精品解析：辽宁省朝阳市建平县高级中学等校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025~2026学年高二年级12月月考 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教B版必修第一册~必修第四册，选择性必修第一册第一章~第二章第6节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即得. 【详解】集合，，所以. 故选：D 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法运算化简，然后由复数的模的公式可得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：C. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准形式，结合渐近线方程的定义求结论. 【详解】双曲线的标准方程为， 所以该双曲线的渐近线方程为， 故选：C. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求的值. 【详解】因为，故，故， 故选：C. 5. 已知函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域，再求出复合函数定义域即得. 【详解】函数中，，解得，即函数的定义域为， 因此在中，，解得， 所以的定义域为. 故选：C 6. 已知圆，直线，若圆上至多有个点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定圆的圆心和半径，再计算圆心到直线的距离，根据圆上至多有个点到直线的距离为，列出不等式，求解即可. 【详解】由圆，所以圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，则， 因为圆上至多有个点到直线的距离为，则， 即，化简得，解不等式得或， 所以的取值范围是. 故选：A 7. 棱长均为3的正三棱柱的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，确定球心及外接球半径，然后利用球的表面积公式，求出球O的表面积． 【详解】如图：设正三棱柱的上，下底面的中心分别为，，连接， 设线段的中点为O，则O为其外接球的球心． 因为等边三角形ABC的边长为3，所以， 所以球O的半径， 故球O的表面积． 故选：B． 8. 已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为为坐标原点，点在椭圆上，且满足.当变化时，的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件，结合椭圆的定义得到点是椭圆与椭圆的公共点，两方程联立化简得到即可求解. 【详解】由题可知， 所以点同时也在以为焦点，长轴长为的椭圆上， 其椭圆方程为. 联立即 即 两式相加可得， 则， 当时，的最小值为4，即的最小值为2. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，下列结论正确的有（ ） A. 若，则是椭圆 B. 若，则是焦点在轴上的椭圆 C. 若，则是双曲线 D. 若，则是两条平行于轴的直线 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举例判断，对于B，将代入结合椭圆的标准方程判断，对于C，由双曲线的标准方程分析判断，对于D，将代入化简变形判断. 【详解】对于A，若，则曲线表示圆，故A错误； 对于B，若，则可化为，此时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故B正确； 对于C，若，则曲线表示双曲线，故C正确； 对于D，若，则可化为，此时曲线表示两条平行于轴的直线，故D正确． 故选：BCD 10. 已知正数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意，对于ABC，由二次函数性质即可判断；对于D，由基本不等式即可判断. 【详解】由题意， 对于A，，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， 当时，有最小值，而，故D错误. 故选：BC. 11. 如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，分别是图象的一个最高点和最低点，是图象与轴的交点，，垂足为，现将该卡片沿轴折成如图2所示的直二面角，对于图2，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. 点到平面的距离为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出图1中点的坐标，建立空间直角坐标系，求出各点在空间坐标系中的坐标，即可对选项逐一判断得出结论. 【详解】在图1中，由函数的解析式可知； 在图2中，建立空间直角坐标系如下图所示： 则，可得， 对于A，因此可知，即A正确； 对于B，易知， 则点到直线的距离为，即B错误； 对于C，设平面的一个法向量为，又， 所以，令，则； 因此平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为，因此C正确； 对于D，显然平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间三点共线，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，由三点共线，得到，代入坐标计算即可得解. 【详解】，， 共线，， ，，， . 故答案为： 13. 班上有5名数学爱好者，其中3人选修了《数学史》．若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都选修了《数学史》的概率是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出样本空间的样本数和恰好2人都选修了《数学史》的样本个数，再利用古典概率公式，即可求解. 【详解】由题知班上有5名数学爱好者，其中3人选修了《数学史》， 记选修了《数学史》的3人为，其余的2人为， 从5人中选取人有：，共有10种情况， 恰好2人都选修了《数学史》的有，共3种情况， 所以从这5人中随机选出2人，则恰好2人都选修了《数学史》的概率为. 故答案为：. 14. 已知圆,点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为,若两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】设出两条切线后，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程，根据两点在两条切线上且纵坐标已知，写出两点的横坐标，作差后结合韦达定理求出最值. 【详解】 易知直线的斜率均不可能为0，故可设直线与直线的方程分别为：,又与圆相切， 所以即.易知为该方程的两个解, 所以 , 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，为AC边的中点，求BD的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和得到，求出； （2）由向量基本定理得到，两边平方，结合，求出，得到. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 由于， 故， 所以， 因为，所以，故，， 因为，所以； 【小问2详解】 为AC边的中点，故， 两边平方得， 又，，，所以，故. 16. 已知离心率为的双曲线经过点. （1）求的方程； （2）已知，是上关于原点对称的两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】（1） （2） 设，， 因为点在双曲线上，所以，即， 所以， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式和将点代入方程，求解即可； （2）设，，代入方程，再利用斜率公式化简得证. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 略 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. （1）若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； （2）若，且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据焦距可以求解的值，然后再将点代入椭圆方程中，进而通过解方程求解，的值； （2）由的面积求解的值，再结合椭圆的定义和余弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 已知，所以得：，即， 由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程， 可得：，即， 又因为，即. 联立，整理得：，解得：或（舍） 所以，故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，所以的面积， 则，根据椭圆定义可得：. 根据余弦定理可得：， 整理得：， 代入得：，即，即得：. 18. 如图，已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面都是菱形，，. （1）证明：； （2）求的长； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 易知， 因为， 所以， 所以，故. （2） （3） 如图，取的中点，连结，则，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设， 则 由得 解得， 所以，则. 设平面的法向量为， 由即 取，则， 设平面的法向量为， 由即 取，则， 设二面角的大小为，因为，所以. 所以， 整理得， 解得或(舍去). 故线段上存在满足题意的点，且点为线段的中点. 【解析】 【分析】（1）把问题转化为证明即可； （2）证明出，利用勾股定理即可求解； （3）建立空间直角坐标系，用表示出点的坐标，然后计算出平面的一个法向量和平面的一个法向量，最后利用二面角的向量公式列出方程即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，因为，所以， 所以. 【小问3详解】 略 19. 设圆C过点且与圆：相切于点． （1）求C的方程； （2）已知，，三个点，点P在圆C上运动，求的最大值和最小值； （3）已知直线l：与x轴交于点G，过点G的直线m与圆C交于D，E两点，求证：为定值，并求出这个定值. 【答案】（1） （2） 最大值88，最小值72 （3） 解法一： 由题可知，， 因为直线m过点G，且直线m与圆C相交，则直线m的斜率一定存在， 所以设直线m的方程为， 将代入，得：． 设，，所以，， 所以 ， 所以为定值，这个定值为12． 解法二： 取中点H，连，则，， 所以 ． 所以为定值，这个定值为12． 【解析】 【分析】（1）求出圆的圆心，半径，由题意得圆C的圆心在直线上，因为直线的方程为，所以设圆心，由求得，进而得圆心C坐标及半径，可得圆C的方程； （2）设，所以，又，解得，从而可得出所求最大值及最小值． （3）解法一：由题可知，设直线m的方程为，代入，根据韦达定理及向量的数量积运算计算即可；解法二：取中点H，则，利用向量的线性运算及数量积运算计算即可. 【小问1详解】 由已知，将圆的一般方程化为标准方程为， 所以圆的圆心，半径， 因为圆C与圆相切于点， 所以点C，，N三点共线，即圆C的圆心在直线上， 因为直线的方程为，所以设圆C的圆心， 因为，在圆C上，所以， 所以，解得， 则圆心C坐标为，半径， 所以圆C的方程为． 【小问2详解】 设，因为，，三点， 所以 ， 因为点P在圆上运动，则，解得， 所以， 当时，取得最大值88， 当时，取得最小值72． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年高二年级12月月考 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教B版必修第一册~必修第四册，选择性必修第一册第一章~第二章第6节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，直线，若圆上至多有个点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 棱长均为3的正三棱柱的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为为坐标原点，点在椭圆上，且满足.当变化时，的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，下列结论正确的有（ ） A. 若，则是椭圆 B. 若，则是焦点在轴上的椭圆 C. 若，则是双曲线 D. 若，则是两条平行于轴的直线 10. 已知正数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，分别是图象的一个最高点和最低点，是图象与轴的交点，，垂足为，现将该卡片沿轴折成如图2所示的直二面角，对于图2，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. 点到平面的距离为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间三点共线，则_________． 13. 班上有5名数学爱好者，其中3人选修了《数学史》．若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都选修了《数学史》的概率是_________． 14. 已知圆,点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为,若两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，为AC边的中点，求BD的长. 16. 已知离心率为的双曲线经过点. （1）求的方程； （2）已知，是上关于原点对称的两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. （1）若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； （2）若，且的面积为，求的值. 18. 如图，已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面都是菱形，，. （1）证明：； （2）求的长； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 19. 设圆C过点且与圆：相切于点． （1）求C的方程； （2）已知，，三个点，点P在圆C上运动，求的最大值和最小值； （3）已知直线l：与x轴交于点G，过点G的直线m与圆C交于D，E两点，求证：为定值，并求出这个定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $