1.5.2 有理数的除法 课件-2025--2026学年湘教版七年级数学上册

湘教版（2024）数学7年级上册 第1章 有理数 1.5.2 有理数的除法 你能迅速说出下列算式的结果吗? 小学时我们就知道除法是乘法的逆运算，那它在有理数的运算中也满足吗？ 乘法 除法 2×3 = 6 3×4 = 12 0×3 = 0 0÷3 = 12÷3 = 12÷4 = 6÷2 = 6÷3 = 3 3 2 4 0 # 1.5.2 有理数的除法（初中七年级数学） ## 一、导入新课（5分钟） 1. **旧知关联+问题设疑**：先回顾有理数乘法法则和倒数概念，接着给出实际问题——某登山队在海拔变化监测中，3小时内海拔共下降了15米，若海拔变化均匀，每小时海拔变化量是多少？引导学生列出算式\((-15)÷3\)。再补充算式\(6÷(-2)\)、\((-8)÷(-4)\)，提问“这些含负数的除法算式该怎么计算？和乘法有什么关联？”。 2. **引出课题**：结合“除法是乘法逆运算”的小学知识，引导学生思考\(6÷(-2)\)等价于找一个数与\(-2\)相乘得6，进而引出本节课核心——有理数的除法，说明其可通过转化为乘法来求解。 ## 二、探究新知（20分钟） 围绕除法与乘法的逆运算关系，推导有理数除法法则，补充关键注意事项，同时拓展多位数除法规律，层层递进夯实基础： 1. **核心除法法则推导** 分情况通过逆运算和实例探究，归纳两类实用法则： - 法则一（转化法）：因为除法是乘法的逆运算，结合倒数概念推导。比如计算\(8÷(-2)\)，可转化为找一个数x，使\(x×(-2)=8\)，得出x=-4；而\(8×(-\frac{1}{2})=-4\)，由此总结**除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数**，符号表示为\(a÷b = a×\frac{1}{b}(b≠0)\)。 - 法则二（直接法）：类比乘法符号规律探究。正正相除如\(12÷3 = 4\)，同号得正；正负相除如\((-15)÷3=-5\)，异号得负；负负相除如\((-20)÷(-4)=5\)，同号得正。再观察绝对值，发现结果的绝对值都是被除数与除数绝对值的商。同时补充：**0除以任何不等于0的数都得0**，且**0不能作除数**，因为找不到一个数与0相乘得到非0数，0作除数无意义。 综上整合：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不等于0的数都得0，0不能作除数。计算时可根据算式特点选法则，整数相除选直接法，含分数、小数时选转化法更简便。 2. **与倒数的关联强化** 强调运用法则一的关键是掌握倒数，回顾：乘积为1的两个数互为倒数。并补充有理数倒数的特点：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；1和-1的倒数是它们本身；小数或带分数需先化为最简分数再求倒数，如\(-0.25=-\frac{1}{4}\)，其倒数是\(-4\)。 3. **多个有理数连除规律** 当除法算式中因数个数超过2个时，按“从左到右”的顺序计算，且可统一转化为乘法运算。例如\((-24)÷3÷(-2)\)，先转化为\((-24)×\frac{1}{3}×(-\frac{1}{2})\)，再按多个有理数乘法规则计算，负因数个数为2（偶数），积为正，绝对值相乘得\(24×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=4\)，最终结果为4。 ## 三、例题讲解（12分钟） ### 例题1：基础两数相除 - 题目：计算（1）\((-18)÷6\)；（2）\((-21)÷(-7)\)；（3）\(0÷(-9)\) - 解答： （1）异号得负，绝对值相除：\((-18)÷6 = -(18÷6)= -3\)； （2）同号得正，绝对值相除：\((-21)÷(-7)=21÷7 = 3\)； （3）0除以非0数得0：\(0÷(-9)=0\)。 - 小结：牢记符号判断规则，区分0作被除数和除数的不同情况。 ### 例题2：含分数、小数的除法 - 题目：计算（1）\((-\frac{3}{4})÷(-\frac{9}{8})\)；（2）\(1.2÷(-\frac{3}{5})\) - 解答： （1）转化为乘法，乘除数倒数：\((-\frac{3}{4})÷(-\frac{9}{8})=(-\frac{3}{4})×(-\frac{8}{9})=\frac{2}{3}\)； （2）先化小数为分数，再转化乘法：\(1.2=\frac{6}{5}\)，\(\frac{6}{5}÷(-\frac{3}{5})=\frac{6}{5}×(-\frac{5}{3})=-2\)。 - 小结：分数、小数除法优先转化为分数乘法，约分后计算更简便。 ### 例题3：多个有理数连除 - 题目：计算\((-48)÷(-6)÷(-2)\) - 解答：先从左到右转化乘法：\((-48)×(-\frac{1}{6})×(-\frac{1}{2})\)；再定符号，负因数3个（奇数）得负；最后算绝对值：\(48×\frac{1}{6}×\frac{1}{2}=4\)，最终结果为\(-4\)。 - 小结：多个数连除转化为乘法后，按多个有理数乘法的符号规则和计算步骤求解。 ## 四、课堂练习（8分钟） 1. **基础题**：计算\((-0.75)÷0.25\)；\(0÷(-\frac{2}{3})\)；\((-12)÷(-\frac{1}{4})\)（答案：-3；0；48）。 2. **中档题**：计算\((-16)÷(-\frac{4}{3})÷(-\frac{9}{8})\)（答案：\(-\frac{32}{3}\)，提示：转化为\(-16×\frac{3}{4}×\frac{8}{9}\)，约分后计算）。 3. **拓展题**：已知两个有理数的商为正数，且被除数为\(-12\)，其中一个因数的倒数是\(-\frac{1}{3}\)，求另一个数。（答案：4，提示：商为正则除数为负，倒数是\(-\frac{1}{3}\)的数是\(-3\)，除数为\(-12÷(-3)=4\)）。 练习后重点纠正学生符号判断错误、0作除数的误区，以及转化乘法时忘记求倒数的问题。 ## 五、课堂小结（2分钟） 1. 牢记有理数除法的两类法则，核心是将除法转化为乘法，符号判断与乘法一致； 2. 关键禁忌：0不能作除数，0除以任何非0数都得0； 3. 易错点：转化乘法时漏求除数的倒数、多个数连除时顺序错误； 4. 强调该知识是后续有理数混合运算的基础，需熟练掌握转化思想，灵活运用法则。 情景导入 有理数的除法法则 1 _____×(-3)＝6 ____×(-3)＝-6 ____×3＝-6 自主探究 (-2) 除法是乘法的逆运算 6÷(-3)＝_____； (-6)÷(-3)＝_____. (-6)÷3＝_____. -2 2 1. 填空： 2 思考：观察上述式子，你能发现除法跟乘法的关系吗？ (-2) -2 知识要点 从这些式子受到启发，抽象出有理数的除法运算： 对于两个有理数 a，b，其中 b 不为 0，如果有一个有理数 c，使得 cb = a，那么规定 a÷b＝c，且把 c 叫作 a 除以 b 的商. 独立思考 类比有理数的乘法，从符号和绝对值两个角度观察这些算式，你能得出什么结论？ 6÷(－3)＝－2； (－6)÷(－3)＝2. (－6)÷3＝－2； 6÷3＝2； ① 同号两数相除得正数， 有理数除法法则(二)： 知识要点 (＋)÷(＋) → (＋) (－)÷(－) → (＋) (－)÷(＋) → (－) (＋)÷(－) → (－) ② 异号两数相除得负数，并把它们的绝对值相除； ③ 0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0. 典例精析 例1 计算： (1) (－24)÷4； (2) (－18)÷(－9)； (3) 10÷(－5)； (4) 0÷(－10). 解：(1) (－24)÷4＝－(24÷4)＝－6. (2) (－18)÷(－9)＝18÷9＝2. (3) 10÷(－5)＝－(10÷5)＝－2. (4) 0÷(－10)＝0. 练一练 (2) (－15)÷(－3)； (3) (－0.75)÷0.25. 1. 计算：(1) (－36)÷9； 解：(1) (－36)÷9＝－(36÷9)＝－4. (3) (－0.75)÷0.25＝－( 0.75 ÷ 0.25 )＝－3. (2) (－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5. 倒数和分数化简 2 有什么关系？ 问题：计算并填空： 10× ＝_____； (-2)×(-1)＝_____； (-840)× ＝_____. -2 2 -120 10÷(-5)＝_____； (-2)÷(-1)＝_____； (-840)÷ 7 ＝_____. -2 2 -120 ＝ ＝ ＝ (-1)×(-1)＝1 倒数 知识要点 若两个有理数的乘积等于 1，则把其中一个数叫作另一个数的倒数，也称它们互为倒数，0 没有倒数. 例如， 是－5 的倒数. 知识要点 10÷(-5)＝10× (-2)÷(-1)＝(-2)×(-1) (-840)÷ 7＝(-840)× 有理数除法法则： 用字母表示为： 除以一个不等于 0 的数等于乘这个数的倒数. (b 不为 0). 典例精析 例2 计算： (1) (－12)÷ ； (2) 15÷ ； (3) ÷ . 解：(1) (－12)÷ ＝ (－12)×3＝ －36. (2) 15÷ ＝15× ＝－35. 练一练 1. 计算： (2) 原式 = (1) (内蒙古校考) 解：(1) 原式 = = 3. 带分数和小数可化为分数计算 1. 下列各组数中，互为倒数的是( ) C A. 0.5和5 B. 和 C. 5和 D. 和10 2. ［2025永州期末］ 的倒数的相反数是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 14 3. 下列计算不正确的是( ) D A. B. C. D. 4. 下列化简：;; ; ; .其中正确的有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 考试考法 15 5. 如图，要使的运算结果最小，则“ ”内应填入的运算 符号为( ) B A. B. - C. × D. 考试考法 16 6.点,表示的两个数在数轴上互为相反数，且点 向左平移 8个单位长度到达点,,表示的数互为倒数，则,, 三个 点所表示的数分别是___,____和____. 4 7.已知，，且，则 ____. 【点拨】因为，，且 ， 所以，或，，所以 . 返回 考试考法 17 0 除以任何一个________的数，都得_______ 除以一个__________的数，等于乘这个数的________ 两数相除，同号得_____，异号得____，并把________相除 有理数除法法则 正 倒数 负 绝对值 不等于 0 0 不等于 0 课堂小结 谢谢观看！ $