专题21.4 一元二次方程的根与系数的关系（10大题型+能力训练） 【精英班课程】2025-2026学年（沪教版）八年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题21.3 一元二次方程的根与系数的关系 知识点01：一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么 知识点02：一元二次方程的根与系数的关系的应用 （1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可检验两个数是不是一元二次方程的两个根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； （3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1，x2的对称式的值。 （4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程； （5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号 题型01：求两根之和与两根之积 【例1】若是方程的两个实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．一元二次方程有两根，，则，，然后代入数值进行计算，即可求解， 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ，， 故选：C． 【例2】设，分别是关于的方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，分别是关于的方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【例3】不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）x2+3x﹣5＝0； （2）2x2﹣3x﹣5＝0． 【答案】（1）x1+x23，x1x25； （2）x1+x2，x1x2． 【分析】（1）先找出a，b，c，再根据x1+x2，x1x2，代值计算即可； （32）先找出a，b，c，再根据x1+x2，x1x2，代值计算即可． 【详解】（1）∵a＝1，b＝3，c＝﹣5， ∴x1+x23，x1x25； （2））∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5， ∴x1+x2，x1x2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握x1+x2，x1x2是解题的关键． 题型02：判断一元二次方程根的正负 【例4】关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【解答】解：由题意得：方程可化为， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：， ∴该方程的两个根为一正一负， 故选C． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 【例5】关于x的方程x2+kx＝2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的 是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【分析】先计算判别式的值，再利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：整理关于x的方程x2+kx＝2为：x2+kx﹣2＝0， ∵Δ＝k2﹣4×（﹣2）＝k2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∵两根之积为﹣2， ∴方程有一个正根，一个负根． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 【例6】已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个不等的负实根 D．只有一个实数根 【分析】首先根据根的判别式，结合三角形三边关系，得出方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，判断出两根之和和两根之积的符号，即可作出判断． 【解答】解：在方程中， 可得：， ∵a、b、c是的三条边的长， ∴，，．，即， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 又∵两根的和是，两根的积是， ∴方程有两个不等的负实根． 故选：C 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根． 题型03：已知方程的一个根求另一根 【例7】已知﹣2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则这个方程的另一个根为 　 　． 【分析】设另一个根为x＝m，则根据根与系数的关系得﹣2m＝﹣6，求出即可． 【解答】解：设另一个根为x＝m，则﹣2m＝﹣6， 解得：m＝3， 所以，另一个根为3． 故答案为：3． 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解，分别为x1，x2，则有x1+x2，x1x2． 【例8】在关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，a、b、c是有理数，且方程的一个根是﹣6，则方程的另一个根是　 　． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可知两根的和和两根的积需是有理数，据此即可求得方程的另一个根是﹣6． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，a、b、c是有理数， ∴、是有理数， ∵方程的一个根是﹣6， ∴满足题意的方程的另一个根是﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2． 【例9】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根为2，求k的值及另一个根． 【分析】由于一根为2，把x＝2代入方程即可求得k的值．然后根据两根之积即可求得另一根． 【解答】解：∵方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根为2， ∴22﹣2（k+1）﹣6＝0， 解得k＝﹣2， 设另一根为x， ∵2x＝﹣6， ∴x＝﹣3， ∴k＝﹣2，另一根为﹣3． 【点评】考查了一元二次方程的解的知识，解题时可利用根与系数的关系使问题简化，难度不大． 题型04：利用根与系数的关系直接法求代数式的值 【例10】已知x1、x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是 　 　． 【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系得出两根之和，两根之积，再代值计算即可． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的两个根， ∴x1+x2，x1x2＝﹣2， ∴x1﹣x1 x2+x2＝（x1+x2）﹣x1x22； 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则x1+x2，x1x2． 【例11】已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根，则的值是（　　） A．4 B．﹣2 C．2 D．