精品解析：山东省临沂市临沭县2025-2026学年上学期九年级数学期中学情调研

2025~2026学年度上学期期中学情调研 九年级数学试题 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共6页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号等填写在答题纸的规定位置．答案填涂在答题纸上，答在本试卷上不得分．考试结束后，只将答题纸交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列数学符号是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数有最大值的是（ ） A. B. C. D. 4. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 10. 在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）． 11. 若是一元二次方程的一个根，则______． 12. 将抛物线向左平移个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为________． 13. 如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接．若，，则的长为________． 14. 如图为二次函数的图象，下列代数式的值为正数的是________（写出所有正确结果的序号）． ①； ②； ③； ④； ⑤． 15. 已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正六边形的两条边，那么这个角的大小是________． 三、解答题：（本题共8小题，共75分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的． 18. 宋代数学家杨辉所著《杨辉算法》中有一题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文为：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？ 19. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示： … … … … （1）求该二次函数的表达式； （2）求该二次函数的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． 20. 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 21. 已知与相切于点，，，与相交于点，为上一点． （1）如图1，求的大小； （2）如图2，当时，与相交于点，延长与相交于点，连接．若的半径为，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，点是线段上一点，与不重合．二次函数（是常数，且）的图象经过点，顶点是．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，，分别是的对应点，且点落在轴正半轴上，点的纵坐标为． （1）________，点的坐标为________； （2）求原抛物线对应的函数表达式； （3）已知新抛物线与轴交于点，点，在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数的取值范围． 23. 已知：如图，中，，设，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接，，过点作，交直线于点．探究如下： （1）若时， ①如图1，当点在的延长线上，且点在点左侧时，求证：； ②如图2，当点在的延长线上，且点在点右侧时，试探究线段，，之间存在怎样的等量关系； （2）如图3，若，点在的延长线上，线段，，之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不需要证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度上学期期中学情调研 九年级数学试题 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共6页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号等填写在答题纸的规定位置．答案填涂在答题纸上，答在本试卷上不得分．考试结束后，只将答题纸交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列数学符号是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义求解即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键．通过计算每个一元二次方程的判别式，判断实数根的情况，当时，方程有两个相等的实数根． 【详解】解：A、，，没有实数根； B、，，有两个相等的实数根； C、，，没有实数根； D、，，有两个不相等的实数根； 故选：B． 3. 下列函数有最大值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．根据一次函数没有最值，二次函数中，当二次项系数为正时，有最小值无最大值，当二次项系数为负时，有最大值无最小值，即可求解． 【详解】解：A、为一次函数，无最大值； B、 为一次函数，无最大值； C、为二次函数，二次项系数，开口向上，有最小值无最大值； D、为二次函数，二次项系数，开口向下，有最大值； 故选：D． 4. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 5. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为， ∴该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合， ∴角的大小可以为， 故选：B． 6. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系的中点坐标，利用中点坐标公式直接计算点的坐标． 【详解】解：设点， 点是线段的中点，点， ，， 解得，， 点的坐标为， 故选：A． 8. 二次函数的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的最值，熟练掌握二次函数一般形式化为顶点式是解题的关键． 将二次函数一般形式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 当时，二次函数取最小值，最小值为， 故选：C． 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可． 【详解】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线 上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过 三点； 当三点在抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ．   故选：C ． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）． 11. 若是一元二次方程的一个根，则______． 【答案】﹣4 【解析】 【详解】把x=1代入一元二次方程x2+3x+m=0， 得1+3+m=0， 解得m=﹣4． 故答案为m=﹣4． 12. 将抛物线向左平移个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，根据抛物线的平移规律：左加右减，得出新抛物线解析式为，即可求解． 【详解】解：平移后的抛物线解析式为， 新抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 13. 如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．根据题意可推出，证明得到，即，，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：与相切于点， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：． 14. 如图为二次函数的图象，下列代数式的值为正数的是________（写出所有正确结果的序号）． ①； ②； ③； ④； ⑤． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定．根据对称轴、开口方向、可判断①②；根据图象与轴的交点位置可判断③，根据图象与轴的交点个数可判断④；根据时函数的值可判断⑤． 【详解】解：①抛物线开口向下， ，不符合题意； ②抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ，符合题意； ③抛物线的对称轴是直线，且， ， ， 不符合题意； ④函数图象与轴有个交点， ，符合题意； ⑤时，， ，不符合题意； 故答案为：②④． 15. 已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正六边形的两条边，那么这个角的大小是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，分两种情况，当角的顶点在圆上时，当角的顶点在圆外部时，进行求解即可． 【详解】解：当角的顶点在圆上时，圆与角的两边截得的两条弦为该圆内接正六边形的两条相邻边，故该角为正六边形的内角， 正六边形内角为， 当角的顶点在圆外时，圆与角的两边各交于两点，截得的两条弦为该圆内接正六边形的两条边（非相邻）， 设角的顶点为，一边交圆于、（近），另一边交圆于、（近），弦和均为正六边形的边，则， ， ； 故答案为：或． 三、解答题：（本题共8小题，共75分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，关键是掌握一元二次方程的解法． （1）运用配方法计算即可； （2）运用因式分解法计算即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： 或 ，． 17. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了画中心对称图形和旋转图形，熟练掌握中心对称图形和旋转图形的画法是解题关键． （1）先分别画出点关于原点的对称点，再顺次连接即可得； （2）先根据旋转的性质分别画出点，再顺次连接点即可得． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 18. 宋代数学家杨辉所著《杨辉算法》中有一题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文为：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？ 【答案】长比宽多12步． 【解析】 【分析】选择合适的未知数，利用矩形这个桥梁构造一元二次方程求解即可． 【详解】解：设矩形的长为步，则宽为步， 根据题意，得 ． 解得　，（舍去） 当时， ， ． 答：长比宽多12步． 【点睛】本题考查了一元二次方程与几何图形的关系，熟练运用一元二次方程解决几何图形的面积是解题的关键． 19. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示： … … … … （1）求该二次函数的表达式； （2）求该二次函数的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． 【答案】（1） （2）顶点坐标为， 该二次函数的图象如下： 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、画二次函数的图象，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可确定顶点坐标，然后再画出函数图象即可． 【小问1详解】 解：将点、代入得， 解得， 该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 该二次函数的表达式为， 该二次函数的顶点坐标为， 20. 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】（1）15米； （2）当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； 【小问2详解】 解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 21. 已知与相切于点，，，与相交于点，为上一点． （1）如图1，求的大小； （2）如图2，当时，与相交于点，延长与相交于点，连接．若的半径为，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，含的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，切线的性质得到，根据等腰三角形的三线合一，求出，最后根据圆周角定理求解即可； （2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到，由为的直径，可得，，得到，推出，最后根据勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接， 与相切于点， ， 又， 平分， ， ， ； 【小问2详解】 由（1）知， ， ， 为的一个外角， ， 为的直径，的半径为， ，， ， ， ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，点是线段上一点，与不重合．二次函数（是常数，且）的图象经过点，顶点是．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，，分别是的对应点，且点落在轴正半轴上，点的纵坐标为． （1）________，点的坐标为________； （2）求原抛物线对应的函数表达式； （3）已知新抛物线与轴交于点，点，在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3）的取值范围为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数有关的性质、平移的性质、不等式组及一元二次方程的解法： （1）将代入求得的值，从而可得的长； 过点作轴于点，由平移的性质可得，原抛物线中两点的纵坐标的差与新抛物线中两点的纵坐标的差相等，据此可求得点的坐标； （2）根据点坐标可求抛物线表达式； （3）根据平移的性质及点的坐标可求出新抛物线的函数表达式，进而求得点的坐标，最后根据二次函数的对称性、增减性及分类讨论思想即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：对于一次函数，令，得： ， ， ； 如图，过点作轴于点， 点落在轴正半轴上，点的纵坐标为， ， ∵将原二次函数的图像平移后得到新抛物线，，分别是的对应点， ， 即， ， ， 将代入， 得， ∴点的坐标为． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：二次函数的图象顶点是， 设原抛物线的函数表达式为， ∵原抛物线过点， ， 解得：， ∴原抛物线的函数表达式为． 【小问3详解】 解：设平移后新抛物线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴平移后新抛物线的函数表达式为， 令，则， 点， ①当点在点的左边时，点关于直线的对称点为， ， ∴点在点的左边，即， ， ， 解得：， ②当点在点的右边时，此时恒成立， 即， ， ， 综上所述，的取值范围为或． 23. 已知：如图，中，，设，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接，，过点作，交直线于点．探究如下： （1）若时， ①如图1，当点在的延长线上，且点在点左侧时，求证：； ②如图2，当点在的延长线上，且点在点右侧时，试探究线段，，之间存在怎样的等量关系； （2）如图3，若，点在的延长线上，线段，，之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不需要证明． 【答案】（1） ①证明：，， 是等边三角形， ，， 由旋转可得，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意可得是等边三角形，推出，，由旋转可得，，证明得到，，推出，进而得到，即可求解； ；②根据题意可得是等边三角形，推出，，由旋转可得，，证明得到，，推出，进而得到，即可求解； （2）由，，可得，推出，由旋转可得，，证明证明得到，，推出，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②，， 是等边三角形， ，， 由旋转可得，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ，， ， ， 由旋转可得，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $