精品解析：广东省深圳实验学校卓越高中2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

深圳实验学校高中园2025-2026学年度第一学期二段考高一数学 时间：120分钟满分：150分 命题人：谢立莉 审题人：杨小波 第一卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则p是q的（ ）条件 A. 既不充分又不必要 B. 充要 C. 必要不充分 D. 充分不必要 4. 幂函数的图象关于原点对称，且在上是增函数，则可以是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数f（x）=log2x+2x-3，则函数f（x）的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知,在满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程有且仅有一根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则（ ）． A. ab的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 函数与函数表示同一函数 B. 函数的值域为 C. 若函数，则 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 设函数 ，则（ ） A. 直线是函数的对称轴 B. 若函数在上单调递减，则 C. 对，不等式总成立 D. 当时， 第二卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数且的图象恒过定点，则点的坐标为_____． 13. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______． 14. 设奇函数在（0，）是增函数，且，则不等式的解集为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值： （1）； （2）； （3）若，求的值． 16. 已知函数． （1）求函数的定义域： （2）解不等式． 17. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）判断函数的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 18. 已知函数是上的奇函数，函数． （1）求实数k的值； （2）当时，函数的最小值是关于a的函数，求； （3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 19. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． （2）根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校高中园2025-2026学年度第一学期二段考高一数学 时间：120分钟满分：150分 命题人：谢立莉 审题人：杨小波 第一卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得结论. 【详解】的否定为， 故选：B 3. 已知，，则p是q的（ ）条件 A. 既不充分又不必要 B. 充要 C. 必要不充分 D. 充分不必要 【答案】D 【解析】 【分析】由充分必要条件进行判断即可． 【详解】由，得，得， 则，但不能推导出，则p是q的充分不必要条件， 故选：D 4. 幂函数的图象关于原点对称，且在上是增函数，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域、对称性、单调性等知识确定正确答案. 【详解】A选项，在上单调递减，不符合题意； B选项，的定义域是，图象不关于原点对称，不符合题意； C选项，是偶函数，图象关于轴对称，不符合题意； D选项，是奇函数，图象关于原点对称，且在上是增函数，符合题意. 故选：D 5. 设函数f（x）=log2x+2x-3，则函数f（x）的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数，所以f（1）==﹣1＜0，f（2）==2＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点． 故选：B． 点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件； 二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件； 三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可判断，，可得出答案. 【详解】，， ，所以. 故选：A. 7. 已知,在满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设条件可得为上的减函数，故可得关于参数的不等式组，据此可求参数的取值范围. 【详解】因为，故为上的减函数， 故，故， 故选：B. 8. 已知函数，若方程有且仅有一根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别讨论及，根据的值，确定实数的取值范围. 【详解】若，则， 而当时，当时，所以无解； 若，则或， 其中有一根为，则由题意知无解， 而当时，当时，所以的值域为， 从而，解得，所以. 综上，的取值范围是， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则（ ）． A. ab的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式及其应用，逐项分析判断，对A，直接利用基本不等式即可判断； 对B，由即可判断， 对C，由，再利用基本不等式即可；对D，即可判断. 【详解】对A，，所以，当且仅当时成立，故A正确； 对B，由，可得，可得，的最小值为，故B不正确； 对C，， 当且仅当即时成立,故C正确； 对D，，当且仅当时成立，故D正确. 故选：ACD 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 函数与函数表示同一函数 B. 函数的值域为 C. 若函数，则 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，考查相等函数的判断，注意函数三要素；B选项，为根式型求函数值域，用到换元法求值域，注意定义域范围；C选项，为换元法求解析式题型，注意新元的范围；D选项，抽象函数的定义域问题，注意区分范围. 【详解】对于A，函数的定义域要求且，即； 函数的定义域要求，即，两者定义域不同，故不表示同一函数，A错误； 对于B，设，则，代入函数得：，这是开口向下的二次函数， 对称轴为，最大值为：，当时，，故值域为，B正确； 对于C，设，则，，代入得：， 故，C正确； 对于D，因为函数的定义域为，所以需满足且， 解得且，即，定义域为，D错误. 故答案为：BC 11. 设函数 ，则（ ） A. 直线是函数的对称轴 B. 若函数在上单调递减，则 C. 对，不等式总成立 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质将函数写成分段函数的形式，再根据函数的性质逐一分析选项. 【详解】，画出的图像如图所示， 对于A，由图可知，不是的对称轴，故A错误； 对于B，若函数在上单调递减，由图可知，，故B正确； 对于C，， ，所以总成立，故C正确； 对于D，当时，，，此时，关于直线对称， 所以，成立，当时，，成立， 当时，，，，成立. 综上所述，当时，，故D正确. 故答案为：BCD 第二卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数且的图象恒过定点，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数的性质确定其图象所过的定点即可. 【详解】令，得，则，于是恒过点. 故答案为： 13. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复合命题单调性可知，是函数单调递增区间的子集，列式求实数的取值范围. 【详解】由，得或， 即函数的定义域为， 令，则， 因为函数为定义域上的单调增函数， 在上递增， 函数单调增区间为， 因为函数在上单调递增， 所以，所以， 故答案为： 14. 设奇函数在（0，）是增函数，且，则不等式的解集为________ 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得，且，在为增函数，则不等式，即为，讨论，或，，解不等式即可得到所求解集． 【详解】奇函数在为增函数，且（1）， 可得，且，在为增函数， 则不等式， 即为， 可得，（1），解得； 或，，解得． 综上可得所求解集为，，． 故答案为：或. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查抽象函数不等式的解法，注意运用转化思想． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值： （1）； （2）； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）47 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则求解； （2）根据对数的运算求解即可； （3）根据式子结构特点，利用完全平方公式求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 因为， 所以，即， 所以， 即. 16. 已知函数． （1）求函数的定义域： （2）解不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由对数函数的定义域即可求解； （2）利用对数函数的单调性解不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意有：， 所以的定义域为； 【小问2详解】 由， 所以， 所以原不等式的解集为. 17. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）判断函数的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知函数的性质，利用函数奇偶性定义证明函数的奇偶性； （2）根据已知函数的性质，利用定义法证明函数单调性； （3）利用函数的奇偶性和单调性化简抽象不等式，解不等式求出a的取值范围． 【小问1详解】 函数为奇函数； 证明：，定义域为， ， 是奇函数． 【小问2详解】 函数在上单调递增． 证明：设任意，且， ， ，函数单调递增，，故， ，， ，即， 在上单调递增． 【小问3详解】 是奇函数， ，原不等式化为，即， 在内单调递增，，即，解得， 的取值范围为． 18. 已知函数是上的奇函数，函数． （1）求实数k的值； （2）当时，函数的最小值是关于a的函数，求； （3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知函数的性质，利用奇函数的定义列方程求解； （2）先求出在上的值域，利用换元法化简已知函数，再根据二次函数的性质分情况讨论求出； （3）利用（2）的结论结合已知条件，分情况讨论求出实数a的取值范围． 【小问1详解】 函数是上的奇函数， ，即，整理得， 对任意成立，，解得． 【小问2详解】 ，在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递增， ， 在上的值域为， 令，则，函数开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，最小值为； 当时，在对称轴处取得最小值，最小值为； 当时，在上单调递减，最小值为； ． 【小问3详解】 若对任意的，恒成立，即对恒成立； 当时，，成立； 当时，，解得，又，； 当时，，解得，与矛盾，舍去； 的取值范围是． 19. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． （2）根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 【答案】（1）模型①③不符合，选模型②，解析式为 （2）（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【解析】 【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． 【小问1详解】 由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； 【小问2详解】 （i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $