第07讲 平面向量与三角形的四心讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦平面向量与三角形“四心”（重心、外心、内心、垂心）这一高频考点，系统梳理四心的定义、向量等价条件及奔驰定理等核心知识，按“知识要点-解题策略-题型归纳-巩固提升”逻辑架构展开，通过考点梳理、方法指导（定义法、建系法、奔驰定理）、分层题型训练（判断类、性质应用类、综合类）等环节，帮助学生构建完整知识体系，突破向量与几何结合的难点。 资料突出数学核心素养培养，如通过几何直观（数学眼光）观察四心几何性质与向量表示的关联，用建系法将几何问题代数化（数学思维）提升运算与推理能力，设计“轨迹过四心”典型例题（如动点P满足向量关系判断四心），配合基础巩固、能力提升分层练习（数学语言），确保高效突破。为教师提供清晰复习路径，助力学生在有限时间内掌握高考高频题型解法，提升应考能力。

第07讲 平面向量与三角形的“四心” 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 8 题型归纳 8 题型01：三角形的重心判断及应用 9 （一）三角形重心的判断 9 （二）重心性质的应用 10 题型02：三角形的外心判断及应用 12 （一）三角形外心的判断 12 （二）外心性质的应用 12 题型03：三角形的内心判断及应用 14 （一）三角形内心的判断 14 （二）内心性质的应用 15 题型04：三角形的垂心判断及应用 16 （一）三角形垂心的判断 16 （二）垂心性质的应用 16 题型05：三角形的“四心”问题的综合 17 题型06： 奔驰定理的应用 19 巩固提升 21 平面向量与三角形四心（重心、外心、内心、垂心）的结合是高考数学的高频热点，常以选择题、填空题形式出现，偶尔融入解答题作为解题工具，核心考查向量表示、性质应用及几何问题代数化能力，以下从多维度展开分析： 一、考情定位与命题特点 1. 分值与题型：全国卷中多为5分小题（选择/填空），难度中等偏上，侧重“四心”的向量判定、轨迹问题及与模、数量积的综合；新高考卷更注重与解析几何、三角函数的交叉，偶尔在解答题中作为转化桥梁。 2. 核心考点：聚焦四心的向量等价条件、轨迹过四心的向量表达式、奔驰定理的应用，以及建系法解决四心相关计算问题。 3. 命题趋势：近年命题更灵活，常以“动点轨迹过四心”“已知向量关系判断四心”为载体，融合单位向量、角平分线、中垂线等性质，强调数形结合与逻辑推理能力。 二、解题方法与失分点警示 1. 常用解题方法 ◦ 定义法：紧扣四心定义（如重心是中线交点、内心是角平分线交点），结合向量共线、垂直等性质判定。 ◦ 建系法：遇特殊图形（含直角、对称）时，通过建系将向量坐标化，利用坐标运算求解四心坐标或相关参数（如直角三角形垂心在直角顶点）。 ◦ 奔驰定理：统一四心的向量表达式，快速解决与面积比相关的四心问题，是高考中高效解题的“捷径”。 2. 高频失分点 ◦ 混淆四心的向量结论（如错记重心与内心的向量等式）； ◦ 向量坐标化时出错（如混淆点坐标与向量坐标）； ◦ 忽略特殊三角形的四心特殊性（如正三角形四心重合）； ◦ 计算数量积、模时粗心，导致结果错误。 三、备考建议 1. 夯实基础：熟记四心的向量等价条件，结合图形理解结论的推导过程，避免死记硬背。 2. 专项训练：针对“轨迹过四心”“向量关系判四心”“建系求四心坐标”三类题型进行专项练习，总结解题规律。 3. 融合拓展：加强与三角函数、解析几何的综合训练，学会用向量作为工具转化几何问题，提升综合解题能力。 1. 知识目标：掌握重心、外心、内心、垂心的定义及核心向量等价条件（如重心的向量和为零、内心的角平分线向量表示等），熟记奔驰定理等常用结论，明确四心的向量表达与几何性质的关联。 2. 能力目标：能通过向量关系判定三角形四心，会用向量法、建系法解决四心相关的参数求解、轨迹判断、数量积与模长计算等问题，提升知识迁移与综合应用能力。 3. 素养目标：在向量与几何性质的结合中，深化数形结合、转化与化归思想，培养逻辑推理、数学运算、直观想象核心素养，体会向量工具在几何问题中的应用价值。 知识点一：四心 平面向量与三角形“四心” 三角形的内心、外心、垂心与重心问题，尤其是与平面向量相结合后，学生考查时感觉比较棘手，错误率较高，甚至无从下手。因此，本讲将对与“四心”有关的知识进行总结归纳，借助典型例题说明解题要领。 四心的概念介绍： 重心：三条中线的交点，重心将中线长度分成2：1． 内心：三条角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． 外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直． （一）三角形的内心 1·三角形的内心 内心的定义：三个内角的角平分线的交点（或内切圆的圆心).如图，点P 注：角平分线上的任意点到角两边的距离相等 2、 常见内心的向量表示： （1）（或） 其中分别是的三边的长 （2），则点的轨迹一定经过三角形的内心 （注：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)） 3、破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，即两个单位向量的和向量。 拓展：是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，证明的轨迹一定通过的内心． 【解析】证明：、分别表示与、方向相同的单位向量， 的方向与的角平分线方向一致； 又， ； 的方向与的角平分线方向一致， 点的轨迹一定通过的内心． （二） 三角形的外心 1、 外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或外接圆的圆心） 注：外心到三角形各顶点的距离相等. 2、 常用外心的向量表示： （1） （2） 变形：P为平面ABC内一动点，若，则为三角形的外心 3、破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律从而得到三角形的外心。 （三）三角形的“重心” 1、重心的定义：三边中线的交点（重心是中线上的三等分点）.如图,点G 注：重心将中线长度分成 2、常见重心的向量表示： 设是的重心，为平面内任意一点. （1） （2），，， （3）若，则点的轨迹一定经过三角形的重心. 注：若、、，重心坐标为. 若，则点经过的重心； 3、 破解重心问题，关键是利用平面向量加法的几何意义 （四）三角形的“垂心” 1、垂心的定义：三条高线的交点，如图，点O 注：高线与对应边垂直 2、常见垂心的向量表示 （1） 证明：因为，所以，所以， 同理可得，，所以O为垂心 （2） *注* 向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)； 向量所在直线过的重心； 向量所在直线过的垂心； 知识点二：奔驰定理 奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则. 注：若为内一点，且满足，则、、的面积之比等于 证明：如图，令，即满足 ，，，故. 为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为. 即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. 即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形. 奔驰定理与三角形四心 ①若为的重心，则； ②若为的外心，则； ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式 是的重心 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 是的内心 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 是的外心 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 是的垂心 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 备注：奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用． 平面向量与三角形四心（重心、外心、内心、垂心）的解题核心是 “紧扣定义+向量等价条件+数形结合”，优先用结论快速判定，再用建系、公式运算突破，具体策略如下： 一、第一步：快速判定“四心”——抓向量核心特征 二、第二步：精准运算——选最优解题方法 判定四心后，按“结论优先→建系运算→定理兜底”的顺序选择方法，提升效率： 1. 方法一：结论直接套用（选填题首选） 2. 方法二：建系法（计算类问题必用） ◦ 核心逻辑：将几何问题代数化，减少向量变形 ◦ 建系技巧： ◦ 直角三角形：以直角顶点为原点，直角边为坐标轴（垂心在直角顶点，外心在斜边中点） ◦ 等腰三角形：以底边中点为原点，底边为x轴（对称轴为y轴，简化对称点坐标） ◦ 一般三角形：选任意顶点为原点，一边为x轴，用边长、角度求坐标 ◦ 运算步骤：建系→标顶点坐标→表示四心坐标（如重心用中点公式）→代入向量条件计算 3. 方法三：奔驰定理（面积相关问题捷径） 三、第三步：避坑指南——规避高频错误 1. 勿混淆四心结论：如将重心的“1/3”记成内心的“边长比例”，建议结合图形理解推导逻辑 2. 建系时坐标标注准确：利用中点、垂直、对称关系核对坐标，避免后续计算出错 3. 数量积运算注意方向 4. 特殊三角形四心特性：正三角形四心重合，直角三角形垂心在直角顶点、外心在斜边中点，可直接用结论简化 题型01： 三角形的重心判断及应用 （一）．三角形重心的判断 1．已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．O是ABC所在平面上的一点，若（其中P为平面上任意一点），则点O是ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3．已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 4．已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 6．若O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若点P满足+λ(λ∈(0，+∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 7．已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心 8．已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足∈R.则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 9.动点P满足（），动点P一定会过ΔABC的（    ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 10.过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的 A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心 11.已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 （二）重心性质的应用 12.设为的重心，则（   ） A．0 B． C． D． 13.在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 14.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定不是（    ） A．边中线的中点 B．边中线的三等分点（非重心） C．的重心 D．边的中点 15.已知△ABC中，，，，则____________． 16.若是内部一点，且满足，则与的面积比为_______. 17.已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D．3 18.已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（    ） A． B． C． D． 19.设G为△ABC的重心，若，则的取值范围为（    ） A．（－80，160） B．（－80，40） C．（－40，80） D．（－160，80） 20.已知G是的重心，点D满足，若，则为（    ） A． B． C． D．1 21.记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（    ） A． B． C． D． 22.在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02： 三角形的外心判断及应用 （一）三角形外心的判断 1.已知点O在所在的平面内，且，说明O是的内心还是外心. 2.已知是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 3.是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 4.已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 5.已知P在所在平面内，满足，则P是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 （二）外心性质的应用 6.（1）已知△ABC的外心为O，且AB=5，，则______． （2）已知△ABC的重心为O，且AB=5，，则______． （3）已知△ABC的重心为O，且AB=5，，，D为BC中点，则____． 7.中，，，为的重心，为的外心，则______． 8.在中，，，，点为的外心，若，、，则____________. 9.已知在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝2，点O为△ABC的外心，若＝x＋y，则有序实数对(x，y)为（    ） A． B． C． D． 10.设O是的外心，满足，，若，则的面积是 A．4 B． C．8 D．6 11.为的外心，且，则的内角的余弦值为 . 12.在中点是的外心，则 ． 13.在中，是边上的点，且为的外心，则（    ） A．3 B． C． D． 14.已知为的外心，若AB=1，则（    ） A． B． C． D． 15.设为锐角的外心（三角形外接圆圆心），．若，则（　　） A． B． C． D． 16.已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 17.已知为的外心，，则的值为（    ） A． B． C． D． 18.设O为的外心，且满足，，则下列结论中正确的个数为（    ） ①；②；③. A．3 B．2 C．1 D．0 19.在中，为外心，.且，.则 . 20.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为的外心，，，则周长的取值范围是 ． 21.已知内一点是其外心，，且，则的最大值为 . 题型03： 三角形的内心判断及应用 （一）三角形内心的判断 1.已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，则点为三角形的 A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 2.已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 . 3.在中，，，，则直线通过的（    ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 4.已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5.在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6.已知是所在平面内一点，且满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 7.已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 8.已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（    ） A．若为的垂心，，则 B．若为锐角的外心，且，则 C．若，则点的轨迹经过的重心 D．若，则点的轨迹经过的内心 9.已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 10.已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 11.已知为所在平面上的一点，且.若，则是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 （二）内心性质的应用 12.设为的内心，，，，则_______________ 13.已知点O是ABC的内心，若，则cos∠BAC = （    ） A． B． C． D． 14.已知，是其内心，内角所对的边分别，则（    ） A． B． C． D． 15.在中，，是的内心，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（    ） A． B． C． D． 16.已知三角形， ， ， ，点为三角形的内心，记， ， ，则（    ） A． B． C． D． 18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（　　） A．若A＝30°，，，则△ABC有两解 B．若，则角A最大值为30° C．若，则△ABC为锐角三角形 D．若，则直线AP必过△ABC内心 19.在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型04： 三角形的垂心判断及应用 （一）三角形垂心的判断 1.已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（    ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 2.已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 3.已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 4.已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 5.若为所在平面内一点，且则点是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 （二）垂心性质的应用 6.已知点为所在平面内的一点，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7.在中，，，为的垂心，且满足，则___________. 8.设是的垂心，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 9.奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 10.对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．过点的直线交于，若，，则 D．与共线 11.的外接圆的圆心为，垂心为，，则的取值为 A．-1 B．1 C．-2 D．2 12.已知在中，，是的垂心，且满足，则的面积（    ） A． B．8 C． D．4 13.设H是的垂心，且，则_____． 14.已知在中，，点为的垂心，则=________． 题型05：三角形的“四心”问题的综合 1.已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A．重心外心垂心 B．重心外心内心 C．外心重心垂心 D．外心重心内心 2.点为所在的平面内，给出下列关系式： ①； ②； ③. 则点依次为的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．重心、内心、外心 D．外心、垂心、重心 3.对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若A、P、Q三点共线，则存在实数使 4.已知为内任意一点，若满足，则称为的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（    ） ①若，则点为的重心； ②若，，，则； ③若，则点为的垂心； ④若，，且为边中点，则． A．个 B．个 C．个 D．个 5.点在所在的平面内，则以下说法正确的有（   ） A．已知平面向量、、满足，且，则是等边三角形 B．若，则点为的垂心 C．若，则点为的外心 D．若，则点为的内心 6.已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（    ） A．若为的垂心，，则 B．若为锐角的外心，且，则 C．若，则点的轨迹经过的重心 D．若，则点的轨迹经过的内心 7.设点是所在平面内任意一点，的内角的对边分别为，则下列结论正确的是（    ） A．若点是的重心，则 B．若点是的垂心，则 C．若，则点是的外心 D．若，则点是的内心 8.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有______． ①   ② ③     ④ 题型06： 奔驰定理的应用 1.已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（    ） A． B． C． D． 2.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则O为的重心 B．若，则 C．若，，则 D．若O为的垂心，则 3.如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，且，则 4.设点P在内且为的外心，，如图.若的面积分别为，x，y，则的最大值是________. 5.校考阶段练习）定理：如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 已知点在内部，有以下四个推论： ①若为的重心，则； ②若为的外心，则； ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则. 试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题. (1)点在内部，满足，求的值； (2)点为内一点，若，设，求实数和的值； (3)用“奔驰定理”证明推论②. 巩固提升 一、单选题 1.边长为2的正中，G为重心，P为线段BC上一动点，则（    ） A．1 B．2 C． D． 2.中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 3.在△ABC中，O为重心，D为BC边上近C点四等分点，，则m＋n＝（    ） A． B． C． D． 4.在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（    ）. A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 5.设为的重心，则（   ） A．0 B． C． D． 6.已知O是的外心,且满足,若在上的投影向量为,则（    ） A． B． C． D． 7.的外心满足，，则的面积为（    ） A． B． C． D．2 8.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 9.已知P是 的外心，且，则cosC=（    ） A．- B．- C．或- D．或- 10.在中，，为的外心，，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 11.已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（    ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 12.若为所在平面内一点，且则点是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 13.在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 14.已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 15.已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 16.在中，设，那么动点的轨迹必通过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 17.已知H为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 18.奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(    ) A． B． C． D． 二、多选题 19.点在所在的平面内，则以下说法正确的有（　　） A．若，则点O为的重心 B．若，则点为的垂心 C．若，则点为的外心 D．若，则点为的内心 20.瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O､H､G分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是(    ) A． B． C． D． 三、填空题 21.设为的重心，若，则___________． 22.已知点O是锐角的外心，，，，若，则______． 23．（2023·全国·高三专题练习）在中，为其外心，，若，则________． 24．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）设，，是的三个内角，的外心为，内心为．且与共线．若，则___________． 四、解答题 25．（2023·高三课时练习）已知点G为的重心． (1)求； (2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设，，求的值． 26．（2023·高一课时练习）如图所示，已知中，顶点A、B的坐标分别为和，且的垂心坐标为，求顶点C的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 平面向量与三角形的“四心” 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 8 题型归纳 8 题型01：三角形的重心判断及应用 9 （一）三角形重心的判断 9 （二）重心性质的应用 15 题型02：三角形的外心判断及应用 21 （一）三角形外心的判断 21 （二）外心性质的应用 23 题型03：三角形的内心判断及应用 33 （一）三角形内心的判断 33 （二）内心性质的应用 40 题型04：三角形的垂心判断及应用 46 （一）三角形垂心的判断 46 （二）垂心性质的应用 48 题型05：三角形的“四心”问题的综合 54 题型06： 奔驰定理的应用 62 巩固提升 68 平面向量与三角形四心（重心、外心、内心、垂心）的结合是高考数学的高频热点，常以选择题、填空题形式出现，偶尔融入解答题作为解题工具，核心考查向量表示、性质应用及几何问题代数化能力，以下从多维度展开分析： 一、考情定位与命题特点 1. 分值与题型：全国卷中多为5分小题（选择/填空），难度中等偏上，侧重“四心”的向量判定、轨迹问题及与模、数量积的综合；新高考卷更注重与解析几何、三角函数的交叉，偶尔在解答题中作为转化桥梁。 2. 核心考点：聚焦四心的向量等价条件、轨迹过四心的向量表达式、奔驰定理的应用，以及建系法解决四心相关计算问题。 3. 命题趋势：近年命题更灵活，常以“动点轨迹过四心”“已知向量关系判断四心”为载体，融合单位向量、角平分线、中垂线等性质，强调数形结合与逻辑推理能力。 二、解题方法与失分点警示 1. 常用解题方法 ◦ 定义法：紧扣四心定义（如重心是中线交点、内心是角平分线交点），结合向量共线、垂直等性质判定。 ◦ 建系法：遇特殊图形（含直角、对称）时，通过建系将向量坐标化，利用坐标运算求解四心坐标或相关参数（如直角三角形垂心在直角顶点）。 ◦ 奔驰定理：统一四心的向量表达式，快速解决与面积比相关的四心问题，是高考中高效解题的“捷径”。 2. 高频失分点 ◦ 混淆四心的向量结论（如错记重心与内心的向量等式）； ◦ 向量坐标化时出错（如混淆点坐标与向量坐标）； ◦ 忽略特殊三角形的四心特殊性（如正三角形四心重合）； ◦ 计算数量积、模时粗心，导致结果错误。 三、备考建议 1. 夯实基础：熟记四心的向量等价条件，结合图形理解结论的推导过程，避免死记硬背。 2. 专项训练：针对“轨迹过四心”“向量关系判四心”“建系求四心坐标”三类题型进行专项练习，总结解题规律。 3. 融合拓展：加强与三角函数、解析几何的综合训练，学会用向量作为工具转化几何问题，提升综合解题能力。 1. 知识目标：掌握重心、外心、内心、垂心的定义及核心向量等价条件（如重心的向量和为零、内心的角平分线向量表示等），熟记奔驰定理等常用结论，明确四心的向量表达与几何性质的关联。 2. 能力目标：能通过向量关系判定三角形四心，会用向量法、建系法解决四心相关的参数求解、轨迹判断、数量积与模长计算等问题，提升知识迁移与综合应用能力。 3. 素养目标：在向量与几何性质的结合中，深化数形结合、转化与化归思想，培养逻辑推理、数学运算、直观想象核心素养，体会向量工具在几何问题中的应用价值。 知识点一：四心 平面向量与三角形“四心” 三角形的内心、外心、垂心与重心问题，尤其是与平面向量相结合后，学生考查时感觉比较棘手，错误率较高，甚至无从下手。因此，本讲将对与“四心”有关的知识进行总结归纳，借助典型例题说明解题要领。 四心的概念介绍： 重心：三条中线的交点，重心将中线长度分成2：1． 内心：三条角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． 外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直． （一）三角形的内心 1·三角形的内心 内心的定义：三个内角的角平分线的交点（或内切圆的圆心).如图，点P 注：角平分线上的任意点到角两边的距离相等 2、 常见内心的向量表示： （1）（或） 其中分别是的三边的长 （2），则点的轨迹一定经过三角形的内心 （注：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)） 3、破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，即两个单位向量的和向量。 拓展：是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，证明的轨迹一定通过的内心． 【解析】证明：、分别表示与、方向相同的单位向量， 的方向与的角平分线方向一致； 又， ； 的方向与的角平分线方向一致， 点的轨迹一定通过的内心． （二） 三角形的外心 1、 外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或外接圆的圆心） 注：外心到三角形各顶点的距离相等. 2、 常用外心的向量表示： （1） （2） 变形：P为平面ABC内一动点，若，则为三角形的外心 3、破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律从而得到三角形的外心。 （三）三角形的“重心” 1、重心的定义：三边中线的交点（重心是中线上的三等分点）.如图,点G 注：重心将中线长度分成 2、常见重心的向量表示： 设是的重心，为平面内任意一点. （1） （2），，， （3）若，则点的轨迹一定经过三角形的重心. 注：若、、，重心坐标为. 若，则点经过的重心； 3、 破解重心问题，关键是利用平面向量加法的几何意义 （四）三角形的“垂心” 1、垂心的定义：三条高线的交点，如图，点O 注：高线与对应边垂直 2、常见垂心的向量表示 （1） 证明：因为，所以，所以， 同理可得，，所以O为垂心 （2） *注* 向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)； 向量所在直线过的重心； 向量所在直线过的垂心； 知识点二：奔驰定理 奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则. 注：若为内一点，且满足，则、、的面积之比等于 证明：如图，令，即满足 ，，，故. 为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为. 即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. 即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形. 奔驰定理与三角形四心 ①若为的重心，则； ②若为的外心，则； ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式 是的重心 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 是的内心 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 是的外心 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 是的垂心 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 备注：奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用． 平面向量与三角形四心（重心、外心、内心、垂心）的解题核心是 “紧扣定义+向量等价条件+数形结合”，优先用结论快速判定，再用建系、公式运算突破，具体策略如下： 一、第一步：快速判定“四心”——抓向量核心特征 二、第二步：精准运算——选最优解题方法 判定四心后，按“结论优先→建系运算→定理兜底”的顺序选择方法，提升效率： 1. 方法一：结论直接套用（选填题首选） 2. 方法二：建系法（计算类问题必用） ◦ 核心逻辑：将几何问题代数化，减少向量变形 ◦ 建系技巧： ◦ 直角三角形：以直角顶点为原点，直角边为坐标轴（垂心在直角顶点，外心在斜边中点） ◦ 等腰三角形：以底边中点为原点，底边为x轴（对称轴为y轴，简化对称点坐标） ◦ 一般三角形：选任意顶点为原点，一边为x轴，用边长、角度求坐标 ◦ 运算步骤：建系→标顶点坐标→表示四心坐标（如重心用中点公式）→代入向量条件计算 3. 方法三：奔驰定理（面积相关问题捷径） 三、第三步：避坑指南——规避高频错误 1. 勿混淆四心结论：如将重心的“1/3”记成内心的“边长比例”，建议结合图形理解推导逻辑 2. 建系时坐标标注准确：利用中点、垂直、对称关系核对坐标，避免后续计算出错 3. 数量积运算注意方向 4. 特殊三角形四心特性：正三角形四心重合，直角三角形垂心在直角顶点、外心在斜边中点，可直接用结论简化 题型01： 三角形的重心判断及应用 （一）．三角形重心的判断 1．已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【解析】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G,可得， 又=-，则有=-，即AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上,即可得出结果. 作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G，则BG=CG(平行四边形对角线互相平分)， ∴， 又，可得=-，∴=-， ∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上.∴点O为三角形ABC的重心. 故选：C. 2．O是ABC所在平面上的一点，若（其中P为平面上任意一点），则点O是ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【解析】将化简得出，取BC中点M，连接OM，则利用向量的运算法则可得到，则可得点A、O、D三点共线，并且，从而可得O点时△ABC的重心. 由题意，可得， 得，即得，取BC中点M，连接OM，如图所示， 则有，所以A、O、D三点共线，且， 所以点O是△ABC的重心. 故选：C. 【点睛】本题考查了向量加减运算法则的应用，考查了三角形中心的判断，属于一般难度的题. 3．已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 解析】设为的中点，由向量的线性运算可得，代入已知条件计算可知，进而可得答案. 如图：设为的中点， 因为 由可得，， 所以三点共线，因为， 所以点在射线上， 所以点的轨迹一定通过的重心， 故选：C. 4．已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】等价于等价于点为重心. 充分性： 等价于： 等价于： 等价于： 所以为的靠近的三等分点，所以点为重心； 必要性：若点为重心，由重心性质知，故 故选：C 5．已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【解析】取的中点，由已知条件可知动点满足，，易得，则点三点共线，进而得到点的轨迹一定通过的重心. 解：设为的中点，则， 则，即， 三点共线， 又因为为的中点，所以是边的中线， 所以点的轨迹一定通过的重心. 故选：C. 6．若O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若点P满足+λ(λ∈(0，+∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【解析】设的中点为，通过向量的线性运算求得，由此判断出的轨迹经过三角形的重心. 设线段BC的中点为D，则有)， 因此由已知得+λ，即=λ，于是=λ，则， 因此P点在直线AD上，又AD是△ABC的BC边上的中线， 因此点P的轨迹一定经过三角形ABC的重心． 故选：C 7．已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心 【答案】D 【解析】由给定条件可得，由表示出即可判断作答. 令边BC上的高为h，则有，令边BC的中点为D，则， 因此，，即， 所以动点的轨迹一定通过的重心. 故选：D 8．已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足∈R.则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【解析】利用正弦定理化简已知条件，由此判断出的轨迹经过重心. 设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得， 所以， 根据向量加法的几何意义可知：表示以为邻边的平行四边形的对角线， 此对角线与三角形中线重合，所以在三角形的中线上，也即点的轨迹一定通过三角形的重心. 故选：C 【点睛】本小题主要考查正弦定理的运用，考查向量加法的几何意义，属于中档题. 9.动点P满足（），动点P一定会过ΔABC的（    ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 【答案】C 【解析】取中点，做出简图，由化简得，根据得、、三点共线，所以点一定会通过重心. 【详解】取中点，做出示意图如下图所示： 由图可知， 故， 因为，所以、、三点共线，即点在的中线所在直线上， 所以点一定会过的重心。故选：C. 10.过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的 A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心 【答案】B 【解析】本题采用特殊位置法，将直线特殊为过三角形顶点，从而可得解. 本题采用特殊位置法较为简单. 因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则，有. 如图： 则有直线AM经过BC的中点， 同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点， 所以点是的重心，故选B. 11.已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】D 【解析】因为，所以. 以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD交AB于点O.如图所示: 则，所以，CO是AB边上的中线，所以G点是△ABC的重心. 故选：D （二）重心性质的应用 12.设为的重心，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解. 因为为重心， 所以， 所以， 故选：B. 13.在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由向量的线性运算结合三角形的重心的性质求解即可． 解：如图： 对于选项A，，即选项A错误； 对于选项B，点为的重心，则，即选项B正确； 对于选项C，，即选项C正确； 对于选项D，，即，即选项D正确， 故选：BCD． 14.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定不是（    ） A．边中线的中点 B．边中线的三等分点（非重心） C．的重心 D．边的中点 【答案】ACD 【解析】利用重心的向量表示及向量的线性运算，得到，判断出P的位置，对四个选项一一验证，得到正确答案. 因为O是的重心，所以， 所以, 所以点P为OC的中点，即为边中线的三等分点（非重心） 故选：ACD 15.已知△ABC中，，，，则____________． 【答案】## 【解析】根据三角形重心的定义可得，结合题意和平面向量的线性运算即可得出结果. 由知，点O是△ABC的重心， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：. 16.若是内部一点，且满足，则与的面积比为_______. 【答案】 【解析】利用向量的加法运算得出，取的中点为，进而得出点为的重心，根据重心的性质即可得出答案. 取的中点为，则 即，则点为的重心 根据重心的性质可得，点到的距离是点到的距离的 则 故答案为： 【点睛】本题主要考查了根据向量关系判断三角形的重心，属于常考题. 17.已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】BD 【解析】设，利用重心的性质，把用、表示，再由，，三点共线得关于，的方程，再由三角形面积比得关于，的另一方程，联立即可求得实数的值． 解：如图，，，即，设，则， 三点共线，，， 所以，与的面积之比为，， 即，化简得，解得或3. 故选：BD 18.已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设可得，结合，及余弦定理可得，根据基本不等式即可求解. 由题意，所以， 即，所以，所以， 又，， 则， 所以，即， 由，，，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 又在上单调递减，，所以当取最大值时，.故选：A 19.设G为△ABC的重心，若，则的取值范围为（    ） A．（－80，160） B．（－80，40） C．（－40，80） D．（－160，80） 【答案】A 【解析】由题设知、为的中点且，结合已知求出，利用向量数量积的运算律有求得，再由目标式中向量线性关系的几何意义及三角形三边关系，即可求范围. 【详解】∵，∴，连接并延长交于，则为的中点，且，在中，，则， ∵，∴， ， ∵，即，∴.故选：A 20.已知G是的重心，点D满足，若，则为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为， 所以为中点， 又因为G是的重心， 所以， 又因为为中点， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：A 21.记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，作出图形， 因为点是的重心，所以是的中点，故， 由已知得， 因为，所以， 又因为点是的重心，所以，则， 又因为，所以，则， 又由余弦定理得，所以，整理得， 因为，令，则， 所以， 则. 故选：D. 22.在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】如图： 对于选项A，，即选项A错误； 对于选项B，点为的重心，则，即选项B正确； 对于选项C，，即选项C正确； 对于选项D，，即，即选项D正确， 故选：BCD． 题型02： 三角形的外心判断及应用 （一）三角形外心的判断 1.已知点O在所在的平面内，且，说明O是的内心还是外心. 【答案】点O是△ABC的外心 【解析】结合向量模的知识，以及三角形内心、外心的知识，判断出点O是△ABC的外心. ∵，∴点O到△ABC的三个顶点距离相等，∴点O是△ABC的外心. 【点睛】本小题主要考查向量模的概念，考查三角形内心、外心，属于基础题. 2.已知是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【解析】由已知可得，由此可得出结论. 因为，则，所以，是的外心. 故选：B. 3.是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【解析】根据给定等式，利用数量积运算律结合向量减法计算得判断作答. 由得：，即，则有， 由，同理可得，因此，， 所以是的外心. 故选：B 4.已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【解析】设的中点为，两端同时点乘，由可得答案. 设的中点为， 因为， 所以， 即，两端同时点乘， 所以 ， 所以， 所以点在的垂直平分线上，即经过的外心. 故选：B. 5.已知P在所在平面内，满足，则P是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【解析】表示到三点距离相等，为外心． 故选：A． （二）外心性质的应用 6.（1）已知△ABC的外心为O，且AB=5，，则______． （2）已知△ABC的重心为O，且AB=5，，则______． （3）已知△ABC的重心为O，且AB=5，，，D为BC中点，则____． 【答案】               【解析】（1）根据外心的性质作，然后根据向量的线性运算求解； （2）根据重心的性质知重心将相应的中线分成两部分，然后根据向量的线性运算求解； （3）根据重心的性质知重心将相应的中线分成两部分，然后根据向量的线性运算及数量积的运算法则求解； （1）解：由题意得：如图 过O作，垂足为，则是的中点 ，， 又， （2）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成两部分 ， （3）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成两部分 ， 故答案为：（1）（2）（3） 7.中，，，为的重心，为的外心，则______． 【答案】 【解析】根据三角形的外心的性质，得出，，由三角形的重心的性质，得出，通过向量的数量积运算，即可求出的值. 解：因为为的重心，为的外心， 所以，， 所以 ， 即. 故答案为:． 【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，考查三角形的重心和外心的向量表示，考查计算能力. 8.在中，，，，点为的外心，若，、，则____________. 【答案】 【解析】令边AB，AC中点分别为D，E，将分别用和表示，再与求数量积即可列式计算作答. 如图，令边AB，AC中点分别为D，E，连接DO，EO，因点为的外心，于是得，， ， ，， ，， 依题意，， ， 解得， 所以. 故答案为： 9.已知在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝2，点O为△ABC的外心，若＝x＋y，则有序实数对(x，y)为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，取中点为，结合⊥，⊥，求得·，即可列出方程，求得结果. 取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON， 则⊥，⊥， ＝－＝－(x＋y)＝－y， ＝－＝－(x＋y)＝－x. 由⊥，得－y·＝0，① 由⊥，得－x·＝0，② 又因为＝(－)2＝2－2·＋， 故·＝＝－，③ 把③代入①，②得解得x＝，y＝. 故实数对(x，y)为. 故选：. 【点睛】本题考查利用基底表示向量，以及向量的线性运算，属综合基础题. 10.设O是的外心，满足，，若，则的面积是 A．4 B． C．8 D．6 【答案】B 【解析】取AC中点D,由以及题设条件得到，计算，得到，由三角形面积公式求解即可. 取AC中点D，因为O是的外心，所以 则 ，解得： 所以 即 故选：B 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算以及三角形外心的知识，属于中档题. 11.为的外心，且，则的内角的余弦值为 . 【答案】 【解析】设，根据数量积的运算律将化为并平方可得，判断为锐角三角形，结合二倍角公式即可求得答案. 因为为的外心，又由，平方可得：, 不妨设，则,故为锐角， 由于，或，又由：, 可得点在的内部，即为锐角三角形,   故，C为锐角，即，故，故答案为： 12.在中点是的外心，则 ． 【答案】 【解析】如图所示：过作于，于，，代入化简得到，计算得到答案. 如图所示：过作于，于，则为，中点， ， .故答案为：. 13.在中，是边上的点，且为的外心，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则是的中点，所以， 设外接圆的半径为， 所以 ． 故选：B． 14.已知为的外心，若AB=1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点为的外心，设的中点为，连接，则，如图 所以. 故选：B. 15.设为锐角的外心（三角形外接圆圆心），．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取中点，连接， 为的外心，， ，，三点共线，， ，， ，，， ，即，，， 则，解得：. 故选：A. 16.已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设的中点为，则，所以， 所以外心与中点重合，故为直角三角形. 设，则，， ，设为方向上的单位向量，则 在上的投影向量为. 故选：C. 17.已知为的外心，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为的外心， 所以，设， 又， ， ，且， ，且， . 故选:C. 18.设O为的外心，且满足，，则下列结论中正确的个数为（    ） ①；②；③. A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以，即， 所以，故①正确， 所以，即，所以 ，故②正确； 因为，所以，所以， ，所以，所以，则， 所以，所以，即，故③正确； 故选：A 19.在中，为外心，.且，.则 . 【答案】 【解析】设点为的中点，可得，由平面向量基本定理可知共线，进而得到；由投影定理可化简所求式子为，进而求得结果. 设点为的中点，则， 则， 由可知：共线，又为外心，. 由投影定义知：，. .故答案为：. 20.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为的外心，，，则周长的取值范围是 ． 【答案】. 【解析】由可得，再利用正弦定理将转化成角的三角函数，利用三角函数的性质，即可得答案. 设的外接圆半径为R，，则，又，则， 又由正弦定理得， 又，，则，周长的取值范围是．故答案为：． 21.已知内一点是其外心，，且，则的最大值为 . 【答案】 【解析】如图所示，延长交于，令，由三点共线，得，将问题转化为求的最大值，利用解三角形知识，即可得答案. 如图所示，延长交于，令， ∵三点共线，∴，∴取最大值时，取最大值， ∴，∵为外接圆的半径定值，∴当取得最小时，取最大值，此时， ∴为等腰三角形，且，∴，∴ ∵，，∴.故答案为：. 【提分秘籍】 设是内一点且； 若为外心，则； 【变式演练】 题型03： 三角形的内心判断及应用 （一）三角形内心的判断 1.已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，则点为三角形的 A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 【答案】D 【解析】在上分别取单位向量，记，则平分，用表示出，代入条件所给等式，用表示出，则可证明三点共线，即平分.同理证得在其它两角的平分线上，由此求得是三角形的内心. 在，上分别取点使得，则，作菱形，则由所以为的平分线.因为，所以，所以，所以三点共线，即在的平分线上. .同理证得在其它两角的平分线上，由此求得是三角形的内心.，故选D. 【点睛】本小题主要考查平面向量的加法运算，考查三点共线的证明，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 2.已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】由题设条件得到，从而判断出点P在的平分线上，由此得到点的轨迹一定通过的内心. 分别表示方向的单位向量， 令，， 则，即， 又，以为一组邻边作一个菱形，则点P在该菱形的对角线上， 所以点P在，即的平分线上，故动点P的轨迹一定通过的内心. 故选：B. . 3.在中，，，，则直线通过的（    ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 【答案】D 【解析】根据向量的加法的几何意义，结合菱形的对角线为相应角的平分线，得到在的角平分线上，从而作出判定. 因为,∴， 设,则， 又， ∴在的角平分线上， 由于三角形中,     故三角形的边上的中线，高线，中垂线都不与的角平分线重合， 故经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心， 故选D. 4.已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】将所给向量表达式进行变形,表示成与方向上的单位向量的形式,由向量加法运算的性质即可知O在角平分线上,即可得解. 因为 则,即 移项可得 即 则 因为 所以 化简可得,即 设为方向上的单位向量,为方向上的单位向量 所以, 则 所以 则在的角平分线上 同理可知 在的角平分线上 因而为的内心 故选:B 【点睛】本题考查了向量线性运算的化简及应用,三角形内心的向量表示形式,化简过程较为复杂,属于中档题. 5.在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。 记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心. 故选：B 6.已知是所在平面内一点，且满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【解析】根据向量的运算法则将原式变为，分析出与角的角平分线共线即可得解. 由题：即：， ， 因为与角的角平分线共线，所以与角的角平分线共线， 所以与角的角平分线共线，即点在的角平分线上， 同理可得点在的角平分线上，所以点是的内心.故选：B 7.已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】将所给向量表达式进行变形,表示成与方向上的单位向量的形式,由向量加法运算的性质即可知O在角平分线上,即可得解. 因为则,即 移项可得即 则因为 所以 化简可得,即 设为方向上的单位向量,为方向上的单位向量所以,则 所以则在的角平分线上 同理可知 在的角平分线上。因而为的内心。故选:B 8.已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（    ） A．若为的垂心，，则 B．若为锐角的外心，且，则 C．若，则点的轨迹经过的重心 D．若，则点的轨迹经过的内心 【答案】ABC 【解析】对于A选项，因为，，又因为为的垂心， 所以，所以，故正确； 对于B选项，因为且， 所以，整理得：，即， 设为中点，则，所以三点共线， 又因为，所以垂直平分，故，正确； 对于C选项，由正弦定理得， 所以， 设中点为，则，所以， 所以三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心，正确； 对于D选项，因为， 设中点为，则，所以， 所以， 所以，即， 所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，错误. 故选：ABC 9.已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】分别表示方向的单位向量， 令，， 则，即， 又，以为一组邻边作一个菱形，则点P在该菱形的对角线上， 所以点P在，即的平分线上，故动点P的轨迹一定通过的内心. 故选：B. . 10.已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量， 则的方向与的角平分线一致， 由，可得， 即， 所以点P的轨迹为的角平分线所在直线， 故点P的轨迹一定经过的内心. 故选：C. 11.已知为所在平面上的一点，且.若，则是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 【答案】B 【解析】因为，所以 ， 所以，所以 ， 所以在角A的平分线上，故点I在的平分线上， 同理可得，点I在的平分线上，故点I在的内心， 故选：B. （二）内心性质的应用 12.设为的内心，，，，则_______________ 【答案】 【解析】取中点，作，根据内心的特征可知；利用内切圆半径的求法可求得，由长度关系可求得，利用向量线性运算可表示出，由此可得. 取中点，连接，作，垂足分别为， ，为的角平分线，； 又，，，则； 周长，面积， 内切圆半径，， 又，， ，， ，，. 故答案为：. 13.已知点O是ABC的内心，若，则cos∠BAC = （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则四边形为菱形，设该菱形的边长为，则，表示出内切圆的半径，根据等积法可以求出的长，然后转化为等腰三角形处理即可 解：由，设，则四边形为平行四边形， 因为点O是ABC的内心，所以， 所以四边形为菱形，设该菱形的边长为，则， 因为∥，， 所以的内切圆半径， 所以， 所以，解得， 所以为等腰三角形， 所以，故选：C 14.已知，是其内心，内角所对的边分别，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】结合平面向量线性运算以及正弦定理等知识求得正确答案. 延长，分别交于.内心是三角形三个内角的角平分线的交点. 在三角形和三角形中，由正弦定理得： ， 由于，所以，， 同理可得，， . 所以 ， 则. 故选：C 15.在中，，是的内心，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由且，易知动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），在中，由，利用余弦定理求得边，再由和，求得内切圆的半径，从而得到，再由动点的轨迹所覆盖的面积得解. 因为且， 根据向量加法的平行四边形运算法则， 所以动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界）， 因为在中，， 所以由余弦定理得： ， 所以，即，解得：， ，所以 . 设的内切圆的半径为 ，所以所以. 所以.所以动点的轨迹所覆盖的面积为：.故选：A 16.已知三角形， ， ， ，点为三角形的内心，记， ， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据点为三角形的内心有，再将分别用为基底，利用数量积的公式与余弦定理求解再判断大小即可. ∵三角形，，，，点为三角形的内心 ∴ ∴，即，故 ，即，故， 即. ∴. . . 又根据余弦定理可得：， ∴，∴，，.∴故选：A 内心定理 17.已知点P为的内心，，若，则______． 【答案】 【解析】在，由余弦定理得, 设分别是边上的切点，设，则，所以， 由得，，即，① 同理由,② 联立①②以及即可解得：， 故答案为： 18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（　　） A．若A＝30°，，，则△ABC有两解 B．若，则角A最大值为30° C．若，则△ABC为锐角三角形 D．若，则直线AP必过△ABC内心 【答案】ABD 【解析】对于选项A：bsinA＝4sin30°＝2，则bsinA＜a＜b， 所以，△ABC有两解，A选项正确； 对于选项B：设（以为基底），则， ∵∴=0 则，即 ∴ ∵，∴，B选项正确； 对于选项C：∵，∴，又∴C为锐角 若C为最大角， 则△ABC为锐角三角形，否则△ABC为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形，C选项错误； 对于选项D：∵表示与同向的单位向量，表示与同向单位向量     又∵与不共线 ∴与菱形对角线向量共线 ∴直线AP为角A的角平分线，即直线AP必过△ABC内心， D选项正确． 故选：ABD． 19.在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图：圆O在边上的切点分别为，连接，延长交于点 设，则，则 设 ∵三点共线，则，即 即。故选：D． 题型04： 三角形的垂心判断及应用 （一）三角形垂心的判断 1.已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（    ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 【答案】C 【解析】结合向量数量积的运算求得正确答案. 由题意知，中，， 则， 即， 所以， 即， 同理，，； 所以是的垂心. 故选：C 2.已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】C 【解析】利用向量的等式关系，转化成，利用向量加减法运算化简得到，即证，再同理证得，即得是的垂心． 由得：， 即，故， 故，， 又，， ，即， 同理，即，所以是的垂心． 故选：C. 【点睛】关键点点睛： 本题的解题关键在于将模的平方转化成向量的平方，进行向量的灵活运算，才能证得垂直关系，突破难点. 3.已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】D 【解析】计算的值，可得出结论. 因为， ， ，因此，点的轨迹经过的垂心， 故选：D. 4.已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】D 【解析】计算的值，可得出结论. 因为， ， ，因此，点的轨迹经过的垂心，故选：D. 5.若为所在平面内一点，且则点是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】D 【解析】， 得，即； ， 得，即； ， ，即，所以为的垂心. 故选：D. （二）垂心性质的应用 6.已知点为所在平面内的一点，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由推出为的外心，由推出为的垂心，从而可得为正三角形，可得，利用，求出.根据可求出结果. 因为，所以，所以， 所以为的外心. 因为，所以，所以， 所以，同理得，， 所以为的垂心， 因为的外心与垂心重合，所以为正三角形， 所以，所以， 所以，所以. 故选：C. 7.在中，，，为的垂心，且满足，则___________. 【答案】 【解析】根据题意作出图形，然后根据，设设，则，进而根据平面几何性质表示出相关边的数量关系，然后根据平面向量的运算法则即可得出. 如图所示，为的中点，不妨设，则.因为，则，则，，由此可得. 故答案为：. 8.设是的垂心，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由三角形垂心性质及已知条件可求得，，由向量的夹角公式即可求解． 由三角形垂心性质可得，，不妨设x， ∵345， ∴， ∴，同理可求得， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查平面向量的运用及向量的夹角公式，解题的关键是由三角形的垂心性质，进而用同一变量表示出，要求学生有较充实的知识储备，属于中档题． 9.奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】延长交于点P，则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得，再利用和可得，不妨设，利用可求出的值，从而可求出的值. 延长交于点P，是的垂心，， ． 同理可得，．又， ．又，． 不妨设，其中．， ，解得．当时，此时，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉． 故，则，故C为锐角，∴，解得， 故选：B． 10.对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．过点的直线交于，若，，则 D．与共线 【答案】B 【解析】根据外心在AB上的射影是AB的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A正确；利用向量的数量积的运算法则可以即，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定与垂直，从而说明D正确. 如图，设AB中点为M，则，， ，故A正确； 等价于等价于，即， 对于一般三角形而言，是外心，不一定与垂直，比如直角三角形中， 若为直角顶点，则为斜边的中点，与不垂直，故B错误； 设的中点为， 则， ∵E，F，G三点共线，，即，故C正确； ，与垂直，又， ∴与共线，故D正确.故选：B. 11.的外接圆的圆心为，垂心为，，则的取值为 A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】B 【解析】由于是外接圆圆心，是垂心，固有，；将等式左右两边同时乘以，化简可以求出. 将等式左右两边同时乘以向量，可以得到 ， 继续化简可得， 又，故选B. 12.已知在中，，是的垂心，且满足，则的面积（    ） A． B．8 C． D．4 【答案】C 【解析】利用正弦定理化简已知等式，变形后利用余弦定理可求出，从而可求出角的度数，利用平面向量的数量积运算法则以及已知条件可求出的值，根据三角形面积公式表示出，将各自的值代入计算即可求出三角形的面积. 因为，所以由正弦定理得， 所以由余弦定理得，因为，所以， 因为是的垂心，所以， 因为，所以，所以， 所以，故选：C   13.设H是的垂心，且，则_____． 【答案】 【解析】∵H是的垂心， ∴，， ∴，同理可得，， 故， ∵， ∴， ∴，同理可求得， ∴，， ∴，即. 故答案为：． 14.已知在中，，点为的垂心，则=________． 【答案】18 【解析】延长交于点， 因为，点为的垂心， 所以为的中点，， 所以 ， 故答案为：18 题型05：三角形的“四心”问题的综合 1.已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A．重心外心垂心 B．重心外心内心 C．外心重心垂心 D．外心重心内心 【答案】C 【解析】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C. 考点：向量在几何中的应用. 2.点为所在的平面内，给出下列关系式： ①； ②； ③. 则点依次为的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．重心、内心、外心 D．外心、垂心、重心 【答案】C 【解析】逐条判断。第一条是关于重心的性质；第二条取单位长度的向量和，从而得出点在的平分线上，这就涉及三角形的内心；第三条可以推导出和垂直，从而和三角形的外心相关。 ①由于，其中为的中点，可知为边上中线的三等分点（靠近线段），故为的重心； ②向量，，分别表示在边和上取单位向量和，它们的差是向量，当，即时，则点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为的内心； ③是以，为边的平行四边形的一条对角线的长，而是该平行四边形的另一条对角线的长，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，故为的外心. 故选：C 【点睛】本题考查利用向量的方法去研究三角形的内心，外心，重心的性质，属于有一定难度的综合题。 3.对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若A、P、Q三点共线，则存在实数使 【答案】BCD 【解析】直接利用三角形的内心，外心，垂心，重心的相关关系，向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论． 解：对于A：给定的，其外心为，所以，故A不正确； 对于B：因为为给定的的垂心，故， 即, 解得：,故B正确； 对于C：因为重心为G，则有，，所以，故C正确； 对于D：由于点在的平分线上，为单位向量，所以与的平分线对应向量共线，所以存在实数使，故D正确． 故选：BCD． 4.已知为内任意一点，若满足，则称为的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（    ） ①若，则点为的重心； ②若，，，则； ③若，则点为的垂心； ④若，，且为边中点，则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【解析】设中点为，由已知等式可得，由重心性质可知①正确；取中点，中点，由已知等式可得，则可得与到直线距离之比，由此可知②正确；由可得，即，同理得，，由垂心定义知③正确；由已知等式可得，由此知④正确. 对于①，当时，； 设中点为，则，即， 为的重心，①正确； 对于②，当，，时，，， 取中点，中点， ，，，即， 到直线距离与到直线距离之比为：，即； 又为中点，点到直线距离，， ，即，②正确； 对于③，由得：， ，同理可得：，， 为的垂心，③正确； 对于④，当，，时，，， 又为边中点，， 又，，，④正确. 故选：D. 5.点在所在的平面内，则以下说法正确的有（   ） A．已知平面向量、、满足，且，则是等边三角形 B．若，则点为的垂心 C．若，则点为的外心 D．若，则点为的内心 【答案】AC 【解析】直接利用向量的线性运算及向量的数量积，三角形的内心、外心，重心，垂心的应用，向量垂直的充要条件，单位向量的应用判断、、、的结论． 解：选项A，平面向量、、满足， 且， ，， 即， ， ，的夹角为，同理、的夹角也为， 是等边三角形，故A正确； 选项B，向量，分别表示在边和上的单位向量， 设为和，则它们的差是向量， 则当，即时，点在的平分线上， 同理由，知点在的平分线上， 故为的内心而不一定是垂心，故B错误； 选项C，是以，为邻边的平行四边形的一条对角线， 而是该平行四边形的另一条对角线， 表示对角线垂直，从而这个平行四边形是菱形，即， 同理有，于是为的外心，故C正确； 选项D，由得， ，即，， 同理可证，， ，，，即点是的垂心而不一定时内心，故D错误． 故选：AC． 【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，三角形的内心、外心，重心，垂心的应用，向量垂直的充要条件，单位向量，主要考查学生的运算能力和数学思维能力．（1）重心：三角形三条中线的交点； 与向量相关的性质： ①是的重心； ②三点坐标为、、，则重心坐标为； ③点是的重心，则； ④若，则点经过的重心； ⑤若，则点经过的重心； 6.已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（    ） A．若为的垂心，，则 B．若为锐角的外心，且，则 C．若，则点的轨迹经过的重心 D．若，则点的轨迹经过的内心 【答案】ABC 【解析】根据，计算可判断A；设为中点，则根据题意得三点共线，且，进而得判断B；设中点为，进而结合正弦定理得可判断C；设中点为，根据题意计算得，进而得可判断D. 解：对于A选项，因为，，又因为为的垂心， 所以，所以，故正确； 对于B选项，因为且， 所以，整理得：，即， 设为中点，则，所以三点共线， 又因为，所以垂直平分，故，正确； 对于C选项，由正弦定理得， 所以， 设中点为，则，所以， 所以三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心，正确； 对于D选项，因为， 设中点为，则，所以， 所以， 所以，即， 所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，错误. 故选：ABC 7.设点是所在平面内任意一点，的内角的对边分别为，则下列结论正确的是（    ） A．若点是的重心，则 B．若点是的垂心，则 C．若，则点是的外心 D．若，则点是的内心 【答案】ACD 【解析】根据三角形外心、内心、重心和垂线的向量表示法依次判断各个选项即可. 对于A，若点是的重心，则，，A正确； 对于B，若点是的垂心，则，即， ，B错误； 对于C，由得：与垂直，即与垂直， 又过中点，点在的中垂线上； 同理可得：点在的中垂线上，点是的外心，C正确； 对于D，，， 即，， ； 为方向上的单位向量，为方向上的单位向量， 在的角平分线上，即为的角平分线； 同理可得：为的角平分线，点是的内心，D正确. 故选：ACD. 8.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有______． ①   ② ③     ④ 【答案】①③④ 【解析】利用三角形外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可求出结果. 对于①，重心为G，有， 故，故①正确； 对于②，外心为O，过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，易知D、E分别是AB、AC的中点，有， ∴，故②错误； 对于③，由欧拉线定理得，即，又有， 故，即，故③正确； 对于④，由得，故， 所以，故④正确. 故答案为：①③④. 题型06： 奔驰定理的应用 1.已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比 解：，，如图： ， ， 、、三点共线，且，为三角形的中位线 而 ，，的面积之比等于 故选：． 【点睛】本题考查了向量式的化简，向量加法的平行四边形法则，向量数乘运算的几何意义等向量知识，充分利用向量共线是解决本题的关键 2.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则O为的重心 B．若，则 C．若，，则 D．若O为的垂心，则 【答案】ABD 【解析】A若为的中点，连接，由已知得在中线上，同理可得在其它中线上，即可判断；B、C将三角形补成一个以O为重心的三角形，根据向量的线性关系求出相关三角形面积的数量关系，即可得结论；D由垂心的性质、向量数量积的运算律，得到，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论. A：若为的中点，连接，则，故共线，即在中线上，同理可得在其它两中线上，故O为的重心，正确； B：若，由题设知，即O为的重心， 所以，，，， 则，正确； C：由题设，若， 所以，即O为的重心，则， 而，则，故，， 所以，错误； D：由，则， 同理，， 因为O为的垂心，则， 所以， 同理得：，， 则， 令， 由，则， 同理：， ， 综上，， 由已知可得，正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：利用三角形重心的性质判断A、B、C，应用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式判断结论. 3.如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，且，则 【答案】ABD 【解析】根据三角形重心的性质可得，结合奔驰定理可判断A; 设点P到边的距离分别为，结合三角形面积公式可得，与比较，可判断B;由化简得，和奔驰定理比较可判断C;由三角形外心性质结合三角形面积公式可判断D. 对于A，是的重心，则, 代入就得到,正确； 对于B，设点P到边的距离分别为， 由得，，即，与已知条件比较知，，则是的内心，正确； 对于，即， 与比较得到，，错误； 对于D，是的外心，且，则，设三角形外接圆半径为R， 所以， 代入奔驰定理即可得到，正确， 故选：ABD. 4.设点P在内且为的外心，，如图.若的面积分别为，x，y，则的最大值是________. 【答案】## 【解析】根据奔驰定理可得，等式两边同时平方，结合题意和外心的定义可得，利用基本不等式计算即可求解. 根据奔驰定理得，，即， 平方得， 又因为点P是的外心，所以，且， 所以， ，解得， 当且仅当时取等号.所以. 故答案为：. 5.校考阶段练习）定理：如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 已知点在内部，有以下四个推论： ①若为的重心，则； ②若为的外心，则； ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则. 试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题. (1)点在内部，满足，求的值； (2)点为内一点，若，设，求实数和的值； (3)用“奔驰定理”证明推论②. 【答案】(1)；(2)，；(3)证明见解析 【解析】（1）根据奔驰定理可求得的值； （2）由奔驰定理得出，进而可得出，即可求得、的值； （3）设的外接圆半径为，，，，利用三角形的面积公式结合“奔驰定理”可证得推论②成立. （1）解：因为，根据奔驰定理可得， 因此，. （2）解：根据奔驰定理，得，即， 整理可得， 因为与不共线，所以由平面向量基本定理得，. （3）证明：若为的外心，则可设的外接圆半径为， ，，， 故，同理，， 根据奔驰定理，. 即. 所以. 巩固提升 一、单选题 1.边长为2的正中，G为重心，P为线段BC上一动点，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】如图：以所在直线为轴，线段的垂直平分线所在直线为轴，建立如图所示直角坐标系，由题意可知：， 因为G为的重心，所以， 因为点为线段上一动点，设点， 所以，，则， 故选：． 2.中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【解析】设，， 以为原点，、方向为、轴正方向如图建立空间直角坐标系， ， ，， 则，，，，则， 设，则， ， ，即， 即点的轨迹方程为， 而直线平分线段，即点的轨迹为线段的垂直平分线， 根据三角形外心的性质可得点的轨迹一定过的外心， 故选：A. 3.在△ABC中，O为重心，D为BC边上近C点四等分点，，则m＋n＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接延长交于点，则点为的中点，连接， 所以 ， 所以，. 故选：B. 4.在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（    ）. A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【解析】 因为，且D为中点，， 则， 又因为，则可得四边形为菱形， 即为菱形的对角线， 所以平分，即直线经过的内心 故选:A 5.设为的重心，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为重心， 所以， 所以， 故选：B. 6.已知O是的外心,且满足,若在上的投影向量为,则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解:由题知,, 所以, 即,所以三点共线,且是的中点, 因为O是的外心,所以是圆的直径, 故是以A为直角顶点的直角三角形, 过向作垂线,垂足为,连接,如图所示: 因为在上的投影向量为, 所以在上的投影向量为: , 而, 则. 故选:C. 7.的外心满足，，则的面积为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】设的中点为，则可化为 即为， 三点共线且，为等腰三角形， 由垂径定理得，代入数据得, 解之：，. 故选：B. 8.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】， 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 9.已知P是 的外心，且，则cosC=（    ） A．- B．- C．或- D．或- 【答案】B 【解析】因为P是的外心，所以， 由题知，两边平方得 即,即， 所以，则， 又由，得， 因为，则C与外心P在AB的异侧，即C在劣弧上，所以C为钝角，即. 故选：B 10.在中，，为的外心，，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】如图，设的中点为D,E，连接OD,OE,则 , 故，即 , 即，故, ，即 , 即，故, 故, 故选：B 11.已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（    ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 【答案】C 【解析】由题意知，中，， 则， 即， 所以， 即， 同理，，； 所以是的垂心. 故选：C 12.若为所在平面内一点，且则点是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】D 【解析】， 得，即； ， 得，即； ， ，即，所以为的垂心. 故选：D. 13.在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心. 故选：B 14.已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【解析】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G，则BG=CG(平行四边形对角线互相平分)， ∴， 又，可得=-，∴=-， ∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上.∴点O为三角形ABC的重心.故选：C. 15.已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【解析】设为的中点，则， 则，即， 三点共线， 又因为为的中点，所以是边的中线， 所以点的轨迹一定通过的重心. 故选：C. 16.在中，设，那么动点的轨迹必通过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】C 【解析】设的中点是， ， 即，所以， 所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心， 故选：C. 17.已知H为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，同理． 由H为△ABC的垂心，得，即， 可知，即．同理有， 即，可知， 即，解得， ，又， 所以． 故选：C． 18.奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵是的垂心，延长交与点， ∴ ， 同理可得，∴：， 又， ∴， 又， ∴， 不妨设，其中， ∵， ∴，解得或， 当时，此时，则都是钝角，则，矛盾. 故，则，∴是锐角，， 于是，解得. 故选：A. 二、多选题 19.点在所在的平面内，则以下说法正确的有（　　） A．若，则点O为的重心 B．若，则点为的垂心 C．若，则点为的外心 D．若，则点为的内心 【答案】AC 【解析】对于A，设边、、的中点分别为、、 ,则，所以 所以、、三点共线，即点在中线上，同理点在中线上， 则是的重心.故A正确 对于B，若，则，所以 所以为的外心，故B错误 对于C，设边、、的中点分别为点、、， 则,所以为线段的中垂线， 同理、分别为线段、的中垂线，所以是的外心，故C正确 对于D，由已知，， 即垂直，也即点在边的高上；同理，点也在边的高上， 所以则是的垂心，故D错误. 故选：AC 20.瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O､H､G分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】如图： 根据欧拉线定理可知，点O､H､G共线，且. 对于A，∵，∴，故A正确； 对于B，G是重心，则延长AG与BC的交点为BC中点，且AG＝2GD，则，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，显然不正确. 故选：ABC. 三、填空题 21.设为的重心，若，则___________． 【答案】 【解析】因为为重心，则， 又因为， 不妨设，所以， 所以，所以， 所以 故答案为：. 22.已知点O是锐角的外心，，，，若，则______． 【答案】 【解析】如图，点O在AB、AC上的射影是点D、E，它们分别为AB、AC的中点． 由数量积的几何意义，可得，． 依题意有，即． 同理，即． 将两式相加得，所以． 故答案为: . 23．（2023·全国·高三专题练习）在中，为其外心，，若，则________． 【答案】 【解析】设外接圆的半径是， ． 设，则在等腰中，． 所以． 故答案为：. 24．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）设，，是的三个内角，的外心为，内心为．且与共线．若，则___________． 【答案】2 【解析】 设内切圆半径为r，过O，I分别作BC的垂线，垂足分别为M，D， 则，， 因为与共线，所以，又因为，， 所以， 因为，所以， 即，所以. 故答案为：2 四、解答题 25．（2023·高三课时练习）已知点G为的重心． (1)求； (2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设，，求的值． 【解析】（1）点G为的重心， ，，， ， （2）点G为的重心， ， ， ， ， ， ， ， 与共线， 存在实数，使得， 则， 根据向量相等的定义可得， 消去可得， 两边同除，整理得. 26．（2023·高一课时练习）如图所示，已知中，顶点A、B的坐标分别为和，且的垂心坐标为，求顶点C的坐标． 【解析】设，则，，，. 因为点是的垂心，所以，，所以，. 所以，即，解得； ，，又，所以. 所以点C的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $