精品解析：湖北省武汉市第四十五中学2026-2027学年上学期八年级11月数学素养调研

八年级11月数学素养调研 一、选择题（本题共10小题，每小题 3分，共 30分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，2，4 B. 2，3，7 C. 3，4，5 D. 1，2，3 2. 甲骨文是汉字的早期形式，目前甲骨文已被列入世界文化遗产．下面四个选项分别是用甲骨文书写的虎、牛、龙、兔，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 4. 如图，已知，添加下列条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则这个三角形的最大内角为（ ） A. B. C. D. 6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取．移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M，N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等判定方法是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　） A. 的角平分线与边上中线的交点 B. 的角平分线与边上中线的交点 C. 的角平分线与边上中线的交点 D. 的角平分线与边上中线的交点 9. 如图，已知四边形中，对角线平分，，，且，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下六个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥平分．其中正确的结论有（ ） A. ①②④⑤ B. ①②⑤⑥ C. ③④⑤⑥ D. ①②④⑥ 二、填空题（本题共 6小题，每小题 3分，共 18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是__________． 12. 若等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个等腰三角形的周长为______． 13. 如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为______． 14. 如图，的面积为18，、、分别是线段、、的中点，则图中阴影部分的面积为_________． 15. 如图，中，，，，为上的一动点，把沿翻折得到，连接，当取最小值时，的面积是_______． 16. 如图，中，于点，，过点作，，连接交于点，若，，则____________． 三、解答题(本题共 8小题，共 72分，17-21每题 8分，22-23题每题 10分，24题12分） 17. 如图，已知点A，C，B，D在同一条直线上，，，． 求证：． 18. 如图，一艘轮船以15海里/时的速度，由南向北航行，在处测得小岛在北偏西方向上，两小时后，轮船在处测得小岛在北偏西方向上．求轮船在处到小岛的距离．     19. 如图，在中，，平分，，，求： （1）的度数； （2）探究：小明认为如果条件，改成，也能得出的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 20. 如图1，嘉琪想知道一堵墙上点A距地面的高度AO（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉琪同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠______=．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量______的长度，即为点A的高度． 图1 （1）请你先补全方案，再利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由． （2）如图2，设AB与CD交于点E，善于观察和思考的明明同学猜想线段，你同意明明的观点吗?说明理由． 图2 21. 如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣1）． （1）直接写出△ABC的面积为 　 　； （2）画出△ABC关于y轴的对称的△DEC（点D与点A对应，点E与点B对应），点E的坐标为 　 　； （3）用无刻度的直尺，运用所学的知识作图（保留作图痕迹）． ①作出△ABC的高线AF ②在边BC上确定一点P，使得∠CAP＝45°． 22. 积累经验：某数学兴趣小组在探究三角形中线的取值范围时，有下面的问题：如图1，在中，，，求中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：如图2，（1）延长到E，使，连接，则有，得，利用三角形三边之间关系得的取值范围为_______；（直接写出结果） 学会运用：（2）如图3，在中，，D，E为边上的点，，连，过点E作的平行线交于F点，若，求证：． 举一反三：（3）在中，D为中点，E为延长线上一点，过点C作的平行线，并在其上取一点F，连，使，若，，直接写出的长． 23. 如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点，同时停止运动，设点运动的时间为t． （1）______，_______(用含的代数式表示) （2）当为何值时，是直角三角形？ （3）连接，交于点，则在点，运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 24. 在平面直角坐标系中，，且点A、B坐标满足方程组． （1）求A、B的坐标； （2）如图1，以为边在第四象限作等腰，直接写出P点坐标； （3）如图2，若C，D在y轴B，O上方，且，过O作于H，直线交于F，直线交于E，试探究线段、、三条线段有何数量关系？并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级11月数学素养调研 一、选择题（本题共10小题，每小题 3分，共 30分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，2，4 B. 2，3，7 C. 3，4，5 D. 1，2，3 【答案】C 【解析】 【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形，故选项不符合题意； B、∵，∴不能组成三角形，故选项不符合题意； C、∵，∴能组成三角形，故选项符合题意； D、∵，∴不能组成三角形，故选项不符合题意． 2. 甲骨文是汉字的早期形式，目前甲骨文已被列入世界文化遗产．下面四个选项分别是用甲骨文书写的虎、牛、龙、兔，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 3. 如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．熟知三角形的稳定性是关键． 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故其所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：． 4. 如图，已知，添加下列条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质，以及三角形全等的判定，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，， 当添加时，，∴， 当添加A，B，C选项的条件时，都不能判定． 5. 在中，，则这个三角形的最大内角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，把每个角用含未知数的代数式表示出来，再根据三角形的内角和列出方程，通过解方程得到每个内角的度数，即可得到答案． 【详解】解：∵，占比最大，为最大内角， 设，，， ∵三角形内角和为， ∴， 解得， ∴． 6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取．移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M，N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等判定方法是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据做法可知三边对应相等，利用判定三角形全等； 【详解】解：在和中， ，，， ， ， 即平分． 7. 如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过点作的垂线，利用角平分线性质得出点到的距离等于，再根据三角形面积和列方程求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 是的角平分线，，， ， ， ，即， ， ． 8. 东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　） A. 的角平分线与边上中线的交点 B. 的角平分线与边上中线的交点 C. 的角平分线与边上中线的交点 D. 的角平分线与边上中线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质定理可得点H在的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得，，然后利用等式的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图： ∵平分，点H在上， ∴点H到、的距离相等， ∵是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点， 故选：A． 9. 如图，已知四边形中，对角线平分，，，且，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用． 延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，从而，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论． 【详解】解：延长和，过点作于点，过点作于点， 是的平分线， 在与中， ， ， ， 又， ， ， 为的平分线， 过点作于点， ∵， ． ∴， 为的平分线， ∵， ， 在中，，， ， ， ， ． 故选：C． 10. 如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下六个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥平分．其中正确的结论有（ ） A. ①②④⑤ B. ①②⑤⑥ C. ③④⑤⑥ D. ①②④⑥ 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，证明即可判断； 对于②，由，得到，进一步得出，即可得到结论； 对于③，先证明，得到，再证明，即得结论； 对于④，连接，在上取点M，使得，连接，先证明是等边三角形，再证明，可得，即得结论； 对于⑤，由③知，可得，即可得到结论； 对于⑥，先证明，，再根据题中没有给出这一条件，所以不能成立，所以也不能成立，即可判断结论． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ， 故①正确； 由①知，， ， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ， 点Q在上，是等边三角形， ， ， 故③错误； 连接，在上取点M，使得，连接， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 由③知，， ， ， 是等边三角形， 故⑤正确； ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由于题中没有给出这一条件， 所以不能成立， 所以也不能成立， 故⑥错误； 所以正确的结论有①②④⑤． 二、填空题（本题共 6小题，每小题 3分，共 18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据该规律即可得结果． 【详解】解：∵ 关于轴对称的点满足横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴ 点的横坐标保持不变，纵坐标变为的相反数， ∴所求对称点的坐标为． 12. 若等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的构成条件． 先分类讨论，然后利用三角形的三边关系进行验证即可． 【详解】解：①若三角形的三边长为： 所以不能构成三角形； ②若三角形的三边长为： 此时能构成三角形； 故：等腰三角形的周长为：， 故答案为：． 13. 如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案． 【详解】解： 是的垂直平分线．， 的周长 故答案为： 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 14. 如图，的面积为18，、、分别是线段、、的中点，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中线平分三角形面积，逐步求出．​，​，进而可得，再根据求解即可． 【详解】解：∵D是的中点， ∴是的中线， ∴． ∵E是的中点， ∴是的中线，是的中线， ∴​，​， ∴． ∵F是的中点， ∴是的中线， ∴​． 15. 如图，中，，，，为上的一动点，把沿翻折得到，连接，当取最小值时，的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，作于点，由翻折的性质得出相等的角和边，根据三角形的三边关系得出，当、、三点共线时取等号，此时最小，根据角平分线的性质得出，然后利用等面积法进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作于点， 由翻折的性质得，， ∵， ∴当、、三点共线时取等号，此时最小， 此时，根据角平分线的性质定理可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，中，于点，，过点作，，连接交于点，若，，则____________． 【答案】4 【解析】 【分析】在上取一点E，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：在上取一点E，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题(本题共 8小题，共 72分，17-21每题 8分，22-23题每题 10分，24题12分） 17. 如图，已知点A，C，B，D在同一条直线上，，，． 求证：． 【答案】 证明：    即 在和中， ∴． 【解析】 【分析】首先根据可得，再加上条件 可利用定理证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 18. 如图，一艘轮船以15海里/时的速度，由南向北航行，在处测得小岛在北偏西方向上，两小时后，轮船在处测得小岛在北偏西方向上．求轮船在处到小岛的距离．     【答案】30海里 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 由为的外角，利用外角的性质得到，由及的度数求出的度数，得到，利用等角对等边得到． 【详解】解：如图， 由题意可知：，， ，即， （海里）， 轮船在处到小岛的距离为30海里． 19. 如图，在中，，平分，，，求： （1）的度数； （2）探究：小明认为如果条件，改成，也能得出的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的度数是． （2）能，理由如下： 平分，且， ， ， ， ， ， ， 的度数是． 【解析】 【分析】（1）先求得，根据角平分线的定义得出，由于，则，根据三角形外角性质得，所以，然后利用进行计算； （2）根据三角形内角和定理得，再根据角平分线定义得，结合，然后利用角的和差得，即的度数等于与差的一半． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ，平分， ，， ， ， ， 的度数是． 【小问2详解】 略 20. 如图1，嘉琪想知道一堵墙上点A距地面的高度AO（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉琪同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠______=．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量______的长度，即为点A的高度． 图1 （1）请你先补全方案，再利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由． （2）如图2，设AB与CD交于点E，善于观察和思考的明明同学猜想线段，你同意明明的观点吗?说明理由． 图2 【答案】（1）DCO，OD，理由如下： ∵AO⊥OD ∴∠AOB＝∠DOC＝90° 在△AOB与△DOC中 ， ∴△AOB≌△DOC（AAS）， ∴OA＝OD， 故答案为：DCO，OD； （2）同意 理由：∵△AOB≌△DOC （已证） ∴OB＝OC， OA＝OD，∠OAB＝∠ODC， ∴OA－OC＝OD－OB， 即AC＝DB， 在△ACE与△DBE中， ， ∴△ACE≌△DBE（AAS）， ∴AE＝DE． 【解析】 【分析】（1）只需要根据AAC证明△AOB≌△DOC即可得到答案； （2）由△AOB≌△DOC得到OB＝OC， OA＝OD，∠OAB＝∠ODC，则AC＝DB，然后证明△ACE≌△DBE即可得到AE＝DE． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件 21. 如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣1）． （1）直接写出△ABC的面积为 　 　； （2）画出△ABC关于y轴的对称的△DEC（点D与点A对应，点E与点B对应），点E的坐标为 　 　； （3）用无刻度的直尺，运用所学的知识作图（保留作图痕迹）． ①作出△ABC的高线AF ②在边BC上确定一点P，使得∠CAP＝45°． 【答案】（1）； （2）（4，-2）； （3）① ② 【解析】 【分析】（1）利用割补法求三角形ABC面积S△ABC=S△ABH+S梯形AHGC-S△BCG代入计算即可； （2）先求出点A、B关于y轴对称的点坐标D、E，然后描出点D、E，顺次连结线段DE，EC，CD即可； （3）①根据勾股定理AB=，过C向左5格向上1格作CH=，则CH⊥AB， 根据勾股定理AC=，过B向右4格，向上3格作BI，CH与BI交于G，则BI⊥AC，则点G为垂心，过A作射线AG交BC于F，则AF为所求，； ②根据AC=，过C先下3格，向左4格，作CR=，连结AR交BC于P，则RC⊥AC，RC=AC，可得△ACR是等腰直角三角形，可求∠RAC=∠ARC=45°，则∠CAP=45°， 【详解】解：（1）S△ABC=S△ABH+S梯形AHGC-S△BCG = ， 故答案为； （2）∵A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣1）．△ABC关于y轴的对称的△DEC， ∴点D（3，3），点E（4，-2）， 描点D、E，连结CD，DE，EC， 则△DEC为△ABC关于y轴对称的三角形， 故答案为（4，-2）； （3）①根据勾股定理AB=，过C向左5格向上1格作CH=，则CH⊥AB， 根据勾股定理AC=，过B向右4格，向上3格作BI，CH与BI交于G，则BI⊥AC，则点G为垂心，过A作射线AG交BC于F，则AF为所求， AF为△ABC的高； ②根据AC=，过C先下3格，向左4格，作CR=，连结AR交BC于P，则RC⊥AC，RC=AC， ∴△ACR是等腰直角三角形， ∴∠RAC=∠ARC=45°， 则∠CAP=45°， 【点睛】本题考查割补法求三角形面积，轴对称，图形旋转，作一角等于已知角，等腰直角三角形性质，掌握割补法求三角形面积，轴对称，图形旋转，过一点作已知直线的垂线，作一线段等于已知线段，等腰直角三角形性质是解题关键． 22. 积累经验：某数学兴趣小组在探究三角形中线的取值范围时，有下面的问题：如图1，在中，，，求中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：如图2，（1）延长到E，使，连接，则有，得，利用三角形三边之间关系得的取值范围为_______；（直接写出结果） 学会运用：（2）如图3，在中，，D，E为边上的点，，连，过点E作的平行线交于F点，若，求证：． 举一反三：（3）在中，D为中点，E为延长线上一点，过点C作的平行线，并在其上取一点F，连，使，若，，直接写出的长． 【答案】 （1） （2）证明：∵， ∴点是的中点， 如图所示，延长到点，使得，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵过点E作的平行线交于F点，即， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查倍长中线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作图是解题的关键． （1）延长到E，使，连接，根据题意可证，由三角形三边数量关系即可求解； （2）如图所示，延长到点，使得，连接，可证，得到，，结合题意得到，再根据平行线的性质，角度的和差计算即可求解； （3）如图所示，延长交于点，可证，得，，结合题意，运用等角对等边即可求解． 【详解】解：（1）延长到E，使，连接， ∵是中线， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴； （2）略 （3）如图所示，延长交于点， ∵，即， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点，同时停止运动，设点运动的时间为t． （1）______，_______(用含的代数式表示) （2）当为何值时，是直角三角形？ （3）连接，交于点，则在点，运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 【答案】（1）， （2）当第秒或第秒时，为直角三角形 （3）∠不变，等于 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意、结合图形解答； （2）分、两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可； （3）证明，根据全等三角形的性质、等边三角形的内角是解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 故答案为：；； 【小问2详解】 设时间为则 ①当时， ， ， ，得 解得，， ②当时， ， ， ，得， 解得，， 当第秒或第秒时，为直角三角形； 【小问3详解】 不变，理由如下： 在与中， ， ， ， 不会变化． 24. 在平面直角坐标系中，，且点A、B坐标满足方程组． （1）求A、B的坐标； （2）如图1，以为边在第四象限作等腰，直接写出P点坐标； （3）如图2，若C，D在y轴B，O上方，且，过O作于H，直线交于F，直线交于E，试探究线段、、三条线段有何数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1）， （2）点P的坐标为或或 （3） ，理由如下： 解法一：如图4，过点F作轴于P，交的延长线于点G，作轴于M，过点D作于Q，则， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 解法二：如图5，过点C作轴交于G， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）解方程组可得结论； （2）分三种情况：①如图1，当时，过点P作轴于G，则，②如图2，当时，过点P作轴于T，③如图3，当时，过点P作轴于M，过点B作于N，证明两个三角形全等可解答； （3）解法一：如图4，过点F作轴于P，交的延长线于点G，作轴于M，过点D作于Q，则，证明是等腰直角三角形和是等腰直角三角形，设，则，，再证明和，可解答此题； 解法二：如图5，过点C作轴交于G，证明和，则，，可解答此题． 【小问1详解】 解：， ①②得：， 解得， 将代入①得：， ∴方程组的解为：， ∴，； 【小问2详解】 解：分三种情况： ①如图1，当时，过点P作轴于G，则， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ， ∴； ②如图2，当时，过点P作轴于T， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ， ∴； ③如图3，当时，过点P作轴于M，过点B作于N， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵轴于M，于N， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，点P的坐标为或或； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，解二元一次方程组，坐标与图形的性质等知识．解题的关键正确作辅助线构建全等三角形，并运用分类讨论的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $