2.1.2 两条直线平行和垂直的判定课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦两条直线平行与垂直的判定，通过“能否用斜率判断位置关系”设问导入，衔接倾斜角与斜率的前期知识，经课堂探究、追问（斜率不存在、重合情况）构建知识体系，形成从几何直观到代数表达的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，结合几何关系推导（如垂直时倾斜角关系推导斜率乘积为-1）培养数学思维，通过典例（四边形形状判断）和变式练习（三点共线）强化数学语言表达，步骤总结帮助学生形成结构化认知。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可依托清晰脉络提升教学效率。

第二章 直线和圆的方程 2.1 直线的倾斜角与斜率 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 能否通过斜率来判断两条直线的位置关系？ 为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度，我们引入倾斜角的概念，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从而把几何问题转化为代数问题. x y O 在平面中，两条直线的位置关系有两种：相交、平行. 注：若没有特别说明，“两条直线l1，l2”指两条不重合的直线. O x y l2 l1 O x y l2 l1 平行 相交 思考：当两条直线 l1 与 l2 平行时，它们的斜率 k1 与 k2 满足什么关系？ 两条直线平行的判定 x y O α1 α2 l1 l2 如图，l1∥l2，则倾斜角α1＝α2， 所以tan α1＝tan α2，即k1＝k2. 小结：对于斜率分别为 k1、k2 的两条直线 l1、l2 有：l1∥l2⇔k1＝k2 . 追问1：当两条直线的斜率都不存在时，两直线有何位置关系？ 显然，当 α1＝α2＝90°时，直线 l1 与 l2 的斜率不存在，此时 l1 // l2 . x y O l1 l2 α1 α2 追问2：当两条直线重合时，它们的斜率有什么关系？ y x O A B C 当两条直线重合时，它们的斜率依然相等. 用斜率证明三点共线(前提是斜率存在)：平面中有三点，在任意两点间求斜率，若两组斜率相等，则三点共线. O x y l2 l1 或 或 A，B，C三点共线 知识总结 作用：1.判定两线平行；2.证明三点共线 ① l1、l2的斜率都存在，且 k1= k2； 若两条直线 l1、l2平行，则 l1 // l2 α1 = α2 x α1 O y α2 l2 l1 x α1 O y α2 l2 l1 ② l1、l2的斜率都不存在. 作者编号：32003 例1. 已知直线 l1 经过两点 (–1，–2)、(–1，4)，直线 l2 经过两点 (2，1)、(x，6) ，且 l1∥l2，则 x ＝ ______. 解：由题意知 l1 ⊥ x 轴，又 l1∥l2，所以 l2 ⊥ x 轴，故 x ＝ 2. 2 典例剖析 休问君 (authorId_228242789) - 在这里，我们可以看到若两条直线平行可以得到斜率存在的时候怎样，斜率不存在的时候怎样，还要分类讨论，那我能不能找到一个等价条件不用分类讨论的呢？ 练一练 下列直线 l1与直线l2l1与l2不重合)平行的有( ) A. l1经过点，l2经过点 B. l1的斜率为2，l2经过点 C. l1的倾斜角为，l2经过点 D. l1经过点，l2经过点 解：对于A，∵，，∴，∴； 对于B，∵，∴不平行于； 对于C，∵，，∴ 对于D，，斜率均不存在，∴. ACD (多选) 作者编号：32101 例2. 已知 A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，试判断直线 BA与 PQ 的位置关系，并证明你的结论. 这里直线BA与PQ不重合，才能得出二者平行这一结论. O x y –2 –1 –4 –3 2 1 1 3 –1 2 A B P Q 解：直线 BA 的斜率 kBA = = ； 直线 PQ 的斜率 kPQ = = ； 因为 kBA = kPQ，所以直线 AB∥PQ . 方法小结：①先求直线斜率； ②判断两条直线位置关系. 典例剖析 例3. 已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0)、B(2,-1)、C(4,2)、D(2,3),试判断四边形 ABCD 的形状，并给出证明. x y 1 2 5 4 O 1 3 –1 2 3 A B C D 解：如图，由已知可得各边所在直线的斜率如下： kAB= – ；kCD= – ；kBC= ；kDA= ； 因为 kAB = kCD，kBC = kDA， 所以AB∥CD，BC∥DA. 因此四边形 ABCD 是平行四边形. 典例剖析 1.若三点 A(2,1)，B(-2,m)，C(6,8)在同一条直线上，则 m 的值为_____. 已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，求证：四边形 ABPQ 为梯形. 已知A(－2,m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若AB∥MN，则m的值为______. 0或1 解：当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在， MN与AB不平行，不符合题意； 同理当m＝－1时，kMN不存在，而kAB存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m≠-2且m≠-1时，，， ∵AB∥MN，∴kAB＝kMN，即=，解得m＝0或m＝1， 当m＝0或1时，经检验，两直线不重合. 综上，m的值为0或1. 练一练 作者编号：32101 使用斜率公式判定两直线平行的步骤 看斜率 相等？ 提醒：若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直线重合的情况． 平行 平行 不平行 都不存在 是 否 归纳总结 作者编号：32003 y l1 O x l2 α1 α2 思考：当两条直线l1⊥l2 时，它们的倾斜角之间具有怎样的关系？ 如果斜率存在且分别为 k1、k2，则k1、k2满足什么条件？ 两条直线垂直的判定 所以 ,即 . 如图，直线 l1的倾斜角为0°，l2的倾斜角为90°，此时 l1⊥ l2，但 l2的斜率不存在． 两条直线垂直，除了斜率之积等于 –1，还有可能是一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0. x O y l2 l1 追问：若两条直线中有一条直线的斜率不存在，这两条直线可能垂直吗？ 知识总结 作用：判定两线垂直 ①l1、l2的斜率都存在，且k1· k2 =-1； ② l1、l2的斜率一个不存在，一个为0. O x y l2 l1 x O y l2 l1 两条垂直直线斜率之间的关系： 作者编号：32003 例3 已知 A (– 6，0)，B (3，6)，P (0，3)，Q (6，– 6)，判断直线 AB 与 PQ 的位置关系. 典例剖析 解：直线 AB 的斜率 kAB= ；直线 PQ 的斜率 kPQ = – ； 因为 kAB·kPQ = ()×(– ) = – 1，所以 AB ⊥ PQ. 练一练 判断下列各题中与是否垂直. (1) 经过点；经过点 (2)的斜率为10；经过点 (3)经过点；经过点 解：(1)∵，，，∴与不垂直. (2)∵，，∴，∴. (3)由的横坐标相等，得的倾斜角为，则轴. ，则轴，∴. 作者编号：32101 例4 已知 A (5，– 1)，B (1，1)，C (2，3) 三点，试判断△ABC 的形状. x y 1 2 5 4 O 1 3 –1 2 3 A B C 解：直线各边所在斜率如下： kAB = ；kBC = 2； 由 kAB·kBC = – 1，所以 AB ⊥ BC； 即∠ABC = 90°， 所以△ABC 是直角三角形. 典例剖析 练一练 已知在▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)，试判定▱ABCD是否为菱形？ 解：∵=，=，∴， ∴AC⊥BD，∴▱ABCD为菱形. 作者编号：32101 (1)一看：看两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步． (2)二代：将点的坐标代入斜率公式． (3)三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论． 提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两条直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率是否存在． 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤 归纳总结 作者编号：32003 例3.已知直线经过点，直线经过点 ①若，求的值； ②若，求的值. 解：据题意， ①若，则即解得或 . 经检验，当或时，. ②若，当时，，此时，，不符合题意. 当时，的斜率存在，此时由得 解得或∴当或时，. 典例剖析 练一练 试确定 m 的值，使过点 A (m，1)，B( – 1，m) 两点的直线与过点 P (1，2)，Q ( – 5，0) 两点的直线：（1）平行； （2）垂直. 解：分别求出 AB、PQ 的斜率得：kAB = ；kPQ = = ； （1）直线 AB、PQ 平行： = kAB = kPQ = 解得m = ； 当 m = 时，直线 AB、PQ 平行； （2）直线 AB、PQ 垂直：kAB · kPQ = × = – 1 ，解得m = – 2； 当 m = – 2 时，直线 AB、PQ 垂直. 作者编号：32101 l1，l2斜率都存在且k1 k2 = －1． l1，l2中有一条斜率不存在，另一条的斜率为零． l1⊥l2 l1，l2斜率都存在且k1=k2 ． l1，l2斜率都不存在． l1//l2 1．下列说法正确的有(　　) ①若不重合的两直线斜率相等，则它们平行； ②若 l1∥l2，则 k1＝k2； ③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线垂直； ④若 l1 与 l2 的斜率都不存在，则l1∥l2. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2. 若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合 D 3. 若直线 l1，l2 的斜率是方程 x2 – 3x – 1 = 0 的两根，则 l1 与 l2 的位置关系是_________. 解：由一元二次方程根与系数的关系，知 k1k2 = –1，所以 l1⊥ l2 . l1 ⊥ l2 A 4. 若直线 l 经过点(a－2，－1)和(－a－2，1)，且与斜率为 的直线垂直，则实数a的值是(　　) 5.若过点P(3，2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是( ) B 6.已知△ABC的三个顶点分别是A(2，2)，B(0，1)，C(4，3)，点D(m，1)在边BC的高所在的直线上，则实数m=　　　　　.  7. 已知点 M(2，2)和 N(5，-2)，点 P 在 x 轴上，且∠MPN 为直角，求点 P的坐标. 8. 已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值. 解：若∠A为直角，则AC⊥AB，∴，即，解得m＝-7. 若∠B为直角，则AB⊥BC，∴，即，解得m＝3. 若∠C为直角，则AC⊥BC，∴，即，解得m＝±2， 综上所述，m＝-7或m＝3或m＝±2. A. B.－ C.2 D.－2 $