专题01 有理数（期末复习讲义，知识必备+18大重难题型+过关验收）七年级数学上学期新教材冀教版

专题01 有理数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在选择题中 有理数的分类 能根据有理数的概念区分有理数的分类 高频易错点，在对数字进行分类时忽略不循环小数和π 数轴 可以在数轴上表示有理数，并且能够利用数轴表示两点距离，同时能够解决动点问题 期末必考点，各题型均有可能出现；用数轴表示有理数、数轴上两点之间的距离表示和数轴比较大小是常考点；而数轴的动点问题则是作为压轴题来进行考查 相反数 重点掌握相反数的概念和性质，互为相反数的两个数和为0； 期末常考点，一般会和其他知识点混合一起考查，难度不大； 绝对值 能根据绝对值的概念与性质求解 期末必考点，基础题型和中等难度题型均可能出现；同时也会和数轴一起作为压轴题进行考查； 有理数的大小比较 能用不同的方法进行有理数的大小比较 基础必考点，一般在解答题中会有一道题与数轴一起考查有理数的大小比较 有理数的加法法则 能正确地进行有理数的加法运算 基础必考点，是考试的基础题型 有理数加法运算律 能熟练运用加法的运算律 基础必考点，常出现在小题 有理数的减法法则 掌握有理数的减法法则 基础必考点，常出现在计算题，注意符号 有理数加减混合运算 熟练运用加减法法则进行运算 高频考点，经常在计算题考查 有理数乘法法则 能正确进行有理数的乘法运算 基础考点，常出现在小题 有理数乘法运算律 能熟练运用乘法的运算律 基础必考点，是考试的基础题型 倒数 掌握倒数的概念，学会倒数的运算 高频易错点，常忘记倒数的符号 有理数除法法则 能正确进行有理数的除法运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数乘方运算 能正确进行有理数的乘方运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数四则运算的实际应用 准确找出数量关系并计算出结果，同时要注意答案符合实际情况 高频考点，经常出现在大题 程序流程图与有理数计算 掌握程序流程图计算的规律 期末常考点，常出现在小题中 知识点01 正数与负数 概念：为了表示具有相反意义的量（如盈亏、升降、冷暖），我们引入了正数和负数。 法则： 0 既不是正数，也不是负数。 正数前的 “+” 号可省略。 示例：收入500元记作 +500元，支出200元记作 -200元。 易错点：认为 0 是正数，或者在具体情境中无法准确用正负数表示相反意义的量。 知识点02 具有相反意义的量 概念：具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. 注意：当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 知识点03 有理数的概念与分类 概念：我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 有理数的分类 注意：有理数的分类原则 1 标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； 2 分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； 3 分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 知识点04 数轴 概念：数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 注意：所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 知识点05 绝对值 概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作|a|，读作“a的绝对值”. 绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有|a|≥0. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 知识点06 相反数 概念：相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. 相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. 相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 注意：（1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 知识点07 有理数的大小比较 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 知识点08 有理数加法法则与运算律 法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 注意：有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 知识点09 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，a-b=a+(-b) 知识点10 有理数乘法法则与运算律 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 知识点11 倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. 知识点12 有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 知识点13 有理数乘除混合运算 有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 知识点14 有理数的乘方运算 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 注意： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 题型一 正数和负数 解｜题｜技｜巧 记住大于0的是正数，小于0的是负数，0既不是正数也不是负数； 【典例1】下列各式中，结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】下列叙述中，数学关系正确的有（　　） 不是正数也不是负数；正数都不小于；负数都不大于；负数小于；正数大于； 大于的数一定是正数；小于的数一定是负数． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵式、横式两种（如图所示），记数规则：个位、百位、万位上的数字用纵式表示；十位、千位上的数字用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．657 B．6057 C． D． 【变式2】某品牌桶装饮用水的净含量标注为．根据《定量包装商品计量监督管理办法》规定，的饮用水净含量允许偏差范围为．如果一桶饮用水的实际净含量是，记为，则当一桶饮用水的实际净含量是时，则记为 ． 【变式3】国庆黄金周到来之际，小明欲到美丽的“兰茂故里”嵩明开启一段美妙旅行！为更好地规划行程，临行前特意查找了该地区一周内（月1日至月7日）每日的平均气温情况；若以为标准，超过或不足的气温度数分别用正数、负数来表示，记录如下： 日期 月1日 月2日 月3日 月4日 月5日 月6日 月7日 日平均气温（℃） 0 (1)求这一周内的最高气温与最低气温相差多少摄氏度？ (2)求这一周内的平均气温是多少摄氏度？ (3)若小明希望气温在以上时进行户外活动，那么这一周中有几天适合户外活动？请说明理由． 题型二 有理数的概念与分类 解｜题｜技｜巧 有理数的分类里记住三种类型： 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数， 【典例1】现有一组数：，，，10，，6，，． (1)请将各数分别填入相应的集合内． 分数集合：{                  …}． 正整数集合：{                  …}． 负整数集合：{                …}． (2)将（1）中三类数的集合合并在一起________全体有理数集合．（填“是”或“不是”） 【典例2】把下列各数填入相应的大括号内： ，，，，，，，， 有理数集合 分数集合 非负整数集合 【变式1】在下列各数，，，0，，…(每两个3之间依次增加一个2)，中，有理数有(    ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】在，，1，0，，，，，23，中， 整数是 ； 正有理数是 ； 负有理数是 ． 【变式3】把下列各数填入相应的括号内： ，，，0，，，，，， 正数集： 整数集： 负分数集： 有理数集： 题型三 数轴的三要素及其画法 解｜题｜技｜巧 数轴三要素：原点、单位长度、正方向。 【典例1】在下图中，表示数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】下列关于数轴的说法正确的是（    ） A．规定直线上向左的方向为正方向 B．所有数轴上的单位长度一定相等 C．数轴上的原点两边的点可以表示同一个数 D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 【变式1】如图，下列表示的数轴正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．    其中正确的是(    ) A．①②③④ B．②④ C．③④ D．②③④ 【变式3】画出数轴，并在数轴上把下列各数表示出来：． 题型四 数轴上两点之间的距离 解｜题｜技｜巧 数轴上两点之间的距离，一般只用右边对应的数（符号也可）减去左边对应的数；若分不清两点谁在左在右，可以通过加绝对值进行分类讨论； 【典例1】已知数轴上的点表示的数为，若点与点的距离为5个单位长度，则点表示的数是（   ） A．6 B． C．4 D．4或 【典例2】如图，点B，C，A是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，c，3．小肖同学用尺子测得点A和点C之间的距离为，点A和点B之间的距离为，则数轴上点C所对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式1】如图，嘉嘉借助直尺画了一条数轴，表示的点与0刻度线对齐，原点与的刻度线对齐，若点与的刻度线对齐，那么点表示的数是（   ） A． B．4 C．6 D． 【变式2】如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合．将圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是 ． 【变式3】已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为． (1)求A、B两点间的距离； (2)若点C在点A的左侧，且，求点C表示的数； (3)若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，经过多少秒后，P、Q两点相遇？ 题型五 数轴上点的平移 解｜题｜技｜巧 数轴上点的平移牢记：若向右平移，即点所对应的数字加上移动的距离，就等于平移后点所对应的数字；向左平移则减去即可； 【典例1】点在数轴上表示的数是，将点沿数轴移动5个单位长度后得到点，则点所表示的数是（   ） A．4 B． C．4或 D．4或 【典例2】数轴上动点P从点A先向左移动1个单位长度，再向右移动4个单位长度到达点B，若点B表示的数是1，则点A表示的数是（） A．1 B． C．2 D．3 【变式1】为数轴上表示的点，将点移动个单位长度到点，则点所表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】数轴上点A表示的数是6，点B表示的数是，若点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向负半轴移动，同时，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正半轴移动，当移动4秒时停止，则点A与点B之间的距离为 ． 【变式3】李老师善于通过知识迁移，对问题进行拓展探究，培养同学们用数学的思维思考现实世界的能力．下面李老师在“数轴的实际应用”主题下设计的问题，请你解答． (1)知识回顾 如图1，数轴上有一个表示数的点，已知点在数轴上向右移动3个单位长度后表示的数是5，那么的值是________； (2)探究迁移 如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两端，分别落在A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：）．利用所学知识求出点、点所表示的数及木尺的长； 题型六 相反数 解｜题｜技｜巧 牢记相反数的性质，互为相反数的两个数和为0； 【典例1】下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【典例2】如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，已知a，b互为相反数，则表示这两个数的点在数轴上的位置不可能落在（ ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【变式1】老师在黑板上板书“”这个等式，然后同学们在小组内相互分享自己的想法？下面是某小组四位同学A、B、C、D分享的内容，你认为最合理是（    ） A．我认为，所以 B．我认为是负数，是正数，正负相消才有等于0的情况 C．我认为他们和为0，所以，，即，在数轴原点两侧 D．我认为，，为任何数时，他们都是相反数 【变式2】数轴上点A表示的数是3，B、C两点表示的数互为相反数，点B在点A的右边且到点A的距离是2个单位长度，则点C表示的数是 ． 【变式3】如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点、单位长度为1的数轴上． (1)若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为 ，点D表示的数为 ； (2)若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为 ，点A表示的数为 ； (3)若点A和点D表示的数互为相反数，在数轴上标出原点O的位置，并找出图中另一对表示相反数的点． 题型七 绝对值非负性 解｜题｜技｜巧 绝对值的非负性要注意： （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 【典例1】下列语句正确的是（   ） A．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等； B．有理数的绝对值一定是正数； C．有理数的绝对值一定是非负的； D．如果两个数的绝对值相等，这两个数互为相反数； 【典例2】若k为任意有理数，算式存在最大值，则这个最大值是（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【变式1】如果，那么的值为 ． 【变式2】已知，则 ． 【变式3】已知，求式子的值． 题型八 绝对值的几何意义 解｜题｜技｜巧 绝对值的几何意义，主要是考查绝对值与数轴结合的题型，难度较大，主要在于理解绝对值的几何意义，在基本概念的基础上进行拓展： 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 【典例1】数轴上有一点P从原点出发向正方向移动3个单位恰好与点重合，此时数轴上的点与点的距离是6个单位长度，则点表示的数是（   ） A．9 B． C．或9 D．或0 【典例2】大家知道，的几何意义是数轴上表示数的点和原点之间的距离，同理的几何意义是数轴上表示数的点和表示数2的点之间的距离等于1，利用此结论，写出的几何意义为 ． 【变式1】我们知道，的几何意义为数轴上表示数的点和原点之间的距离，同理的几何意义为数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．利用此结论，符合的整数的个数是 ． 【变式2】数轴上点的位置如图所示，点表示的数是的相反数． (1)点表示的数是________________，点表示的数是_______________； (2)请在数轴上标出点的位置； (3)如果该数轴上点与点之间的距离是2，那么点表示的数是______________． 【变式3】定义 若数轴上的点、分别表示数、，简记为A：a、B：b，则、两点之间的距离可表示为． 理解 (1)数轴上表示数和5的两点之间的距离是 （用含的代数式表示）； (2)若，则的值为 ； (3)若，求的值？ 题型九 有理数的大小比较 解｜题｜技｜巧 先画出数轴，记住正数大于0，负数小于0；然后看数轴上点的位置，右边的点所代表的数大于左边的点代表的数； 【典例1】在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． 【典例2】有下列各数，，0，4，，．请画出数轴，并用数轴上的点表示这些数且用“”按从小到大的顺序连接． 【变式1】用“”或“”填空： 5； ； ． 【变式2】已知有理数：，，0，，． (1)______；______． (2)在图中的数轴上表示上述有理数； (3)将上述有理数按照从大到小顺序用“”排列：______． (4)与之间的距离为______个单位长度； 【变式3】如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是______； (2)在数轴上表示下列各数，并用“<”号把这些数按从小到大连接起来： 2.5，，，． 题型十 有理数的加减法运算 解｜题｜技｜巧 熟悉有理数加减法运算的法则，注意计算时符号的问题； 【典例1】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式2】计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【变式3】计算： (1)； (2)． 题型十一 有理数加减中的简便运算 解｜题｜技｜巧 1、相反数结合；2、凑整结合；3、正、负分别结合；4、同分母结合；5、倒数结合 【典例1】计算：． 【典例2】计算： 【变式1】对于可以如下计算： 解：原式 ___________ ___________ ___________ 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算： 【变式2】数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫作拆项法．请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十二 有理数的乘除法运算 解｜题｜技｜巧 1、 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2、 2、要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 【典例1】阅读下面的解题过程并解决问题：计算：． 解：原式…① …② …③ (1)上述的解题步骤从第__________步开始错误； (2)请写出这个计算题正确的解题步骤． 【典例2】计算：． 【变式1】计算：． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】有个填写运算符号的游戏：在“1367”中的每个内，填入“+，，×，÷”中的某一个（可重复使用），然后计算结果． (1)计算：； (2)若，请推算内的符号； (3)在“”的内填入运算符号后，使计算结果为，直接写出一个满足条件的算式． 题型十三 有理数四则混合运算 解｜题｜技｜巧 1、先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2、同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3、如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【典例1】计算： (1)； (2)； 【典例2】计算：． 【变式1】阅读计算：． 解：原式① ② ③ (1)上面计算过程中有错误，请写出开始出现错误步骤的序号___________； (2)请写出这个计算题的正确解题过程． 【变式2】项目式学习 项目背景 在有理数除法运算中，当除数是一个复杂的多项式时，直接计算比较繁琐，可先求原式的倒数，再利用乘法分配律简化计算，最后取倒数得到结果． 学习目标 理解“倒数法”在有理数除法中的原理；熟练运用乘法分配律进行有理数乘法运算． 材料阅读 计算：． 解：原式的倒数： 故原式． 任务解决 用倒数法计算：． 【变式3】计算： (1)． (2)． 题型十四 有理数四则混合运算的实际应用 【典例1】浙篮球比赛正在火热进行中，每场比赛一支球队上场名运动员，若每个人的身高以厘米为基准，实际身高超过基准的厘米数记为正数，不足基准的厘米数记为负数，并将其称为身高波动值，记录如表： 运动员 ① ② ③ ④ ⑤ 身高波动值（） (1)身高最高的运动员比最低的运动员高多少厘米？ (2)求这名运动员的平均身高． 【典例2】科技改变世界．快递分拣机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库9月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期________，最少的一天是星期______，最多的一天比最少的一天多分拣_______万件包裹； (2)该仓库本周实际一共分拣多少万件包裹？ 【变式1】“代驾”是当车主不能自行开车到达目的地时，由专业驾驶人员驾驶车主的车将其送至指定地点并收取一定费用的行为．某平台日常代驾计费标准如下表： 时间 7千米及以内 超过7千米的部分 45元 元/千米 次日 68元 元/千米 说明：行驶里程不足1千米，按1千米计算． 2025年10月1日至今，王叔叔共在该平台预约了两次代驾服务． (1)第一次是10月3日，这次代驾服务共行驶了17千米，需要支付多少元代驾费？ (2)第二次是10月8日，服务结束后王叔叔共支付了元代驾费．这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 【变式2】某空军举行特技飞行表演，其中一架飞机起飞上升后的四个动作表演高度变化如下表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 ________km 下降 ________km (1)将表格补充完整； (2)飞机完成上述四个动作表演后，其高度是多少？ (3)如果飞机平均每上升需消耗燃油，平均每下降需消耗燃油，那么这架飞机在起飞上升后的四个动作表演过程中，一共消耗了多少燃油？（直接写出答案） 【变式3】电动车厂计划每天平均生产200辆电动车（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正、少于计划产量记为负）． 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 实际生产量 (1)求本周五天生产电动车的总数． (2)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得200元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖55元；少生产一辆扣60元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 题型十五 有理数的乘方运算 解｜题｜技｜巧 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 【典例1】计算： 【典例2】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： 【变式2】计算：． 【变式3】计算：． 题型十六 有理数的新定义运算 【典例1】已知表示不大于的最大整数，如：．现定义：，如：，则计算的结果为（   ） A．0.7 B．1.9 C．2.9 D．3.1 【典例2】用“”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，．例如：．则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1】定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，例如：，，则 ． 【变式2】对任意两个非零有理数、定义运算“”如下：，例如，那么的值为 ． 【变式3】给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为．如：，，那么数对，都是“共生有理数对”． (1)判断下列题目．正确的打“√”，错误的打“×”： ①数对是“共生有理数对”；（    ） ②数对是“共生有理数对”．（    ） (2)请再写出一对符合条件的“共生有理数对”，并写出理由（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）． 题型十七 程序流程图与有理数运算 【典例1】有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是（   ） A． B．3 C． D． 【典例2】按如图所示的运算程序运算，若开始输入的值为，则最终输出的结果是． A． B．12 C．11 D．10 【变式1】如图所示是计算机程序计算，当输入的数为时，则输出的结果 ． 【变式2】小丽设计了一种简单的密码规则：将英文字母依次对应数字，加密方法：将一个字母对应的数字通过某种规定的运算程序化为对应的密文数字．运算程序如图所示，例如：字母对应数字1，通过运算程序后的密文是3，密文3对应字母．如果密文，那么它是由字母 加密得到的． 【变式3】下图是一个流程图． (1)已知输入的的值为，求出最后输出结果； (2)已知输入的的值为，求出最后输出结果． 题型十八 算24点 【典例1】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】现有四个有理数3，4，，10，将这4个数（每个数要用且只用一次）进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，例如：；请你写出不同的算式 ． 【变式2】有一种“24点”游戏，从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，将牌面上的数字进行运算（可使用加、减、乘、除、乘方或括号），每个数用且只用一次，使其结果为24．若抽取牌面数字为，，2，3，请写出一种运算等式： ． 【变式3】有一种“二十四点”游戏，其规则：任取4个有理数，把它们进行加、减、乘、除四则运算（每个数用且只能用一次），可以用括号，使其结果为24，如1，2，3，4，可作运算． (1)有理数4，5，7，8，你能算出24吗？ (2)有理数4，5，，，你能算出24吗？ (3)有理数3，，7，中，把它们算出24． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）若，则n的值为（   ） A．3 B．5 C．6 D．12 2．（25-26七年级上·河北唐山·期中）某粮店出售的两种品牌的面粉，袋上分别标有质量为和的字样，从中任意购买两袋不同品牌的面粉，它们的质量最多相差（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）生产图纸对每个产品的尺寸范围都有明确的规定．例如：图纸上注明一个零件的直径是（单位：）．现抽查测得四个这种零件的直径分别为：，，，．其中合格的零件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．由图可知，他一共捕到的鱼的数量为（   ） A．54 B．194 C．970 D．1234 5．（25-26七年级上·河北唐山·期中）比大而比小的所有整数之和为 ． 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）若，则 ． 7．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）现定义一种新运算“*”，规定，如，则 ． 8．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）已知数轴上，两点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离为4个单位长度．若点在点的左侧，则点表示的数是 ． 9．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 10．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）出租车司机蔡师傅某天下午的营运全是在东西走向的富泸公路上进行的．如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行走里程（单位：千米）如下： ，，，，，，，，，，． (1)蔡师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)蔡师傅这天下午共行驶多少千米？ (3)若每千米耗油升，则这天下午蔡师傅用了多少升油？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1），刻度尺上的“0”和“4”分别对应数轴上表示和有理数x的点，那么x的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（25-26七年级上·河北唐山·期中）对于有下列说法：①可以写成的形式；②底数是，指数是4；③计算结果为；④计算结果为，其中错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（25-26七年级上·河北唐山·期中）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一．例如：（规定：任何不等于0的数的0次幂都是1）；计算机常用二进制表示字符代码，它是用0和1两个数字来表示数．满二进一．例如：把二进制数10101转换为十进制的数为．则把二进制数11010转换为十进制的数为（   ） A．26 B．27 C．28 D．29 14．（25-26七年级上·河北衡水·期中）在，，0，4这四个数中，任意选两个数相除，所得的商最小是，最大是，则和的乘积为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如果点表示的数是，那么数轴上与点的距离为的点表示的数是 ． 16．（25-26七年级上·河北衡水·期中）武安拽面是邯郸市武安市的特色面食，人选武安市非物质文化遗产名录．制作时用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细面条，如图所示．这样捏合到第6次后拉成 根细面条． 17．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．若以C为原点，点A对应的数为 ，计算 ． 18．（23-24七年级下·河北保定·期中）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2055年为农历 年． 19．（25-26七年级上·河北衡水·期中）现有一组数据：，，3.5，0，2，． (1)在下面的数轴上表示这6个数； (2)把这6个数按从大到小的顺序排列，用“”号连接起来； (3)把这6个数分别填入它们属于的集合内： 20．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上从左到右有点A、B、C、D，其中点为原点，A、D所对应的数分别为、1，点为的中点． (1)直接写出点所表示的数为__________，并在图中标出点B、C的位置； (2)若在数轴上另取一点，点在点的左边，且B、E两点间的距离是4，则点对应的数为__________，则A、E两点对应的两数之和为__________． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图，在一条可以折叠的数轴上，点、、表示的数分别是，，．以点为折点，将此数轴向右对折．若点与点重合，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．1012 22．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点的位置，则点表示的数是（    ） A． B． C． D．或 23．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）为了求的值，可令，则，因此所以，仿照以上推理，计算（   ） A． B． C． D． 24．小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为（　　）    A．或 B．或 C．或 D．或 25．（25-26七年级上·河北衡水·期中）法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了，下面是用法国“小九九”计算和的两个示例，且左手伸出的手指数不大于右手伸出的手指数，若用法国的“小九九”计算，左、右手未伸出手指的总个数是 ．   因为两手伸出的手指数的和为5，未伸出的手指数的积为6，所以，．       因为两手伸出的手指数的和为7，未伸出的手指数的积为2，所以，． 26．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则记为，例如，则． （1）根据上述规定，直接写出 ． （2）若，，则 ． 27．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）嘉淇在写作业的时候，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图所示的数据，则墨迹遮盖的整数中满足绝对值大于并且小于等于的整数有 个． 28．（24-25七年级上·河北保定·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第次翻转后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是 ． 29．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）某科技公司原计划每天生产300个电脑切片，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产切片_________个？ (2)根据记录的数据可知该公司本周生产切片多少个？ (3)该公司实行每周计件核算工资制，每生产一个切片可得50元，若超额完成任务，则超过部分，每多一个另奖10元；少一个扣5元，那么该公司这一周的工资总额是多少？ 30．（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图，数轴上从左至右有，，，四个点．分别表示有理数，，，，点和点之间的距离为20个单位长度，且，互为相反数，． (1) ， ， ； (2)数轴上的动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点运动，设运动时间为秒．当点运动到点时，点从点出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴在点和点之间往返运动，当点运动到点时，点的运动停止． ①求为何值时，点与点第一次相遇； ②求点一共运动了多少个单位长度，并求点停止运动时在数轴上所表示的有理数； ③直接写出点，前两次相遇间隔的时长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在选择题中 有理数的分类 能根据有理数的概念区分有理数的分类 高频易错点，在对数字进行分类时忽略不循环小数和π 数轴 可以在数轴上表示有理数，并且能够利用数轴表示两点距离，同时能够解决动点问题 期末必考点，各题型均有可能出现；用数轴表示有理数、数轴上两点之间的距离表示和数轴比较大小是常考点；而数轴的动点问题则是作为压轴题来进行考查 相反数 重点掌握相反数的概念和性质，互为相反数的两个数和为0； 期末常考点，一般会和其他知识点混合一起考查，难度不大； 绝对值 能根据绝对值的概念与性质求解 期末必考点，基础题型和中等难度题型均可能出现；同时也会和数轴一起作为压轴题进行考查； 有理数的大小比较 能用不同的方法进行有理数的大小比较 基础必考点，一般在解答题中会有一道题与数轴一起考查有理数的大小比较 有理数的加法法则 能正确地进行有理数的加法运算 基础必考点，是考试的基础题型 有理数加法运算律 能熟练运用加法的运算律 基础必考点，常出现在小题 有理数的减法法则 掌握有理数的减法法则 基础必考点，常出现在计算题，注意符号 有理数加减混合运算 熟练运用加减法法则进行运算 高频考点，经常在计算题考查 有理数乘法法则 能正确进行有理数的乘法运算 基础考点，常出现在小题 有理数乘法运算律 能熟练运用乘法的运算律 基础必考点，是考试的基础题型 倒数 掌握倒数的概念，学会倒数的运算 高频易错点，常忘记倒数的符号 有理数除法法则 能正确进行有理数的除法运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数乘方运算 能正确进行有理数的乘方运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数四则运算的实际应用 准确找出数量关系并计算出结果，同时要注意答案符合实际情况 高频考点，经常出现在大题 程序流程图与有理数计算 掌握程序流程图计算的规律 期末常考点，常出现在小题中 知识点01 正数与负数 概念：为了表示具有相反意义的量（如盈亏、升降、冷暖），我们引入了正数和负数。 法则： 0 既不是正数，也不是负数。 正数前的 “+” 号可省略。 示例：收入500元记作 +500元，支出200元记作 -200元。 易错点：认为 0 是正数，或者在具体情境中无法准确用正负数表示相反意义的量。 知识点02 具有相反意义的量 概念：具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. 注意：当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 知识点03 有理数的概念与分类 概念：我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 有理数的分类 注意：有理数的分类原则 1 标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； 2 分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； 3 分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 知识点04 数轴 概念：数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 注意：所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 知识点05 绝对值 概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作|a|，读作“a的绝对值”. 绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有|a|≥0. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 知识点06 相反数 概念：相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. 相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. 相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 注意：（1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 知识点07 有理数的大小比较 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 知识点08 有理数加法法则与运算律 法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 注意：有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 知识点09 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，a-b=a+(-b) 知识点10 有理数乘法法则与运算律 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 知识点11 倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. 知识点12 有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 知识点13 有理数乘除混合运算 有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 知识点14 有理数的乘方运算 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 注意： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 题型一 正数和负数 解｜题｜技｜巧 记住大于0的是正数，小于0的是负数，0既不是正数也不是负数； 【典例1】下列各式中，结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的定义，通过计算每个表达式的值，判断其正负性，即可； 【详解】解：对于选项A：∵ ，∴ 不是负数； 对于选项B：∵ ，∴ 不是负数； 对于选项C：∵ ，∴ ，∴ 是负数； 对于选项D：∵ ，∴ 不是负数； 故选：C 【典例2】下列叙述中，数学关系正确的有（　　） 不是正数也不是负数；正数都不小于；负数都不大于；负数小于；正数大于； 大于的数一定是正数；小于的数一定是负数． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了正数，负数，，根据正数，负数，定义逐一排除即可，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：是正数，原叙述错误； 不小于0的数有正数和0，0既不是正数也不是负数，原叙述错误； 不大于0的数有负数和0，0既不是正数也不是负数，原叙述错误； 负数小于，原叙述正确； 正数大于，原叙述正确； 大于的数一定是正数，原叙述正确； 小于的数一定是负数，原叙述正确； 综上可得：正确，共个， 故选：． 【变式1】我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵式、横式两种（如图所示），记数规则：个位、百位、万位上的数字用纵式表示；十位、千位上的数字用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．657 B．6057 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数，根据算筹记数的规则即可求解． 【详解】解：个位上的数上有斜线， 这个数是负数， 是横式，不能表示百位数， 表示千位上的数，百位上的数为0， 根据算筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为． 故选D． 【变式2】某品牌桶装饮用水的净含量标注为．根据《定量包装商品计量监督管理办法》规定，的饮用水净含量允许偏差范围为．如果一桶饮用水的实际净含量是，记为，则当一桶饮用水的实际净含量是时，则记为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反意义的量．根据一桶饮用水的实际净含量是，记为，解答即可． 【详解】解：一桶饮用水的实际净含量是，记为， ∴当一桶饮用水的实际净含量是时，记为． 故答案为： 【变式3】国庆黄金周到来之际，小明欲到美丽的“兰茂故里”嵩明开启一段美妙旅行！为更好地规划行程，临行前特意查找了该地区一周内（月1日至月7日）每日的平均气温情况；若以为标准，超过或不足的气温度数分别用正数、负数来表示，记录如下： 日期 月1日 月2日 月3日 月4日 月5日 月6日 月7日 日平均气温（℃） 0 (1)求这一周内的最高气温与最低气温相差多少摄氏度？ (2)求这一周内的平均气温是多少摄氏度？ (3)若小明希望气温在以上时进行户外活动，那么这一周中有几天适合户外活动？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)3天 【分析】本题主要考查正负数的实际应用、平均数的计算以及不等式的简单应用．根据记录值与标准温度的关系，计算实际温度，进而求解最高与最低温差、平均温度以及适合户外活动的天数． （1）根据正负数的意义判断出月5日气温最高，月7日气温最低，然后列式计算即可得解； （2）准确将每日记录值转换为实际气温（实际值记录值），再用平均数公式计算七日平均值； （3）明确“以上”的标准（），从转换后的气温数据中筛选符合条件的日期数量． 【详解】（1）解：由题意得，月5日平均气温最高，当日平均气温为（）， 月7日平均气温最低，当日平均气温为（）， ∴这一周内的最高气温与最低气温相差（）． 故答案为：； （2）解：月1日平均气温为（）， 月2日平均气温为（）， 月3日平均气温为（）， 月4日平均气温为（）， 月5日平均气温为（）， 月6日平均气温为， 月7日平均气温为（）， ∴这一周内的平均气温是（）． 故答案为； （3）解：由（2）可知，10月3日、10月4日和10月5日的气温分别为、和，均在以上，适合户外活动 故这一周中有3天适合户外活动． 题型二 有理数的概念与分类 解｜题｜技｜巧 有理数的分类里记住三种类型： 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数， 【典例1】现有一组数：，，，10，，6，，． (1)请将各数分别填入相应的集合内． 分数集合：{                  …}． 正整数集合：{                  …}． 负整数集合：{                …}． (2)将（1）中三类数的集合合并在一起________全体有理数集合．（填“是”或“不是”） 【答案】(1)分数集合：{，，，，…}；正整数集合：{10， 6，…}；负整数集合：{， ，… } (2)不是 【分析】本题主要考查了有理数分类，熟练掌握有理数定义，是解题的关键． （1）根据分数，正整数，负整数定义进行求解即可； （2）根据整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，进行求解即可． 【详解】（1）解：分数集合：{，，，，…}； 正整数集合：{10， 6，…}； 负整数集合：{，，… }． （2）解：分数集合、正整数集合、负整数集合都不包括0，故将（1）中三类数的集合合并在一起不是全体有理数集合． 【典例2】把下列各数填入相应的大括号内： ，，，，，，，， 有理数集合 分数集合 非负整数集合 【答案】 有理数集合： 分数集合： 非负整数集合： 【分析】根据有理数，分数，非负整数的定义可得出答案．本题主要考查了实数的定义和分类，实数包括有理数和无理数；有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数；非负整数包括正整数和0，分数分为正分数和负分数；熟练掌握有理数、分数和非负整数的定义是解题的关键． 【详解】解：有理数包括整数和分数，即，，，，，，，； 分数分为正分数和负分数，即，，，，； 非负整数包括正整数和0，即，． 【变式1】在下列各数，，，0，，…(每两个3之间依次增加一个2)，中，有理数有(    ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的概念，解题的关键是依据“有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，包括有限小数、无限循环小数”区分有理数与无理数． 逐一判断各数是否符合有理数的定义，统计其个数． 【详解】解：根据有理数的定义 是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数； 是整数，是有理数； 含（无理数），是无理数； …（每两个3之间依次增加一个2）是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，是有理数． 有理数共5个． 故选：C． 【变式2】在，，1，0，，，，，23，中， 整数是 ； 正有理数是 ； 负有理数是 ． 【答案】 ，1，0，23 ，1，，，23 ，， 【分析】本题考查了整数、正有理数、负有理数的概念，解题的关键是明确各数集的定义，区分有理数与无理数． 依据整数（正整数、0、负整数）、正有理数（正的整数、分数、有限/无限循环小数）、负有理数（负的整数、分数、有限/无限循环小数）的定义，逐一筛选所给数． 【详解】解：①整数是：； ②正有理数是：； ③负有理数是：． 故答案为：①；②；③． 【变式3】把下列各数填入相应的括号内： ，，，0，，，，，， 正数集： 整数集： 负分数集： 有理数集： 【答案】正数集：3，，，，； 整数集：，，，； 负分数集：，； 有理数集：，，，，，，，， 【分析】本题考查了有理数的分类，有理数的乘方运算，化简绝对值与多重符号，熟练掌握正数、整数、负分数，有理数的定义是解题的关键；根据有理数的分类填空，即可求解． 【详解】解：，， 正数集：{3，，，，}； 整数集：{，，，}； 负分数集：{，}； 有理数集：{，，，，，，，，} 题型三 数轴的三要素及其画法 解｜题｜技｜巧 数轴三要素：原点、单位长度、正方向。 【典例1】在下图中，表示数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的定义及特点，即规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，数轴上右边的数总比左边的大，据此对选项进行逐一判断． 【详解】解：A、因为，所以应在的右边，故不符合题意； B、单位长度不一致，故不符合题意； C、没有正方向，故不符合题意； D、符合数轴的定义，故符合题意． 故选：D． 【典例2】下列关于数轴的说法正确的是（    ） A．规定直线上向左的方向为正方向 B．所有数轴上的单位长度一定相等 C．数轴上的原点两边的点可以表示同一个数 D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 【答案】D 【分析】本题考查数轴，明确数轴的概念和三要素是关键．根据数轴的概念和三要素逐一分析即可． 【详解】解：A、规定直线上向右为正方向，故本选项错误，不符合题意； B、同一数轴上的单位长度一定相等，故本选项错误，不符合题意； C、数轴上的原点两边的点不可以表示同一个数，故本选项错误，不符合题意； D、数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线，故本选项正确，符合题意， 故选：D． 【变式1】如图，下列表示的数轴正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴的定义．根据数轴的三要素即可得出答案． 【详解】解：A选项单位长度不一致，本选项不符合题意； B选项符合数轴的定义，本选项符合题意； C选项没有正方向，本选项不符合题意； D选项负数不是从小到大排列，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．    其中正确的是(    ) A．①②③④ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的定义，数轴上的点和有理数的对应关系，①考查数轴三要素：原点，正方向，单位长度．②④数轴上的点和有理数的对应关系．③π不是有理数． 【详解】解：数轴三要素：原点，正方向，单位长度，①错误． 每个有理数都能用数轴上一个点表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一个点，②④正确． 不是有理数，且可以在数轴上表示出来，③错误． 故选：B． 【变式3】画出数轴，并在数轴上把下列各数表示出来：． 【答案】见解析 【分析】根据数轴三要素画出数轴，然后根据数轴特点将各数表示出来即可． 【详解】解：如图： 【点睛】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，熟练掌握数轴的画法和特点是解题的关键． 题型四 数轴上两点之间的距离 解｜题｜技｜巧 数轴上两点之间的距离，一般只用右边对应的数（符号也可）减去左边对应的数；若分不清两点谁在左在右，可以通过加绝对值进行分类讨论； 【典例1】已知数轴上的点表示的数为，若点与点的距离为5个单位长度，则点表示的数是（   ） A．6 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上两点的距离．根据两点间的距离公式，分点在点的左侧和右侧两种情况，列式计算即可． 【详解】解：当点在点的左侧时，点表示的数是； 当点在点的右侧时，点表示的数是； 故选：D． 【典例2】如图，点B，C，A是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，c，3．小肖同学用尺子测得点A和点C之间的距离为，点A和点B之间的距离为，则数轴上点C所对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，由题意得一个单位长度表示，据此即可求解 【详解】解：∵点B，A分别对应的数为，3，点A和点B之间的距离为， ∴一个单位长度表示； ∵点A和点C之间的距离为， ∴点A和点C距离两个单位长度； ∴； 故选：C 【变式1】如图，嘉嘉借助直尺画了一条数轴，表示的点与0刻度线对齐，原点与的刻度线对齐，若点与的刻度线对齐，那么点表示的数是（   ） A． B．4 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴的概念，关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【详解】解：表示的点与0刻度线对齐，原点与的刻度线对齐， 数轴的单位长度是， 原点对应的刻度 数轴上与刻度线对齐的点表示的数是． 故选： B． 【变式2】如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合．将圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上的两点距离计算，求出圆的周长，可得该圆沿着数轴滚动一周，滚动的距离，向右滚动时，用点A表示的数加上滚动的距离即为点B表示的数，向左滚动时，用点A表示的数减去滚动的距离即为点B表示的数，据此求解即可． 【详解】解：∵该圆的直径为1个单位长度， ∴该圆的周长为， ∴该圆沿着数轴滚动一周，滚动的距离为， ∴当向左滚动时，点B表示的数为， 当向右滚动时，点B表示的数为， 综上所述，点B表示的数为或， 故答案为：或． 【变式3】已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为． (1)求A、B两点间的距离； (2)若点C在点A的左侧，且，求点C表示的数； (3)若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，经过多少秒后，P、Q两点相遇？ 【答案】(1)10 (2) (3)2秒 【分析】此题考查数轴上点之间的距离． （1）由数轴上点之间的距离即可解答； （2）由数轴上点之间的距离即可解答； （3）根据路程公式即可解答． 【详解】（1）解：， 则A、B两点间的距离为； （2）解：点C在点A的左侧，且， 点C表示的数为； （3）解：（秒）， 故经过秒后，P、Q两点相遇． 题型五 数轴上点的平移 解｜题｜技｜巧 数轴上点的平移牢记：若向右平移，即点所对应的数字加上移动的距离，就等于平移后点所对应的数字；向左平移则减去即可； 【典例1】点在数轴上表示的数是，将点沿数轴移动5个单位长度后得到点，则点所表示的数是（   ） A．4 B． C．4或 D．4或 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，理解题意，分两种情况分析是解题关键． 点A在数轴上移动5个单位长度，方向不确定，可能向左或向右，因此点B有两个可能的值，即可求解． 【详解】解：∵点A表示的数是， ∵沿数轴移动5个单位长度，方向不确定， ∴可能向右移动：B所表示的数是， 或向左移动：B所表示的数是， ∴点B表示的数是4或， 故选：C． 【典例2】数轴上动点P从点A先向左移动1个单位长度，再向右移动4个单位长度到达点B，若点B表示的数是1，则点A表示的数是（） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． 通过逆向思维，从点B出发，按照相反方向移动相应的单位长度，即可求出点A表示的数． 【详解】解：点B表示的数是1， 动点P从点A先向左移动1个单位长度，再向右移动4个单位长度到达点B， 点A表示的数是． 故选：B． 【变式1】为数轴上表示的点，将点移动个单位长度到点，则点所表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，关键在于掌握数轴上的点平移时数的大小变化规律． 分为当点向左移动个单位长度和当点向右移动个单位长度，两种情况进行分析即可． 【详解】解：∵为数轴上表示的点，将点移动个单位长度到点， ∴当点向左移动个单位长度时，点为； 当点向右移动个单位长度时，点为． 故选：C． 【变式2】数轴上点A表示的数是6，点B表示的数是，若点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向负半轴移动，同时，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正半轴移动，当移动4秒时停止，则点A与点B之间的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查数轴上的动点、两点之间的距离，根据点A、B的运动方向和速度，可求得移动4秒后两点表示的数，进而可求解两点之间的距离． 【详解】解：根据题意，当移动4秒时停止，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴点A与点B之间的距离为， 故答案为：5． 【变式3】李老师善于通过知识迁移，对问题进行拓展探究，培养同学们用数学的思维思考现实世界的能力．下面李老师在“数轴的实际应用”主题下设计的问题，请你解答． (1)知识回顾 如图1，数轴上有一个表示数的点，已知点在数轴上向右移动3个单位长度后表示的数是5，那么的值是________； (2)探究迁移 如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两端，分别落在A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：）．利用所学知识求出点、点所表示的数及木尺的长； 【答案】(1) (2)点表示的数为，点表示的数为，木尺的长为． 【分析】本题考查了数轴上的动点，数轴上两点间的距离． （1）根据右加左减的规律求解即可； （2）由题意可知，点到的距离、的距离、点到的距离相等，可得木尺的长，从而可得点表示的数，点表示的数． 【详解】（1）解：∵点在数轴上向右移动个单位长度后表示的数是， ∴． 故答案为：． （2）解：由题意可知，点到的距离、的距离、点到的距离相等， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为． ∴点表示的数为，点表示的数为，木尺的长为． 题型六 相反数 解｜题｜技｜巧 牢记相反数的性质，互为相反数的两个数和为0； 【典例1】下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，求一个数的绝对值，互为相反数的两个数之和为零，因此需要计算每组数的值并检查是否满足这一条件． 【详解】解：对于选项A：∵， ∴两者均为5，和不为零，不互为相反数； 对于选项B：∵， ∴两数之和为0，互为相反数； 对于选项C：∵， ∴两者均为4，和不为零，不互为相反数； 对于选项D：∵， ∴两者均为，和不为零，不互为相反数． 故选：B． 【典例2】如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，已知a，b互为相反数，则表示这两个数的点在数轴上的位置不可能落在（ ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的性质，数轴，利用数形结合是解题的关键． 根据相反数的性质，数轴可知a，b位于原点两侧，据此即可求解． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴a，b位于原点两侧， ∴a，b在数轴上的位置不可能落在线段上． 故选：A． 【变式1】老师在黑板上板书“”这个等式，然后同学们在小组内相互分享自己的想法？下面是某小组四位同学A、B、C、D分享的内容，你认为最合理是（    ） A．我认为，所以 B．我认为是负数，是正数，正负相消才有等于0的情况 C．我认为他们和为0，所以，，即，在数轴原点两侧 D．我认为，，为任何数时，他们都是相反数 【答案】D 【分析】本题考查了相反数、绝对值，熟练掌握相反数的定义是解题关键．根据说明互为相反数，则可以是为正数、为负数；或为负数、为正数；或都等于0，根据绝对值可得，即在数轴上，表示的点到原点的距离与表示的点到原点的距离相等，可能在数轴原点两侧，也可能都是数轴原点，由此即可得出答案． 【详解】解：A、说明互为相反数，但不一定同时为0，则此项不合理，不符合题意； B、说明互为相反数，可以是为正数、为负数；或为负数、为正数；或都等于0，则此项不合理，不符合题意； C、可得，所以，即在数轴上，表示的点到原点的距离与表示的点到原点的距离相等，可能在数轴原点两侧，也可能都是数轴原点，则此项不合理，不符合题意； D、说明互为相反数，则此项合理，符合题意； 故选：D． 【变式2】数轴上点A表示的数是3，B、C两点表示的数互为相反数，点B在点A的右边且到点A的距离是2个单位长度，则点C表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴，绝对值，相反数，熟练掌握数轴、绝对值、相反数的定义是解题的关键，先根据点A的位置和点B与点A的位置关系求出点B表示的数，再根据点B和点C互为相反数的关系求出点C表示的数． 【详解】∵点A表示的数是3，点B在点A的右边且到点A的距离是2个单位长度， ∴点B表示的数为， ∵点B和点C表示的数互为相反数， ∴点C表示的数为， 故答案为：． 【变式3】如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点、单位长度为1的数轴上． (1)若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为 ，点D表示的数为 ； (2)若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为 ，点A表示的数为 ； (3)若点A和点D表示的数互为相反数，在数轴上标出原点O的位置，并找出图中另一对表示相反数的点． 【答案】(1)点；4 (2)点； (3)图见解析；点B和点C表示的数互为相反数 【分析】本题考查了相反数，数轴上的点表示有理数等知识，注意数形结合． （1）根据相反数即可求出原点，进而根据有理数在数轴上的表示即可求解； （2）根据相反数即可求出原点，进而根据有理数在数轴上的表示即可求解； （3）根据相反数即可求出原点，进而根据有理数在数轴上的表示结合相反数即可求解． 【详解】（1）解：若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为B，点D表示的数为4， 故答案为：点B；4； （2）解：若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为C，点A表示的数为， 故答案为：点C；； （3）解：如图所示： 点 B 和点 C表示的数互为相反数． 题型七 绝对值非负性 解｜题｜技｜巧 绝对值的非负性要注意： （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 【典例1】下列语句正确的是（   ） A．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等； B．有理数的绝对值一定是正数； C．有理数的绝对值一定是非负的； D．如果两个数的绝对值相等，这两个数互为相反数； 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，那么互为相反数的两个数的绝对值一定相等，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，原说法错误，不符合题意； B、有理数的绝对值不一定是正数，例如0的绝对值是0，但0不是正数，原说法错误，不符合题意； C、有理数的绝对值一定是非负的，原说法正确，符合题意； D、如果两个数的绝对值相等，这两个数相等或互为相反数，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【典例2】若k为任意有理数，算式存在最大值，则这个最大值是（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，准确计算是解题的关键． 根据可得，即可得到答案． 【详解】， ， ， 最大值为； 故选：． 【变式1】如果，那么的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，以及代数式的求值；根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零时，每个部分都为零，从而求出未知数的值，再代入代数式计算. 【详解】解：∵且 ≥ 0， ∴且 = 0， 即 且， 解得， ∴. 故答案为：5. 【变式2】已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 则， 故答案为：1． 【变式3】已知，求式子的值． 【答案】9 【分析】本题考查了绝对值的非负性，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 先根据绝对值的非负性求出的值，然后把求得的的值代入计算即可． 【详解】解：，，，． ，，． ，，． ，，， ． 题型八 绝对值的几何意义 解｜题｜技｜巧 绝对值的几何意义，主要是考查绝对值与数轴结合的题型，难度较大，主要在于理解绝对值的几何意义，在基本概念的基础上进行拓展： 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 【典例1】数轴上有一点P从原点出发向正方向移动3个单位恰好与点重合，此时数轴上的点与点的距离是6个单位长度，则点表示的数是（   ） A．9 B． C．或9 D．或0 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，绝对值的几何意义，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据数轴表示数的方法，点A的坐标由点P移动确定，点B与点A的距离为6，利用数轴上两点距离的几何意义求解． 【详解】解：∵点P从原点向正方向移动3个单位与点A重合， ∴点A表示的数为3， ∵点B与点A的距离是6个单位长度， ∴点B表示的数为或， 故选：C． 【典例2】大家知道，的几何意义是数轴上表示数的点和原点之间的距离，同理的几何意义是数轴上表示数的点和表示数2的点之间的距离等于1，利用此结论，写出的几何意义为 ． 【答案】数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离等于5 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，根据题干给出的的几何意义，类比解答即可． 【详解】解：∵的几何意义是数轴上表示数的点和表示数2的点之间的距离等于1， ∴的几何意义是数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离等于5， 故答案为：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离等于5． 【变式1】我们知道，的几何意义为数轴上表示数的点和原点之间的距离，同理的几何意义为数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．利用此结论，符合的整数的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值意义，由的意义是表示数轴上到表示和表示的点的距离之和是的点的坐标，据此可求解，熟练掌握相关的知识点，是解题的关键． 【详解】解：∵的意义是表示数轴上到表示和表示的点的距离之和是的点， ∴， ∴其中整数有，，，，，，共个， 故答案为：． 【变式2】数轴上点的位置如图所示，点表示的数是的相反数． (1)点表示的数是________________，点表示的数是_______________； (2)请在数轴上标出点的位置； (3)如果该数轴上点与点之间的距离是2，那么点表示的数是______________． 【答案】(1)，3 (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了数轴，相反数，两点间的距离，熟知数轴上的点所表示数的特征及相反数的定义是解题的关键． （1）根据所给数轴即可得到答案； （2）根据相反数的定义，确定点表示的数后在数轴上表示出来即可； （3）根据数轴上两点间的距离意义即可解决问题． 【详解】（1）解：根据数轴可知，点A表示的数是，点B表示的数是3， 故答案为：，3． （2）解：∵的相反数是， ∴点表示的数是， 数轴表示如下： ． （3）解：设点D表示的数为，点表示的数是， 根据题意，得， 故或， 解得或， 故答案为：或． 【变式3】定义 若数轴上的点、分别表示数、，简记为A：a、B：b，则、两点之间的距离可表示为． 理解 (1)数轴上表示数和5的两点之间的距离是 （用含的代数式表示）； (2)若，则的值为 ； (3)若，求的值？ 【答案】(1) (2)或 (3)或3 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，涉及绝对值的应用，解题的关键是理解绝对值的几何意义和两点间的距离公式． （1）由题意即可求解； （2）根据表示数轴上数x表示的点到表示的点的距离，根据这个距离为2即可求解； （3）表示数轴上数x表示的点到1表示的点的距离与到表示的点的距离的和为8，根据此意义考虑数x表示的点在表示的点的左边、在1表示的点的右边两种情况，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：表示数轴上数x表示的点到表示的点的距离为2，而数轴上到表示的点的距离为2的点有两个，这两个点表示的数分别为1与， 即或， 故答案为：或； （3）解：表示数轴上数x表示的点到1表示的点的距离与到表示的点的距离的和为8， 由于数轴上1表示的点与表示的点的距离， 当数轴上数x表示的点在表示的点的左边，且当时，有，满足题意； 当数轴上数x表示的点在1表示的点的右边，且当，有，满足题意； 综上，或． 题型九 有理数的大小比较 解｜题｜技｜巧 先画出数轴，记住正数大于0，负数小于0；然后看数轴上点的位置，右边的点所代表的数大于左边的点代表的数； 【典例1】在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． 【答案】图见解析， 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点．根据数轴上点的特点把各数表示在数轴上，并用“”连接即可． 【详解】解：，，，把各数表示在数轴上，如图所示： 用“”连接为：． 【典例2】有下列各数，，0，4，，．请画出数轴，并用数轴上的点表示这些数且用“”按从小到大的顺序连接． 【答案】画图见详解， 【分析】此题主要考查了在数轴上表示各数，有理数的比较大小，根据数轴上表示的各数，用“”把它们连接起来即可． 【详解】解：如图 ∴ 【变式1】用“”或“”填空： 5； ； ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数比较大小，根据正数大于零，零大于负数，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由此即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，且，， ∴；；． 故答案为：； ；． 【变式2】已知有理数：，，0，，． (1)______；______． (2)在图中的数轴上表示上述有理数； (3)将上述有理数按照从大到小顺序用“”排列：______． (4)与之间的距离为______个单位长度； 【答案】(1)3；2 (2)见解析 (3) (4)6 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，利用数轴进行有理数的大小比较，绝对值，化简多重符号，数轴上两点之间的距离． （1）根据绝对值和相反数的定义即可求解； （2）将化简后的数在数轴表示即可； （3）根据数轴上右边的数大于左边的数即可求解； （4）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解： ；， 故答案为：3；2； （2）解：数轴表示为： （3）解：由数轴可得 （4）解： ∴－4与之间的距离为个单位长度， 故答案为：． 【变式3】如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是______； (2)在数轴上表示下列各数，并用“<”号把这些数按从小到大连接起来： 2.5，，，． 【答案】(1)数轴见解析，2 (2)数轴表示见解析， 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简多重符号和求一个数的绝对值： （1）根据题意可得点A与原点的距离为5，那么从点A的位置向右数5格即为原点位置，据此画出原点，再求出点B表示的数即可； （2）先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】（1） 解：如图所示，点O即为原点， ∴点B所表示的数是2， 故答案为：2． （2）因为2.5，，，， 所以在数轴上表示为： ， 由数轴可知： 题型十 有理数的加减法运算 解｜题｜技｜巧 熟悉有理数加减法运算的法则，注意计算时符号的问题； 【典例1】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)4 (4) 【分析】题目主要考查了有理数的加减混合运算及去绝对值符号，掌握运算法则，熟练去括号、去绝对值是解题关键． （1）根据有理数的加法法则求解即可； （2）根据有理数的减法法则求解即可； （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）先进行绝对值内的运算，然后计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据有理数加减法法则进行计算即可； （2）原式根据有理数加减法法则进行计算即可； （3）原式根据有理数加减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： . 【变式1】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加法与减法的运算法则求解即可； （2）根据有理数加法与减法的运算法则求解即可； （3）根据有理数加法与减法的运算法则求解即可； （4）根据有理数加法与减法的运算法则求解即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【变式2】计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合计算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． （1）根据有理数的减法计算法则求解即可； （2）根据有理数的减法计算法则求解即可； （3）根据有理数的加减混合计算法则求解即可； （4）根据有理数的加减混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)22 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算， （1）根据有理数的结合律计算； （2）先将减法变为加法，再运用结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型十一 有理数加减中的简便运算 解｜题｜技｜巧 1、相反数结合；2、凑整结合；3、正、负分别结合；4、同分母结合；5、倒数结合 【典例1】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键；因此此题可根据有理数的加减运算进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 【典例2】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减混合运算法则，是解题的关键． 根据有理数加减混合运算法则，结合有理数加法运算律，进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】对于可以如下计算： 解：原式 ___________ ___________ ___________ 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算： 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，解题的关键是理解题意． （1）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案； （2）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ， 故答案为：， （2） ， ， ． 【变式2】数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫作拆项法．请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数加减运算;理解拆项法，简化运算是解题的关键． （1）拆项，整数和分数分开运算，根据有理数的加减法运算法则处理； （2）拆项，整数和分数分开运算，根据有理数的加减法运算法则处理． 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先去括号，然后从左向右依次计算即可； （2）将分母相同的两个数分别结合为一组求解； （3）利用加法交换律和结合律，将小数部分相同的数以及互为相反数的数分别结合求解； （4）先将带分数拆分成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十二 有理数的乘除法运算 解｜题｜技｜巧 1、 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2、 2、要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 【典例1】阅读下面的解题过程并解决问题：计算：． 解：原式…① …② …③ (1)上述的解题步骤从第__________步开始错误； (2)请写出这个计算题正确的解题步骤． 【答案】(1)① (2)步骤见解析， 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除混合运算的运算法则判断作答即可； （2）从左到右依次进行计算即可． 【详解】（1）解：上述的解题过程从第①步开始错误，因为乘除运算应该从左到右依次进行，不能先计算后面的乘法， 故答案为：①； （2）解：正确的解题步骤为： ． 【典例2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘除混合运算． 按照运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟记相关运算法则是解决问题的关键． （1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案； （2）先计算绝对值，再将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法，最后由有理数加减运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】有个填写运算符号的游戏：在“1367”中的每个内，填入“+，，×，÷”中的某一个（可重复使用），然后计算结果． (1)计算：； (2)若，请推算内的符号； (3)在“”的内填入运算符号后，使计算结果为，直接写出一个满足条件的算式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算规则并准确计算． （1）按照从左到右的顺序依次计算； （2）先计算已知部分的结果，再根据最终结果推导运算符号； （3）尝试不同运算符号组合，使结果为． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ，所以□内的符号是：， 故答案为：； （3）解：尝试运算符号组合，可得算式： ， 故答案为：． 题型十三 有理数四则混合运算 解｜题｜技｜巧 1、先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2、同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3、如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【典例1】计算： (1)； (2)； 【答案】(1)8 (2)1 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，准确的计算是解决本题的关键． （1）先去括号和绝对值，再按照有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）按照有理数的四则混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【典例2】计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，熟练掌握有理数四则混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】阅读计算：． 解：原式① ② ③ (1)上面计算过程中有错误，请写出开始出现错误步骤的序号___________； (2)请写出这个计算题的正确解题过程． 【答案】(1)① (2)见详解 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先计算括号里的，对其进行通分即可得出①开始出现计算过程错误． （2）先算括号内的，再化除为乘，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：①． （2）解： ． 【变式2】项目式学习 项目背景 在有理数除法运算中，当除数是一个复杂的多项式时，直接计算比较繁琐，可先求原式的倒数，再利用乘法分配律简化计算，最后取倒数得到结果． 学习目标 理解“倒数法”在有理数除法中的原理；熟练运用乘法分配律进行有理数乘法运算． 材料阅读 计算：． 解：原式的倒数： 故原式． 任务解决 用倒数法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，乘法运算律，倒数的定义，根据题干的运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：原式的倒数： 故原式． 【变式3】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把除法化为乘法，再运算乘法，再运算加法，即可作答． （2）先运算括号内，再运算乘法，最后运算加法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型十四 有理数四则混合运算的实际应用 【典例1】浙篮球比赛正在火热进行中，每场比赛一支球队上场名运动员，若每个人的身高以厘米为基准，实际身高超过基准的厘米数记为正数，不足基准的厘米数记为负数，并将其称为身高波动值，记录如表： 运动员 ① ② ③ ④ ⑤ 身高波动值（） (1)身高最高的运动员比最低的运动员高多少厘米？ (2)求这名运动员的平均身高． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【分析】（）根据正数和负数的实际意义，用最大的数减去最小的数即可； （）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； 本题考查了正负数的实际应用，有理数减法和混合运算的实际应用，理解题意并正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：（厘米）， 答：身高最高的运动员比最低的运动员高厘米； （2）解： （厘米）， 答：这名运动员的平均身高为厘米． 【典例2】科技改变世界．快递分拣机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库9月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期________，最少的一天是星期______，最多的一天比最少的一天多分拣_______万件包裹； (2)该仓库本周实际一共分拣多少万件包裹？ 【答案】(1)六，日，13 (2)144万件 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的大小比较，有理数的混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）比较表格中的数据即可确定分拣包裹数量最多的一天和最少的一天，再进行相减即可求解最多的一天比最少的一天多分拣多少； （2）先计算原计划天的分拣量，再将表格数据相加得到的和再与原计划天的分拣量相加即可求解． 【详解】（1）解：由表格可得，， ∴周六的分拣量高出原计划6万件，最多；周日的分拣量低于原计划7万件，最少； 最多的一天比最少的一天多分拣：， 故答案为：六，日，13 （2）解：（万件） 答：该仓库本周实际一共分拣144万件包裹． 【变式1】“代驾”是当车主不能自行开车到达目的地时，由专业驾驶人员驾驶车主的车将其送至指定地点并收取一定费用的行为．某平台日常代驾计费标准如下表： 时间 7千米及以内 超过7千米的部分 45元 元/千米 次日 68元 元/千米 说明：行驶里程不足1千米，按1千米计算． 2025年10月1日至今，王叔叔共在该平台预约了两次代驾服务． (1)第一次是10月3日，这次代驾服务共行驶了17千米，需要支付多少元代驾费？ (2)第二次是10月8日，服务结束后王叔叔共支付了元代驾费．这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 【答案】(1)需要支付80元代驾费 (2)这次代驾服务的行驶里程最多是32千米 【分析】本题考查的知识点是有理数混合运算的应用，解题关键是读懂题意，理解该平台日常代驾计费方式． （1）根据题意选择合适的时间段分段计算所需费用，最后相加即可； （2）根据题意选择合适的时间段，用总费用减去起步价，算出超过千米的路程，最后加上千米即可求解． 【详解】（1）解：需要支付代驾费： （元）． （2）解：（千米）． 答：这次代驾服务的行驶里程最多是32千米． 【变式2】某空军举行特技飞行表演，其中一架飞机起飞上升后的四个动作表演高度变化如下表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 ________km 下降 ________km (1)将表格补充完整； (2)飞机完成上述四个动作表演后，其高度是多少？ (3)如果飞机平均每上升需消耗燃油，平均每下降需消耗燃油，那么这架飞机在起飞上升后的四个动作表演过程中，一共消耗了多少燃油？（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数的加减的应用，有理数的混合运算的应用， 对于（1），根据上升用“”表示，下降用“”表示； 对于（2），将各数相加可得答案； 对于（3），先算出飞机上升消耗的燃油，再加上飞机下降消耗的燃油可得答案． 【详解】（1）解： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 故答案为：； （2）解：． 答：飞机完成上述四个动作表演后，飞机高度是； （3）解：． 理由如下：． 一共消耗了燃油． 【变式3】电动车厂计划每天平均生产200辆电动车（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正、少于计划产量记为负）． 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 实际生产量 (1)求本周五天生产电动车的总数． (2)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得200元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖55元；少生产一辆扣60元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)1010 (2)202505元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的四则混合运算的应用． （1）先计算计划总产量，再求实际产量与计划产量的偏差之和，最后得到总产量； （2）根据工资规则，计算总基础工资、总奖励和总扣款，然后求工资总额． 【详解】（1）解：由题意得，（辆）， 答：本周五天生产电动车的总数为1010辆； （2）解： 工资总额：（元） 答：该厂工人这一周的工资总额是202505元． 题型十五 有理数的乘方运算 解｜题｜技｜巧 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 【典例1】计算： 【答案】 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，按照“先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减，有括号先算括号里面的”运算顺序计算即可． 【详解】解：原式 ． 【典例2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)11； (2)． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算； （1）先计算乘方，再计算乘法，再计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算乘除法，再计算加减法即可 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 【变式1】计算： 【答案】31 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数四则运算．先计算含有乘方的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 【变式3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 先计算括号，再按先乘方、再乘除、后加减的运算顺序计算即可． 【详解】解： ． 题型十六 有理数的新定义运算 【典例1】已知表示不大于的最大整数，如：．现定义：，如：，则计算的结果为（   ） A．0.7 B．1.9 C．2.9 D．3.1 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，以及有理数的减法，理解新定义是解答本题的关键． 根据新定义，先分别计算 和，再求它们的差． 【详解】解：∵， ∴， ∵（不大于的最大整数）， ∴， ∴． 故选：A． 【典例2】用“”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，．例如：．则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义运算，有理数混合运算，掌握绝对值的性质并准确计算是解题关键． 根据新运算的定义，直接代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【变式1】定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，例如：，，则 ． 【答案】 0 【分析】此题考查有理数的大小比较，有理数的加减法计算，根据定义， 表示不大于 1.5 的最大整数，即 1； 表示不小于 的最小整数，即 ，然后计算它们的和 【详解】解：由定义可知， ， ，所以 ， 故答案为 0 【变式2】对任意两个非零有理数、定义运算“”如下：，例如，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算． 根据新定义运算，先计算括号内的运算，再计算外部的运算． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【变式3】给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为．如：，，那么数对，都是“共生有理数对”． (1)判断下列题目．正确的打“√”，错误的打“×”： ①数对是“共生有理数对”；（    ） ②数对是“共生有理数对”．（    ） (2)请再写出一对符合条件的“共生有理数对”，并写出理由（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）． 【答案】(1)①×，②√ (2)是“共生有理数对”，理由见解析 【分析】此题考查有理数的四则混合运算，解题关键在于理解题意掌握运算法则． （1）根据“共生有理数对”的定义即可判断； （2）根据“共生有理数对”的定义，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：①，， ∴， ∴不是“共生有理数对”， ②∵，， ∴， ∴是“共生有理数对”； 故答案为：①×，②√； （2）解：是“共生有理数对”． 理由：∵，， ∴， ∴是“共生有理数对”； 题型十七 程序流程图与有理数运算 【典例1】有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的计算，弄清原理图的计算方法是关键． 根据工作原理图，先算的平方，再判断是否大于8，再计算下一步输出结果． 【详解】解：由题意得， ∴， 故选：A． 【典例2】按如图所示的运算程序运算，若开始输入的值为，则最终输出的结果是． A． B．12 C．11 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了流程图与有理数的混合运算，根据流程图列出算式是解题的关键．根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：若开始输入的值为， ∴ ∴ ∴最终输出的结果是11． 故选：C． 【变式1】如图所示是计算机程序计算，当输入的数为时，则输出的结果 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较以及加、减运算，相反数，解题关键是掌握相应的运算法则．根据所给的程序图代入相应的值进行运算即可解答． 【详解】当输入的数为时， ， ， ， ， 即输出的结果， 故答案为：． 【变式2】小丽设计了一种简单的密码规则：将英文字母依次对应数字，加密方法：将一个字母对应的数字通过某种规定的运算程序化为对应的密文数字．运算程序如图所示，例如：字母对应数字1，通过运算程序后的密文是3，密文3对应字母．如果密文，那么它是由字母 加密得到的． 【答案】G 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数计算，计算出的结果可求出密文所对应的字母所对应的数，据此可得答案． 【详解】解：由题意得， ， ∴密文对应的字母所对应的数为7，即密文对应的字母为G， 故答案为：G． 【变式3】下图是一个流程图． (1)已知输入的的值为，求出最后输出结果； (2)已知输入的的值为，求出最后输出结果． 【答案】(1)． (2)． 【分析】此题考查了程序的流程图及有理数的混合运算，弄清题中的程序流程列出算式进行计算是解题的关键． （1）根据题中的程序流程图，将 代入计算得到结果为，不是整数，输出结果即可． （2）根据题中的程序流程图将 代入计算得到结果为9，是整数，再根据题中的程序流程图计算得到结果为是整数，再根据题中的程序流程图计算得到结果为是整数，再根据题中的程序流程图计算得到结果为不是整数，输出结果即可． 【详解】（1）解：把代入程序中得：， 不是整数，     输出结果为：． （2）解：把代入程序中得：， 是整数， 把代入程序中得：， 是整数， 把代入程序中得：， 是整数， 把代入程序中得：， 不是整数， 输出结果为：． 题型十八 算24点 【典例1】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 【典例2】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 【变式1】现有四个有理数3，4，，10，将这4个数（每个数要用且只用一次）进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，例如：；请你写出不同的算式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握有理数的运算规则并尝试不同组合是解题的关键．尝试不同的四则运算组合，利用有理数的运算规则，构造出结果为24的算式． 【详解】解： ， 故答案为：（答案不唯一，如等）． 【变式2】有一种“24点”游戏，从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，将牌面上的数字进行运算（可使用加、减、乘、除、乘方或括号），每个数用且只用一次，使其结果为24．若抽取牌面数字为，，2，3，请写出一种运算等式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则；根据题意列式计算即可得解． 【详解】解：由题意，得， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】有一种“二十四点”游戏，其规则：任取4个有理数，把它们进行加、减、乘、除四则运算（每个数用且只能用一次），可以用括号，使其结果为24，如1，2，3，4，可作运算． (1)有理数4，5，7，8，你能算出24吗？ (2)有理数4，5，，，你能算出24吗？ (3)有理数3，，7，中，把它们算出24． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据题目中的信息和要求写出一个算式使其结果为24； （2）根据题意写出一个算式使其结果为24； （3）根据题意写出一个算式使其结果为24． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）若，则n的值为（   ） A．3 B．5 C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方法则是解题关键．根据，可得，由此即可得． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26七年级上·河北唐山·期中）某粮店出售的两种品牌的面粉，袋上分别标有质量为和的字样，从中任意购买两袋不同品牌的面粉，它们的质量最多相差（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数加法与减法的应用，正确理解正负数的应用是解题关键．先分别求出两袋不同品牌的面粉的最大质量与最小质量，再利用一袋面粉的最大质量减去另一袋面粉的最小质量即可得． 【详解】解：标有质量为品牌的面粉：最大质量为，最小质量为， 标有质量为品牌的面粉：最大质量为，最小质量为， 则它们的质量最多相差或， 故选：C． 3．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）生产图纸对每个产品的尺寸范围都有明确的规定．例如：图纸上注明一个零件的直径是（单位：）．现抽查测得四个这种零件的直径分别为：，，，．其中合格的零件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数的定义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．根据图纸要求，零件的合格直径范围为，即，逐一检查四个零件的直径是否在此范围内即可． 【详解】解：图纸上注明一个零件的直径是（单位：）， 合格直径范围为， 合格的零件有，，，共个， 故选：C． 4．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．由图可知，他一共捕到的鱼的数量为（   ） A．54 B．194 C．970 D．1234 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，解题的关键是正确理解题意． 根据题意“满五进一”可知，从右到左第一根绳子上一个结代表一个1，第二根绳子上一个结代表5，第三根绳子一个结代表，第四根绳子一个结代表，再进行计算即可． 【详解】解：． 即他一共捕到的鱼的数量为194． 故选B． 5．（25-26七年级上·河北唐山·期中）比大而比小的所有整数之和为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练的掌握有理数的加法运算． 先确定比大而比小的所有整数，然后计算这些整数的和． 【详解】解：比大而比小的整数有, 0, 1, 2, 3， 它们的和为． 故答案为：5． 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了偶次方和绝对值的非负性以及有理数的乘方运算，代数式求值．首先利用偶次方的性质和绝对值的性质得出的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵， ， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）现定义一种新运算“*”，规定，如，则 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的混合运算，准确计算是解题的关键． 根据列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：11． 8．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）已知数轴上，两点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离为4个单位长度．若点在点的左侧，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数的定义和数轴上两点距离公式，根据相反数的定义和数轴上两点距离公式，列出方程求解即可． 【详解】解：设点A表示的数为a，则点B表示的数为， 点A与点B之间的距离为， 解得，即或， 由于点A在点B的左侧， 故，即，因此， 所以， 故点A表示的数是． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （3）把除法变乘法，再运用乘法分配律计算即可； （4）先算乘方，括号里的数，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）出租车司机蔡师傅某天下午的营运全是在东西走向的富泸公路上进行的．如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行走里程（单位：千米）如下： ，，，，，，，，，，． (1)蔡师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)蔡师傅这天下午共行驶多少千米？ (3)若每千米耗油升，则这天下午蔡师傅用了多少升油？ 【答案】(1)蔡师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地38千米 (2)蔡师傅这天下午共行驶78千米 (3)这天下午蔡师傅用了升油 【分析】本题考查了正负数的意义、有理数的加减的应用、有理数的乘法的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）把所有行车记录的里程相加，再根据正数和负数的意义解答； （2）求出所有行车里程的绝对值的和； （3）将（2）中的结果乘以即可． 【详解】（1）解： （千米）， 答：蔡师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地38千米． （2）解： ， 答：蔡师傅这天下午共行驶78千米． （3）解：（升）， 答：这天下午蔡师傅用了升油． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1），刻度尺上的“0”和“4”分别对应数轴上表示和有理数x的点，那么x的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴；根据题意得到，刻度尺上的“”对应数轴上表示0，以此求出结果即可． 【详解】解：根据题意得到，刻度尺上的“”对应数轴上表示0， ∴刻度尺上的“”对应数轴上表示x的值为； 故选：B． 12．（25-26七年级上·河北唐山·期中）对于有下列说法：①可以写成的形式；②底数是，指数是4；③计算结果为；④计算结果为，其中错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方． 根据有理数的乘方法则逐一判断即可． 【详解】解：①可以写成的形式，原说法正确； ②底数是，指数是4，原说法错误； ③计算结果为，原说法正确； ④计算结果为，原说法错误； 故选：B． 13．（25-26七年级上·河北唐山·期中）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一．例如：（规定：任何不等于0的数的0次幂都是1）；计算机常用二进制表示字符代码，它是用0和1两个数字来表示数．满二进一．例如：把二进制数10101转换为十进制的数为．则把二进制数11010转换为十进制的数为（   ） A．26 B．27 C．28 D．29 【答案】A 【分析】本题考查进制的转换，有理数的混合运算．根据二进制转化为十进制的方法计算即可． 【详解】解：. 故选：A． 14．（25-26七年级上·河北衡水·期中）在，，0，4这四个数中，任意选两个数相除，所得的商最小是，最大是，则和的乘积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法和除法，解题的关键是熟练掌握运算法则；根据题意，列出所有可能的商：，，，，，，除以任何非零数的商为，比较所有商的大小，可知商最小是，最大是，再计算二者的乘积即可． 【详解】解：由题意，商最小是，最大是， 和的乘积为， 故选：． 15．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如果点表示的数是，那么数轴上与点的距离为的点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，有理数的加减运算，分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：由题意得，或， 因此该点表示的数为或， 故答案为：或． 16．（25-26七年级上·河北衡水·期中）武安拽面是邯郸市武安市的特色面食，人选武安市非物质文化遗产名录．制作时用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细面条，如图所示．这样捏合到第6次后拉成 根细面条． 【答案】64 【分析】本题主要考查有理数的乘方的应用．找出捏合的次数与拉出面条根数之间的关系求解即可． 【详解】解：罗列每次拉出的根数如下： 第一次，拉出2根细面条； 第二次，拉出根细面条； 第三次，拉出根细面条； ， ∴第次，拉出根细面条； ∴第6次捏合，拉出根细面条． 故答案为：64． 17．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．若以C为原点，点A对应的数为 ，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答即可． 【详解】解：∵，，C为原点， ∴点B对应的数为， ∴点A对应的数为， ∴， 故答案为：，． 18．（23-24七年级下·河北保定·期中）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2055年为农历 年． 【答案】乙亥 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意可以分别计算出2025对应的天干和地支，然后写出农历年即可． 【详解】解： ， ， 故2055年为农历乙亥年， 故答案为：乙亥． 19．（25-26七年级上·河北衡水·期中）现有一组数据：，，3.5，0，2，． (1)在下面的数轴上表示这6个数； (2)把这6个数按从大到小的顺序排列，用“”号连接起来； (3)把这6个数分别填入它们属于的集合内： 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】此题考查了数轴，绝对值，有理数的分类及比较大小，解题的关键是熟练掌握有理数的相关概念． （1）首先化简，然后在数轴上表示出各个数即可； （2）由（1）的数轴即可得出答案； （3）根据正数、整数及负数的概念进行解答即可． 【详解】（1）， 如图所示， （2）由数轴得，； （3）如图所示， 20．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上从左到右有点A、B、C、D，其中点为原点，A、D所对应的数分别为、1，点为的中点． (1)直接写出点所表示的数为__________，并在图中标出点B、C的位置； (2)若在数轴上另取一点，点在点的左边，且B、E两点间的距离是4，则点对应的数为__________，则A、E两点对应的两数之和为__________． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)， 【分析】本题考查了数轴的相关知识点，熟练掌握并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上中点的性质计算得出B点表示的数，表示在数轴上即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式结合点在点的左边，计算得出E表示的数，即可得解． 【详解】（1）解：∵A、D所对应的数分别为，1，点B为的中点， ∴B点表示的数是， 在图中标出点B、C的位置如图所示： 故答案为：； （2）解：∵，点在点的左边， ∴E表示的数是， ∴A、E两点对应的两数之和为． 故答案为：，． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图，在一条可以折叠的数轴上，点、、表示的数分别是，，．以点为折点，将此数轴向右对折．若点与点重合，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．1012 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上两点的距离与点表示的数的运算关系是解答的关键．先根据A、C表示的数求得的长，再由折叠后点与点重合，求得的长，进而可确定点B表示的数． 【详解】解：，C表示的数分别是，， ， ∵以点为折点，将此数轴向右对折,点与点重合， ， ∴B点表示的数是， 故选：A． 22．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点的位置，则点表示的数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴及点的表示，圆的周长的计算，解题的关键是掌握数轴知识，易错点在于忽略题干未曾提到是往前还是往后滚动，所以要考虑两种情况，先求出圆的周长，往前就是周长，往后就是 周长． 【详解】解：圆滚动一周，走过的路径为圆的周长 圆的直径，即， ∵圆从点出发， ∴根据题意可得点表示的数是或， 故选． 23．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）为了求的值，可令，则，因此所以，仿照以上推理，计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．根据题目信息，设，求出，然后错位相减计算即可得解． 【详解】解：设，则， ， ， ， 故选：C． 24．小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为（　　）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减法的应用，由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是，列等式可得结论，解题的关键是读懂题意，列出算式． 【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为， ， ∵横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， ∴两个圈的和是，横、竖的和也是，    则，得， ，得， ，， ∵当时，，则， 当时，，则， 故选：． 25．（25-26七年级上·河北衡水·期中）法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了，下面是用法国“小九九”计算和的两个示例，且左手伸出的手指数不大于右手伸出的手指数，若用法国的“小九九”计算，左、右手未伸出手指的总个数是 ．   因为两手伸出的手指数的和为5，未伸出的手指数的积为6，所以，．       因为两手伸出的手指数的和为7，未伸出的手指数的积为2，所以，． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数的乘法与减法，根据和的计算过程得出计算左手应伸出个手指，右手伸出个手指是解此题的关键．根据和的计算过程得出计算左手应伸出个手指，右手伸出个手指进而计算出左、右手未伸出手指的总个数是． 【详解】解：∵计算的过程为：左手应伸出个手指，右手伸出个手指，计算的过程为：左手应伸出个手指，右手伸出个手指， ∴计算的过程为：左手应伸出个手指，右手伸出个手指， ∴左、右手未伸出手指的总个数是 故答案为：． 26．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则记为，例如，则． （1）根据上述规定，直接写出 ． （2）若，，则 ． 【答案】 5 4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是关键． （1）直接根据规定的定义解答即可； （2）根据规定的定义先求得a、b的值，再按定义解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． 故答案为：5； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 27．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）嘉淇在写作业的时候，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图所示的数据，则墨迹遮盖的整数中满足绝对值大于并且小于等于的整数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与绝对值的意义，根据题意先求得出和之间的整数，再求绝对值大于并且小于等于的整数即可求解． 【详解】解：根据图中数据，可得墨迹盖住的整数是：，，，，． 其中满足绝对值大于并且小于等于的整数有，，共2个， 故答案为：． 28．（24-25七年级上·河北保定·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第次翻转后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是 ． 【答案】点B 【分析】本题考查了数轴，数字字母规律问题，根据翻转的变化规律确定出每次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据题意可知每次翻转为一个循环组依次循环，用除以，根据是否整除可知点在数轴上．然后进行计算即可得解． 【详解】解：每次翻转为一个循环组依次循环， ， 翻转次后点在数轴上， 点对应的数是， 数轴上数所对应的点是点 故答案为：点． 29．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）某科技公司原计划每天生产300个电脑切片，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产切片_________个？ (2)根据记录的数据可知该公司本周生产切片多少个？ (3)该公司实行每周计件核算工资制，每生产一个切片可得50元，若超额完成任务，则超过部分，每多一个另奖10元；少一个扣5元，那么该公司这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)23个 (2)2099个 (3)104945元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键． （1）结合正负数的实际意义，用产量最多的一天减产量最少的一天，即可求解； （2）先将表格数据求和，然后加上这周的计划生产量，即可求解； （3）用生产量乘单价求出基本工资，再根据与计划任务的差额计算奖金或扣款，即可求出总工资． 【详解】（1）解：（个）， 即产量最多的一天比产量最少的一天多生产切片个 （2）解：（个）， （个）， 即该公司本周生产切片个； （3）解：（元）， 即该公司这一周的工资总额是多少104945元． 30．（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图，数轴上从左至右有，，，四个点．分别表示有理数，，，，点和点之间的距离为20个单位长度，且，互为相反数，． (1) ， ， ； (2)数轴上的动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点运动，设运动时间为秒．当点运动到点时，点从点出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴在点和点之间往返运动，当点运动到点时，点的运动停止． ①求为何值时，点与点第一次相遇； ②求点一共运动了多少个单位长度，并求点停止运动时在数轴上所表示的有理数； ③直接写出点，前两次相遇间隔的时长． 【答案】(1) (2)①②144，4③4秒 【分析】本题考查了有理数与数轴，非负性，有理数的运算，熟练掌握两点间的距离，正确地列出算式是解题的关键； （1）根据互为相反数的两个数到原点的距离相等，求出a，c，非负性求出b，d，进而求出即可； （2）①用点P到达点C的时间加上P，Q相遇时所用的时间，即可得出结果； ②求出点P从点C运动到点D所用的时间，再根据路程等于速度乘以时间，求出点Q运动的路程，进而求出点Q停止时所表示的数； ③先求出第一相遇的位置，再求出Q运动到B的时间，进而求出P运动的路程，再根据追及问题求时间即可得解． 【详解】（1）解：， ， ，， 点和点之间的距离为20个单位长度，且，互为相反数，， ， ， 故答案为：； （2）解：①点P到达点C所用时间为（秒）， ； 故当时，点P与点Q第一次相遇； ②P点从点C到达点D所用时间为（秒）， ∴点Q一共运动了个单位长度，， ∴当点Q停止运动时，离点D有24个单位长度， ∴点Q表示的数为； ③P从C到第一次相遇运动的路程为：， P，Q在处相遇， Q运动到B所用时间为（秒），此时P运动的路程为个单位长度， ，前两次相遇间隔的时长为（秒）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $