精品解析：上海市松江区2025-2026学年高三上学期期末（一模）数学试题

松江区2025学年度第一学期期末质量监控试卷 高三数学 （满分150分，完卷时间120分钟） 2025.12 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分. 2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名. 3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的交集运算，即可求解. 【详解】由题意，集合，， 所以. 故答案为： 2. 抛物线的焦点到其准线的距离为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，求出抛物线的焦点坐标及准线方程即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以所求距离为. 故答案为：4 3. 不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式化为一元二次不等式，进而求解解集即可. 【详解】因为，所以，即， 可得，解得. 故答案为： 4. 复数（其中i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用复数的除法法则将化简，再利用复数的几何意义即可得解. 【详解】， 复数在复平面内对应点的坐标为. 故答案为：. 5. 某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）如茎叶图所示，则这组数据的平均数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先读取茎叶图得到数据，再利用平均数公式求解平均数即可. 【详解】由题意得得分数据分别为， 则平均数为. 故答案为： 6. 已知二项式的展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数是_________. 【答案】10 【解析】 【分析】 根据二项式系数和为得到，再利用二项式定理得到答案. 【详解】二项式的展开式的二项式系数之和为，故. 展开式的通项为：， 取得到项的系数是. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 7. 比较两数的大小：________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用函数导数与单调性分析即可. 【详解】设函数， 由，令，解得： 当， 当， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以， 即， 即， 所以， 因为函数在单调递增， 所以， 故答案为：. 8. 设，若，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意利用诱导公式结合弦化切可得，运算求解即可. 【详解】因为，则， 可得， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以的值为2. 故答案为：2. 9. 已知平面内两个非零向量、相互垂直，，若，则实数k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律及夹角公式列式求解. 【详解】由两个非零向量、相互垂直，得，而， 则，， 因此， 解得，经验证符合题意， 所以实数k的值为. 故答案为： 10. 将3名男生和3名女生排成一排，若从左边第一个学生开始依次往右数，无论数到几人，男生人数都大于或等于女生人数，则有________种不同的排法．（结果用数值表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据分类加法与分步乘法原理将第二位分为男生和女生两种情况，结合排列组合数逐步计算即可得结论. 【详解】由题可知，从左边开始第一个学生为男生有种安排方法： ①若第二位为男生： 第三位为男生时的方法数为种， 第三位为女生时第四位为男生时有种，第四位为女生时种， 综上，第二位为男生的方法总数为； ②若第二位为女生： 第三位必为男生，则第四位为男生时有种，第四位为女生时种， 综上，第二位为女生的方法总数为； 根据分类分步计数原理可得总方法数为种不同的排法． 故答案为：. 11. 某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为10m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切，则矩形花园占地面积的最小值为________．（结果精确到） 【答案】. 【解析】 【分析】设，，可得圆的半径m，利用基本不等式运算求解即可. 【详解】如图，在矩形中，设，，， 则，圆的半径m， 因为，，即， 当且仅当时，等号成立， 可得， 即，解得， 所以矩形花园占地面积的最小值为. 故答案为：. 12. 在三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，连接，利用余弦定理与勾股定理可证得，结合线面垂直判定定理得平面，则用等体积法即可得此三棱锥的体积. 【详解】如下图：过作于，连接， 因为，所以，， 在中，由余弦定理得：， 则，于是，故， 又平面，所以平面， 故此三棱锥的体积为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13. 若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】通过特例说明不能推出，，共面，即充分性不成立；再由平面几何知识得出同一平面内的直线不平行必相交，推出一定成立，即必要条件成立，两者综合即可得出结果. 【详解】 如图所示：满足，，且，但是， 所以可知是，，共面的不充分条件； 当，，共面时，由平面几何知识可知同一平面内的直线不平行必相交， 又因为，，所以必然有， 即是，，共面的必要条件， 综上可知是，，共面的必要不充分条件. 故选：B. 14. 下列函数中，对任意的、时，均有的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定函数的单调性，再对所给函数进行判断即可. 【详解】因为，对任意的、时，均有，所以函数在上单调递增. 对A：因为，所以幂函数在上单调递减，不合题意； 对B：因为函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，不合题意； 对C：因为，所以指数函数在上单调递增，在上就是单调递增，符合题意； 对D：因为，所以对数函数在上单调递减，不合题意. 故选：C 15. 已知函数其表达式为，，函数其表达式为，若对任意，都有，则方程的解的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可求得，将函数写成分段函数，得出其值域为，作出两函数的图象，将原方程解的个数转化为两函数图象交点的个数即可. 【详解】因为对任意，都有， 令，则有， 解得，从而得； 令， 则有， 所以， 即， 所以对任意恒成立， 所以， 所以， 所以当时，， 又因为， 所以当时，方程无解； 所以， 所以的值域为， 当时，， 此时方程无解； 作出和的部分图象，如图所示： 当时，令，解得或， 此时方程有2个解. 由此可得两函数图象有7个交点， 即方程有7个解. 故选：B. 16. 定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域的“直径”为，则以下两个结论： ①当时，；②的最大值为（ ） A. ①正确，②错误 B. ①②都正确 C. ①错误，②正确 D. ①②都错误 【答案】B 【解析】 【分析】根据“直径”的定义，找出“直径”与三角形边长之间的关系，分别对两个结论进行分析判断即可. 【详解】结论①：，BC边上的高等于， . 在中，，又， 所以，即，解得， 因此，. 当封闭区域内两点位于在同一半圆上时， 以在上任取两点，为例，连接， 则，又，所以， 当封闭区域内两点位于在不同半圆上时， 以在上取一点，在上取一点为例，设，的中点分别为，，连接，，，， 由两点间线段最短可得，当且仅当，，，四点共线时取等号， 综上，， 所以， 故结论①正确. 结论②：设中角，，所对的边长分别为，，，设边上的高为，即，. 由三角形面积公式可得， 所以， 由余弦定理可得，即， 所以. ， 即，当且仅当时取等号. 由①知， 将，代入可得， 当且仅当，，，四点共线，时取等号， 所以，故结论②正确. 故选：B 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知函数（、，）的周期为，在时取到最大值，记． （1）求函数的表达式； （2）若数列为等差数列，，，记，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的性质，结合已知条件求出、、的值，进而得到函数的表达式； （2）先根据函数表达式求出和的值，再利用等差数列的通项公式求出，进而得到，最后根据等比数列的前项和公式求出. 【小问1详解】 由题意，函数（、，）的周期为， 所以，即，解得， 又函数在时取到最大值，所以， 解得，， 又，所以当时，， 所以函数的表达式为； 【小问2详解】 由（1）知，函数的表达式为， 所以，， 又数列为等差数列，则，解得，， 所以， 又，所以，即数列为首项是，公比为的等比数列， 所以数列的前项和. 18. 已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，是边长为2的正三角形，侧面底面ABCD． （1）证明：； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，中点，连接，，易证两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直. （2）利用点到平面的距离的向量公式即可解出. 【小问1详解】 取中点，中点，连接，. 因为为等边三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 平面，所以， 又底面是直角梯形，，所以. 又分别为，中点，所以，所以. 所以两两垂直. 故以为原点，建立如图空间直角坐标系， 由，设，，，. 所以，. 因为. 所以，所以. 【小问2详解】 由（1）得，，，. 设平面的一个法向量为， 则，令，可得. 所以点到平面的距离. 19. 在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9． （1）求这组数据的极差和中位数； （2）如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率； （3）假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选：①一局定胜负：只打一局，胜者赢得比赛；②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局．若甲在一局中获胜的概率为．从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）一局定胜负对甲更有利 【解析】 【分析】（1）根据极差和中位数的计算公式即可求解； （2）根据古典概型的概率的计算公式结合组合数公式即可求解； （3）分别计算一局定输赢和三局两胜情况下甲获胜的概率，比较大小. 【小问1详解】 将题中数据按从小到大的排序排列得： 3.2，4.1，4.7，5.3，5.8，6.5，7.2，8.9，9.6，12.4． 故极差为；中位数为. 【小问2详解】 因为长发球回合数，短发球回合数， 所以从 10 个中随机抽取 3 个，至少有 2 个是长发球回合的概率为： ； 【小问3详解】 对于甲来说，一局定胜负的情况下，赢得比赛的概率为， 三局两胜的情况下，赢得比赛的概率为， 则， 因为，所以，即， 所以一局定胜负对甲更有利. 20. 已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点．的最大值是，的最小值是，满足． （1）求该椭圆的离心率； （2）若，点在椭圆上，且在轴上方，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，求直线的斜率； （3）设线段的中点为的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点．记的面积为，的面积为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点的直线交椭圆于两点，由椭圆性质得，结合题意得到，即可求出离心率； （2）若，结合（1）得到和椭圆的方程，设点，线段的中点，列方程组计算得到点，再根据直线的斜率公式计算即可. （3）根据题意，设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范围. 【小问1详解】 设，则根据椭圆性质得， 而，所以有，即， 因此椭圆的离心率为. 【小问2详解】 若，因为，所以，且， 以原点为圆心，为半径的圆的方程为， 设点，线段的中点， 则，消化简可得，解得或， 因为，所以，计算得，点， 所以直线的斜率为； 【小问3详解】 由（1）可知，，椭圆的方程为. 根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为， 并设则由消去并整理得 从而有， 所以. 因为，所以，. 由与相似， 所以 令，则，从而， 即的取值范围是. 21. 已知函数，正常数，记． （1）当时，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由； （2）若函数既存在极小值也存在极大值，求实数a的取值范围； （3）求证：对于任意正整数n，都有． 【答案】（1） 函数在区间上单调递增，理由如下： 当时，，定义域为，则， ，且， ，当且仅当时取等号， 函数在区间上单调递增； （2） （3） 由（1）知，当时，，即， 令， 则，即， 将到累加得，， 即， ，得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性即可； （2）对求导得，将既存在极小值也存在极大值转化为方程在上有两个不同的正实数根即可求解； （3）利用（1）的结论得到，再令进行累加，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，定义域为， 则，设， ，的符号由分子决定， 函数既存在极小值也存在极大值等价于方程在上有两个不同的正实数根， ，解得， 实数a的取值范围是； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松江区2025学年度第一学期期末质量监控试卷 高三数学 （满分150分，完卷时间120分钟） 2025.12 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分. 2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名. 3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，，则________． 2. 抛物线的焦点到其准线的距离为________． 3. 不等式的解集为________． 4. 复数（其中i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为________． 5. 某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）如茎叶图所示，则这组数据的平均数为________． 6. 已知二项式的展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数是_________. 7. 比较两数的大小：________． 8. 设，若，则的值为________． 9. 已知平面内两个非零向量、相互垂直，，若，则实数k的值为________． 10. 将3名男生和3名女生排成一排，若从左边第一个学生开始依次往右数，无论数到几人，男生人数都大于或等于女生人数，则有________种不同的排法．（结果用数值表示） 11. 某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为10m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切，则矩形花园占地面积的最小值为________．（结果精确到） 12. 在三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的体积为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13. 若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 下列函数中，对任意的、时，均有的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数其表达式为，，函数其表达式为，若对任意，都有，则方程的解的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 16. 定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域的“直径”为，则以下两个结论： ①当时，；②的最大值为（ ） A. ①正确，②错误 B. ①②都正确 C. ①错误，②正确 D. ①②都错误 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知函数（、，）的周期为，在时取到最大值，记． （1）求函数的表达式； （2）若数列为等差数列，，，记，求数列的前项和． 18. 已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，是边长为2的正三角形，侧面底面ABCD． （1）证明：； （2）求点到平面的距离． 19. 在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9． （1）求这组数据的极差和中位数； （2）如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率； （3）假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选：①一局定胜负：只打一局，胜者赢得比赛；②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局．若甲在一局中获胜的概率为．从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由． 20. 已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点．的最大值是，的最小值是，满足． （1）求该椭圆的离心率； （2）若，点在椭圆上，且在轴上方，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，求直线的斜率； （3）设线段的中点为的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点．记的面积为，的面积为，求的取值范围． 21. 已知函数，正常数，记． （1）当时，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由； （2）若函数既存在极小值也存在极大值，求实数a的取值范围； （3）求证：对于任意正整数n，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $