期末复习03轴对称讲义(知识梳理+题型精讲+备考通关)2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学轴对称复习讲义通过知识框架与对比表格系统梳理知识体系，涵盖轴对称概念、性质、判定、作图及等腰三角形等核心内容，用表格对比轴对称与轴对称图形的区别联系，以几何语言呈现性质定理，突出知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“问题情境化”练习设计，如折叠问题中长方形纸片折叠求角关系，最短路径问题中供气站选址，培养几何直观与推理意识。每个题型配典例与跟踪训练，分层提升，作图步骤标注关键注意事项，助力学生自主复习，教师可实施精准教学。

期末复习03 轴对称讲义 1. 轴对称图形的识别方法 2. 利用成轴对称图形的特征解题 3. 轴对称折叠问题的分析与求解 4. 线段垂直平分线的性质及判定 5. 轴对称图形的对称轴条数确定 6. 轴对称图形的作图方法 7. 坐标与图形的轴对称变换 8.  等腰三角形 “等边对等角” 性质 9. 等腰三角形 “三线合一” 性质 10. 含 30° 角的直角三角形的性质 11. 等腰三角形的性质与判定方法 12. 等边三角形的性质与判定方法 13. 最短路径问题 【知识点01】轴对称的基本概念 1.轴对称图形 定义：一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。 关键点：对称轴是一条直线，一个轴对称图形可能有 1 条或多条对称轴（如圆有无数条对称轴）。 2.两个图形关于某条直线对称 定义：两个图形沿着某一条直线对折后能够完全重合，我们就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角。 3.轴对称与轴对称图形的区别与联系 区别 轴对称 轴对称图形 研究对象 两个图形 一个图形 对称关系 两个图形之间的对称关系 一个图形自身的对称关系 联系 1. 都沿某条直线折叠后能够重合；2. 把轴对称的两个图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分关于这条对称轴对称 【知识点02】轴对称的性质 1.对称轴垂直平分任意一对对应点所连的线段。 2.对应线段相等，对应角相等。 3.轴对称的两个图形是全等图形；但全等的两个图形不一定关于某条直线对称。 【知识点03】线段的垂直平分线 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 2.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：若直线l垂直平分线段AB，点P在l上，则PA=PB。 3.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 4.三角形三边垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心，它到三角形三个顶点的距离相等。 *锐角三角形的外心在三角形内部； *直角三角形的外心在斜边的中点上； *钝角三角形的外心在三角形外部。 【知识点04】角的平分线 1.性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 2.判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 3.三角形三条角平分线的性质 三角形三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心，它到三角形三条边的距离相等。 *三角形的内心一定在三角形内部。 【知识点05】等腰三角形 1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 2.性质 *等腰三角形是轴对称图形，有1 条对称轴（底边的垂直平分线）。 *等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 *三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（这三条线所在直线都是等腰三角形的对称轴）。 3.判定 *定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 *等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 【知识点06】等边三角形 1.定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。 2.性质 *等边三角形是轴对称图形，有3 条对称轴（三条边的垂直平分线）。 *等边三角形的三个内角都相等，且每个内角都等于60∘。 *等边三角形具备等腰三角形的所有性质。 3.判定 *定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。 *三个角都相等的三角形是等边三角形。 *有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形。 【知识点07】含30度角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30∘，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，则BC=AB。 【知识点08】作图 作图类型 核心步骤 关键注意事项 作图形关于直线的对称图形 1. 找原图关键点 2. 过点作对称轴垂线，截取等距对称点 3. 按原序连对称点 垂足为中点，对称点到对称轴距离等于原关键点 作线段垂直平分线（尺规） 1. 分别以线段两端为圆心，大于 线段长为半径画弧 2. 两弧两侧各交于一点 3. 连接两点得直线 半径必须大于 线段长，否则弧不相交 作角平分线（尺规） 1. 以角顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角两边于两点 2. 分别以两点为圆心，大于 两点间距为半径画弧，角内交于一点 3. 过顶点和交点作射线 第二步弧要在角内部相交，保留全部作图痕迹 题型1.轴对称图形的识别方法 【典例】某校开展“衣加衣”温暖活动，同学们积极响应号召，踊跃捐衣，校团支部为本次活动设计了一个“众志成城，奉献爱心”的图标．如图，图标中两圆的大小关系是 ． 【跟踪训练1】博物馆是承载历史记忆、传承文化根脉的重要场所，其LOGO设计常融入文化元素与美学理念．下列四大博物馆的LOGO中，属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】下列黑体字中是轴对称图形的是（   ） A．山 B．秀 C．水 D．清 题型2.