1.5.1.1 有理数的乘法 课件-2025--2026学年湘教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦有理数的乘法法则，通过登山气温变化情境导入，回顾小学乘法分配律与相反数知识，引导学生从有理数加减法自然过渡到乘法运算，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以合作探究为核心，利用乘法分配律推理法则形成过程，结合典例精析分步骤明确符号与绝对值运算，融入跨学科（化学温度计算）和数形结合等实例。通过数学思维（推理意识、运算能力）与数学语言（模型意识），帮助学生发展运算能力和推理意识，为教师提供结构化教学资源提升教学效率。

湘教版（2024）数学7年级上册 第1章 有理数 1.5.1.1 有理数的乘法 2. 小学学过的乘法对加法的分配律是什么？ a×(b＋c)＝a×b＋a×c 1. 如果两个数的和为 0，那么这两个数 . 互为相反数 由前面的学习我们知道，正数的加减法可以扩充到有理数的加减法，那么乘法是不是也可以扩充呢? # 1.5.1.1 有理数的乘法（初中七年级数学） ## 一、导入新课（5分钟） 1. **情境设问**：展示登山情境问题——登山队攀登一座山峰，每登高1km气温的变化量为\(-6℃\)，提问“登高3km后，气温会有怎样的变化？该用什么算式表示？”；再补充“若登山队员下山2km，气温变化量又该如何计算？”。学生容易列出\(3×(-6)\)和\((-2)×(-6)\)这类含负数的乘法算式。 2. **引出课题**：引导学生发现这类算式无法用小学乘法知识求解，而之前已经掌握了有理数的加减运算，进而提出“有理数的乘法该遵循怎样的规则”的问题，自然引出本节课主题——有理数的乘法。 ## 二、探究新知（20分钟） 围绕“符号规律+绝对值运算”的核心，通过规律推导法则，再拓展多个有理数相乘的情况，夯实学生基础认知： 1. **两数相乘法则推导** 从规律探究入手，分情况逐步引导学生归纳： - 正正相乘：如\(3×2 = 6\)，这是小学学过的整数乘法，观察可得“正数乘正数，积为正，且积的绝对值是两个因数绝对值的积”。 - 正负相乘：结合导入问题，登高1km气温降\(6℃\)，登高3km就是\(3×(-6)\)，气温下降\(18℃\)，结果为\(-18\)；再举例\((-4)×5=-20\)，总结“正数乘负数、负数乘正数，积为负，积的绝对值是两个因数绝对值的积”。 - 负负相乘：思考下山与登高方向相反，下山2km对应\((-2)×(-6)\)，气温应上升\(12℃\)，结果为\(12\)；再举例\((-3)×(-5)=15\)，得出“负数乘负数，积为正，积的绝对值是两个因数绝对值的积”。 - 与0相乘：如\(0×7 = 0\)、\((-8)×0 = 0\)，归纳“任何数同0相乘，都得0”。 综上，总结法则：**两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0**。同时明确计算步骤：先定符号，再算绝对值。 2. **倒数概念补充** 结合算式\(2×\frac{1}{2}=1\)、\((-\frac{3}{4})×(-\frac{4}{3}) = 1\)，引出倒数定义：**乘积为1的两个数互为倒数**。强调0没有倒数，因为0与任何数相乘都得0，无法得到1；求分数或小数的倒数时，需先将其化为最简分数形式，如\(1.2\)化为\(\frac{6}{5}\)，其倒数为\(\frac{5}{6}\)。 3. **多个有理数相乘规律** 当因数个数超过2个时，拓展运算规律： - 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负，再将各数的绝对值相乘。例如\((-2)×(-3)×(-4)\)，负因数有3个（奇数），积为负，绝对值相乘得\(2×3×4 = 24\)，最终结果为\(-24\)。 - 几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0。例如\((-5)×3×0×(-2)=0\)。 ## 三、例题讲解（12分钟） ### 例题1：基础两数相乘 - 题目：计算（1）\((-7)×4\)；（2）\((-6)×(-8)\)；（3）\(0×(-\frac{1}{3})\) - 解答： （1）异号相乘得负，绝对值相乘：\((-7)×4 = -(7×4) = -28\)； （2）同号相乘得正，绝对值相乘：\((-6)×(-8)=6×8 = 48\)； （3）任何数乘0得0：\(0×(-\frac{1}{3}) = 0\)。 - 小结：严格遵循“先定符号，再算绝对值”的步骤，避免符号错误。 ### 例题2：含分数、小数的乘法 - 题目：计算（1）\((-\frac{2}{3})×(-\frac{9}{4})\)；（2）\(1.5×(-2)\) - 解答： （1）负负得正，分数相乘约分：\((-\frac{2}{3})×(-\frac{9}{4})=\frac{2×9}{3×4}=\frac{3}{2}\)； （2）小数化整数或分数计算：\(1.5×(-2)=\frac{3}{2}×(-2)= -3\)。 - 小结：分数相乘优先约分简化计算，小数可转化为分数，再按法则运算。 ### 例题3：多个有理数相乘 - 题目：计算\((-1)×(-2)×(-3)×4\) - 解答：先看符号，负因数有2个（偶数），积为正；再算绝对值相乘：\(1×2×3×4 = 24\)，最终结果为\(24\)。 - 小结：多个有理数相乘，先根据负因数个数定符号，再计算绝对值的乘积，步骤清晰不易出错。 ## 四、课堂练习（8分钟） 1. **基础题**： （1）计算：\((-5)×(-6)=\)______；\(7×(-3)=\)______；\(0×8=\)______（答案：30；-21；0）； （2）写出\(-\frac{5}{2}\)的倒数：______（答案：\(-\frac{2}{5}\)）。 2. **中档题**： 计算\((-\frac{1}{4})×(-1.2)\)和\((-3)×(-\frac{2}{3})×(-5)\)（答案：0.3；-10）。 3. **拓展题**： 已知\(a\)的倒数是它本身，\(\vert b\vert = 3\)，求\(a×b\)的值（答案：\(a = ±1\)，所以\(a×b = 3\)或\(-3\)）。 练习后重点讲解拓展题中倒数的特殊情况，以及中档题中多个有理数相乘的符号判断方法，纠正学生易混淆的符号问题。 ## 五、课堂小结（2分钟） 1. 回顾有理数乘法的核心法则，两数相乘看符号，同号得正异号得负，再算绝对值，与0相乘结果为0； 2. 牢记多个有理数相乘时，符号由负因数个数决定，有0则积为0； 3. 梳理易错点：负负相乘易误判为负、求倒数时忽略0无倒数等； 4. 强调该法则是后续学习有理数除法、乘方的基础，需熟练掌握。 情景导入 有理数的乘法运算 1 合作探究 (1) 3×(－5) 应当规定为多少? (2) (－5)×(－3) 应当规定为多少? 为了满足有理数的乘法对加法的分配律， (1) 3×(－5)＋3×5＝ . 提示： 假设有理数的乘法满足乘法对加法的分配律， (2) (－5)×(－3)＋(－5)×3＝ . 合作探究 (1) 3×(－5)＋3×5＝3×[(－5)＋5]＝3×0＝0. 而 3×(－5) 与 3×5 互为相反数， 分析： 3×(－5)＝－(3×5). (1) 3×(－5) 应当规定为多少? 同理可得： (－5)×3＝ ， (－5)×0＝ . 0×(－5)＝ ， －(5×3) 0 0 规定 正数与负数相乘得负数，并把绝对值相乘；0 与负数相乘得 0. 知识要点 (2) (－5)×(－3) 应当规定为多少? 分析： (2) (－5)×(－3)＋(－5)×3 ＝(－5)×[(－3)＋3]＝(－5)×0＝0. 而 (－5)×(－3) 与 (－5)×3 互为相反数， (－5)×(－3)＝－[(－5)×3] ＝－[－(5×3)]＝5×3 规定 负数与负数相乘得正数，并把绝对值相乘. 思考：综合上述结论，类比有理数的加法法则，你能试着归纳出有理数的乘法法则吗？ 有理数的乘法法则 同号两数 异号两数 与 0 的运算 同号两数相乘得正数 0 乘与任何数都得 0 异号两数相乘得负数，并把绝对值相乘 例1 计算： (1) 8×(－1)； 积是负数 负数×正数 －8 积是正数 负数×负数 积是正数 负数×负数 1 (2) ； (3) 典例精析 典例精析 例2 计算： (1) 3×(－2)； (2) (－8)×5； (3) 0×(－6.18)； (4) (1) 3×(－2)＝－(3×2)＝－6. 解： (2) (－8)×5＝－(8×5)＝－40. (3) 0×(－6.18)＝0. (4) (5) ； (6) ； (7) . (5) (6) (7) 做一做 思考：类比有理数加法的运算步骤，应用有理数乘法法则进行计算时，应按照怎样的顺序进行计算? 总结 有理数相乘， 可以先确定__________， 再确定_____ _____. 积的符号 积的绝对值 (＋)×(＋) → (＋) (－)×(－) → (＋) (－)×(＋) → (－) (＋)×(－) → (－) 练一练 1. 计算： (1) (－2.5)×4； (2) (－5)×(－7)； (3) (－5)×0； 答：(1) (－2.5)×4＝－10. (2) (－5)×(－7)＝35. (3) (－5)×0＝0. 1. 母题教材P31例1 下列计算正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 12 2. ［2025永州月考］下列说法中正确的是( ) C A. 两数相乘，积比每一个因数都大 B. 两数相乘，如果积为0，那么这两个因数异号 C. 两数相乘，如果积为0，那么这两个因数中至少有一个为0 D. 两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数都为正数 3. ［2025长沙明德集团期末］若，且 ，则下 列说法正确的是( ) B A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 返回 考试考法 13 4. 已知数轴上的点,分别表示数, ，其 中,.若,数在数轴上用点 表示， 则点,, 在数轴上的位置可能是( ) B A. B. C. D. 考试考法 14 【点拨】因为,,所以 ,即 .所以点应在 和0之间.故选B. 返回 考试考法 15 5. 在化学实验中，常采用水冷却、真空冷却等 方式将物体温度降下来.现采用真空冷却的方式将某种标本的 温度稳定下降，每分钟的变化量是 摄氏度.假设现在标本 的温度是5摄氏度，则4分钟后这种标本的温度是____摄氏度. 返回 考试考法 16 6.在计算 时，小明是这样做的： 原式 （第一步） （第二步） .（第三步） 他的计算对吗？如果不对，是从哪一步开始出错的？把它改 正过来. 【解】不对，是从第二步开始出错的. 改正：原式 . 返回 考试考法 17 7. 有理数，，， 在数轴上的对应点的位置如图所示， 则在下列选项中，正确的是( ) B ①若，则；②若，则 ； ③若，则；④若，则 . A. ①③ B. ①④ C. ② D. ②④ 返回 考试考法 18 有理数的乘法法则 一般法则 应用 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 特殊情况 任何数同 0 相乘，都得 0. 课堂小结 谢谢观看！ $