2.1 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·选择性必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第二章 直线和圆的方程 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 es eses 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2．1　直线的倾斜角与斜率 2．1．2　两条直线平行和垂直的判定 学习目标　1.理解并掌握两条直线平行、垂直的条件，以培养数学抽象、直观想象能力．(重点)　2.会运用两直线平行或垂直时的斜率关系解决几何问题，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点、难点) 你坐过过山车吗？这是一项富有刺激性的娱乐项目．实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理．过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直． 提示：用斜率刻画． 问题1　平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？ 提示：平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例． 问题2　两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？ 提示：不一定，若两条直线的斜率都存在，则它们垂直时斜率之积是－1；当两条直线垂直时，还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P55，分析思考： 两条直线平行，它们的斜率一定相等吗？ 提示：不一定，也可能两条直线的斜率都不存在． (2)请认真阅读教材P56～57，分析思考： 两条直线垂直，它们的斜率之积一定等于－1吗？ 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)两条直线斜率相等，它们一定平行．(　　 ) (2)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．(　　 ) (3)若两条不重合的直线的斜率都不存在，则这两条直线平行．(　　 ) 提示：(1)×　(2)×　(3)√ 提示：对于A，B，C三点，如果直线AB的斜率等于直线AC的斜率，它们有公共点 A，那么A，B，C三点共线． 　两条直线平行的判定 问题3　如果两条直线中某条直线的斜率不存在，怎么判断它们的位置关系？ 提示：当直线的斜率不存在时，可以画图判断它们的位置关系． 问题4　如何用斜率关系证明三点共线？ 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔ ． k1＝k2 eq \x(,(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．,(2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合（斜率存在）.) 温馨提示 (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在). 例1　(链接教材：人A版教材P56例2)已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－4)和点Q(a，－3a)的直线l2互相平行，则实数a＝ ． 解析：若a＝0，则直线l1的斜率为0，此时直线l2的斜率不存在，那么l1与l2不平行，不满足条件；若a≠0，则直线l1的斜率为 eq \f(3a－0,1－(－2))＝a，直线l2的斜率为 eq \f(－3a－(－4),a－0)＝ eq \f(4－3a,a)， 因为l1∥l2，所以a＝ eq \f(4－3a,a)，即a2＋3a－4＝0，解得a＝1或a＝－4. 答案：－4或1 类题通法 判断两条不重合的直线是否平行的方法 【迁移运用】 1.判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)； (3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(－1，3)，N(2，0)； (4)l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，l2经过点M(5，－2)，N(5，5). 解：(1)k1＝ eq \f(1－(－2),2－(－1))＝1，k2＝ eq \f(－1－4,－1－3)＝ eq \f(5,4)，k1≠k2，l1与l2不平行． (2)k1＝1，k2＝ eq \f(2－1,2－1)＝1，k1＝k2，故l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝ eq \f(0－1,1－0)＝－1，k2＝ eq \f(0－3,2－(－1))＝－1，则有k1＝k2. 又kAM＝ eq \f(3－1,－1－0)＝－2≠－1，则A，B，M不共线．故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. 　两条直线垂直的判定 平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. 问题5　两条直线的方向向量分别为什么？ 提示：a＝(1，k1)，b＝(1，k2). 问题6　当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示：k1·k2＝－1. 对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率 ，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 不存在 eq \x(,(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在．,(2)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1＝－\f(1,k2)．) 温馨提示 (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1＝－ eq \f(1,k2). 例2　(链接教材：人A版教材P58习题2.1T6)(多选)下列各对直线互相垂直的是(　　 ) A．l1过点M(1，1)，N(1，2)，l2过点P(1，5)，Q(3，5) B．l1的斜率为－ eq \f(2,3)，l2过点P(1，1)，Q(0，－ eq \f(1,2)) C．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3， eq \r(3))，Q(4，2 eq \r(3)) D．l1过点M(1，0)，N(4，－5)，l2过点P(－6，0)，Q(－1，3) 解析：选ABD．A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两直线垂直； B中，l2过点P(1，1)，Q(0，－ eq \f(1,2))，kPQ＝ eq \f(3,2)，故两条直线垂直； C中，kPQ＝ eq \r(3)，故l1不与l2垂直； D中，l1过点M(1，0)，N(4，－5)，kMN＝－ eq \f(5,3)，l2过点P(－6，0)，Q(－1，3)，kPQ＝ eq \f(3,5)，故两条直线垂直． 类题通法 判定两直线垂直的方法 【迁移运用】 2．根据下列给定的条件，分别判断直线l1与l2是否垂直． (1)l1经过点A(1，3)，B(－1，－1)，l2经过点C(2，1)，D(4，0)； (2)l1经过点E(－1，3)，F(－1，－5)，l2经过点C(2，4)，D(－1，4)； (3)l1经过点P(2，－1)，Q(3，4)，l2的方向向量为(5，1). 解：(1)由题意知k1＝ eq \f(－1－3,－1－1)＝2，k2＝ eq \f(0－1,4－2)＝－ eq \f(1,2)，因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2. (2)由题意知l1的斜率不存在，l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (3)由题意知k1＝ eq \f(4－(－1),3－2)＝5，k2＝ eq \f(1,5)，因为k1k2≠－1，所以l1与l2不垂直． k1k2＝－1 其中一条直线垂直于x轴，另一 条直线垂直于y轴 l1⊥l2 　平行与垂直的应用 1．l1∥l2⇒ ． 2．当直线l1⊥l2时，有 或 ；而若k1k2＝－1，则一定有 ． k1＝k2或两条直线的斜率都不存在 例3　(链接教材：人A版教材P57练习T2)已知直线l1经过点A(0，－1)和点B(－ eq \f(4,a)，1)，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1∥l2，则实数a的值为 ． 解析：由题意得l1∥l2，所以kAB＝kMN. 因为kAB＝ eq \f(2,－\f(4,a))＝－ eq \f(a,2)，kMN＝ eq \f(－2－1,0－1)＝3，所以－ eq \f(a,2)＝3，所以a＝－6. 答案：－6 变式演练　1.(变条件和结论)已知A(1，0)，B(3，2)，C(0，4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，则点D的坐标为 ． 解析：设点D的坐标为(x，y)，由已知得直线AB的斜率kAB＝1，直线CD的斜率kCD＝ eq \f(y－4,x)，直线BC的斜率kBC＝－ eq \f(2,3)，直线AD的斜率kAD＝ eq \f(y,x－1)， 由AB⊥CD，且AD∥BC，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y－4,x)×1＝－1，,－\f(2,3)＝\f(y,x－1)，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝－6，))所以点D的坐标为(10，－6). 答案：(10，－6) 2．(变条件)本例中，若把“l1∥l2”改为“l1⊥l2”，其他条件不变，求实数a的值． 解：因为kAB＝ eq \f(2,－\f(4,a))＝－ eq \f(a,2)，kMN＝ eq \f(－2－1,0－1)＝3，l1⊥l2， 所以－ eq \f(a,2)·3＝－1，所以a＝ eq \f(2,3). 类题通法 1．利用两直线的平行或垂直关系求参数值时，要注意斜率不存在的情况． 2．求点的坐标的方法：设出点的坐标，利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组)去解． 3．利用两条直线平行或垂直判定平面几何图形形状的步骤 1．若过点P(3，2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是(　　 ) A． eq \f(1,3) B．－ eq \f(1,3) C．2 D．－2 解析：选B．由题意知，PQ的斜率存在， 由kPQ＝kMN，即 eq \f(2m－2,3－(－m))＝ eq \f(4－(－1),－3－2)，得m＝－ eq \f(1,3). 经检验知，m＝－ eq \f(1,3)符合题意． 2．(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为(　　 ) A． eq \f(1,a) B．－ eq \f(1,a) C．a D．不存在 解析：选BD．当a≠0时，由k1·k2＝－1知，k2＝－ eq \f(1,a)； 当a＝0时，l2的斜率不存在． 3．已知两点M(2，2)和N(5，－2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，则点P的坐标为 ． 解析：设P点坐标为(x0，0)，则kPM＝ eq \f(2,2－x0)，kPN＝ eq \f(－2,5－x0)， 由于∠MPN＝90°， 故kPM·kPN＝－1，即 eq \f(2,2－x0)· eq \f(－2,5－x0)＝－1， 解得x0＝1或x0＝6，故P点坐标为(1，0)或(6，0). 答案：(1，0)或(6，0) 4．若A(2m，)，B(4，－1)，C(－4，－m)三点在同一条直线上，则实数m的值为 ． 解析：由题意易得A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此其中任意两点所确定的直线的斜率都存在，设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC． 由斜率公式得kAB＝ eq \f(\f(5,2)＋1,2m－4)＝ eq \f(7,4m－8)，kBC＝ eq \f(－1＋m,4＋4)＝ eq \f(m－1,8). ∵A，B，C三点在同一条直线上， ∴kAB＝kBC，∴ eq \f(7,4m－8)＝ eq \f(m－1,8)， 即m2－3m－12＝0，解得m＝ eq \f(3＋\r(57),2)或 eq \f(3－\r(57),2). 答案： eq \f(3±\r(57),2) 1．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　　 ) A．－3 B．3 C．－ eq \f(1,3) D． eq \f(1,3) 解析：选B．kAB＝ eq \f(3－0,3－2)＝3，因为l∥AB，所以k＝3. 2．已知直线l的倾斜角为20°，直线l1∥l，直线l2⊥l，则直线l1与l2的倾斜角分别是(　　 ) A．20°，110° B．70°，70° C．20°，20° D．110°，20° 解析：选A．如图， 因为l∥l1，所以l1的倾斜角为20°， 因为l2⊥l，所以l2的倾斜角为90°＋20°＝110°. 3．(多选)满足下列条件的直线l1与l2，其中l1⊥l2的是(　　 ) A．l1的倾斜角为45°，l2的斜率为1 B．l1的斜率为－ eq \f(\r(3),3)，l2经过点A(2，0)，B(3， eq \r(3)) C．l1经过点P(2，1)，Q(－4，－5)，l2经过点M(－1，2)，N(1，0) D．l1的一个方向向量为(1，m)，l2的一个方向向量为(1，－) 解析：选BCD．l1的倾斜角为45°，则其斜率为tan 45°＝1，所以l1∥l2或l1与l2重合，所以A不符合题意； l2经过点A(2，0)，B(3， eq \r(3))，则其斜率为kl2＝ eq \f(\r(3)－0,3－2)＝ eq \r(3)， 因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))× eq \r(3)＝－1，所以l1⊥l2，所以B符合题意； l1经过点P(2，1)，Q(－4，－5)，则有kPQ＝ eq \f(－5－1,－4－2)＝1， l2经过点M(－1，2)，N(1，0)，则有kMN＝ eq \f(0－2,1＋1)＝－1， 因为kPQ·kMN＝－1，所以l1⊥l2，所以C符合题意； l1的一个方向向量为(1，m)，则kl1＝m，l2的一个方向向量为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,m)))，则kl2＝－ eq \f(1,m)，kl1·kl2＝－1， 所以l1⊥l2，所以D符合题意． 4．(易错题)直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为(　　 ) A．y＝－ eq \f(1,3)x＋ eq \f(1,3) B．y＝－ eq \f(1,3)x＋1 C．y＝3x－3 D．y＝3x＋1 解析：选A．当直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°时，所得直线斜率为－ eq \f(1,3)，此时，该直线的方程为y＝－ eq \f(1,3)x，再将该直线向右平移1个单位长度可得直线y＝－ eq \f(1,3)(x－1)，即y＝－ eq \f(1,3)x＋ eq \f(1,3). 5．(知识融合)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C．若l1∥l2，则3×(－3)＝－m×3(m＋2)，解得m＝1或m＝－3，而当m＝－3时，l1，l2重合，故舍去，则“m＝1”是“l1∥l2”的充要条件． 6．(多选)设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论中正确的是(　　 ) A．PQ∥SR B．PQ⊥PS C．PS∥QS D．RP⊥QS 解析：选ABD．由斜率公式知，kPQ＝ eq \f(－4－2,6＋4)＝－ eq \f(3,5)，kSR＝ eq \f(12－6,2－12)＝－ eq \f(3,5)，kPS＝ eq \f(12－2,2＋4)＝ eq \f(5,3)，kQS＝ eq \f(12＋4,2－6)＝－4，kPR＝ eq \f(6－2,12＋4)＝ eq \f(1,4)， 所以PQ∥SR，PS⊥PQ，RP⊥QS.而kPS≠kQS，所以PS与QS不平行，故ABD正确． 7．若不同的两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为 ． 解析：由过两点的直线的斜率公式可得kPQ＝ eq \f(3－a－b,3－b－a)＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1. 答案：－1 8．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率． 解：由斜率公式可得kAB＝ eq \f(6－(－4),6－(－2))＝ eq \f(5,4)， kBC＝ eq \f(6－6,6－0)＝0，kAC＝ eq \f(6－(－4),0－(－2))＝5. 由kBC＝0知直线BC∥x轴， 故BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在． 设AB，AC边上高线的斜率分别为k1，k2，由k1kAB＝－1，k2kAC＝－1， 即 eq \f(5,4)k1＝－1，5k2＝－1，解得k1＝－ eq \f(4,5)，k2＝－ eq \f(1,5). 综上可知，BC边上的高所在直线的斜率不存在； AB边上的高所在直线的斜率为－ eq \f(4,5)； AC边上的高所在直线的斜率为－ eq \f(1,5). 9．当m为何值时，过A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)两点的直线： (1)倾斜角为135°； (2)与过(3，2)，(0，－7)两点的直线垂直； (3)与过(2，－3)，(－4，9)两点的直线平行． 解：(1)由kAB＝ eq \f(m－3,2m2)＝tan 135°＝－1， 解得m＝－ eq \f(3,2)或m＝1. (2)由kAB＝ eq \f(m－3,2m2)，且 eq \f(－7－2,0－3)＝3， 得 eq \f(m－3,2m2)＝－ eq \f(1,3)，解得m＝ eq \f(3,2)或m＝－3. (3)令 eq \f(m－3,2m2)＝ eq \f(9＋3,－4－2)＝－2，解得m＝ eq \f(3,4)或m＝－1. 经检验，当m＝ eq \f(3,4)或m＝－1时，均符合题意． 【综合运用】 10．已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，则k1＋k2＋k3的值是(　　 ) A．1 B． eq \f(3,2) C． eq \f(7,2) D．1或 eq \f(7,2) 解析：选D．由k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根， 解方程得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k1＝－\f(1,2)，,k3＝2))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k1＝2，,k3＝－\f(1,2)．)) 又l1∥l2，所以k1＝k2，所以k1＋k2＋k3＝1或 eq \f(7,2). 11．(知识融合)已知两点A(2，0)，B(3，4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，且O，A，B，C四点共圆，则y的值是(　　 ) A．19 B． eq \f(19,4) C．5 D．4 解析：选B．由O，A，B，C四点共圆可以得出四边形OABC的对角互补，又由题意得∠COA＝90°，所以∠CBA＝90°，所以AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，即 eq \f(4－0,3－2)· eq \f(4－y,3－0)＝－1，解得y＝ eq \f(19,4). 12．如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长|AD|＝5 m，宽|AB|＝3 m，其中一条小路为AC，另一条小路过点D．在BC上有一点M，使得两条小路AC与DM互相垂直，此时BM的长为 m. 解析：以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，3)，D(5，3)，C(5，0)，设M(x，0)，0<x<5.由题意可知直线AC和直线DM的斜率都存在，由于AC与DM互相垂直，所以kAC·kDM＝－1，即 eq \f(0－3,5－0)· eq \f(0－3,x－5)＝－1，解得x＝ eq \f(16,5)，所以BM的长为 eq \f(16,5) m. 答案： eq \f(16,5) 13．已知M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0). (1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ； (2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角． 解：(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3， 又PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1，即 eq \f(y,x－3)×3＝－1.① 由已知得kPN＝－2，又PN∥MQ， 可得kPN＝kMQ，即 eq \f(y＋1,x－1)＝－2.② 联立①②，解得x＝0，y＝1，即Q(0，1). (2)设Q(m，0)，因为∠NQP＝∠NPQ，所以kNQ＝－kNP. 又kNQ＝ eq \f(2,2－m)，kNP＝－2， 所以 eq \f(2,2－m)＝2，即m＝1，所以Q(1，0). 又因为M(1，－1)，所以MQ⊥x轴． 所以直线MQ的倾斜角为90°. 14．如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，求△ABC的面积的最小值． 解：以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，垂直于l1的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设B(a，－2)，C(b，3). ∵AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1， ∴ eq \f(3,b)· eq \f(－2,a)＝－1，则ab－6＝0，ab＝6，b＝ eq \f(6,a). ∴Rt△ABC的面积S＝ eq \f(1,2)|AB|·|AC|＝ eq \f(1,2) eq \r(a2＋4)· eq \r(b2＋9)＝ eq \f(1,2) eq \r(a2＋4)· eq \r(\f(36,a2)＋9)＝ eq \f(1,2) eq \r(72＋9a2＋\f(144,a2))≥ eq \f(1,2) eq \r(72＋72)＝6(当且仅当a2＝4时取等号). 所以△ABC的面积的最小值为6. $