利用成轴对称图形的特征解题 【典例】如图是一个简易的飞机模型示意图，机翼和关于机身对称，交于点，已知．下列说法中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（　　）的长度相等． A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，已知所在直线是的对称轴，点E、F是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积的值是 ． 题型3.轴对称折叠问题的分析与求解 【典例】如图，把一张长方形纸片沿折叠后点D正好落在边上点G处，则、的数量关系是 ． 【跟踪训练1】如图的三角形纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．则的周长为 ． 【跟踪训练2】对折是折纸活动的基本折法之一，若在一张纸条上画一个数轴，折叠纸条，这个数轴上表示的点与表示5的点重合，同时数轴上A点与B点也重合，已知A，B两点之间的距离为100（A在B的左侧），则A点表示的数是（    ） A． B．48 C． D．51 题型4.线段垂直平分线的性质和判定 【典例】如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，若的周长是，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】珠海市香洲区有三个小区、、，其所在位置构成，市政府打算修建一个大型体育公园，使得该体育公园到三个小区的距离相等，则点应设计在（   ） A．三角形三条高的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 【跟踪训练2】如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，， cm． 题型5.轴对称图形的对称轴条数确定 【典例】轴对称图形的对称轴（   ） A．只有一条 B．至少有一条 C．至多有一条 D．可能没有 【跟踪训练1】下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】圆有无数条对称轴，半圆只有1条对称轴 ． 题型6.轴对称图形的作图方法 【典例】如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线对称，请在试卷上补全字母，并写出这个单词所指的物品是 ． 【跟踪训练1】如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形 ．    【跟踪训练2】如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型7.坐标与图形的轴对称变换 【典例】在平面直角坐标系中，点关于轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．9 【跟踪训练1】如图，在平面直角坐标系中，，，则点关于直线对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．已知点，点B是点A关于x轴的对称点，在围成的内部（不包含边界），整点的个数共有 个． 题型8.等腰三角形“等边对等角”性质 【典例】等腰三角形的一个角为，则它的底角为（    ）． A． B． C．或 D． 【跟踪训练1】如图，在中，，点在上，于，于．若，则的度数等于 ． 【跟踪训练2】如图，在等腰三角形中，，，点为线段上一点，，，若，则的值为 ． 题型9.等腰三角形“三线合一”性质 【典例】木工师傅将一把含角的三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是 ． 【跟踪训练1】如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，已知的周长为，长为，则的长为（   ）. A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，中，，延长到点，使得，延长到点，使得，则的值为 ． 题型10.含30度角的直角三角形的性质 【典例】已知，在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【跟踪训练1】如图1，某温室屋顶结构外框为等腰，，底角，立柱．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图2所示，若，则斜梁增加部分的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，在中，为边上的高，点从点出发在射线上以的速度移动，设运动时间为，当时，的值为 ． 题型11.等腰三角形的性质和判定方法 【典例】如图，中，，于点，于点，于点，，则的长是（   ） A．5 B． C．12 D． 【跟踪训练1】如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练2】命题“等腰三角形的两个锐角相等”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 题型12.等边三角形的性质和判定方法 【典例】在中，，若，则的长为（　　） A．10 B．5 C．12 D．6 【跟踪训练1】如图，有一根长2.4米的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为．如果晾衣杆底端不动，顶端靠在阳台另一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为，那么的长是 米． 【跟踪训练2】如图，为等边三角形外一点，连接，，．已知，，为的中点，则的最大值为 ． 题型13.最短路径问题 【典例】如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】在一条笔直的公路上有7个村庄依次为A、B、C、D、E、F、G，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，，而村庄G正好是的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（   ） A．A处 B．C处 C．G处 D．E处 【跟踪训练2】如图，牧民从生活区边上某点A出发，先到草地边上某点B牧马，再到小河边上某点C饮马，最后回到点A处，已知，点P到的距离为4千米，，若的周长为千米，则的最小值是 千米． 1．《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 2．在，已知，，那么 ．(填“”“”或“”) 3．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．两个相等实数的绝对值相等 4．在下列图形中，只利用没有刻度的直尺将无法作出其对称轴的是（    ） A．等腰三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正六边形 5．如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的角平分线，，，则图中的等腰三角形有 个 7．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有 个． 8．如图，以点A，B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作 个． 9．如图，在中，，点为上一点，连接，且，若的周长为，则的周长为 ． 10．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 11．如图，是轴对称图形，对称轴是． (1)找出所有对应点、对应边、对应角． (2)如果，求和． (3)如果，求． 12．如图的三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，求的周长． 13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点（网格线的交点）上．已知点的坐标为． (1)在所给的网格图中描出边AB的中点，并写出点的坐标； (2)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的图形，并写出点，，的坐标． 14．如图，在中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，连接．当是直角三角形时，求出的长． 15．（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，（ ） 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，（ ） ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 16．如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头A航行，下面是关于码头A、灯塔B及渔船的位置信息： 信息一：码头A在灯塔B北偏西方向8海里处； 信息二：8∶00时，渔船航行至灯塔B北偏东方向的处； 信息三：8∶30时，渔船航行至灯塔B北偏东方向的处． (1)请根据以上信息，求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； (2)8∶30时，渔船在处接到天气预报，大约1小时后在码头A附近海域将有大风天气，若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在大风到来前到达码头A．（参考数据：） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习03 轴对称讲义 1. 轴对称图形的识别方法 2. 利用成轴对称图形的特征解题 3. 轴对称折叠问题的分析与求解 4. 线段垂直平分线的性质及判定 5. 轴对称图形的对称轴条数确定 6. 轴对称图形的作图方法 7. 坐标与图形的轴对称变换 8.  等腰三角形 “等边对等角” 性质 9. 等腰三角形 “三线合一” 性质 10. 含 30° 角的直角三角形的性质 11. 等腰三角形的性质与判定方法 12. 等边三角形的性质与判定方法 13. 最短路径问题 【知识点01】轴对称的基本概念 1.轴对称图形 定义：一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。 关键点：对称轴是一条直线，一个轴对称图形可能有 1 条或多条对称轴（如圆有无数条对称轴）。 2.两个图形关于某条直线对称 定义：两个图形沿着某一条直线对折后能够完全重合，我们就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角。 3.轴对称与轴对称图形的区别与联系 区别 轴对称 轴对称图形 研究对象 两个图形 一个图形 对称关系 两个图形之间的对称关系 一个图形自身的对称关系 联系 1. 都沿某条直线折叠后能够重合；2. 把轴对称的两个图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分关于这条对称轴对称 【知识点02】轴对称的性质 1.对称轴垂直平分任意一对对应点所连的线段。 2.对应线段相等，对应角相等。 3.轴对称的两个图形是全等图形；但全等的两个图形不一定关于某条直线对称。 【知识点03】线段的垂直平分线 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 2.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：若直线l垂直平分线段AB，点P在l上，则PA=PB。 3.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 4.三角形三边垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心，它到三角形三个顶点的距离相等。 *锐角三角形的外心在三角形内部； *直角三角形的外心在斜边的中点上； *钝角三角形的外心在三角形外部。 【知识点04】角的平分线 1.性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 2.判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 3.三角形三条角平分线的性质 三角形三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心，它到三角形三条边的距离相等。 *三角形的内心一定在三角形内部。 【知识点05】等腰三角形 1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 2.性质 *等腰三角形是轴对称图形，有1 条对称轴（底边的垂直平分线）。 *等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 *三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（这三条线所在直线都是等腰三角形的对称轴）。 3.判定 *定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 *等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 【知识点06】等边三角形 1.定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。 2.性质 *等边三角形是轴对称图形，有3 条对称轴（三条边的垂直平分线）。 *等边三角形的三个内角都相等，且每个内角都等于60∘。 *等边三角形具备等腰三角形的所有性质。 3.判定 *定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。 *三个角都相等的三角形是等边三角形。 *有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形。 【知识点07】含30度角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30∘，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，则BC=AB。 【知识点08】作图 作图类型 核心步骤 关键注意事项 作图形关于直线的对称图形 1. 找原图关键点 2. 过点作对称轴垂线，截取等距对称点 3. 按原序连对称点 垂足为中点，对称点到对称轴距离等于原关键点 作线段垂直平分线（尺规） 1. 分别以线段两端为圆心，大于 线段长为半径画弧 2. 两弧两侧各交于一点 3. 连接两点得直线 半径必须大于 线段长，否则弧不相交 作角平分线（尺规） 1. 以角顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角两边于两点 2. 分别以两点为圆心，大于 两点间距为半径画弧，角内交于一点 3. 过顶点和交点作射线 第二步弧要在角内部相交，保留全部作图痕迹 题型1.轴对称图形的识别方法 【典例】某校开展“衣加衣”温暖活动，同学们积极响应号召，踊跃捐衣，校团支部为本次活动设计了一个“众志成城，奉献爱心”的图标．如图，图标中两圆的大小关系是 ． 【答案】相等 【分析】本题主要考查圆的大小关系，根据两个圆的半径长度及轴对称图形判断即可． 【详解】解：∵从图中可以看出，构成心形图标的两个圆，它们的半径长度是一样的，且图标是轴对称图形，根据圆的大小由半径决定，半径相等的圆，其大小相等． ∴图标中两圆的大小关系是相等； 故答案为：相等． 【跟踪训练1】博物馆是承载历史记忆、传承文化根脉的重要场所，其LOGO设计常融入文化元素与美学理念．下列四大博物馆的LOGO中，属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形）． 根据轴对称图形的定义，依次对每个选项的图形进行分析，判断是否存在一条直线，使图形沿该直线折叠后直线两旁的部分能够重合． 【详解】解：A、该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，不是轴对称图形； B、该图形沿中间竖直的一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形； C、该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，不是轴对称图形； D、该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，不是轴对称图形． 故选：B． 【跟踪训练2】下列黑体字中是轴对称图形的是（   ） A．山 B．秀 C．水 D．清 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可求解． 【详解】解：根据轴对称图形的意义可知：A选项符合轴对称图形定义，B、C、D项不符合， 故选：A； 题型2.利用成轴对称图形的特征解题 【典例】如图是一个简易的飞机模型示意图，机翼和关于机身对称，交于点，已知．下列说法中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质，分析每个选项是否正确．轴对称图形中，对应线段相等，对应角相等，对应点所连线段被对称轴垂直平分．本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称图形对应线段相等、对应角相等，对应点所连线段被对称轴垂直平分是解题的关键． 【详解】解：∵ 机翼和关于机身对称， ∴ ，，． 又∵ ， ∴ ． ，故项正确，不符合题意． 题目中未给出关于长度的任何条件，无法得出，故项错误，符合题意． ，故项正确，不符合题意． ，故项正确，不符合题意． 故选：． 【跟踪训练1】如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（　　）的长度相等． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称求最短路径的问题，准确做出辅助线求解是解题的关键． 将沿翻折得，得到，证明是等边三角形，判断的最小值的情况，即可得解． 【详解】解：将沿翻折得，过点作于点， ， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， 要使最小，则， ， 即的最小值与长度相等． 故选． 【跟踪训练2】如图，已知所在直线是的对称轴，点E、F是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积的值是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形的面积等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质可得，易得阴影部分的面积等于三角形ABC面积的一半，据此即可解答． 【详解】解：∵关于直线成轴对称， ∴， ∵E，F是上的两点， ∴与关于直线成轴对称， ∴ ∵， ∴． 故答案为：12． 题型3.轴对称折叠问题的分析与求解 【典例】如图，把一张长方形纸片沿折叠后点D正好落在边上点G处，则、的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，根据把一张长方形纸片沿折叠后点D正好落在边上点G处，则，又结合，进行整理得，即可作答． 【详解】解：把一张长方形纸片沿折叠后点D正好落在边上点G处， ， ∵， ， ∴， 故答案为：． 【跟踪训练1】如图的三角形纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．则的周长为 ． 【答案】/11厘米 【分析】本题考查折叠轴对称的性质，根据折叠可得，进而求出，将的周长转化为，求出结果即可． 【详解】解：由折叠得， ∴ ∴的周长， 故答案为：． 【跟踪训练2】对折是折纸活动的基本折法之一，若在一张纸条上画一个数轴，折叠纸条，这个数轴上表示的点与表示5的点重合，同时数轴上A点与B点也重合，已知A，B两点之间的距离为100（A在B的左侧），则A点表示的数是（    ） A． B．48 C． D．51 【答案】C 【分析】本题考查数轴和折叠的性质，本题先根据折叠后重合点的性质求出折痕对应的数，再结合A、B两点间的距离以及A在B左侧的条件，求出A点表示的数． 【详解】这个数轴上表示的点与表示5的点重合， ， 折痕对应的数为1， 又A，B两点之间的距离为100（A在B的左侧）， 所以A点表示的数为． 故选：C． 题型4.线段垂直平分线的性质和判定 【典例】如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，若的周长是，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，理解题意得是线段的垂直平分线，故，结合的周长是，即，因为，故的长为，即可作答． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故选：B． 【跟踪训练1】珠海市香洲区有三个小区、、，其所在位置构成，市政府打算修建一个大型体育公园，使得该体育公园到三个小区的距离相等，则点应设计在（   ） A．三角形三条高的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，熟练掌握垂直平分线的判定定理是解题的关键．根据点到三个小区、、的距离相等，可得是三边垂直平分线的交点，据此即可得答案． 【详解】解：∵点到、、的距离相等， ∴点是三边垂直平分线的交点， ∴点应位于三角形三边的垂直平分线的交点． 故选：C． 【跟踪训练2】如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，， cm． 【答案】1 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定．先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 题型5.轴对称图形的对称轴条数确定 【典例】轴对称图形的对称轴（   ） A．只有一条 B．至少有一条 C．至多有一条 D．可能没有 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的定义． 轴对称图形必须至少有一条对称轴，否则不满足定义． 【详解】∵轴对称图形是指存在一条直线，使图形沿该直线对折后两部分完全重合， ∴每个轴对称图形都至少有一条对称轴． 选项A错误，如圆有无数条对称轴； 选项C错误，如矩形有两条对称轴； 选项D错误，因为轴对称图形必须有对称轴． 故正确答案为B． 故选：B． 【跟踪训练1】下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴的概念，解题的关键是熟练掌握对称轴的概念． 发布求出各图形的对称轴，即可得答案． 【详解】A．根据它的组合特点，它有1条对称轴； B．根据它的组合特点，有1条对称轴； C．这个组合图形有1条对称轴； D．这个图形有4条对称轴． 故选：D． 【跟踪训练2】圆有无数条对称轴，半圆只有1条对称轴 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义即可得出答案，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：圆有无数条对称轴，半圆只有1条对称轴，正确， 故答案为：． 题型6.轴对称图形的作图方法 【典例】如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线对称，请在试卷上补全字母，并写出这个单词所指的物品是 ． 【答案】书，图见解析 【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是根据轴对称的性质作出图形． 根据轴对称图形的性质画出图形即可解答． 【详解】解：如图， 这个单词所指的物品是书． 故答案为：书． 【跟踪训练1】如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形 ．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．根据轴对称图形的性质画图即可． 【详解】解：根据轴对称图形的性质画出图形即可：    【跟踪训练2】如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称．    所以在图中与成轴对称的格点三角形可以画出6个． 故选：D． 题型7.坐标与图形的轴对称变换 【典例】在平面直角坐标系中，点关于轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．9 【答案】A 【详解】本题考查关于x轴对称的两点坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数．根据此特征列方程求解和，再求． 【分析】解：∵关于轴对称， ∴横坐标相等：， 纵坐标互为相反数：， ∴，， ∴． 故选：A． 【跟踪训练1】如图，在平面直角坐标系中，，，则点关于直线对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了坐标与图形变化-对称，解此类问题的关键是要掌握轴对称的性质． 根据轴对称的两点到对称轴的距离相等，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得出点和点是关于直线对称的对应点，它们到直线的距离相等是2个单位长度， 所以点的坐标是． 故选：A． 【跟踪训练2】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．已知点，点B是点A关于x轴的对称点，在围成的内部（不包含边界），整点的个数共有 个． 【答案】 【分析】本题考查了整点的定义，坐标与图形变化-轴对称，先确定点的坐标，再明确三角形的顶点坐标，然后根据整点的定义，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于轴对称称的点，依次连接，根据整点的定义可知，在围成内部（不包含边界），整点的个数共有个， 故答案为：． 题型8.等腰三角形“等边对等角”性质 【典例】等腰三角形的一个角为，则它的底角为（    ）． A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质．由于给定的角可能是顶角或底角，需分情况讨论底角的取值． 【详解】解：∵ 等腰三角形的一个角为， ∴ 若为顶角，则底角； 若为底角，则另一个底角也为． ∴ 底角为或． 故选：C． 【跟踪训练1】如图，在中，，点在上，于，于．若，则的度数等于 ． 【答案】 【分析】本题考察了等边对等角，由题意得；根据，推出，求出，即可求解 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【跟踪训练2】如图，在等腰三角形中，，，点为线段上一点，，，若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后利用含直角三角形的性质得到，，进而可计算的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴和是直角三角形， ∴，， ∴， 故答案为：6． 题型9.等腰三角形“三线合一”性质 【典例】木工师傅将一把含角的三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是 ． 【答案】等腰三角形的三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质，理解等腰三角形三线合一（顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合）的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，三角尺是等腰三角形，等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合，若重锤的线经过三角尺底边的中点刻度，说明重锤与三角形底边上的高是重合的，而重锤是和水平面互相垂直的，所以说明此时的横梁是水平的，如果重锤的线没有经过三角尺底边的中点刻度，则说明横梁不是水平的， 因此能解释这一现象的数学知识是等腰三角形的三线合一． 故答案为：等腰三角形的三线合一． 【跟踪训练1】如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，已知的周长为，长为，则的长为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形-三线合一的性质，熟知等腰三角形底边上的高也是底边上的中线是解题的关键． 先求出的长，然后根据三线合一的性质求解即可． 【详解】解：∵在的周长为，，长为， ∴， ∵，， ∴． 故选D． 【跟踪训练2】如图，中，，延长到点，使得，延长到点，使得，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，，然后根据线段的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为2． 题型10.含30度角的直角三角形的性质 【典例】已知，在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是含角的直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 根据直角三角形的两锐角互余，可求得，再根据含角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：在中， ， ， ， ， 故选：B． 【跟踪训练1】如图1，某温室屋顶结构外框为等腰，，底角，立柱．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图2所示，若，则斜梁增加部分的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的定义，由含30度角的直角三角形的性质求出，即可得解． 【详解】解：，， ， ∵， ， 斜梁增加部分的长为． 故选：C 【跟踪训练2】如图，在中，为边上的高，点从点出发在射线上以的速度移动，设运动时间为，当时，的值为 ． 【答案】1或5 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是求出；先根据含30度角的直角三角形的性质求出，再分两种情况求出的长，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 当点E在线段上时， ∵， ∴， ∴； 当点E在线段延长线上时， ∴， ∴； 故答案为：1或5． 题型11.等腰三角形的性质和判定方法 【典例】如图，中，，于点，于点，于点，，则的长是（   ） A．5 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由，则，又，故，因此，从而得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【跟踪训练1】如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出各角的度数，再根据等角对等边，进行判断即可． 【详解】解：∵，， 是等腰三角形，， 是的角平分线， ， ， ∴， 是等腰三角形． ，， ， ， ∴， 是等腰三角形． 故图中的等腰三角形有个． 故选：C． 【跟踪训练2】命题“等腰三角形的两个锐角相等”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了逆命题，熟练掌握构造逆命题的方法，真假命题的判断，等腰三角形的判定和性质，是解题的关键．先写出原命题的逆命题，再根据三角形性质判断其真假． 【详解】解：原命题“等腰三角形的两个锐角相等”的逆命题是“两个锐角相等的三角形是等腰三角形”． 根据三角形性质，如果两个角相等，则它们所对的边也相等，因此三角形是等腰三角形，故该逆命题为真命题． 故答案为：真． 题型12.等边三角形的性质和判定方法 【典例】在中，，若，则的长为（　　） A．10 B．5 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质；根据可得是等边三角形，进而可得答案. 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 故选：A. 【跟踪训练1】如图，有一根长2.4米的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为．如果晾衣杆底端不动，顶端靠在阳台另一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为，那么的长是 米． 【答案】2.4 【分析】先根据平角的定义可得，进而可得是等边三角形，则可得 （米）． 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴， 由题知， ∴是等边三角形， ∴（米）． 故答案为：2.4． 【跟踪训练2】如图，为等边三角形外一点，连接，，．已知，，为的中点，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先认真理解题意，在的左边，作一个以为边的等边三角形，运用等边三角形的性质，证明，再运用三角形三边关系以及两点之间线段最短，得出当三点共线，则，即，故的最大值为，即可作答． 【详解】解：依题意，在的左边，作一个以为边的等边三角形，如图所示： ∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形， ∴， 则， 即， ∵ ∴， ∴， ∵为的中点， ∴的最大值为， 在，， 当三点共线，则， 即， ∴的最大值为， 故答案为：8 题型13.最短路径问题 【典例】如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点M关于直线a的对称点，连接交直线a于O． 根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短． 故选：C． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 【跟踪训练1】在一条笔直的公路上有7个村庄依次为A、B、C、D、E、F、G，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，，而村庄G正好是的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（   ） A．A处 B．C处 C．G处 D．E处 【答案】B 【分析】本题考查的是比较线段的长短，先根据题意求出各点间的距离并在图上表示出来，再分别计算出各村到选项中所给的村的路程和，再比较出其大小即可． 【详解】解：A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，， ∴ 又村庄G正好是的中点， ∴， ∴各村间的距离如图所示： 各村到A村的路程和为：， 各村到E村的路程和为：， 各村到C村的路程和为：； 各村到G村的路程和为：． ， 故活动中心应建在C村． 故选B． 【跟踪训练2】如图，牧民从生活区边上某点A出发，先到草地边上某点B牧马，再到小河边上某点C饮马，最后回到点A处，已知，点P到的距离为4千米，，若的周长为千米，则的最小值是 千米． 【答案】4 【分析】在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、，由轴对称的性质可得的周长为，即当最小时，的周长最小，证明为等边三角形，得出，由垂线段最短可得，当时，最小，即最小，结合题意可得的最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、， ，，，，，， 的周长为， 当最小时，的周长最小， ， ， ， ， 当时，最小，即最小， 点到的距离为， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查轴对称，等边三角形，最短路径问题，垂直平分线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 1．《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键． 【详解】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意； B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 2．在，已知，，那么 ．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据三角形中大边对大角即可得到结果． 【详解】解：在中，对的是，对的是， ，， ， ． 故答案为： ． 3．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．两个相等实数的绝对值相等 【答案】C 【分析】本题考查逆命题的真假判断，了解逆命题与原命题的关系是解题关键． 需要写出每个命题的逆命题，并利用所学知识判断其正确性． 【详解】A的逆命题：相等的角是对顶角，假命题（如等腰三角形的底角相等但不是对顶角）； ∴ A不符合． B的逆命题：对应角相等的三角形全等，假命题（如相似三角形对应角相等但不全等）； ∴ B不符合． C的逆命题：两直线平行，同位角相等，真命题（平行线的性质）； ∴ C符合． D的逆命题：绝对值相等的两个实数相等，假命题（如1和绝对值相等但不相等）； ∴ D不符合． 故选：C． 4．在下列图形中，只利用没有刻度的直尺将无法作出其对称轴的是（    ） A．等腰三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正六边形 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质对各选项进行逐一判断即可． 【详解】A、没有刻度尺不能作轴对称，故本选项正确； 、连接菱形的对角线即是对称轴，故本选项错误； 、等腰梯形对称轴是两腰延长线的交点和对角线的交点的连线，故本选项错误； 、连接两个对角线即是对称轴，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解题的关键． 5．如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是镜面反射的性质即轴对称的性质；解决本题的关键，是理解实物与像关于镜面对称．那么到镜面的距离就相等．如图所示，经过反射后，，，则，即可求解． 【详解】解：如图所示， 经过反射后，，， ∴． 故选：D． 6．如图，是的角平分线，，，则图中的等腰三角形有 个 【答案】3 【分析】本题考查等腰三角形的判定、三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先根据角平分线的定义和三角形的内角和定理得到，，然后根据等腰三角形的判定可得结论． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 即，， 则、、都是等腰三角形，有3个， 故答案为：3． 7．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有 个． 【答案】6 【分析】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可． 【详解】解：如图所示： C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC； C在C5，C6位置上时，AB＝BC； 即满足点C的个数是6， 故答案为: 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合的所有点是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形． 8．如图，以点A，B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰直角三角形．以为直角边有四个，以为斜边有两个． 【详解】解：如图，以为直角边有四个，以为斜边有两个，共6个： 故答案为：6． 9．如图，在中，，点为上一点，连接，且，若的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等角对等边，，则，由的周长为，可得，即，然后通过周长公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴的周长为， 故答案为：． 10．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 11．如图，是轴对称图形，对称轴是． (1)找出所有对应点、对应边、对应角． (2)如果，求和． (3)如果，求． 【答案】(1)对应点：B和C，对应边：和和，对应角：和和和 (2) (3) 【分析】本题考查了轴对称图形的特征，熟记相关结论即可； （1）根据图形即可求解； （2）轴对称图形的对应边相等，对应角相等，据此即可求解； （3）轴对称图形的对应边相等，对应角相等，据此即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：对应点：B和C，对应边：和和，对应角：和和和 （2）解：∵是轴对称图形，对称轴是． ∴（对应边相等），（对应角相等）， ∵， ∴； （3）解：∵是轴对称图形，对称轴是． ∴（对应边相等）， ∵， ∴； 12．如图的三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，求的周长． 【答案】7 【分析】由题意可得：，，即可求，则可求的周长． 本题考查折叠问题，熟练掌握折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 【详解】解：由折叠得， ∴，， ∴， ∴的周长 ． 13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点（网格线的交点）上．已知点的坐标为． (1)在所给的网格图中描出边AB的中点，并写出点的坐标； (2)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的图形，并写出点，，的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析，，， 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画轴对称图形，熟知中点坐标公式，轴对称图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据轴对称的性质作图即可；再依据平面直角坐标系写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为边的中点， ∵，， ∴点D的坐标为． （2）如图所示，即为所求作的三角形．，， 14．如图，在中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，连接．当是直角三角形时，求出的长． 【答案】4或3 【分析】本题考查等边对等角，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：，， ． 由翻折知，，， ． ①若，则， ， ∴， ∴； ②若，则， ， ，； 综上，当是直角三角形时，的长为4或3． 15．（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，（ ） 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，（ ） ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】(1)三角形任意两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系，正确画出图形是解题关键． （1）根据所给推理正确填空即可； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，根据轴对称的性质可得路线，，即为所求． 【详解】（1）解：如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形任意两边之和大于第三边） 点与点关于直线对称， 直线垂直平分 ，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ， ． 故答案为：三角形任意两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （2）解：如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． ，，则， 根据两点之间线段最短可得路线，，即为所求． 16．如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头A航行，下面是关于码头A、灯塔B及渔船的位置信息： 信息一：码头A在灯塔B北偏西方向8海里处； 信息二：8∶00时，渔船航行至灯塔B北偏东方向的处； 信息三：8∶30时，渔船航行至灯塔B北偏东方向的处． (1)请根据以上信息，求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； (2)8∶30时，渔船在处接到天气预报，大约1小时后在码头A附近海域将有大风天气，若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在大风到来前到达码头A．（参考数据：） 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为海里 (2)渔船不能在大风到来前到达码头A，计算见解析 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，实数的运算，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，解得到海里，可求出的长，，，则可求出的长，进而求出的长，证明是等腰直角三角形即可得到答案； （2）求出的长，计算出到达码头A的时间即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，垂足为， ． 在中，，海里， 海里，， 依题意，海里，，， ∴， ∴， 在中，（海里）， ∴海里， ∵， ∴是等腰直角三角形， 海里， 渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为海里． （2）解：（海里），（海里／小时） 渔船到达码头A的时间大约为小时， ∵， 渔船不能在大风到来前到达码头A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $