。

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点11 勾股定理解决三类旋转折叠问题 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 知识点一、三角形翻折的三种模型 1、三角形翻折之折痕为一个顶点角平分线翻折模型 （1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； （2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； （3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 2、三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 （1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； （2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. （3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 3、三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 （1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. （2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 知识点二、矩形翻折的三种模型 1、矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 2、矩形翻折之折痕过一个顶点模型：沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 3、矩形翻折之折痕过边上任意两点模型：沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 题型一、三角形的翻折 【例1】如图，三角形纸片中，，在上取一点，以为折痕进行翻折，使的一部分与重合，与延长线上的点重合，若，，则，的长度为_____    【例2】如图，在中，，，为边上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，连接．如果，那么的长为 ． 【例3】如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合．      (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【例4】如图，在中，，点在线段上，联结．将沿着翻折，点的对应点是点，如果平分，且，那么点到直线的距离是 　　 （结果用含的代数式表示） 【跟踪训练】 1. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿折叠，使它落在斜边上，则等于_______    2.如图，已知直角三角形，，，．将沿着折叠，使得点落在边上的处，则的长为 ． 3.已知：三角形纸片中，，，，是边上一点．将三角形纸片折叠，使点B与点重合，折痕与、分别相交于E、F． (1)设，，试建立y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (2)当是直角三角形时，求出x的值． 4.如图，在中，，，，已知D是上一动点，将点A沿翻折，若A落到形内（不包括边），则的取值范围为 ． 5.如图，中，，，，M，N分别是边AC，AB上的两个动点，将沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在BC边的中点处，则线段BN的长为（    ） A． B． C． D． 6.如图，纸片的两直角边长分别为3和4，，折叠，使B、C两点重合，折痕为，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 7.如图，四边形中，沿着折叠，则点恰好落在的点上处，若，，则______ 8.如图，在中，，，，点在边上，联结，将沿着翻折，点的对应点为点，联结，如果，那么的长等于______ 9.如图，在中，，，，点是的中点，如果将沿翻折后，点的对应点为点，那么的长等于 　 　． 10.如图，在中，，，，点在边上，将沿直线翻折后，点落在点处．如果，那么线段的长为 　 　． 题型二、四边形的翻折 【例5】如图，将长方形沿对角线对折，使点落在点处，交于，，，则重叠部分（即）的面积为（    ） A．24 B．30 C．40 D．80 【例6】如图，已知长方形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，分别交于点，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的长． 【例7】如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【例8】如图，一张长方形纸片，，．先对折长方形纸片使与重合，得到折痕，再将沿折叠，当点恰好落在折痕上时，则的长为 ． 【例9】如图，长方形中，，，点在边上，将沿着翻折后，点落在线段上的点处，那么的长度是 　　． 【跟踪训练】 1.如图，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，若，，求的周长． 2.已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（   ） A．54 B．90 C．108 D．216 3.如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 4.动手操作：在矩形纸片中，，．如图所示，折叠纸片，使点落在边上的处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动．若限定点、分别在、边上移动，则点在边上可移动的最大距离为　　． 题型三、三角形的旋转 【名师点拨】三角形旋转有两种类型：绕三角形顶点旋转和三角形边上的点旋转 【例10】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，如图所示. 如果将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，其中点A、B的对应点分别为点D、E，联结BD，那么BD的长等于 . 【例11】如图，中，已知，点在边上，，把绕着点顺时针旋转度后，如果点恰好落在初始中边所在直线上，那么　　 ． 【跟踪训练】 1.如图，在中，，，，将绕着点旋转得到△，点与对应，点与对应，联结，则　 　． 2.已知两块相同的三角板如图所示摆放，点、、在同一直线上，，，，将绕点顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一条边与平行，那么此时的面积是 ． 3.如图，△中，，将△绕着点顺时针旋转到△的位置，此时，点正好落在边上，那么　 　度． 5.在中，，，，如图所示．如果将绕着点顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为点、，联结，那么的长等于　 　． 6.如图，在中，已知，，，点在边上，，线段绕点顺时针旋转度后，点旋转至点，如果点恰好落在的边上，那么的面积等于　 　． 7.如图，在中，，，将绕顶点顺时针旋转，得到△，点、分别与点、对应，边分别交边、于点、，如果点是边的中点，那么　 　． 8.如图，在中，，，，点在边上，且，现将绕着点旋转得到△，点、、分别与点、、对应，连接，如果点在线段的延长线上，那么　 　． 题型四、综合提升 【例12】如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，重合部分是，，点是对角线上一点，于点，于点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求的值； (3)若．求的面积． 【例13】已知在直角三角形中，，D为斜边中点，C为边上一点． (1)　　　． (2)如图1，连结交于点E．当时： ①求证：； ②求的面积． (3)如图2，连结，将沿着折叠得到．当与的一边平行时，求的长度． 1. 已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是_____ 2.如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，则的长为 ． 3.如图，在中，，，点D在边上．将沿折叠，使点C落在点处，连接，则的最小值为 ． 4.如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为 ． 5.如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，将沿折叠，得到，当与的直角边垂直时，的长是 ． 6.如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为_____ 7.如图，在中，，，，点F在AC上，并且，点E为上的动点（点E不与点C重合），将沿直线翻折，使点C落在点P处，的长为，则边的长为______    8.如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为_____ 9.如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是______ 10. 如图，在中，，D、E分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边的中点上，则的长是______ _ 11. 如图，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，沿对角线BD对折，点C落在点的位置，交AD于点G．△BDG的面积=______ 12.如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为_______ 13.如图将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，则 ． 14.如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，则的长为 ． 15.已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积=_______    16.如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 17.如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 18.如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为 ． 19.如图，在矩形中，，，E是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是（    ）    A．2 B．4 C． D． 20.如图，矩形中，，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为 ．    21.有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ． 22.如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的长； (3)点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 23.在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点11 勾股定理解决三类旋转折叠问题 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 知识点一、三角形翻折的三种模型 1、三角形翻折之折痕为一个顶点角平分线翻折模型 （1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； （2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； （3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 2、三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 （1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； （2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. （3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 3、三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 （1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. （2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 知识点二、矩形翻折的三种模型 1、矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 2、矩形翻折之折痕过一个顶点模型：沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 3、矩形翻折之折痕过边上任意两点模型：沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 题型一、三角形的翻折 【例1】如图，三角形纸片中，，在上取一点，以为折痕进行翻折，使的一部分与重合，与延长线上的点重合，若，，则，的长度为（　　）    A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，先由含角的直角三角形的性质结合勾股定理得出，再由折叠的性质可得，，再由含角的直角三角形的性质结合勾股定理得出，进行计算即可得到答案，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ， 由折叠知，，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【例2】如图，在中，，，为边上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，连接．如果，那么的长为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，作出图形，进而根据折叠的性质以及已知条件得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，得出是解题的关 【例3】如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合．      (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，勾股定理； （1）根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据折叠的性质可得进而即可求解； （2）根据折叠的性质可得，设，则，在中根据勾股定理，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， 由翻折可得， ， （2）解：由翻折可得，设，则，    在中， 解得， ． 【例4】如图，在中，，点在线段上，联结．将沿着翻折，点的对应点是点，如果平分，且，那么点到直线的距离是 　　 （结果用含的代数式表示） 【分析】由折叠的性质可得，，可求，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，过点作于， 将沿着翻折， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，点到直线的距离，掌握折叠的性质是解题的关键． 【跟踪训练】 1.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿折叠，使它落在斜边上，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出，根据折叠的性质可得，，，最后利用勾股定理解即可． 【详解】解： 中，，， ， 将直角边沿折叠，使它落在斜边上， ， ， 设，则， 由折叠的性质，可得，， 在中，， ， 解得， 等于． 故选D． 【点睛】本题考查勾股定理与折叠的性质，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，对应角相等． 2.如图，已知直角三角形，，，．将沿着折叠，使得点落在边上的处，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用勾股定理求出，再根据折叠可得，，，即得，，设，则，最后在中利用勾股定理列出方程即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 故答案为：． 3.已知：三角形纸片中，，，，是边上一点．将三角形纸片折叠，使点B与点重合，折痕与、分别相交于E、F． (1)设，，试建立y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (2)当是直角三角形时，求出x的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据折叠的性质得，在中利用勾股定理得，整理后即可得到y关于x的函数关系式； （2）根据含30度的直角三角形三边的关系得，由折叠的性质得到，然后讨论：①当时，则，易得，则，即，把y代入得到关于x的方程，解方程求出满足条件的x的值；②当时，则，即有，即，解方程即可． 【详解】（1）解：∵三角形纸片折叠，使点B与点重合， ∴， ∴，， 在中，，即， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ①当时，则， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得， ∵， ∴； ②当时，则， ∴即，解得， 所以或时，是直角三角形． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理． 4.如图，在中，，，，已知D是上一动点，将点A沿翻折，若A落到形内（不包括边），则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：当点落在上时，此时最短，如图2，则， ， ，，， ， ， ， ， ， 当点落在上时，此时最长，如图3，则， 作于点，于点，则，， ， ， ， ， ， ， ， 的取值范围为， 故答案为：． 5.如图，中，，，，M，N分别是边AC，AB上的两个动点，将沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在BC边的中点处，则线段BN的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据折叠得出，然后在中，根据勾股定理得出关于x的方程，然后解方程即可． 【详解】解：设， ∵折叠，， ∴， ∵D为的中点，， ∴， 在中，，，，， ∴， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股定理是解题的关键． 6.如图，纸片的两直角边长分别为3和4，，折叠，使B、C两点重合，折痕为，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的折叠问题，先判断两直角边的长度，由折叠得出，设，利用勾股定理解即可． 【详解】解：中，， 为斜边，， 由折叠知， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得， 即的长为， 故选B． 7.如图，四边形中，沿着折叠，则点恰好落在的点上处，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作于，如图所示，由折叠性质及等腰三角形性质求出，再由等腰直角三角形的判定与性质得到，在中，由勾股定理求出，数形结合，根据，代值求解即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 将沿着折叠，点恰好落在的点上处， 由折叠性质得到，， ， ， ， 由等腰三角形三线合一可得是的角平分线、是线段的中垂线， ，， ， ， 在中，，则，即是等腰直角三角形， ， 在中，，，则由勾股定理可得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查求线段长，涉及折叠性质、等腰三角形性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠性质及等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 8.如图，在中，，，，点在边上，联结，将沿着翻折，点的对应点为点，联结，如果，那么的长等于 　　 【分析】由，，，根据勾股定理求得，由翻折得，由，得，，可证明四边形是正方形，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：，，， ， 由翻折得， ， ，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、平行线的性质、正方形的判定与性质等知识，求得是解题的关键． 9.如图，在中，，，，点是的中点，如果将沿翻折后，点的对应点为点，那么的长等于 　 　． 【分析】由勾股定理的逆定理可求，由折叠的性质可得，，可得是的中垂线，由勾股定理可求解． 【解答】解：如图，延长交于点， ，，， ， ， 点是的中点， ， 将沿翻折后， ，， 是的中垂线， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识，由勾股定理列出方程可求解． 10.如图，在中，，，，点在边上，将沿直线翻折后，点落在点处．如果，那么线段的长为 　 　． 【分析】根据翻折变换的性质可得，，，连接，可得是等腰直角三角形，然后求出，从而得到，再根据等腰三角形两底角相等求出，然后求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再求出，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，然后利用勾股定理列式求出，然后根据计算得到，即为的长． 【解答】解：连接，如图： 沿直线翻折后点落在点处， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 又，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，主要利用了翻折前后的图形能够完全重合，根据角的度数求出是等腰直角三角形是解题的关键． 题型二、四边形的翻折 【例5】如图，将长方形沿对角线对折，使点落在点处，交于，，，则重叠部分（即）的面积为（    ） A．24 B．30 C．40 D．80 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理与折叠问题，平行线的性质，等角对等边性质，由折叠结合矩形的性质先证明，设，则，再利用勾股定理求解，从而可得的面积．掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：长方形，，， 由对折可得： 设，则， ∵ ∴ ． 故选：C． 【例6】如图，已知长方形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，分别交于点，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由长方形的性质和折叠性质得，利用可证； （2）由全等三角形的性质得到，由即可得到，又由折叠的性质可得，，即可得到结论； （3）由长方形的性质得到：，，由折叠性质可得， 设，表示出、、，在中，由勾股定理列方程，解方程，进一步即可得得到答案． 【详解】（1）解：由长方形性质可得，由折叠性质可得， ∴， 在与中，， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴，    即， 由折叠的性质可得，    ∴； （3）由长方形的性质得到：，， 由折叠性质可得， ∵， ∴， 设， 则，，， 在中，，即， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、长方形的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【例7】如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【例8】如图，一张长方形纸片，，．先对折长方形纸片使与重合，得到折痕，再将沿折叠，当点恰好落在折痕上时，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定及其性质，折叠性质，勾股定理的应用，根据对折长方形纸片使与重合，得到折痕，求得，根据将沿折叠，当点恰好落在折痕EF上，得到，，在和中，应用勾股定理即可求解． 【详解】解：在长方形中，，，， ∵对折长方形纸片使与重合，得到折痕， ∴，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将沿折叠，当点恰好落在折痕上， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， 故答案为：． 【例9】如图，长方形中，，，点在边上，将沿着翻折后，点落在线段上的点处，那么的长度是 　　． 【分析】由翻折易得，则，，再由得，根据证出；则，，在中，由勾股定理可得，则． 【解答】解：由矩形，得，，，． 由沿线段翻折，点恰好落在线段上的点处，得， ，，， ，， ， 由得， ． ， 在中， 由勾股定理可得 ， 则， ． 故答案为：1． 【点评】本题考查了三角形的全等和勾股定理的应用，一定要熟练掌握全等三角形的判定方法和勾股定理的内容． 【跟踪训练】 1.如图，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，若，，求的周长． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理解决问题．根据勾股定理求出的长；进而求出的长度；由题意得；得到，即可解决问题． 【详解】解：四边形为长方形， ，，； 折叠长方形的一边，使点落在边的点处， ， 由勾股定理得：， ， ； ， ， 的周长为：． 2.已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（   ） A．54 B．90 C．108 D．216 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键； 设，利用勾股定理建立方程，解方程求出，利用三角形面积计算公式即可解答． 【详解】解：根据折叠的性质得 ， 设， ， ， 在，， 由勾股定理， ， 解得：， ， ， ． 故选：A． 3.如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】设，则，根据长方形，，得到，根据勾股定理，得，解得，解答即可． 本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵长方形，，点与的中点重合， ∴，， 根据折叠的性质，得 ∴， 解得， 故选B． 4.动手操作：在矩形纸片中，，．如图所示，折叠纸片，使点落在边上的处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动．若限定点、分别在、边上移动，则点在边上可移动的最大距离为　　． 【分析】本题关键在于找到两个极端，即取最大或最小值时，点或的位置．经实验不难发现，分别求出点与重合时，取最大值3和当点与重合时，的最小值1．所以可求点在边上移动的最大距离为2． 【解答】解：当点与重合时，取最大值是3， 当点与重合时（如图），由勾股定理得，此时取最小值为1． 则点在边上移动的最大距离为． 故答案为：2 【点评】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误． 题型三、三角形的旋转 【名师点拨】三角形旋转有两种类型：绕三角形顶点旋转和三角形边上的点旋转 【例10】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，如图所示. 如果将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，其中点A、B的对应点分别为点D、E，联结BD，那么BD的长等于 . 【答案】； 【分析】过D作DH⊥BC交BC延长线于H，根据旋转的性质，可得CD=AC，并可求出∠DCH=30°，再在Rt△CDH中求出CH、DH，则可得BH，利用勾股定理即可求得BD． 【详解】解：如图，过D作DH⊥BC交BC延长线于H， 依题可知∠BCE=60°，∠ACB=90°=∠DCE， ∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=30°， ∵∠ACH=∠ACB=90°=∠DCE， ∴∠ACD＝∠DCE-∠ACE=60°， ∴∠DCH＝∠ACH-∠ACD=30°， ∵根据旋转的性质，CD=AC=， ∴在Rt△DCH中，DH=CD=， 则CH=DH=6， ∴BH=BC+CH=3+6=9， ∴BD=＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识，充分利用勾股定理是解答本题的关键． 【例11】如图，中，已知，点在边上，，把绕着点顺时针旋转度后，如果点恰好落在初始中边所在直线上，那么　　 ． 【分析】分两种情况，由旋转的性质及直角三角形的性质可得出答案． 【解答】解：当点落在线段上时，如图， 绕着点顺时针旋转度， ， ， ， ， ， ， ， 即； 当点落在线段的延长线上时，如图， 同理可得， ， 即． 故答案为：120或240． 【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，分类讨论思想，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． 【跟踪训练】 1.如图，在中，，，，将绕着点旋转得到△，点与对应，点与对应，联结，则　 　． 【分析】由勾股定理求出，分两种情况，由旋转的性质及直角三角形的性质可得出答案． 【解答】解：，，， ， ， ， ， 将绕着点逆时针旋转得到△，如图， ， ； 将绕着点顺时针旋转得到△，如图，过点作，交的延长线于点， ，， ， ， ，， ， ， 综上所述，的长为1或． 【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 2.已知两块相同的三角板如图所示摆放，点、、在同一直线上，，，，将绕点顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一条边与平行，那么此时的面积是 ． 【答案】或 【分析】先求解，，，，再分两种情况讨论；如图，当时，过作于，则，当时，过作于，则，再求解中上的高即可得到答案． 【详解】解：∵，，，且两个三角形一样， ∴，，，， 如图，当时，过作于，则， ∴，， ∴， 当时，过作于，则， ∴，，， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用旋转的性质解题是关键． 3.如图，△中，，将△绕着点顺时针旋转到△的位置，此时，点正好落在边上，那么　 　度． 【分析】先根据旋转的性质得出△△，则，，再由等边对等角得出，然后根据平角的定义即可求得的度数． 【解答】解：将△绕着点顺时针旋转到△的位置， △△， ，， ， ． 故答案为：80． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平角的定义，解题的关键是掌握旋转的性质：旋转前、后的图形全等． 4.如图，都是等腰直角三角形，，，．将绕点B逆时针方向旋转后得，当点恰好落在线段上时，则 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接，过作于， 、都是等腰直角三角形，，，，， ，， 将绕点逆时针方向旋转后得， ，，， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 5.在中，，，，如图所示．如果将绕着点顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为点、，联结，那么的长等于　 　． 【分析】过点作，交的延长线于，由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可求，，由勾股定理可求解． 【解答】解：如图，过点作，交的延长线于， 将绕着点顺时针旋转得到， ，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 6.如图，在中，已知，，，点在边上，，线段绕点顺时针旋转度后，点旋转至点，如果点恰好落在的边上，那么的面积等于　 　． 【分析】根据勾股定理可求，的长，即可求，，分点落在上，或上两种情况讨论，根据勾股定理和等边三角形的性质以及三角形面积公式可求的面积． 【解答】解：，， ， 在中，， ， ， ， 点在边上，， ，， 如图，当点在上时，过点作于点， 旋转 ，且， 是等边三角形 ，且，， ， ， 如图，当点在上时， 旋转 在中，， ， 综上所述：的面积为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 7.如图，在中，，，将绕顶点顺时针旋转，得到△，点、分别与点、对应，边分别交边、于点、，如果点是边的中点，那么　 　． 【分析】过点作于点，设，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出，的长，根据旋转的性质得到，，，根据直角三角形斜边中线的性质得到，进而得到△是等边三角形，，得到，根据三角形的外角的性质得到，根据等腰三角形的三线合一的性质和勾股定理计算出的长，进而得到的长，计算比值即可． 【解答】解：如图，过点作于点， 设， 在中，， ， ， 将绕顶点顺时针旋转，得到△， ，，， 在△中，点是边的中点， ， △是等边三角形，， ， ， ， ， 是等腰三角形，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形斜边中线定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 8.如图，在中，，，，点在边上，且，现将绕着点旋转得到△，点、、分别与点、、对应，连接，如果点在线段的延长线上，那么　 　． 【分析】由勾股定理可求，，由旋转的性质可得，，由勾股定理可求解． 【解答】解：如图，，，， ， ， ， ， 将绕着点旋转得到△， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 题型四、综合提升 【例12】如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，重合部分是，，点是对角线上一点，于点，于点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求的值； (3)若．求的面积． 【答案】(1)证明详见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质得到，即可证明出是等腰三角形； （2）连接，根据代数求解即可； （3）设，则，，在中根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处， 又长方形， ， ， 是等腰三角形 （2）如图所示，连接，    ， （3）设，则， 在中，由勾股定理可知： ， ， ． 【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定定理． 【例13】已知在直角三角形中，，D为斜边中点，C为边上一点． (1)　　　． (2)如图1，连结交于点E．当时： ①求证：； ②求的面积． (3)如图2，连结，将沿着折叠得到．当与的一边平行时，求的长度． 【答案】(1)5 (2)①见解析；② (3)的长度为5或 【分析】（1）由勾股定理求出斜边的长，由直角三角形斜边上中线的性质即可求解； （2）①由斜边中线的性质得；由得，即，则，从而，结论即证明； ②设，则，利用勾股定理建立方程求得x的值，再求得，由三角形面积公式即可求解； （3）分两种情况：当时；当时；利用折叠的性质、勾股定理即可完成． 【详解】（1）解：∵在直角三角形中，， ∴； ∵D为斜边中点， ∴ 故答案为：5． （2）①证明：∵D为斜边中点， ∴， ∴； ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 即； ②解：由（1）知，； 设，则； 由①知，， 由勾股定理得：，， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）解：当时，如图， 则， 由折叠知，， ∴， ∴； 当时，连接，如图， 则； ∵， ∴， 由勾股定理得：； 由折叠知，，， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即； 由于点D在上，不可能与平行； 综上，的长度为5或． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，注意分类讨论． 1. 已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是_____ 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理得到，再由折叠的性质得到，设，则，由勾股定理可得，解方程可得，再利用勾股定理即可求出答案． 解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得，，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 2.如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理等知识；由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，，得出，，设，则，在中，由勾股定理得出方程，可求长，进而求得的长． 【详解】解：由折叠可知：，，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ，， 故答案为：． 3.如图，在中，，，点D在边上．将沿折叠，使点C落在点处，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键． 由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为：． 4.如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为 ． 【答案】或1或2 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，分三种情况讨论，当时，当时，当时，利用勾股定理建立方程求解即可． 解：当时，如图， 在等腰直角三角形中，，， ∴，， 设，则，， ∵将沿翻折， ∴，， ∴，即， 解得； ∴ 当时，如图， 此时，； 当时，如图， 此时，点A，B，在同一直线上，； 综上，当有一边与垂直时，的长为或1或2． 故答案为：或1或2． 5.如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，将沿折叠，得到，当与的直角边垂直时，的长是 ． 【答案】6或2 【分析】分两种情况讨论，一是，则，求得，得到；二是，则，所以，由折叠得，则，所以，根据勾股定理求得，则，于是得到问题的答案． 解：如图1，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， ∴； 如图2，，设垂足为点H，则， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的长为6或2， 故答案为：6或2． 【点拨】此题重点考查勾股定理、平行线的判定与性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正解地进行分类讨论是解题的关键． 6.如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为_____ 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案． 解：点D为的中点， ， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理得， ， 解得：， ， 7.如图，在中，，，，点F在AC上，并且，点E为上的动点（点E不与点C重合），将沿直线翻折，使点C落在点P处，的长为，则边的长为______    【分析】根据折叠可得，再利用勾股定理即可求解． 解：根据折叠可知， ， 在中，，，， ， 【点拨】本题考查了勾股定理及翻折的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 8.如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为_____ 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点D为的中点， ， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理得， ， 解得：， ， 9.如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是______ 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 10. 如图，在中，，D、E分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边的中点上，则的长是______ _ 【分析】根据题意，得，，则， 根据勾股定理，得，解答即可． 本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．且点落在直角边的中点上， ∴，， 则， 根据勾股定理，得， 解得， 则， 11. 如图，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，沿对角线BD对折，点C落在点的位置，交AD于点G．△BDG的面积=______ 【答案】 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，设，则，在中，利用勾股定理可得，最后利用三角形的面积公式即可得． 解：四边形是矩形，且，， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得， 即， 则的面积为． 【点拨】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键． 12.如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为_______ 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），长方形的性质，勾股定理等知识点，根据长方形的性质得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握折叠的性质及勾股定理． 【详解】∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 13.如图将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的运用，掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 根据长方形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，在中，由勾股定理可得，则，设，则，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 14.如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，由折叠前后对应边相等，可得，．再证，推出，设，利用勾股定理解，即可求解． 【详解】解：在长方形纸片中，， ∴，， 根据折叠可知，，． 在和中， ∴， ∴， ∴， 设， 则，，， ∵， ∴中，， ∴， 解得， ∴的长为． 故答案为：． 15.已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积=_______    【答案】 【分析】过点作于点，由四边形是长方形和折叠知，再用平行线的性质和勾股定理即可求解． 解：过点作于点，    过点作于点， 四边形是长方形 四边形是矩形 设， 由折叠知， ， 在中， 解得， ， ， 又， ， ， ∴的面积为 【点拨】此题考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用． 16.如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，连接，，，折叠得到，设，则，在和中，，进而得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图①，连接，，， ∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则，   在和中， ∴， 即， 解得． 故线段的长为． 故答案为：． 17.如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设，则，由折叠的性质得：，，，最后在中，由勾股定理得，即，解出即可． 【详解】解：设，则， 四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：，即线段的长为， 故答案为：． 18.如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和翻折的性质； 设，根据翻折性质和勾股定理可得，即可解得答案， 解：∵在矩形纸片中，，， 设，则， 将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处， ∴，，， 在中 ， 即 解得． 故答案为：． 19.如图，在矩形中，，，E是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是（    ）    A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】将放在中，利用三角形的三边关系得出：当，，三点共线时，最小，再利用勾股定理求出即可求解． 解：]解：如图，连接，    ， ， 的最小值为， 当，，三点共线时，最小， 在矩形中，，，点E是边的中点，将沿所在直线折叠到，， ， ， 故选：C． 【点拨】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解当，，三点共线时，最小． 20.如图，矩形中，，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为 ．    【答案】 【分析】先根据勾股定理计算的长，当、、共线时，最小，即最短距离是此时的长． 解：连接，，如图所示：    四边形是矩形， ， ，， ， ， ， 由折叠得：， ， 当、、共线时，最小， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，利用数形结合的思想，根据图形确定点到点的最短距离解决问题． 21.有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】 ； 或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、一元二次方程的解法，解决本题的关键是根据勾股定理得到方程，解方程求线段的长度． （1）首先根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，，，设，则，，根据勾股定理可得方程，解方程求出的长即可； （2）过点作垂足在的延长线上，则四边形是矩形，设，则，，，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即为线段的长；当平分时 ，点在的延长线上时，设，则，，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度． 【详解】（1）解：在中，，， ， 由折叠的性质可知：， ，，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上， 则四边形是矩形， ，， 设，则， ，， 由可知， ， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 时，为直角三角形； 如下图所示，当平分时 ，点在的延长线上， 则，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，若为直角三角形则的长为或 . 故答案为：或． 22.如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的长； (3)点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出即可； （3）先得到，再根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图所示，连接， 由（1）（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴． 23.在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，最大值为 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定； （1）设，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示；此时最小；当折痕所在直线经过点时，如图2所示：此时最大，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； （2）解：设， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点时，如图2所示： 此时最大，， 由勾股定理得：； 综上所述，的最小值为，最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $