1.4.1.2有理数的加法运算律 课件-2025--2026学年湘教版七年级数学上册

湘教版（2024）数学7年级上册 第1章 有理数 1.4.1.2有理数的加法运算律 请写出下列算筹表示的两组数和最终结果，计算并观察. # 1.4.1.2有理数的加法运算律（初中七年级数学） ## 一、导入新课（5分钟） 1. **回顾旧知提问**：先让学生快速计算两组小学加法算式：①\(3 + 5\)和\(5 + 3\)；②\((2 + 7) + 3\)和\(2 + (7 + 3)\)。学生得出结果后，引导回忆加法交换律和结合律。再追问：“如果算式里出现负数，比如计算\((-2) + 3\)和\(3 + (-2)\)，\([(-1) + (-4)] + 5\)和\(-1 + [(-4) + 5]\)，结果还相等吗？” 2. **引出课题**：学生通过简单计算发现结果依旧相等，由此引出本节课主题——有理数的加法运算律，说明小学的加法运算律在有理数范围内同样适用，学好它能简化有理数加法计算。 ## 二、探究新知（20分钟） 通过实例验证和规律总结，明确有理数加法的交换律与结合律，同时强调应用注意事项： 1. **加法交换律** ① **实例验证**：计算\((-5) + (-3) = -8\)，交换加数位置得\((-3) + (-5) = -8\)；再计算\(0 + (-6) = -6\)，交换后\((-6) + 0 = -6\)。多次验证后可发现结果均相等。 ② **法则定义**：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。用符号表示为：对于任意有理数\(a\)、\(b\)，都有\(a + b = b + a\)。 ③ **注意要点**：交换加数位置时，要连同数的符号一起交换，不能只交换数字部分。比如交换\((-8) + 2\)中加数的位置，应得到\(2 + (-8)\)，而非\(-2 + 8\)。 2. **加法结合律** ① **实例验证**：计算\([3 + (-6)] + (-2) = (-3) + (-2) = -5\)，改变结合顺序得\(3 + [(-6) + (-2)] = 3 + (-8) = -5\)；再算\((2.5 + (-3.1)) + 2.1 = (-0.6) + 2.1 = 1.5\)，结合后两个数得\(2.5 + [(-3.1) + 2.1] = 2.5 + (-1) = 1.5\)，结果保持一致。 ② **法则定义**：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用符号表示为：对于任意有理数\(a\)、\(b\)、\(c\)，都有\((a + b) + c = a + (b + c)\)。 ③ **拓展说明**：该定律可推广到多个有理数相加，任意改变加数的结合顺序，和依然不变。比如\((a + b) + (c + d) = a + (b + c) + d\)。 3. **核心应用原则** 为简化计算，应用运算律时通常遵循两个原则：一是同号结合，把正数和正数、负数和负数分别结合；二是凑整结合，把互为相反数（和为0）或和为整数的数结合在一起。 ## 三、例题讲解（12分钟） ### 例题1：基础运算律应用 - 题目：用运算律计算（1）\((-7) + 10 + (-3)\)；（2）\([(-4) + 6] + (-5)\) - 解答： （1）用交换律调整顺序，再用结合律凑整：\((-7) + 10 + (-3) = [(-7) + (-3)] + 10 = -10 + 10 = 0\)； （2）用结合律改变计算顺序：\([(-4) + 6] + (-5) = (-4) + [6 + (-5)] = (-4) + 1 = -3\)。 - 小结：优先结合互为相反数的数，能快速得出结果，简化计算步骤。 ### 例题2：分数与小数混合运算 - 题目：计算\((-\frac{1}{2}) + 2.5 + (-\frac{1}{3}) + (-\frac{1}{6})\) - 解答：先统一形式，再结合同分母分数和整数：将\(2.5\)化为\(\frac{5}{2}\)，原式变为\((-\frac{1}{2}) + \frac{5}{2} + [(-\frac{1}{3}) + (-\frac{1}{6})]\)；计算得\(\frac{4}{2} + (-\frac{1}{2}) = 2 - 0.5 = 1.5\)。 - 小结：分数和小数混合相加时，先统一形式，再结合易计算的数，降低出错率。 ### 例题3：实际应用问题 - 题目：一批苹果以每筐50千克为标准，超过的千克数记为正，不足的记为负，记录如下（单位：千克）：2，-4，2.5，3，-0.5，1.5，3，-1，0，-2.5。求这批苹果总重量。 - 解答：先算误差总和，再加标准总重。误差和为\([2 + 2.5 + 3 + 1.5 + 3 + 0] + [(-4) + (-0.5) + (-1) + (-2.5)] = 12 + (-8) = 4\)；总重量为\(50×10 + 4 = 504\)千克。 - 小结：解决实际问题时，用运算律整合数据，可快速算出累计误差，再结合标准值求解更高效。 ## 四、课堂练习（8分钟） 1. **基础题**： （1）计算：\(23 + (-27) + 6 + (-22) =\)______；\((-2) + 3 + 1 + (-3) + 2 + (-4) =\)______（答案：-20；-3）； （2）填空：\((-15) + 9 + 15 = [(-15) + \_\_\_\_] + 9 = \_\_\_\_\)（答案：15；9）。 2. **中档题**： 计算\(1.2 + (-3.3) + (-1.8) + 3.3\)（答案：0，提示：结合互为相反数的\(-3.3\)和\(3.3\)，再算剩余部分）。 3. **拓展题**： 已知\(\vert m\vert = 4\)，\(\vert n\vert = 2\)，用运算律计算\(m + (-n) + (-m) + n\)的值（答案：0，提示：利用交换律和结合律，将\(m\)与\(-m\)、\(-n\)与\(n\)分别结合，互为相反数的两数和为0）。 练习后集体订正，重点讲解混合运算中统一数的形式、合理结合的技巧，纠正只交换数字忽略符号的错误。 ## 五、课堂小结（2分钟） 1. 回顾两个核心运算律的文字表述和符号公式，强调交换加数位置要带符号，结合时优先凑整、凑0； 2. 总结应用价值：运算律能大幅简化多有理数相加的计算，避免复杂的分步运算，减少出错概率； 3. 衔接后续学习：为后续有理数减法、乘法运算中简化计算奠定基础，培养灵活运算的思维习惯。 情景导入 加法运算律 1 ② 5 + (-3) = ____， (-3) + 5 = ____. ① 2 + (-4) = ____ ， (-4) + 2 = ____； 探究一 计算并观察： -2 -2 2 2 (1) 比较以上各组两个算式的结果，它们有什么关系？每组两个算式有什么特征？ (2) 请你再换几个加数试一试，所得的结果如何？ 小学学过的加法交换律在有理数范围内还适用吗？ 方法总结 两个有理数相加，交换加数的位置，___不变. 和 加法交换律： a + b = b + a. 你能用精炼语言表述这一结论吗？ 合作探究 探究二 计算并观察： [(-8) + (-9)] + 5＝ ， (-8) + [(-9) + 5]＝ . 两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试. -12 -12 类比加法的交换律，用精炼语言表述这一结论. 三个有理数相加，先把___两个数相加，或者先把___两个数相加，和不变. 前 后 加法结合律： (a + b) + c = a + (b + c ). 方法总结 解：（1）16 + (-25) + 24 + (-32) = 16 + 24 + (-25) + (-32)        = (16 + 24) + [(-25) + (-32)]   = 40 + (-57)                      = -17.                                例1 计算：(1) 16 + (-25) + 24 + (-32)； 典例精析 (加法交换律) (加法结合律、同号相加法则) (异号相加法则) （2）31 + (-28) + 28 + 69 = 31 + 69 + [(-28) + 28 ] = 100 + 0 = 100. (2) 31 + (-28) + 28 + 69. （加法交换律和结合律 ） 例2 计算：(1) (-32) + 7 + (-8)；(2) 4.37 + (-8) + (-4.37)； (3) 解： （1） （2） 典例精析 解： （3） 练一练 1.计算：(1) 20 + (-17) + 15 + (-10)； 解：(1) 原式 = 20 + 15 + [(-17) + (-10)] = 35 + (-27) = 8 (2) (-1.8) + (-6.5) + (-4) + 6.5； (2) 原式 = [(-1.8) + (-4) ]+[(-6.5) + 6.5] = -5.8 + 0 = -5.8 (3) (-12) + 34 + (-38) + 66； (3) 原式 = [(-12) + (-38)] + (34 + 66) = (-50) + 100 = 50. 议一议 请思考我们在哪些情况下会考虑使用加法运算律？ 考虑使用加法运算律 互为相反数 符号相同 分母相同 相加得整数 先结合相加 加法运算律的应用 2 例3 某 24 小时自助银行服务网点的一台自动存取款机在某时段内处理了以下 6 笔现款储蓄业务： 存入 5 200 元、支出 800 元、支出 1 000 元、 存入 2 500 元、支出 500 元、支出 1 500 元. 问该自动存取款机在这一时段内现款增加或减少了多少元？ 解：记存入为正，则由题意可得 答：该自动存取款机在这一时段内现款增加了 3 900 元. (+5200) + (-800) + (-1000) + (+2500) + (-500) + (-1500) = (5200 + 2500) + [(-800) + (-1000) + (-500) + (-1500)] = 7 700 + (-3 800) = 3 900. 例4 10 袋小麦称后记录如图所示. 10 袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以 50 kg 为标准，10 袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？(请用多种方法解题) 50.5 50.5 50.7 49.2 50.8 49.5 50.6 49.4 50.9 50.4 解法1：先计算 10 袋小麦一共多少千克： 50.5＋50.5＋50.8＋49.5＋50.6＋50.7＋49.2＋49.4＋50.9＋50.4＝502.5 再计算总计超过多少千克： 502.5－50×10＝2.5. 答：10 袋小麦一共 502.5 kg，总计超过 2.5 kg. 解法2：每袋小麦超过 50 kg 的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，10 袋小麦对应的数分别为 +0.5，+0.5，+0.8，－0.5，+0.6，+0.7，－0.8，－0.6，+0.9，+0.4 0.5+0.5+0.8+(－0.5)+0.6+0.7+(－0.8)+(－0.6)+0.9+0.4 ＝[0.5+(－0.5)]+[0.8+(－0.8)]+[0.6+(－0.6)] +(0.5+0.7+0.9+0.4) 50×10＋2.5＝502.5. 答：10 袋小麦一共 502.5 kg，总计超过 2.5 kg. ＝2.5. 1. ［2025湖南师大附中月考］小磊解题时，将式子 先变成 ， 再计算结果，小磊运用了( ) B A. 加法交换律 B. 加法交换律和加法结合律 C. 加法结合律 D. 以上都不对 返回 考试考法 18 2. 下列变形中，运用加法运算律正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 19 3. 在计算 时， 中可以填入 的使该题能用简便方法进行计算的数值为________________. （答案不唯一） 4.计算: ____. 51 返回 考试考法 20 5.母题教材P22例4 一个水利勘察队，第一天向上游走 ， 第二天向上游走，第三天向下游走 ，第四天向 下游走，这时勘察队在出发点的上游__ 处. （规定向上游走为正） 【点拨】.所以勘察队在出发点的上游 处. 返回 考试考法 21 6.母题教材P22练习T1 计算： （1） ； 【解】原式 . 考试考法 22 （2） ; 【解】原式 . （3） . 【解】原式 . 返回 考试考法 23 7. 如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据 图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是( ) C A. B. C. D. 【点拨】根据图中数值，确定墨迹盖住的数在 与 之间，所以盖住的整数是，，，， ，1， 2，3，4，所以盖住的所有整数的和为 . 返回 考试考法 24 数的加法运算律 有理数加法运算律 加法交换律 加法结合律 两个有理数相加，交换加数的位置，____不变 三个有理数相加，先把__两个数相加，或者先把__两个数相加，____不变 和 前 后 和 a+b=b+a (a+b)+c= a+(b+c) 谢谢观看！ $