1.1.2 空间向量的数量积运算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，涵盖夹角、数量积定义与性质、投影向量及应用。通过“力做功”实例导入，类比平面向量知识，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接旧知与新知。 其特色是注重类比迁移与情境应用，结合正四面体、正方体等几何体例题，总结运算步骤，培养空间观念和推理能力。学生能提升数学表达与问题解决能力，教师可借助结构化内容高效教学。

1.1.2 空间向量的数量积运算 1 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力 所做的功 ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引 进了“数量积”的概念，本节课我们学习空间向量的数量积问题. 返回导航 新课导入 2 1.了解空间向量的夹角. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量的数量积求 空间两点间的距离. 返回导航 学习目标 3 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 4 PART 01 新知学习 探究 5 一 空间向量的夹角 思考 类比平面向量夹角的相关概念，探究空间向量夹角的概念. 提示： 只要把两个空间向量平移到同一起点，就可利用平面向量的方法 定义空间向量的夹角. 返回导航 6 ［知识梳理］ 定义 如图，已知两个非零向量,,在空间任取一点，作 ， ，则①_______叫做向量, 的夹角 _________________________________ 记法 , 范围 ②___, ③___,当,④_ _时， 返回导航 7 ［即时练］ 1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）空间向量与的夹角等于空间向量与 的夹角.( ) × （2）对于空间非零向量，，若，则， .( ) × （3）对于空间非零向量，，，与， 相等.( ) × （4）在正四面体中，与的夹角等于 .( ) × 返回导航 8 2.已知,是空间非零向量，若，则, ___. 解析：因为，所以非零向量,不可能共线，设 , ,利用平行四边形法则得到 ， 如图，所以,所以 为等边三角形，得 ，故 ， 即, . 返回导航 9 3.如图，在长方体 中，若 ，,则向量与的夹角为__, 与 的夹角为__. 解析：易知，而， ,所以 ，即.因为，所以与 的夹角为 ；因为 平面， 平面,所以 ， 所以与的夹角为 . 返回导航 10 对两个空间向量夹角的理解 （1）两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时， 夹角为<m></m> .故<m></m>，<m></m>或<m></m>,<m></m>，<m></m>为非零向量<m></m>； <m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>. 返回导航 11 二 空间向量的数量积 思考1 回忆平面向量数量积的定义. 提示：已知两个非零向量和,它们的夹角为 ,则数量 叫做 与的数量积（或内积），记作，即 . 思考2 类比平面向量数量积的性质与运算律，探究空间向量数量积的性质 与运算律. 提示：通过空间向量数量积可以求向量间的位置关系、向量的模、向量的 夹角，并且数量积的运算也满足交换律、分配律. 返回导航 12 ［知识梳理］ 1.数量积的定义 已知两个非零向量,,则,叫做, 的数量积,记作①_____.即 ②_______________. ， 返回导航 13 2.数量积的性质,是非零向量 向量 数量 积的 性质 垂直 ③_________ 共线 同向： 反向： 模 ④______________； ； 夹角 为,的夹角,则 , 返回导航 14 3.数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 ⑤________, 交换律 ⑥_____ 分配律 返回导航 15 4.投影向量 类别 作法 图形表示 符号表示 向量 在向量 上的投影向 量 将向量,（直线 ）平移到同 一个平面 内，利用平面上 向量的投影，得到与向量 （直线 的方向向量）共线的 向量 ___________________________________ , 向量 在直线 上的投影向 量 ___________________________________ 返回导航 16 类别 作法 图形表示 符号表示 向量 在平面 上的投影 向量 分别由向量的起点 和终点 作平面 的垂线，垂足分别 为，，得到向量 _________________________________ 续表 返回导航 17 ［例1］ （1）在正四面体中，棱长为2，且是棱 中点，则 的值为( ) A. B. C. D. √ 返回导航 18 解析：如图所示， 由正四面体的性质可得， ， 由是棱 中点， 得 . 返回导航 （2）如图，在棱长为1的正方体中，为棱 上任意 一点.则向量在直线上的投影向量为____， ___. 1 解析：在正方体中，，且，因此 即 为在直线上的投影向量，所以 . 返回导航 20 （1）求空间向量数量积的步骤 ①将各个向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； ②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积 形式； ③代入, 求解. （2）空间向量数量积 的几何意义 数量积等于向量在向量上的投影向量与向量 的数量积，即 . 返回导航 21 ［跟踪训练1］ （1）在正三棱柱中，， ,则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：选B.根据题意得 ， 所以，等边三角形 中， ，因此 . √ 返回导航 22 （2）在四棱锥中，四边形为正方形， ， 且 底面，则向量在平面 上的投影向量是____， ____. 解析：如图， 因为 底面，所以向量在平面 上的 投影向量是 . 返回导航 23 方法一：因为 底面，所以 ， 因为四边形为正方形，，所以 ， 所以 . 方法二：,又在上的投影向量为 ，所以 ，即 . 返回导航 24 三 空间向量数量积的应用 角度1 求长度 ［例2］ （对接教材例2）如图，在平行六面体 中，底面 为正方形， ，， .设 ，， . （1）用，，表示 ； 【解】因为, ，且 . 所以 . 返回导航 25 （2）求 的长度. 【解】由（1）知 . 根据向量运算法则 . 因为底面为正方形， ， 所以， . 又，所以 . 由于 ， 返回导航 26 所以 ， . 而，所以 . 则 . 根据向量的模长公式得 . 返回导航 27 利用向量的数量积求两点间的距离的思路 先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形 式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式 <m></m>求解即可. 返回导航 28 角度2 求夹角 ［例3］ 如图，在正方体中，点 满 足，则, _______. 返回导航 29 解析：设正方体棱长为3， ， ,故 ， . ,则, ， 返回导航 母题探究 在本例中，异面直线与所成的角 的余弦值为_ ____. 解析：因为异面直线与直线所成的角, ，所以 , . 返回导航 31 利用数量积求夹角或余弦值的步骤 注意 求两向量的夹角，必须特别关注两向量的方向，应用向量夹角定义 确定夹角的大小. 返回导航 32 角度3 证垂直 ［例4］ （对接教材例3）如图，是平面 的斜线， 为斜足， ，为垂足， ，且.求证： . 【证明】 因为，所以，因为 ， ，所 以，.又 ，所以 ，故 . 返回导航 33 用向量法证明垂直关系的步骤 （1）把几何问题转化为向量问题； （2）用已知向量表示所证向量； （3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0； （4）将向量问题回归到几何问题. 返回导航 34 ［跟踪训练2］ （1）已知空间向量，，满足， ， ，，则与 的夹角为( ) A. B. C. D. 解析：选D.设与的夹角为 ，由，得 ，两边同时平 方得，即 ，解得 ，又 ，所以 . √ 返回导航 35 （2）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段 的中点. ①用,,表示，并求出 ； 返回导航 36 解：因为点是 的重心， 所以 . 因为点是线段 的中点， 所以 . 返回导航 37 因为正四面体 的棱长为2，所以 , 所以 , 所以 . 返回导航 38 ②求证： . 证明： , 所以 . 返回导航 39 PART 02 课堂巩固 自测 40 1.已知空间单位向量，，两两垂直，则 ( ) A.1 B. C.3 D. 解析：选D.由题意，，，， , , 所以 . √ 返回导航 41 2.在空间四边形中，，，则向量, 的夹 角为( ) A. B. C. D. 解析：选D.如图所示， ，所以 ，所以 ， . 因为 ，又 ， ，则 √ 返回导航 42 3.（多选）设， 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有 ( ) A. B. C. D. 解析：选 .对于A，向量不能作除法，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，,, ,C错误； 对于D， ，D正确. √ √ 返回导航 43 4.在三棱锥中，， ， ，则 __. 解析：如图， 因为， ， ，则 . 返回导航 44 5.（教材P练习T改编）如图，已知线段，在平面 内， , ，且，,,则 _____. 返回导航 45 解析：方法一：由于 ，, ，所以, ,又 ,所以，， .因为 ,所以，所以 . 方法二：连接（图略），在 中，由勾股定理得 .因为 , ,所以 ， 在中，由勾股定理得 . 返回导航 46 1.已学习：空间向量的夹角、投影向量、空间向量数量积的性质及运算律. 2.须贯通：利用空间向量的数量积求向量的夹角与模，体现了化归转化的 思想方法. 3.应注意：（1）当空间向量,的夹角 为锐角时， ;但当 时， 不一定为锐角，因为 也可能为0； （2）当时，由可得或 . 返回导航 47 $