﹣4 【分析】先通分，再进行同分母的减法运算得到原式，接着根据根与系数的关系得到m+n＝﹣4，mn＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解： ， ∵m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根， ∴m+n＝﹣4，mn＝﹣1， ∴4． 故选：A． 【例12】已知x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，则的值 为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2和x1x2，再利用整体思想即可解决问题． 【解答】解：∵x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根， ∴，， ∴． 故选：B． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 题型05：利用根与系数的关系变形求代数式的值 【例13】已知x1，x2分别是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则代数式的值为（　　） A．4 B．5 C．2 D．6 【答案】A 【解答】解：由条件可得x1+x2＝4，x1x2＝3， ∴； 故选：A． 【例14】已知a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则（a﹣1）（b﹣1）的值是 　 　． 【分析】利用根与系数的关系，可得出a+b＝1，ab＝﹣2，再将其代入（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1中，即可求出结论． 【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根， ∴a+b＝1，ab＝﹣2， ∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2﹣1+1＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【例15】已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，求下列各式的值． （1）（）2； （2）x2+x1； （3）13x2﹣1； （4）|x1﹣x2|． 【分析】已知x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，考虑将待求式转化为只含有（x1+x2）和x1x2的形式． 【解答】解：由根与系数的关系，得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，而且3x1+4． （1）（）2 ＝（x1+x2）2（x1﹣x2）2 ＝32[（x1+x2）2﹣4x1x2] ＝9×（9+16） ＝225； （2）x2+x1 ＝x1x2（x12+x22） ＝x1x2[（x1+x2）2﹣2x1x2] ＝﹣4×（32+8）＝﹣68； （3）13x2﹣1 ＝（3x1+4）x1+13x2﹣1 ＝3x12+4x1+13x2﹣1 ＝3（3x1+4）+4x1+13x2﹣1 ＝13（x1+x2）+11 ＝13×3+11 ＝50； （4）|x1﹣x2| ＝5． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 【例16】若x1，x2是方程x2＋2x－2 007＝0的两个根，试求下列各式的值： （1）x＋x；（2）＋；（3）（4）(x1－5)(x2－5)；（5）|x1－x2|. 【解析】x1＋x2＝－2，x1x2＝－2 007， （1）x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－2 007)＝4 018. （2）＋＝＝＝. （3）(x1－5)(x2－5)＝x1x2－5(x1＋x2)＋25＝－2 007－5×(－2)＋25＝－1 972. （4）|x1－x2|＝＝＝＝＝4. 题型06：利用根与系数的关系降次求代数式的值 【例17】若x1，x2是方程x2＝2x+2023的两个实数根，则代数式22023x2的值为 　 ． 【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝2，2x1＝2023，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可． 【解答】解：x2＝2x+2023整理得：x2﹣2x﹣2023＝0， ∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣2023＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2，2x1＝2023， ∴22023x2 ＝x1（2x1）+2023x2 ＝2023x1+2023x2 ＝2023（x1+x2） ＝2023×2 ＝4046． 故答案为：4046． 【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数与关系并灵活运用． 【例18】若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则（　　） A．﹣3 B． C． D．3 【分析】根据m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，得m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2＝﹣2m+1，把所求式子变形后整体代入计算即可． 【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根， ∴m2+2m﹣1＝0，m+n＝﹣2，mn＝﹣1， ∴m2＝﹣2m+1， ∴ （﹣1） 1 ＝2+1 ＝3， 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，用整体思想解决问题． 【例19】已知是方程的两个实数根，则的值是（　　） A．2016 B．2018 C．2022 D．2024 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：． 【例20】设α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解等知识点，根据根与系数的关系可以求出，根据方程的解得出，将可化为，代入求值即可解答，利用两根之和与的计算与转化是解决问题的关键． 【详解】∵α，β是方程的两个实数根， ∴， ， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：2024． 【例21】若a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的解，则a5+b5的值是（　　） A．9 B．10 C．11 D．22 【分析】根据a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的解，可得a2﹣a﹣1＝0，b2﹣b﹣1＝0，a+b＝1，根据a5＝5a+3，b5＝5b+3，即可求出a5+b5＝5a+3+5b+3＝5（a+b）+6＝5+6＝11． 【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的解， ∴a2﹣a﹣1＝0，b2﹣b﹣1＝0，a+b＝1， ∴a2＝a+1， ∴a5＝a3•a2 ＝a3（a+1） ＝a4+a3 ＝（a+1）2+a（a+1） ＝2a2+3a+1 ＝2a+2+3a+1 ＝5a+3， 同理b5＝5b+3， ∴a5+b5＝5a+3+5b+3＝5（a+b）+6＝5+6＝11． 故选：C． 【点评】本题考查根与系数的关系、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确根与系数的关系． 【例22】已知是方程的两根，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出，，，，再对所求式子变形整理，求出答案即可． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，，，， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，． 题型08：构造一元二次方程求代数式的值 【例23】已知，则的最小值是（ ）． A．6 B．3 C．-3 D．0 【分析】由已知得m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，根据根与系数的关系得到m＋n＝2a，mn＝2，再根据完全平方公式展开化简，利用二次函数的性质解决问题． 【解答】解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0， ∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根， ∴m＋n＝2a，mn＝2， ∴(m－1)2＋(n－1)2 ＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1 ＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2 ＝4a2－4－4a＋2 ＝4(a－)2－3， ∵a≥2， ∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值， ∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6， 故选A． 【点评】本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【例24】若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值，分和两种情况分析，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：当时，实数，满足，， ∴可把，看成是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 当时， ∴， 综上可知：代数式的值为或， 故选：． 【例25】已知，且有及，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2018 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可求出，进而可得是关于t的方程的两个实数根，则由根与系数的关系可求出，据此可得答案． 【详解】解：当时，， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴是关于t的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：C． 【例26】已知实数m，n满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定是方程的两个根、掌握根与系数的关系是解题的关键．由两个方程的形式可知，是方程的两个根，根据根与系数的关系得到与的数量关系再计算即可． 【详解】解：， ， 是方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 题型09：由方程两根关系求参数的值 【例27】若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【分析】首先根据根与系数的关系得出x1+x2＝8，再根据x1＝3x2，求得x1，x2，进一步得出x1x2＝m求得答案即可． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2， ∴x1+x2＝8， ∵x1＝3x2， 解得x1＝6，x2＝2， ∴m＝x1x2＝6×2＝12． 故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． 【例28】已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣2）x+m2﹣m＝0有两个实数根x1和x2，且|x1|＝|x2|，m的值为（　　） A．﹣1或1 B．﹣1或0 C．﹣1 D．1 【分析】由|x1|＝|x2|知x1＝x2或x1+x2＝0，当x1＝x2时，（2m﹣2）2﹣4（m2﹣m）＝0，当x1+x2＝0时，2﹣2m＝0，解方程可得答案． 【解答】解：∵|x1|＝|x2|， ∴x1＝x2或x1+x2＝0， 当x1＝x2时，Δ＝0，即（2m﹣2）2﹣4（m2﹣m）＝0， 解得m＝1； 当x1+x2＝0时，2﹣2m＝0， 解得m＝1， 综上所述，m的值为1； 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是分类讨论思想的应用． 【例29】关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（  ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，根据根与系数的关系得到，，进而根据已知条件式推出，，则可得方程，解方程后根据验证结果即可． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【例30】已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、通过对完全平方公式变形求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到和的值，再通过对完全平方公式变形代入求值，最后根据根的情况利用判别式确定值即可． 【详解】解：∵、是关于x的方程的两实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴ 整理得， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 题型10：判别式与韦达定理综合 【例31】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若原方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1+x2＝﹣2成立，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）由根与系数的关系，得到，然后解关于k的一元二次方程，即可求出答案． 【解答】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，且k≠0， 即， 即：1﹣2k＞0， ∴，且k≠0； （2）存在． 根据题意，， ∴， ∴， 经检验，是方程的根，且符合题意， 即． 【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据根的判别式Δ＞0，列出关于k的一元一次不等式；（2）根据根与系数的关系求出k值． 【例32】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣3）x+2﹣2k＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程两根为x1、x2，且x1＝2﹣x2，求k的值． 【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于等于0即可得证； （2）利用根与系数的关系求出x1+x2的值，代入已知等式计算即可求出k的值． 【解答】（1）证明：a＝1，b＝﹣（2k﹣3），c＝2﹣2k， ∵Δ＝（﹣2k+3）2﹣4（2﹣2k） ＝4k2﹣12k+9﹣8+8k ＝4k2﹣4k+1 ＝（2k﹣1）2≥0， ∴无论k为何值，此方程总有两个实数根； （2）解：这里a＝1，b＝﹣（2k﹣3），c＝2﹣2k， 根据根与系数的关系得：x1+x2＝2k﹣3， ∵x1＝2﹣x2， ∴x1+x2＝2， ∴2k﹣3＝2， 解得：k＝2.5． 【点评】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 【例33】已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 题型11：阅读理解与新定义问题 【例34】对于实数a，b，定义新运算a*b例如：5*3，∵5＞3， ∴5*3＝5+3﹣5x3＝﹣7． （1）求（﹣6）*（﹣3）的值； （2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的两个实数根，x1*x2＝4，求m的值． 【分析】（1）利用新定义得到（﹣6）*（﹣3）＝2×（﹣6）×（﹣3）﹣（﹣6）﹣（﹣3），然后进行实数的混合运算； （2）先根据根与系数的关系得到x1+x2＝m，x1x2＝﹣6，再根据新定义得到x1+x2﹣x1x2＝4或2x1x2﹣x1﹣x2＝4，则m﹣（﹣6）＝4或2×（﹣6）﹣m＝4，然后分别解关于m的方程即可． 【解答】解：（1）（﹣6）*（﹣3）＝2×（﹣6）×（﹣3）﹣（﹣6）﹣（﹣3）＝45； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝m，x1x2＝﹣6， ∵x1*x2＝4， ∴x1+x2﹣x1x2＝4或2x1x2﹣x1﹣x2＝4， 当x1+x2﹣x1x2＝4时，m﹣（﹣6）＝4，解得m＝﹣2； 当2x1x2﹣x1﹣x2＝4时，2×（﹣6）﹣m＝4，解得m＝﹣16， 综上所述，m的值为﹣2或﹣16． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了实数的运算． 【例35】定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． (2)若方程是“和谐方程”，求m的值． (3)若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 【答案】(1)②③ (2) (3)（或） 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）根据根与系数的关系结合新定义建立方程，再解方程即可； （3）根据根与系数的关系结合新定义求解即可． 【详解】（1）解：①，则 ∴， ∴不满足，故不是“和谐方程”； ②， ∴ 满足，故是“和谐方程”； ③ 解得：， ∴， ∴满足，故是“和谐方程”； 故答案为：②③； （2）解：∵， ∴． ∵方程是“和谐方程”， ∴ ∴． 即． 解得：； （3）解：对于， 则 ∵方程为“和谐方程”， ∴， ∵， ∴，即（或）． 【例36】阅读材料： 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值； (3)提升：已知实数，满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的变形计算、分式的混合运算等知识，掌握一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系为“，”是解题的关键； （1）利用根与系数的关系，即可得出的值； （2）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求解； （3）由实数、满足，，且，可得出，是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出，，进而求得的值，再将其代入中，即可求解； 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为，， ，， ； （3）解：实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 即或 当时， ； 当时， ； 一、选择题 1.若是方程的两根，则（  ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握：是的两根，则，是解题的关键． 由题意知，，，然后代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 2.方程的根的情况，下列结论中正确的是( ) A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【答案】C 【分析】方程整理为一般形式，表示出根的判别式，判断解的情况，并利用根与系数关系判断即可． 【详解】解：∵， 整理，得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，设为，， ∵，， ∴方程有一个正根，一个负根，且正根绝对值大于负根的绝对值． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 3.若m，n为方程的两个实数根，则（  ） A． B． C．7.5 D．-1.8 【答案】A 【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解等知识，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 由，是方程的两个实数根，推出，，，推出，再利用整体代入的思想解决问题． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 故选：A． 4.已知m，n满足，（m，n是实数，且mn），则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，由m，n满足，（m，n是实数，且mn）知m、n是一元二次方程的两个实数根，据此得，，再代入计算即可 【详解】解：∵m，n满足，（m，n是实数，且mn）， ∴m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为： 5.已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（　　） A．0 B．7 C．13 D．6 【答案】A 【分析】由方程解的含义及一元二次方程根与系数的关系即可求得结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴，，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念及一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，涉及整体代入思想，关键是变形． 6.对于一元二次方程（），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若方程的两根互为相反数，则， ④若是方程的一个根，则一定有成立； 其中正确的（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的解、一元二次方程的根与判别式的关系、一元二次方程的根与系数的关系及等式的性质分别进行讨论即可求解． 【详解】解：当时，， ∴一元二次方程（）有两个不相等的实数根或两个相等的实数根， ∴，故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故②正确； 若方程的两根互为相反数，则， ∵，， ∴， 则，故③正确； 若是方程的一个根， ∴， 当时，成立，故④不一定成立； 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程的根与判别式的关系、一元二次方程的根与系数的关系及等式的性质，熟练掌握一元二次方程的解、一元二次方程的根与判别式的关系、一元二次方程的根与系数的关系及等式的性质是解题的关键． 2、 填空题 7.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是﹣6，则另一个根是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【答案】D 【分析】设方程的另一个为根为t，则利用根与系数的关系得到﹣6+t＝﹣5，然后解一次方程即可． 【详解】设方程的另一个为根为t， 根据根与系数的关系得到﹣6+t＝﹣5， 解得t＝1， 即方程的另一个根为1． 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 8.已知是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数之间的关系，得到，整体代入法进行计算即可．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴； 故答案为：． 9.一元二次方程的两个根分别是，，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题可得，，再利用完全平方公式计算即可得解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是，， ∴，， ∴， 故答案为：． 10.已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：． 11.已知、是方程的两个实根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系得，，将原式变形，整体代入计算即可 【详解】解：∵、是方程的两个实根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12.已知，是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再根据得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 13.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则的值是（    ） A．或 B．或2 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形是解题的关键． 由题意得，，，解得，，由，可得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得，， ∵， ∴， 解得，或（舍去）， 故选：D． 14.已知，，且，则的值为（    ）． A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质、一元二次方程根与系数的关系等知识点，根据等式的性质可将化为，可发现m、n是一元二次方程的解；再根据根与系数的关系可得；然后再运算并整体代入即可解答；发现m、n是一元二次方程的解成为解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴m、n是一元二次方程的解， ∴， ∴． 故选D． 15.已知实数，满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值等知识．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值是解题的关键． 由题意知，，，则是的两个根，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴是的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16．设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）（x1+2）（x2+2）； （2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1） （2） 【分析】本题考查根与系数的关系： （1）根据根与系数的关系，得到，整体代入法进行计算即可； （2）利用根与系数的关系结合整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根， ∴， ∴（x1+2）（x2+2）＝2x1+2x2+x1x2+4 ； （2）∵， ∴ ． 17.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两个根分别为x1、x2，且满足3x1x2﹣14，求实数m的值． 【答案】（1）m； （2）2． 【分析】（1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论； （2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝2m+3、x1•x2＝m2+2，结合3x1x2﹣14即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值． 【解答】解：（1）∵方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0有实数根， ∴Δ＝[﹣（2m+3）]2﹣4（m2+2）＝12m+1≥0， 解得：m． （2）∵方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0的两个根分别为x1、x2， ∴x1+x2＝2m+3，x1•x2＝m2+2， ∵31+x1x2， ∴2x1•x2＝3x1x2﹣14，即m2+12m﹣28＝0， 解得：m1＝2，m2＝﹣14（舍去）， ∴实数m的值为2． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握当一元二次方程有实数根时根的判别式△≥0是解题的关键． 18.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k﹣2＝0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根： （2）若该方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝﹣2k+3．求k的值． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）k＝0． 【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k﹣2）＝4k2+9＞0，据此可得答案； （2）先根据根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k﹣2，由x1﹣x2＝﹣2k+3知（x1﹣x2）2＝4k2﹣12k+9，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝4k2﹣12k+9，从而列出关于k的方程，解之可得答案． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k﹣2） ＝4k2+4k+1﹣4k+8 ＝4k2+9＞0， ∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k﹣2， ∵x1﹣x2＝﹣2k+3， ∴（x1﹣x2）2＝4k2﹣12k+9， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4k2﹣12k+9， ∴（2k+1）2﹣4（k﹣2）＝4k2﹣12k+9， 解得k＝0． 【点评】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q． 19.已知关于的方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得出，列出不等式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后代入，列出方程求解即可． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根于系数的关系，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；以及一元二次方程根与系数关系：． 【详解】（1）关于的方程有两个不相等实数根，， ， ； （2），，， ， ， ， 解得：或或， ， ． 20.已知关于的方程有实数根． (1)若方程的两根之和为整数，求的值； (2)若方程的根为有理根，求整数的值． 【答案】(1) (2)0或10或或12 【分析】（1）根据关于的方程有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知，若方程的两根之和为整数，即为整数，即可确定的值； （2）分两种情况讨论：当时，此时关于的方程为，求解可得，符合题意；当时，对于关于的方程可有，若方程的根为有理根，且为整数，则为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个根，且为实数根， ∴，且， 根据一元二次方程的根与系数的关系，可知， 若方程的两根之和为整数，即为整数， ∵， ∴是整数， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，，，为整数，符合题意； ∴的值为； （2）当时，此时关于的方程为，解得； 当时，对于关于的方程的根为：， 若方程的根为有理根，且为整数， 则为完全平方数， 设（为正整数）， 则：， ∵为整数， 设（为正整数）， ∴， ∴或或或， 解得：或或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去） ∴或； 当时，解得或（舍去）； 当时，解得或， 综上所述，若方程的根为有理根，则整数的值为0或10或或12． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及公式法解一元二次方程等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题关键． 21.已知，关于x的方程有两个实数根． (1)求k的取值范围． (2)若方程的两实根为且满足，求k的值． (3)当k为何值时，式子有最小值，并求出该最小值． 【分析】（1）根据方程有两个实数根可得，解不等式即可求得； （2）由根与系数的关系可得，，代入中求解出k即可； （3）由，，将进行变形，再代入根据二次函数的性质求解即可． 【解答】（1）由题意可得：， ∴， ， 解得； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴k=2； （3）∵，， ∴， =， =， =， ∵， ∴当，有最小值，最小值为． 【点评】本题考查了(a，a，b，c为常数)的根的判别式和其根与系数的关系、二次函数的性质，解决本题的关键是掌握以上基本的性质并加以运用． 21．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； (2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； (3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 【答案】(1)①② (2)7或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系、完全平方公式等知识点，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）分别求出各方程的解，然后进行判断即可； （2）由根与系数的关系可得，再根据“根差2方程”的定义可得，即，然后根据完全平方公式得到关于a的方程求解即可； （3）根据（2）可得：、，即，然后化简即可解答 【详解】（1）解：①的解为，，则该方程为“根差2方程”； ②的解为，，则该方程为“根差2方程”； ③的解为，，则该方程不是“根差2方程”； 故答案为：①②． （2）解：设关于x的方程的解为，则， ∵关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”， ∴，即， ∴，解得：或． （3）解：∵关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”， ∴，， ∴， ∵ ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题21.3 一元二次方程的根与系数的关系 知识点01：一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么 知识点02：一元二次方程的根与系数的关系的应用 （1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可检验两个数是不是一元二次方程的两个根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； （3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1，x2的对称式的值。 （4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程； （5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号 题型01：求两根之和与两根之积 【例1】若是方程的两个实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】设，分别是关于的方程的两个实数根，则的值是 ． 【例3】不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）x2+3x﹣5＝0；（2）2x2﹣3x﹣5＝0． 题型02：判断一元二次方程根的正负 【例4】关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 【例5】关于x的方程x2+kx＝2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的 是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【例6】已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个不等的负实根 D．只有一个实数根 题型03：已知方程的一个根求另一根 【例7】已知﹣2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则这个方程的另一个根为 　 　． 【例8】在关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，a、b、c是有理数，且方程的一个根是﹣6，则方程的另一个根是　 　． 【例9】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根为2，求k的值及另一个根． 题型04：利用根与系数的关系直接法求代数式的值 【例10】已知x1、x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是 　 　． 【例11】已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根，则的值是（　　） A．4 B．﹣2 C．2 D．﹣4 【例12】已知x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，则的值 为（　　） A． B． C． D． 题型05：利用根与系数的关系变形求代数式的值 【例13】已知x1，x2分别是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则代数式的值为（　　） A．4 B．5 C．2 D．6 【例14】已知a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则（a﹣1）（b﹣1）的值是 　 　． 【例15】已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，求下列各式的值． （1）（）2；（2）x2+x1；（3）13x2﹣1；（4）|x1﹣x2|． 【例16】若x1，x2是方程x2＋2x－2 007＝0的两个根，试求下列各式的值： （1）x＋x；（2）＋；（3）（4）(x1－5)(x2－5)；（5）|x1－x2|. 题型06：利用根与系数的关系降次求代数式的值 【例17】若x1，x2是方程x2＝2x+2023的两个实数根，则代数式22023x2的值为 　 ． 【例18】若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则（　　） A．﹣3 B． C． D．3 【例19】已知是方程的两个实数根，则的值是（　　） A．2016 B．2018 C．2022 D．2024 【例20】设α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 【例21】若a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的解，则a5+b5的值是（　　） A．9 B．10 C．11 D．22 【例22】已知是方程的两根，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型08：构造一元二次方程求代数式的值 【例23】已知，则的最小值是（ ）． A．6 B．3 C．-3 D．0 【例24】若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【例25】已知，且有及，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2018 【例26】已知实数m，n满足，则 ． 题型09：由方程两根关系求参数的值 【例27】若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【例28】已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣2）x+m2﹣m＝0有两个实数根x1和x2，且|x1|＝|x2|，m的值为（　　） A．﹣1或1 B．﹣1或0 C．﹣1 D．1 【例29】关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（  ） A． B．1 C．3 D．9 【例30】已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 题型10：判别式与韦达定理综合 【例31】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若原方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1+x2＝﹣2成立，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 【例32】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣3）x+2﹣2k＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程两根为x1、x2，且x1＝2﹣x2，求k的值． 【例33】已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 题型11：阅读理解与新定义问题 【例34】对于实数a，b，定义新运算a*b例如：5*3，∵5＞3， ∴5*3＝5+3﹣5x3＝﹣7． （1）求（﹣6）*（﹣3）的值； （2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的两个实数根，x1*x2＝4，求m的值． 【例35】定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． (2)若方程是“和谐方程”，求m的值． (3)若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 【例36】阅读材料： 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值； (3)提升：已知实数，满足，且，求的值． 一、选择题 1.若是方程的两根，则（  ） A．4 B．5 C．6 D． 2.方程的根的情况，下列结论中正确的是( ) A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 3.若m，n为方程的两个实数根，则（  ） A． B． C．7.5 D．-1.8 4.已知m，n满足，（m，n是实数，且mn），则的值为 ． 5.已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（　　） A．0 B．7 C．13 D．6 6.对于一元二次方程（），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若方程的两根互为相反数，则， ④若是方程的一个根，则一定有成立； 其中正确的（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2、 填空题 7.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是﹣6，则另一个根是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 8.已知是一元二次方程的两个实数根，则 ． 9.一元二次方程的两个根分别是，，则的值为 ． 10.已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． 11.已知、是方程的两个实根，则的值是 ． 12.已知，是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ． 13.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则的值是（    ） A．或 B．或2 C．2 D． 14.已知，，且，则的值为（    ）． A． B． C．5 D． 15.已知实数，满足，，则 ． 三、解答题 16．设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）（x1+2）（x2+2）； （2）． 17.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两个根分别为x1、x2，且满足3x1x2﹣14，求实数m的值． 18.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k﹣2＝0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根： （2）若该方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝﹣2k+3．求k的值． 19.已知关于的方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 20.已知关于的方程有实数根． (1)若方程的两根之和为整数，求的值； (2)若方程的根为有理根，求整数的值． 21.已知，关于x的方程有两个实数根． (1)求k的取值范围． (2)若方程的两实根为且满足，求k的值． (3)当k为何值时，式子有最小值，并求出该最小值． 22．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； (2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； (3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $