精品解析：山东省日照市岚山区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025~2026学年度上学期学业发展阶段质量检测 九年级数学试题 （时间：120分钟分值：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程①；②；③；④；⑤中，是一元二次方程的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）逐一判断每个方程． 【详解】解：∵一元二次方程需满足：①整式方程；②一个未知数；③最高次数为2． 对于方程①，去括号，得，消去后为，是一元一次方程，不是一元二次方程． 对于方程②，未知数的最高次数为1，是一次方程，不是一元二次方程． 对于方程③，含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程． 对于方程④，是整式方程，一个未知数，最高次数为2，是一元二次方程． 对于方程⑤，化简得，是整式方程，一个未知数，最高次数为2，是一元二次方程． ∴只有方程④和⑤是一元二次方程，共2个． 故选：B． 2. 习近平总书记指出：“探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦．”党的十八大以来，我国航天事业不断刷新纪录，重大工程成就举世瞩目，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天事业的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；据此即可求解； 【详解】解：由中心对称图形的定义可知，B为中心对称图形； 故选：B． 3. 将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（） A. 向上平移5个单位 B. 向下平移5个单位 C. 向左平移5个单位 D. 向右平移5个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象及性质．通过比较原抛物线的顶点坐标与平移后图象的顶点坐标，确定平移方向和距离． 【详解】解：∵原抛物线的顶点为，平移后图象的顶点为， ∴需向上平移个单位． 故选：A． 4. 抛物线上有三点，，，则满足的关系式为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，求抛物线的对称轴，利用开口向上时离对称轴越近的点对应的纵坐标越小的性质，比较三点与对称轴的距离即可得出大小关系． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小， ∵，，， ∴点在对称轴上，点离对称轴最远， ∴． 故选：D 5. 在同一平面直角坐标系中，函数和(a是常数，且)的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，和x轴的正半轴相交，故选项正确； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，和x轴的正半轴相交，故选项错误； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项错误． 故选：B． 6. 如图，在Rt中，，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 由旋转可得，，再证明是等腰三角形，即可求出的度数． 【详解】解：， ． 将绕点顺时针旋转角至， ，， 是等腰三角形，且， ． 故选：C． 7. 如图，点A，B，C在上，平分，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的含义，先利用等腰三角形的性质可得，然后利用角平分线的定义可得，再利用圆周角定理进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（ ） A. 13米 B. 10米 C. 12米 D. 20米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线， ∵拱高为， ∴， ∵米， ∴米， 在中，根据勾股定理，得：， 即， 解得：， 即拱桥的半径为13米， 故选：A． 9. 如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第2025秒时叶片尖点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，点的坐标规律，理解题意找到点的坐标规律是解题的关键．根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点A的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第秒时，点A的对应的坐标． 【详解】解：∵， ∴A在第一象限的角平分线上， ∵叶片每秒绕原点顺时针转动， ∴第1、2、3、的坐标为：，，，， 如图， ∴点A的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ∵， ∴第秒时，点A的对应点的坐标与重合，为． 故选：C． 10. 如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③函数的最大值为；④若关于的方程无实数根，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据二次函数的性质得出，，，即可判断①；根据对称轴即可判断②；根据交点，设抛物线的解析式为： ，代入即可判断③；根据一元二次方程的性质即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∵抛物线交轴于正半轴， ，故①正确， ∵抛物线的对称轴是直线 ，故②符合题意， ∵抛物线交轴于点, ， ∴可以设抛物线的解析式为： ， 当时，的值最大，最大值为，故③符合题意， 无实数根， 无实数根， ， ，故④符合题意， 综上，符合题意的4个， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 已知点和点关于坐标原点对称，则的值为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点求出，的值，然后代入求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律． 【详解】解：∵点和点关于坐标原点对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：9． 12. 若是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，由方程可得，由一元二次方程根与系数的关系得到，，代入式子求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，，， ∴ ∴ ． 故答案为：． 13. 如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据、两点的横坐标和函数的图象得出不等式的解集即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，在点，之间的抛物线在直线下方， ∴时，， 故答案为：． 14. 如图，，，分别切于点．若，则的周长为______；若，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形内角和定理，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，掌握切线长定理是解答本题的关键． （1）根据切线长定理，由，，分别切于，，点得，，，然后三角形周长的定义得到的周长，然后用等线段代换后得到的周长，即可解答； （2）由三角形内角和定理得到，则，连接，根据角平分线的判定得到平分，平分，则，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（1），，分别切于，，点， ，，， 的周长 ； （2）∵， ∴， ∴ ， 连接， ∵，，分别切于点， ∴， ∵， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，点，．将线段绕点旋转得到线段，则点的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】分情况讨论：①线段绕点顺时针旋转得到线段，②线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作轴于点，证明，利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】解：∵点， ∴， ①线段绕点顺时针旋转得到线段， 如图，过点作轴于点，则， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②线段绕点逆时针旋转得到线段， 如图，过点作轴于点，则， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，能用分类讨论思想和添加常用辅助线构造全等三角形解决问题是解题的关键． 16. 如图，半圆的直径，在中，，，，半则以的速度从左向右运动．在运动过程中，点始终在直线上，设运动时间为，当时，半圆在的左侧，．当的一边与半圆相切时，的值为___________． 【答案】1或4或7 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系应用，分类讨论是解题的关键． 分三种情况讨论：当点Q运动到与点B重合时；当半圆O与相切于点F时；当点P运动到与点B重合时；分别计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 如图，当点Q运动到与点B重合时， 则，与半圆O相切，此时半圆O运动的距离为， ∴运动时间． 如图，当半圆O与相切于点F时，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴此时点O与点B重合， ∴半圆O运动的距离为， ∴运动时间． 如图，当点P运动到与点B重合时， 则，与半圆O相切，此时半圆O运动的距离为， ∴运动时间． 综上所述，当的一边与半圆相切时，t的值为1或4或7． 故答案为：1或4或7． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 选择适当的方法解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ，． 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ，． 18. 在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2； （3）在x轴上存在一点P，满足点P到点B1与点C1距离之和最小，请直接写出P B1+P C1的最小值为　 　． 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据关于原点中心对称的点的坐标特征，分别描出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，即可得到△A1B1C1； （2）利用网格特点，根据旋转的性质画出点A、B旋转后的对应点A2、B2，即可得到△A2B2C； （3）作C1（或B1）点关于x轴的对称点，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）（2）如图所示 （3）如图， 作C1点关于x轴的对称点C4 在RtΔC4DB1中，C4B1= 故答案为：． 19. 已知关于的方程． （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）若、为方程的两个不等实数根，且满足，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）结合题意可得该方程为一元二次方程，故，根据一元二次方程根的判别式可得，即可列出关于列出关于的不等式，求解即可得出的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入方程得出关于的方程，求出的值，注意结合题意，取符合要求的值． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，， 整理得：， 解得：； ∴当且时，方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：、为方程的两个不等实数根， ∴，， ∵， 整理得：， 将，代入，得： ， 解得：，， 经检验均为方程的解， ∵，故不符合题意，舍去； ∴的值为． 20. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1） （2）21万元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意易得，进而求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意易得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 21. 如图，四边形内接于，为直径，和交于点，． （1）①___________； ②在线段的左侧过点作，使，证明：是的切线． （2）过作的平行线，交于，试判断线段，，之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）①； ②如图，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是的切线； （2） 解：，理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ 【解析】 【分析】（）①由圆周角定理得，进而由等腰三角形的性质得，再根据圆周角定理即可求解；②连接，由圆周角定理可得，即得，再根据等腰三角形的性质及已知可得，即得，得到，即可求证； （）将绕点逆时针旋转得到，连接，可得，，，，进而可得，即可证，得到，又可得，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：①∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，平行线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 22. 已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接，． （1）如图1，求证：； （2）直线与相交于点G． ①如图2，，于点，于点，求证：四边形正方形； ②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；②作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ； 【小问2详解】 ①证明：如图，设与相交于点． ， ， ， ． ， ． ， ，， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，． ． 又 ． ． 矩形是正方形； ②解：作交于点，作于点， 此时． ， ，， 最大时，最小，， ， 由（2）①可知，是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线顶点坐标； （2）在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； （3）已知和，是抛物线上两点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）最大值为∶，最小值为∶； （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． （1）将代入解析式，再将解析式变形为顶点式，即可得出顶点坐标； （2）根据平移方式求出平移后的解析式，求出对称轴，根据x的取值范围可得y的最值； （3）先求出对称轴为直线，再分及两种情况，根据抛物线的增减性分别求解即可． 【小问1详解】 解∶当时，抛物线的解析式为． ， 该抛物线的顶点为； 【小问2详解】 解：当抛物线，向左平移1个单位，抛物线的解析式为 ，即． 抛物线开口向上，对称轴为直线． 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而增大． 时，二次函数有最大值，最大值为：， 时二次函数有最小值，最小值为； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为：直线． 当时，抛物线开口向上，对称轴右侧，y随x的增大而增大， ①若， ，， 和都在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ， ， ． ． ②若，关于的对称点为， ，， 不存在； ③若，则当时，y随x的增大而减小，关于的对称点为， ， 不存在； 当时，抛物线开口向下，对称轴左侧，y随x的增大而增大，对称轴右侧，y随x的增大而减小， ，， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 关于的对称点为， 又， ， ， ． 综上所述，a的取值范围为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度上学期学业发展阶段质量检测 九年级数学试题 （时间：120分钟分值：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程①；②；③；④；⑤中，是一元二次方程的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 习近平总书记指出：“探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦．”党的十八大以来，我国航天事业不断刷新纪录，重大工程成就举世瞩目，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天事业的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（） A. 向上平移5个单位 B. 向下平移5个单位 C. 向左平移5个单位 D. 向右平移5个单位 4. 抛物线上有三点，，，则满足的关系式为（） A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，函数和(a是常数，且)的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在Rt中，，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A，B，C在上，平分，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（ ） A. 13米 B. 10米 C. 12米 D. 20米 9. 如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第2025秒时叶片尖点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③函数的最大值为；④若关于的方程无实数根，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 已知点和点关于坐标原点对称，则的值为___________． 12. 若是方程的两个实数根，则的值为___________． 13. 如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，不等式的解集为______． 14. 如图，，，分别切于点．若，则的周长为______；若，则______． 15. 在平面直角坐标系中，点，．将线段绕点旋转得到线段，则点的坐标为___________． 16. 如图，半圆的直径，在中，，，，半则以的速度从左向右运动．在运动过程中，点始终在直线上，设运动时间为，当时，半圆在的左侧，．当的一边与半圆相切时，的值为___________． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 选择适当的方法解下列一元二次方程． （1）； （2）． 18. 在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2； （3）在x轴上存在一点P，满足点P到点B1与点C1距离之和最小，请直接写出P B1+P C1的最小值为　 　． 19. 已知关于的方程． （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）若、为方程的两个不等实数根，且满足，求的值． 20. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 21. 如图，四边形内接于，为直径，和交于点，． （1）①___________； ②在线段的左侧过点作，使，证明：是的切线． （2）过作的平行线，交于，试判断线段，，之间满足的等量关系，并说明理由． 22. 已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接，． （1）如图1，求证：； （2）直线与相交于点G． ①如图2，，于点，于点，求证：四边形正方形； ②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线顶点坐标； （2）在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； （3）已知和，是抛物线上两点，若对于，都有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $