精品解析：四川省射洪中学校强实班2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题

射洪中学高2025级高一上期强实班半期考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关系式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系进行判断即可. 【详解】，所以A错误； 集合是点集，集合{2}数集，没有包含关系，故B错误； 是有理数集，，所以C错误； 空集是任何集合的子集，所以D正确. 故选：D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】命题“”为存在量词命题， 其否定为：. 故选：C 3. 已知p：，q：，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】解方程和，根据充分条件、必要条件即可求解. 【详解】由，得或， 由，得或， 因为或成立推不出或成立，反之也不成立， 所以既不是q的充分条件，也不是q的必要条件. 故选：D 4. 若为偶函数，为奇函数，且，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可得，即可求解解析式，通过排除可得答案． 【详解】解：由得：，即， 由解得：，由，排除BC． 由指数函数的性质（指数爆炸性）排除D． 故选：A 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与正负值排除判定即可. 【详解】函数, 故函数是奇函数,图像关于原点对称，排除C、D， 当，排除B. 故选：A. 6. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性即可判断A；借助换底公式和均值不等式比较即可判断B；利用比较即可判断C；利用的单调性即可判断D. 【详解】对于A，因为为减函数，，所以，故A错误； 对于B，因为，， 即比较与的大小， ， ， . 故B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D，可以化为，由对数函数单调递增可知， 因为，所以，故D错误. 故选：B. 7. 若函数，且当时，不等式恒成立，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合不等式恒成立和指数函数的性质分与2的关系讨论可得. 【详解】由可得， 则当时，不等式， 当时，，此时， 当时，，此时，即， 当时，，此时，即. 综上，实数的取值集合是. 故选：D. 8. 若直角坐标平面内的两点满足条件:①都在函数的图象上；②关于原点对称.则称点对是函数的一对“友好点对”(点对与看作同一对“友好点对”).已知函数(且)，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出当时函数关于原点对称的函数，条件转化为函数与只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合结合对数函数的性质进行求解即可． 【详解】解：当时，函数关于原点对称的函数为，即，， 若此函数的“友好点对”有且只有一对， 则等价为函数与只有一个交点， 作出两个函数的图象如图， 若，则与只有一个交点，满足条件， 当时，； 若，要使两个函数只有一个交点，则满足（5）， 即得，得或， ，， 综上可得的范围是或， 即实数的取值范围是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，转化为函数相交是解决本题的关键，属于难题． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 已知实数满足，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式性质，结合作差法、特例法比较大小即得. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，所以，B错误； 对于C，由，得，所以，C正确； 对于D，当时，，D错误. 故选：AC 10. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由韦达定理得根与系数的关系，对选项逐一判断即可得. 【详解】由题意可得，且， 则，，即，故A、B正确； 由，，故，， 即，， 又，，故，，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数实数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 函数有5个互不相等的零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入求值判断A，画出函数图象，数形结合求出的范围判断B，结合函数的对称性及的范围求解判断C，根据将问题转化为函数的图象分别与交点个数之和，数形结合即可判断D. 【详解】函数，所以， 所以，故A正确； 由实数满足，知函数的图象与有三个不同的交点， 作出函数的图象，如图： 结合图象，可得，故选项B错误； 根据二次函数的对称性知，，又，所以， 所以，故C正确； ，由题意， 所以函数零点个数为三个方程的解的个数之和， 即函数的图象分别与，，交点个数之和， 由C可知，，，结合图象可知， 函数的图象与有一个交点，函数的图象与有三个交点， 函数的图象与有一个交点， 所以函数有5个互不相等的零点，故D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 第II卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求函数的定义域______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数有意义，得，解对数不等式，即可求解. 【详解】要使原函数有意义，则，即，解得或． 所以，函数的定义域为． 故答案为： 13. 若时，，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过分析函数和的图象关系，结合已知条件确定的取值范围. 【详解】构造函数和，若使时，成立，只需函数的图象在图象下方，所以. 令，则， 所以，解得. 故答案为：. 14. 已知函数，的零点分别为，，且，，则______；若恒成立，则整数的最大值为______.（参考数据：，，，.） 【答案】 ①. 2 ②. 6 【解析】 【分析】将问题转化为以与图象的交点的横坐标为，由反比例函数、指数函数与对数函数的关系可知函数、的图象关于对称，作出图象，利用对称性可得第一空答案；由零点存在定理可得，且，从而得，即可得第二空答案. 【详解】解：令，由；令，则， 所以与图象的交点的横坐标即为两函数的零点. 又因为，其图象是将的图象向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到的， 由反比例函数的性质可知曲线的图象关于对称， 又因为的图象也关于对称， 如图所示： 当，时，点与点关于对称， 所以， 可得，， 令，则， 因为在上均为单调递增函数， 所以在上为单调递增函数， 即在上单调递增， 由， 可得， ， 由零点存在定理可得，则， 且， 因为恒成立，所以整数的最大值为. 故答案为：2；6. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得出函数、的图象关于对称并作出图象. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算； （2）计算. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）直接根据对数求值求解即可； （2）利用指数的运算法则即可得解. 【详解】（1） ； （2）. 16. 已知集合. （1）求集合A； （2）若集合，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的值域即可求解； （2）解一元二次不等式，再根据补集交集运算求解即可. 【小问1详解】 ，所以. 【小问2详解】 ，所以， ， 即，又因为， 所以，所以， 因为，所以. 17. 某路段需铺设防滑沥青，总长度为，设施工队每天铺设的长度为，每天的费用为万元，当时，，当时，. （1）求完成该路段的铺设工作的总费用.（总费用=每天的费用施工天数） （2）当为多少时，完成该路段的铺设工作的总费用最低？最低总费用是多少？ 【答案】（1） （2）当时，总费用最低，最低总费用是8万元. 【解析】 【分析】（1）由题意得铺设完工所需时间为天，根据题意分析得出函数解析式即可； （2）根据（1）中函数的解析式利用函数单调性和基本不等式分析求解即可. 【小问1详解】 由题意，铺设完工所需时间为天， 当时，, 当时，， 所以 . 【小问2详解】 当时，是减函数， 所以当时，， 当时，， 当且仅当时等号成立，， 因为，所以当时，总费用最低，最低总费用是8万元. 18. 已知函数（a为实数）是奇函数. （1）求a的值； （2）解不等式：； （3）若实数时，恒有，求t的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合指数运算，根据奇函数的定义列式求解； （2）将不等式等价化简得，然后结合对数概念利用指数函数单调性解不等式即可； （3）结合奇函数性质和单调性可得，，，进一步即可求解. 【小问1详解】 由题意函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立，即． 所以； 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以，由函数单调递增得，所以原不等式的解集为； 【小问3详解】 ， 因为是奇函数，所以， 显然的定义域为， 当增大时，增大，此时减小，也减小，此时也减小， 所以是上的减函数， 所以由，可得， 由题意得，， 所以，， 由对勾函数性质，可知在上单调递减， 所以，即的取值范围为. 19. 已知函数，其中. （1）证明：函数的图象是中心对称图形； （2）设，证明：； （3）令，若，使得，求的取值范围. 【答案】（1）由题意可得，即，即， ， 故关于中心对称； （2）当时，， 则， 故当时，； （3） 【解析】 【分析】（1）计算出函数定义域后，验证是否为定值即可得； （2）结合函数定义域，计算大于是否恒成立即可得； （3）由题意可得，结合函数单调性可得，利用换元法与对勾函数性质可得，解出即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，单调递减，单调递增， 则单调递减，又关于中心对称，故在上单调递减， 则， 当，令，则， 由对勾函数性质可得函数在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，，故， 则有恒成立，即，故. 【点睛】本题考查不等式的解法和函数恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2025级高一上期强实班半期考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关系式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知p：，q：，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若为偶函数，为奇函数，且，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数，且当时，不等式恒成立，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 8. 若直角坐标平面内的两点满足条件:①都在函数的图象上；②关于原点对称.则称点对是函数的一对“友好点对”(点对与看作同一对“友好点对”).已知函数(且)，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 已知实数满足，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数实数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 函数有5个互不相等的零点 第II卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求函数的定义域______． 13. 若时，，则a的取值范围是___________． 14. 已知函数，的零点分别为，，且，，则______；若恒成立，则整数的最大值为______.（参考数据：，，，.） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算； （2）计算. 16. 已知集合. （1）求集合A； （2）若集合，求实数k的取值范围. 17. 某路段需铺设防滑沥青，总长度为，设施工队每天铺设的长度为，每天的费用为万元，当时，，当时，. （1）求完成该路段的铺设工作的总费用.（总费用=每天的费用施工天数） （2）当为多少时，完成该路段的铺设工作的总费用最低？最低总费用是多少？ 18. 已知函数（a为实数）是奇函数. （1）求a的值； （2）解不等式：； （3）若实数时，恒有，求t的取值范围. 19. 已知函数，其中. （1）证明：函数的图象是中心对称图形； （2）设，证明：； （3）令，若，使得，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $