精品解析：浙江省瑞安市集云实验学校2025-2026学年八年级上学期期中联考数学试卷

2025学年第一学期八年级期中阶段性评价数学卷 温馨提示：本卷满分100分，考试时间90分钟 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各图形（含阴影部分）中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若一个三角形的两边长分别是2和4，则第三边的长可能是（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 3. 能说明命题“对于任意实数，都有”是假命题的反例为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点、、、在同一条直线上，，，要使，则需要再添加的一组条件不可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，是边的中点，则的长是（ ） A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 7. 不等式的解在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 等腰三角形的两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为（　　） A. 12 B. 9 C. 9或12 D. 10或12 9. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ） A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 10. “勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里德在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，现将的斜边为边的正方形向上翻转，得到正方形，，，恰好在一条线上，与交于点，已知，的面积分别为，，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分） 11. “与5的差大于的4倍”用不等式表示为_________． 12. 如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A的度数为_____． 13. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．已知的周长是．若，则______． 14. 如图，点是平分线上一点，交边于点，过点作交边于点，若，，则的值为______． 15. 如图，斯诺克比赛的桌面（忽略桌边宽度）长，黑球距边，距边，如果黑球击中桌边，反弹后恰好进入点所在的洞口，则黑球运动路线的总长度为______． 16. 如图，在中，，，．是边上一点，作点关于直线的对称点，连结，．若，则的长为______． 三、解答题（本题有7小题，共52分，解答需写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图． （1）在图1中，画出与全等的格点．（画出一个即可） （2）在图2中，画出与面积相等，但不全等的格点．（画出一个即可） 19. 如图，，，点在边上，，和相交于点． （1）求证：； （2）若，求度数． 20. 定义：已知是直角三角形，若存在一条线段将其分割成两个三角形，且这两个三角形中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，则称为“等直关联三角形”，这条线段称为“等直分割线”． 如图，在等直关联中，，，，点在边上（不与顶点重合），连结，为“等直分割线”． （1）求的长． （2）求的面积． 21. 在中，，为上的中线，，连结． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，，求的长度． 22. 【综合实践】阅读下列材料，完成胡老师的两个问题． 数学活动课上，胡老师让学生用一段无弹性绳子沿着三角板的两直角边边缘拉直滑动．如图1，第一次拉成折线，且，第二次拉成折线，探究绳子两个端点之间距离的变化情况． 23. 两个直角三角形如图1摆放，，，，．是直线上的点． （1）求线段的长． （2）是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． （3）如图2，若点在射线上，将线段绕点逆时针旋转得到（如图2），连接，则的最小值为______（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期八年级期中阶段性评价数学卷 温馨提示：本卷满分100分，考试时间90分钟 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各图形（含阴影部分）中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称的图形的定义是解题的关键．根据如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 若一个三角形的两边长分别是2和4，则第三边的长可能是（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系求解即可．三角形三边关系，两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别是2和4，设第三边长为， ∴ 即 故选C 【点睛】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键． 3. 能说明命题“对于任意实数，都有”是假命题的反例为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假判断和实数的性质，把数值逐一代入给定的不等式中，让不等式不能成立的数就是需要的反例，熟知实数的性质，能正确举出反例是解本题的关键． 【详解】、当时，，此选项不符合题意； 、当时，，此选项不符合题意； 、当时，，此选项符合题意； 、当时，，此选项不符合题意； 故选：． 4. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】A. ，故本选项不正确，不符合题意； B. ，，故本选项不正确，不符合题意； C. ，，故本选项正确，符合题意； D. ，，故本选项不正确，不符合题意； 故选择：C 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 5. 如图，点、、、在同一条直线上，，，要使，则需要再添加的一组条件不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：添加， 那么， ∴， ∵，， ∴，故A不符合题意； 添加， ∵，，， ∴，故B不符合题意； 添加， ∵，，， ∴，故D不符合题意； 添加，不能证明； 故选：C． 6. 如图，在中，，，，是边的中点，则的长是（ ） A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，先根据直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是边的中点， ∴． 故选：B． 7. 不等式的解在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，求出不等式的解集并表示在数轴上即可得到答案． 【详解】解： 那么在数轴上表示为： 故选：A． 8. 等腰三角形的两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为（　　） A. 12 B. 9 C. 9或12 D. 10或12 【答案】A 【解析】 【分析】因为等腰三角形的两边分别为2和5，没有明确底边和腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：①当2为底时，三角形的三边分别为2、5、5， 因为2+5＞5， 所以可以构成三角形， 周长为=2+5+5 =12； ②当2为腰时，三角形的三边分别为2、2、5， 因为2+2＜5， 所以不能构成三角形，故舍去． 综上所述，三角形的周长为12， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，在条件中没有明确底和腰时，需进行分类讨论是解决问题的关键． 9. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ） A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．过点C作于点F，则米，在中，由勾股定理可得的长，进而得到的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点F，则米， 由题意得：米， 在中，由勾股定理得：（米）， 则（米）， 即木马上升的高度为1米． 故选：A． 10. “勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里德在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，现将的斜边为边的正方形向上翻转，得到正方形，，，恰好在一条线上，与交于点，已知，的面积分别为，，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，不妨设，那么，，接着证明，得到，那么，然后利用，表示出，接着利用勾股定理表示出，最后利用 ，其面积差为1，列出方程，解出答案即可． 【详解】解：连接，如图所示： 不妨设，那么， ∵， ∴， ， ∵四边形、是正方形， ，， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ，，的面积分别为，，， ， ∴（舍去负值）， ∴， 故选：B． 二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分） 11. “与5的差大于的4倍”用不等式表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中的不等关系列出不等式即可，读懂题意，正确列出不等式是解题关键． 【详解】解：“与5的差大于的4倍”用不等式表示为， 故答案为： 12. 如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A的度数为_____． 【答案】60°##60度 【解析】 【分析】根据三角形的外角定理进行推导计算即可求解． 【详解】解：∵是的外角，若， ∴． 故答案是： 【点睛】本题考查了三角形的外角定理，难度不大，熟记定理是解决问题的关键． 13. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．已知的周长是．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长求得，进而可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，交于点，即垂直平分， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，点是平分线上一点，交边于点，过点作交边于点，若，，则的值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】过点作于点，先证明，推出，，接着利用勾股定理求得，接着利用平行和角平分线，证明，从而得到的长度，最后得出答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵，， ∴， ∵点是平分线上一点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 15. 如图，斯诺克比赛的桌面（忽略桌边宽度）长，黑球距边，距边，如果黑球击中桌边，反弹后恰好进入点所在的洞口，则黑球运动路线的总长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的特征，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作点关于的对称点，连接交于点，连接，过点作于点，那么，，根据题意，可知，，，然后在中应用勾股定理求得即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，过点作于点，如图所示： ∴， ∴， 根据题意可知，，，， ∴， ∴， ∵， ， ∴黑球的运动路径， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，．是边上一点，作点关于直线的对称点，连结，．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，过点B作于点，根据，易证是等腰直角三角形，求出，进而求出，利用勾股定理求出，由对称的性质得到，利用三角形外角的性质得到，结合，推出，进而得到，再求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点B作于点， 则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对称的性质得到， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题有7小题，共52分，解答需写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． 【答案】， 把它的解集在数轴上表示出来如下： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式、将不等式的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．根据不等式的性质：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式，再将不等式的解集表示在数轴上即可得． 【详解】解： ． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图． （1）在图1中，画出与全等的格点．（画出一个即可） （2）在图2中，画出与面积相等，但不全等的格点．（画出一个即可） 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图，即为所求，（答案不唯一，只需满足点E在过点C且平行于的直线的格点上即可． 【解析】 【分析】本题主要考查了网格作图，全等三角形的判定，根据网格求三角形面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）取格点D，根据网格的特点可证明和全等； （2）根据网格的特点，只需满足点E在过点C且平行于的直线的格点上即可，注意需要排除C点和第（1）问的D点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，，，点在边上，，和相交于点． （1）求证：； （2）若，求度数． 【答案】（1） 证明：， ， 即， 在和中， ， （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用； （1）先证明，进而结合已知证明； （2）由（）知，得出，进而根据等腰三角形的定义，以及三角形内角和定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）知， ， ， ， ， 的度数是． 20. 定义：已知是直角三角形，若存在一条线段将其分割成两个三角形，且这两个三角形中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，则称为“等直关联三角形”，这条线段称为“等直分割线”． 如图，在等直关联中，，，，点在边上（不与顶点重合），连结，为“等直分割线”． （1）求的长． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质．解题关键是读懂题目中给的等直关联三角形，熟练掌握等腰三角形的性质． （1）直接利用勾股定理即可求解； （2）由题意可得，设，则，在中，，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：∵在等直关联中，，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵在等直关联中，为“等直分割线”， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即， ∴的面积为． 21. 在中，，为上的中线，，连结． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵为上的中线， ∴点E为的中点， 又∵，即， ∴为的斜边上的中线， ∴， ∴是等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形中线的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据为上的中线，，可知为的斜边上的中线，进而推出，即可证得结论； （2）根据（1）的结论和，设，则，，然后利用勾股定理可推出，代入数值解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴，， 设，则， ∵在中，， 在中，， ∴，即， 整理得， ∴， ∴的长度为． 22. 【综合实践】阅读下列材料，完成胡老师的两个问题． 数学活动课上，胡老师让学生用一段无弹性绳子沿着三角板的两直角边边缘拉直滑动．如图1，第一次拉成折线，且，第二次拉成折线，探究绳子两个端点之间距离的变化情况． 【答案】 证明：（1）小A同学： 如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴，即是的中点； 小B同学： 如图，作，交于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即是的中点； （2）证明：同理小A同学得，，， ∴， 在中，， ∴，即， ∴在整个运动过程中， 始终大于． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）小A同学：过点分别作的垂线，垂足分别为，证明得出，证明，得出；小B同学：作，交于，可证得，从而； （2）同理小A同学得，，，求出，在中，，进而得出． 【详解】（1）略 （2）略 23. 两个直角三角形如图1摆放，，，，．是直线上的点． （1）求线段的长． （2）是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． （3）如图2，若点在射线上，将线段绕点逆时针旋转得到（如图2），连接，则的最小值为______（直接写出答案）． 【答案】（1） （2）存在，的长为或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，再证明是等腰直角三角形，可得，即可得解； （2）分两种情况讨论，利用勾股定理求出，结合等腰三角形的性质即可解答； （3）取中点，连接，得到，由旋转的性质可得，易证，推出，则，进而得到点Q的运动轨迹，当时，有最小值． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：存在，的长为或， 由题意分两种情况讨论， ∵，，， ∴， 当时，如图， 则， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， ∴； 综上，当是以为腰的等腰三角形，的长为或； 【小问3详解】 解：如图，取中点，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴即， ∴， ∴，则， ∴点Q在的垂直平分线上，且在上方运动， 当时，有最小值， ∵， ∴， ∵， ∴（平行线间的距离处处相等）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $