精品解析： 河南省信阳市淮滨县2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试卷

2025-2026学年度八年级上期期中阶段性综合练习 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 下面四个图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10 3. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 4. 如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，则对于结论①，②，③，④，其中判断正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①③④ 6. 如图， ，且，，则等于（　　） A. B. C. D. 7. 在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且，，在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（ ） ①；②为的平分线；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题；共15分） 11. 如图是公园或社区内常见的健身器材，支架设计成三角形的几何原理是_______． 12. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹所提供的信息，若的周长为23，则的长为_____． 13. 在平面直角坐标系中，若点和点关于y轴对称，则______． 14. 如图，D是△的边上任意一点，E、F分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是_______． 15. 如图，在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点F处，连接，交于点E．当是直角三角形时，的度数为____________． 三、解答题（共75分） 16. 已知，，是的三边． （1）若，．求第三边的取值范围； （2）若，，第三边为奇数，判断的形状； （3）化简． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点 A 坐标为，顶点 B，C 均在小正方形的网格点上． （1）作，使和关于 y 轴对称； （2）分别写出以下顶点的坐标： ； ； ； （3）直接写出的面积： ． 18. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． （1）在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． （2）根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 19. 如图，已知∠MAN ，点B在射线AM上． （1）尺规作图： ①在AN上取一点C，使BC=BA； ②作∠MBC的平分线BD．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：BD∥AN． 20. 如图，上午8时，一条船从A处出发，以15海里/小时的速度向正北航行，10时到海岛B处，分别从A，B望灯塔C，测得，． （1）求从海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船以同样的速度向正北方向继续前行，则多少小时后轮船与灯塔C距离最近． 21. 如图，已知中边的垂直平分线与的平分线交于点，交的延长线于点，交于点．求证： （1）． （2）若，，求的长度． 22. 如图，四边形中，，是的中点，平分． （1）求证：平分； （2）判断之间的数量关系，并证明； （3）若，，求和的面积之和． 23. 数学实践活动课上，李老师带着小强、小凡、小颖以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境 已知，在中，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． 实践探究 （1）如图1是小强在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的关系是____________． （2）如图2是小凡在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，若，（），的面积为，试求出与之间的关系式． 拓展应用 （3）小颖在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，，利用备用图，求出线段的长，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度八年级上期期中阶段性综合练习 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 下面四个图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 3. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 4. 如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查轴对称的性质与运用，解决本题的关键是熟练掌握对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴，，，故A、B、D选项正确， 不一定成立，故C选项错误， 所以，不一定正确的是C． 故选：C． 5. 如图，，则对于结论①，②，③，④，其中判断正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边和对应角都相等可得，，，据此可判断①③，再由角的和差关系可判断④；根据现有条件无法证明，故②不正确． 【详解】解：∵， ∴，，，故①③正确， ∴， ∴，故④正确， 根据现有条件无法证明，故②不正确， 故选：D． 6. 如图， ，且，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可求，再由，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 7. 在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，解题的关键是根据痕迹识别图形的性质 由图知，平分，垂直平分，运用角平分线的性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由图知，平分，垂直平分， ，，， 在中，， ， ， 所以选项A、C、D正确，不符合题意， 故选：B． 8. 如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A．由于，，添加条件，不能用证明，故本选项符合题意； B．由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； C．由于，，添加条件，可得，即，可以利用证明，故本选项不符合题意； D．由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； 故选：A． 9. 如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 连接，交于点P，利用等边三角形的性质可得，，从而得到当点B，P，E三点共线时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点P， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，， 即当点B，P，E三点共线时，取得最小值， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且，，在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（ ） ①；②为的平分线；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，线段垂直平分线的判定和性质．熟练掌握以上知识，正确地作出辅助线是解题的关键．根据四边形内角和等于可判断结论①正确；过点作的延长线于点，作于点，根据证明，则可得，根据角平分线的判定可得结论②正确；根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，根据线段垂直平分线的判定可得结论③正确；由可得，可得结论④不正确． 【详解】解：∵为等边三角形， ， ∵， ， ∵四边形中，， ． 故结论①正确； 如图，过点作的延长线于点，作于点． 则， ，， ， 又， ， ， ∴为的平分线． 故结论②正确； ， 平分， ∴垂直平分， ∴． 故结论③正确； ， 而， ， ． 故结论④不正确； 综上，正确的结论有3个． 故选：C． 二、填空题（共5小题；共15分） 11. 如图是公园或社区内常见的健身器材，支架设计成三角形的几何原理是_______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键：如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性．三角形的稳定性是指三角形与其他多边形相比，具有不容易扭转或变形的特点． 根据三角形的稳定性即可得出答案． 【详解】解：支架设计成三角形的几何原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 12. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹所提供的信息，若的周长为23，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查作图—基本作图，垂直平分线的性质．由作图知垂直平分，得到，再根据即可求解． 【详解】解：由作图知垂直平分， ∴， ∵的周长为23，即，且， ∴． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，若点和点关于y轴对称，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 根据关于y轴对称的点坐标特征，纵坐标相等，横坐标互为相反数，列出方程求解． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴且， 即． 故答案为：2． 14. 如图，D是△的边上任意一点，E、F分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积可得，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 故答案为：5． 15. 如图，在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点F处，连接，交于点E．当是直角三角形时，的度数为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，由折叠的性质可得，，再分两种情况：当时；当时，此时点与点重合；分别利用三角形内角和定理以及三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∵是直角三角形， ∴当时，如图， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，此时点与点重合， ， ∴，且、共线， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题（共75分） 16. 已知，，是的三边． （1）若，．求第三边的取值范围； （2）若，，第三边为奇数，判断的形状； （3）化简． 【答案】（1） （2）为等腰三角形 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系即可求解； （2）根据三角形的三边关系得，然后求出，最后通过等腰三角形定义即可求解； （3）根据三角形的三边关系得，，然后化简即可． 【小问1详解】 解：，，是的三边，，， ， 即； 【小问2详解】 由（1）知， 第三边为奇数， ， 为等腰三角形； 【小问3详解】 由三角形三边关系定理得到：，， ，， ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点 A 坐标为，顶点 B，C 均在小正方形的网格点上． （1）作，使和关于 y 轴对称； （2）分别写出以下顶点的坐标： ； ； ； （3）直接写出的面积： ． 【答案】（1） 解：由题意，画图如下： （2），， （3）9 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键： （1）根据轴对称的性质画出即可； （2）根据点的位置，写出点的坐标即可； （3）借助网格求面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知： ；；； 故答案为： ，，． 【小问3详解】 ． 故答案为：9． 18. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． （1）在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． （2）根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 【答案】（1）②③ （2） 添加②， 在与中， )， ； 添加③，在与中， )， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质， （1）根据全等三角形的判定定理逐一判断即可； （2）证明即可得出结论． 【小问1详解】 解：， ， 又， 添加①无法证得； 添加②根据可证得； 添加③根据可证得； 所有可以添加的条件的序号是②③， 故答案为：②③； 【小问2详解】 略 19. 如图，已知∠MAN ，点B在射线AM上． （1）尺规作图： ①在AN上取一点C，使BC=BA； ②作∠MBC的平分线BD．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：BD∥AN． 【答案】（1）①C就是所要求作的点； ②BD即为所求作的角平分线； （2）证明：∵BA=BC， ∴∠1=∠2， ∵BD平分∠MBC， ∴∠3=∠4， ∵∠MBC是△ABC的外角， ∴∠MBC=∠1+∠2， ∴∠3+∠4=∠1+∠2， ∴2∠3=2∠1， ∴∠3=∠1， ∴BD∥AC. 【解析】 【详解】试题分析：（1）①以点B为圆心，以BA长为半径画弧与AN的交点即为点C； ②按角平分线的作图方法进行作图即可得； （2）如图根据BA=BC，可得∠1=∠2，再根据BD平分∠MBC，可得∠3=∠4，再根据三角形的外角性质可得∠3+∠4=∠1+∠2，从而得∠3=∠1，从而得BD∥AC. 试题解析：（1）①略 ②略 （2）略 【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质、三角形外角的性质等，熟练掌握和运用相关的性质是解题的关键. 20. 如图，上午8时，一条船从A处出发，以15海里/小时的速度向正北航行，10时到海岛B处，分别从A，B望灯塔C，测得，． （1）求从海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船以同样的速度向正北方向继续前行，则多少小时后轮船与灯塔C距离最近． 【答案】（1）30海里 （2）1小时 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短是解决本题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，得，那么，即可求解； （2）过点作于点，根据垂线段最短求得，根据三角形内角和定理，得根据含角的直角三角形的性质，在中，，得海里，从而解决此题． 【小问1详解】 解：由题意得∶(海里)， (海里)． 从海岛B到灯塔C的距离为30海里． 【小问2详解】 如图，过点作于点． 根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，． 又 在中，， ， 航行的时间为(小时)． 若这条船继续向正北航行，1小船后与灯塔的距离最短． 21. 如图，已知中边的垂直平分线与的平分线交于点，交的延长线于点，交于点．求证： （1）． （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：连接， ∵平分， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴在和中， ∵，， ∴． ∴； （2）14 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的性质可得，可证明，即可求证； （2）根据，可得，再证明，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要查了角平分线的性质，全等三角形的判定的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定的判定和性质是解题的关键． 22. 如图，四边形中，，是的中点，平分． （1）求证：平分； （2）判断之间的数量关系，并证明； （3）若，，求和的面积之和． 【答案】（1） 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴平分； （2） 解：，证明如下： 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（）过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据证明得出，即可得出结论； （）证明得到，再根据（）所得即可得出结论； （）根据，求出梯形与的面积即可求解； 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴和的面积之和梯形的面积的面积 ， ， ． 23. 数学实践活动课上，李老师带着小强、小凡、小颖以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境 已知，在中，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． 实践探究 （1）如图1是小强在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的关系是____________． （2）如图2是小凡在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，若，（），的面积为，试求出与之间的关系式． 拓展应用 （3）小颖在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，，利用备用图，求出线段的长，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）或10 【解析】 【分析】本题考查三角形的全等的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． （1）由证明可得出的数量和位置关系； （2）证明，得出，证明，得出，求出结果即可； （3）分两种情况分别画出图形，求出的长即可． 【详解】（1）解： ， ，， 在与中 ， ， 故答案为：； （2）∵， ，， ． 在和中， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）当点在上时，如图， 由（1）可知， ， ； 当点在延长线上时，如图， 由（2）可知，， ， ； 综上所述，或10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $