1.1.2 空间向量的数量积运算课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，涵盖空间向量的夹角、数量积及投影向量等核心知识点。通过平面向量夹角定义迁移引入空间向量夹角，对比平面与空间数量积建立联系，结合正四棱台、正方体实例构建从定义到运算律再到应用的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察空间形式，如正四棱台高与底面边的垂直关系判断；用数学思维推理，如异面直线方向向量夹角转化为直线夹角；用数学语言规范表达，如投影向量公式推导。例题变式结合，总结求角、距离、垂直的方法，助力学生空间观念与运算能力提升，方便教师系统开展教学。

第一章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算 知识点一 空间向量的夹角 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角就可以像平面向量那样来定义. a b . O A B 如果<>＝ ，那么向量互相垂直，记作 . π 2 两个非零向量，在空间中任取一点O，做 OA＝ ，OB＝ ，则∠AOB叫做向量的夹角，记作<>，规定0 ≤<>≤π. 新 课 讲 授 如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别是对角线AC，A1C1的中点，则〈〉＝____，〈〉＝____． 由题意得方向相同，故〈〉＝0°． 由题意知OO1是正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高， 故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1， 故〈〉＝90°． 0° 90° 当堂检测 作者编号：32100 平面向量的数量积 空间向量的数量积 已知两个非零向量，它们的夹角为θ，我们把数量||||cosθ叫做向量的数量积(或内积)，记作，即 知识点二 空间向量的数量积 新 课 讲 授 2. 零向量与任意向量的数量积为0： 1. 向量的数量积运算结果是一个数； “·”不可省略 3. 求模： 4.空间向量的数量积的运算律： 如: 新 课 讲 授 夹角 数量积 范围： 角度： 垂直： 长度： 课 堂 总 结 1. 判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）两向量的数量积是实数( ) √ （2）对于非零向量 ， ， 与 ， 相等( ) × （3）对于任意向量 ， ， ，都有 ( ) × （4） ( ) √ 当 堂 检 测 7 2. 已知两异面直线的方向向量分别为 ， ，且 ， ，则两直线的夹角为( ) A. B. C. D. B 解析：设向量a，b的夹角为θ，则cos θ = coscos </m> ，所以 θ = 120°， 则两个方向向量对应的直线的夹角为180°-120°= 60°. 当 堂 检 测 8 例1 已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 A 解析：∵p⊥q且|p|＝|q|＝1， ∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1. 新课讲授 学习目标 课堂总结 当堂检测 训练1 若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量， 则|a－b＋2c|＝________. 变式训练 解析 |a－b＋2c|2＝(a－b＋2c)2 ＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c ＝5. ∴|a－b＋2c|＝ . 新课讲授 学习目标 课堂总结 当堂检测 练一练 1 作者编号：32003 例2：如图，已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于2<m>，</m>，<m></m>，</m>分别是，，的中点.求下列向量的数量积： （1）； （2）； 解析： (1)在空间四边形中，， 且，，. (2)，，，， . 学习目标 问题导学 牛刀小试 课题总结 12 （3）； （4）. 解析：(3)，，又，，， . (4)，，，∴，=，， . 方法总结：要求<m></m>与<m></m>的数量积，需已知<m></m>，<m></m>和<m></m>，，<m></m>与<m></m>的夹角与<m></m>，<m></m>的方向有关，正确判断夹角的大小，才能使计算准确. 例2：如图，已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于2<m>，</m>，<m></m>，</m>分别是，，的中点.求下列向量的数量积： 学习目标 问题导学 牛刀小试 课题总结 13 练习：如图，已知正方体的棱长为1，则 ( @23@ ) A. B. C. D. C 解析： ，故选C. 学习目标 问题导学 牛刀小试 课题总结 14 如图所示长方体ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中点，AA′＝AD＝2，AB＝4，求： (1)·= ； (2)·= ． 练一练 2 [解](1)法一：因为是长方体，而且AA′＝AD＝2， 所以〈〉＝∠B′BC′＝45°，＝AA′＝1， ＝BC′＝， 因此＝＝2＝2． 作者编号：32100 (2)在长方体ABCD-A′B′C′D′中，， ， ∴＝ ×22＝－2．即＝－2． 如图所示长方体ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中点，AA′＝AD＝2，AB＝4，求： (1)·= ； (2)·= ． 练一练 －2 作者编号：32100 4. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与BC1所成角的大小为 ( ) (A) 60° (B) 90° (C) 105° (D) 75° 解析：设 BB1= 1，则AB = ，= ，==， = ()(+)=2 = 1× ×cos 60° =0， ,AB1BC1.AB1与BC1，所成角的大小为90，故选B. B 学习目标 新课讲授 当堂检测 课堂总结 归纳总结 利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法： 角转化 取向量 求余弦值 定结果 异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求分弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小． 利用数量积求向量夹角的余弦值或夹角的大小； 异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； 根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量； 新课讲授 学习目标 课堂总结 当堂检测 2.如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，则=(　　) A.-1 B.1 C. D. B 作者编号：32101 例3 已知在平行六面体ABCD-A´B´C´D´，AB＝5，AD＝3，AA´＝7， ∠BAD＝ 60°，∠BAA´＝∠DAA´＝45°. （1） · ；（2）AC´的长（精确到0.1）。 D' C' B' D A B C A' 新 课 讲 授 归纳总结 利用空间向量求线段的长度或两点的距离： (2)用已知模和夹角的向量表示该向量； (1)结合图形将所求线段用向量表示； (3)利用 ，通过计算求出，即得所求线段的长度或两点间的距离． 新课讲授 学习目标 课堂总结 新 课 讲 授 例2：如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD. P D C B A 证明：在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD， 由余弦定理得，BD＝AD，所以AD2＋BD2＝AB2， 所以DA⊥BD，则 . 由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BD，则 . 又 ， 所以 . 即PA⊥BD. 典例分析 新课讲授 学习目标 课堂总结 当堂检测 利用数量积证明垂直问题： 归纳总结 (3)利用数量积运算完成判定． (2)用已知向量表示未知向量． (1)将所证明垂直的线段设为向量． 新课讲授 学习目标 课堂总结 (法1) (法2) 新 课 讲 授 3.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的菱形，CC1=2，∠C1CB=∠BCD= ∠C1CD=60°. (1)求CA1的长；(2)求证:CA1⊥B1D1. 作者编号：32101 3.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的菱形，CC1=2，∠C1CB=∠BCD= ∠C1CD=60°. (2)求证:CA1⊥B1D1. 作者编号：32101 （1）向量a在向量b上的投影 先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图① α b a a c ① 知识点三 投影向量 向量c称为向量a在向量b上的投影向量． 新 课 讲 授 （2）向量a在直线l上的投影 α a a c l 如图,向量c称为向量a在直线l上的投影向量． 新 课 讲 授 如图，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′， β a a A B A′ a′ B′ （3）向量a在平面β上的投影 则向量A′B′(a′)称为向量a在平面β上的投影向量． 新 课 讲 授 例3：如图，已知四棱柱 的底面 是矩形， ， ， ， ， 为棱 的中点，则 _____； 在 上的投影向量是_ ______. <m></m> <m></m> 解析：由图可知， 所以</m>=</m><m></m>， <m>. 故在上的投影是，<m>在上的投影向量是. 方法总结：根据投影的定义可得，此结论用于求空间中的距离问题时，注意区分投影与投影向量. 方法总结：根据投影的定义可得，此结论用于求空间中的距离问题时，注意区分投影与投影向量. 学习目标 问题导学 牛刀小试 课题总结 31 练习3：如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，.设，，.若，，，求向量在上的投影. 解析：由图可知<m></m><</m>m </m>＝</m>， 所以<. 因为 </m>；；； 所以，所以. 所以向量在上的投影是 学习目标 问题导学 牛刀小试 课题总结 32 空间向量的数量积 空间两个向量的夹角 定义 几何意义 运算律 性质 利用向量解决立体几何问题的应用 本课小结 作者编号：32100 (1)解 设=a,=b,=c,则|a|=|b|=1,|c|=2. ∵∠C1CB=∠BCD=∠C1CD=60°, 则a·c=b·c=1×2×cos 60°=1,a·b=1×1×cos 60°=. ∵=a+b+c, ∴||=|a+b+c|= , 故CA1的长为. (2)证：由题得=a-b, ∴=(a+b+c)·(a-b)=a2-b2-b·c+a·c=1-1-=0, ∴. 故CA1⊥B1D1. $