精品解析：广东省惠州仲恺中学2025-2026学年高二上学期阶段检测（一）数学试题

2025-2026学年惠州仲恺中学数学学科阶段性测试卷（一） 命题：李锋 审题：谭杰 郑剑峰 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线的一般方程转化为斜截式方程，求得直线的斜率，进而求得其倾斜角. 【详解】由，得. 直线的斜率为. 设直线的倾斜角为，所以. 因为，所以. 故选：D. 2. 点关于点的对称点的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间坐标系中点的对称特征即可求解. 【详解】点关于点的对称点的坐标是， 即. 故选：A 3. 若直线和直线平行，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行建立方程，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 4. 已知三棱锥，点分别为的中点，且，用表示，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理可得答案. 【详解】分别为的中点，故. 故选：D 5. 如图，是正方体，则和所成角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，求出的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出结果即可. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则. 故， 所以. 故选：A. 6. 若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设在基底下的坐标为，则，即得，解出即可. 【详解】设在基底下的坐标为， 则， 在下的坐标为， ， 由得， ，即在下的坐标为． 故选：B． 7. 设点，，若直线与线段没有交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为直线的斜率为，且直线过定点，所以将直线与线段没有交点时，求a的取值范围，转化为过的直线与线段没有交点时，求直线斜率的相反数问题，可得a的取值范围. 【详解】直线过定点. 如图，， 直线与线段没有交点时，直线斜率满足， 所以. 故选：C. 8. 已知定义在上的函数满足，且函数的图象与直线有个交点，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线过定点以及函数的中心对称性质计算可得. 【详解】由题意可得直线恒过点，且关于对称． 函数满足，则函数的对称中心为， 所以，， 所以． 故选：C． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若与垂直，则 B. 若与平行，则 C. 当实数时，等于 D. 当实数时，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算进行代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，若与垂直，则，即，故A正确； 对于B，若与平行，则，由，可知不存在使得式子成立，故B错误； 对于C，当时，，， 故C正确； 对于D，当时，，故D正确； 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为2 B. 直线的方向向量为 C. 经过点，且在轴上截距相等的直线方程为 D. 若点在直线上，且满足，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】求出直线与轴的交点坐标即可计算出直线在轴上的截距可判断A选项，由直线方程找斜率再找方向向量可判断B选项，直线过原点时在轴上截距也相等即可判断C选项，根据题意可求出的取值范围再换元化简利用不等式的性质即可求出的取值范围. 【详解】直线过点所以其在轴上的截距为，故A选项错误； 直线的斜率为，故该直线的方向向量为，故B选项正确； 经过点，且在轴上截距相等的直线方程为或，故C选项错误； 因为点在直线上，所以，又因为，所以即， ，当时即故 当时，故，所以的取值范围为，故D选项正确； 故选：BD 11. 如图，在正方体中，E，F在线段上，且是线段的中点，H在侧面内，则（ ） A. B. 二面角的余弦值为定值 C. 当时，点H的轨迹长度为2 D. 异面直线与所成角的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面垂直证明线线垂直即可判断A选项；几何法求出二面角的余弦值即可判断B选项；利用线面垂直，找到面与面的交线为点H的轨迹，判断C选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量求线线角的范围即可判断D选项. 【详解】如图，连接，易证平面．因为平面，所以，A正确． 连接，，记的中点分别为M，N，则M为线段的中点，连接， 易证平面，则为二面角的平面角． 因为，所以，所以，B错误． 分别取棱的中点Q，P，连接，易证平面． 因为，所以平面． 因为，所以点H的轨迹为线段，则点H的轨迹长度为2，C正确． 以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以． 设，则，所以， 所以． 设，则． 因为，所以，所以，所以， 所以，则， 即异面直线与所成角的取值范围是，D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点到直线的距离为______． 【答案】##2.4 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由点到直线的距离公式，得. 故答案为：. 13. 设，则以线段AB为直径的圆的方程是________________________. 【答案】 【解析】 【分析】的中点即为圆心，即为半径，再结合中点坐标公式和两点的距离公式即可所求圆的标准方程 【详解】，所以半径， 又∵， ∴线段AB的中点坐标为，即圆心为. 所以圆的方程为. 故答案为：. 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值____________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【详解】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在棱长为 1 的正方体中分别是B1的中点. （1）求与所成角的余弦值； （2）点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解， （2）求解平面法向量，即可根据点到平面距离的向量法公式求解. 【小问1详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， , , 所以； ； 设与所成角为，则 故与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 则 设平面的法向量则且即： 令得故； ； 设点到平面的距离为， 故. 16. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边和所在直线的方程； （2）边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）边上的高所在直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两点式和截距式求解直线方程即可； （2）根据直线垂直时斜率的性质，以及点斜式方程求解即可； （3）根据直线垂直时斜率的性质，以及点斜式方程求解即可； 【小问1详解】 由两点式得边所在直线方程为，即. 由截距式得边所在直线方程为，即. 【小问2详解】 设的中点为，由中点坐标公式可得， 因为，所以垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线方程为，即. 【小问3详解】 因为，所以高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即. 17. 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程. （2）若直线的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹. 【答案】（1） （2）的轨迹是以为圆心，为半径的圆，轨迹方程是 【解析】 【分析】（1）由于圆上的弦的垂直平分线经过圆心，从而利用两直线的交点求出圆心，进而求出半径；（2）设，进而利用是线段中点表示出的坐标，再利用在圆上求出满足的方程，进而判断点的轨迹. 【小问1详解】 线段AB的中点D的坐标为，直线AB的斜率为. 所以线段AB的垂直平分线的斜率为， 所以线段AB的垂直平分线的方程为，即. 圆心在线段的垂直平分线上，也在直线上，故 ，解得. 故圆心的坐标为. 圆的半径 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 设，由于是线段的中点，且. 所以. 又由于点在圆上，故. 化简得M点的轨迹方程为： 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，M，N分别为棱SB，SC的中点. （1）证明：平面SAD； （2）求直线SD与平面ADNM所成角的正弦值； （3）线段SD上是否存在点Q，使得平面平面ADNM？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ABCD为正方形，， M，N分别为棱SB，SC的中点，，， 平面SAD，平面SAD，平面SAD； （2） （3） 假设在线段SD上存在点Q，使得平面平面ADNM. 设，则. ， . 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，即. 若平面平面ADNM，则， 即，解得. 假设成立，即在线段SD上存在点Q，使得平面平面ADNM， 且. 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据线面平行的判定定理证明即可； （2）设直线SD与平面ADNM所成角为.先求出平面ADNM的法向量，再根据公式计算即可； （3）假设在线段SD上存在点Q，并设，求出平面的法向量，根据，求出符合条件的值，即可判断点Q存在，根据即可求出比值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，，. 设平面ADNM的法向量为， 则，即. 令，则，. 设直线SD与平面ADNM所成角为， 则 直线SD与平面ADNM所成角的正弦值为； 【小问3详解】 略 19. 如图所示的几何体是由正三棱锥和三棱柱组合而成，，，. （1）当时，求二面角的余弦值. （2）若该几何体的各个顶点可以在球的表面， （ⅰ）证明：； （ⅱ）设的中点为，过点且垂直于的直线与球面交于，两点，若，，求. 【答案】（1） （2）（ⅰ）由于该组合体的顶点都在同一个球面上，因此三棱柱为直三棱柱， 结合底面为等边三角形，故三棱柱为正棱柱， 设正三棱锥的底面的中心为，即为等边的中心， 的中心为，则球心为的中点，设球半径为, , 在正三棱锥中，， ，， 故，化简可得， （ⅱ）0 【解析】 【分析】（1）根据正四面体的几何性质可得，进而得为二面角的平面角，即可利用余弦定理求解； （2）根据棱柱和棱锥的结合性质，结合勾股定理，联立球半径的两个表达式，即可化简求解； （3）求解半径，利用数量积的运算律，即可代入化简求值. 【小问1详解】 当时，正三棱锥为正四面体， 取的中点，连接, 由于, 均为等边三角形，故, 故为二面角的平面角， , 故， 故二面角的余弦值为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由于，，故，则， 由（ⅰ）可知球心到的距离为0，（因为）， 则为球的直径，故，故， 由于是的中点，所以, ，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年惠州仲恺中学数学学科阶段性测试卷（一） 命题：李锋 审题：谭杰 郑剑峰 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 点关于点的对称点的坐标是（    ） A. B. C. D. 3. 若直线和直线平行，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 4. 已知三棱锥，点分别为的中点，且，用表示，则等于（    ） A. B. C. D. 5. 如图，是正方体，则和所成角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 6. 若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 设点，，若直线与线段没有交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，且函数的图象与直线有个交点，则（ ） A. 0 B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若与垂直，则 B. 若与平行，则 C. 当实数时，等于 D. 当实数时，使得 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为2 B. 直线的方向向量为 C. 经过点，且在轴上截距相等的直线方程为 D. 若点在直线上，且满足，则的取值范围为 11. 如图，在正方体中，E，F在线段上，且是线段的中点，H在侧面内，则（ ） A. B. 二面角的余弦值为定值 C. 当时，点H的轨迹长度为2 D. 异面直线与所成角的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点到直线的距离为______． 13. 设，则以线段AB为直径的圆的方程是________________________. 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在棱长为 1 的正方体中分别是B1的中点. （1）求与所成角的余弦值； （2）点到平面的距离. 16. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边和所在直线的方程； （2）边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）边上的高所在直线的方程. 17. 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程. （2）若直线的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，M，N分别为棱SB，SC的中点. （1）证明：平面SAD； （2）求直线SD与平面ADNM所成角的正弦值； （3）线段SD上是否存在点Q，使得平面平面ADNM？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 如图所示的几何体是由正三棱锥和三棱柱组合而成，，，. （1）当时，求二面角的余弦值. （2）若该几何体的各个顶点可以在球的表面， （ⅰ）证明：； （ⅱ）设的中点为，过点且垂直于的直线与球面交于，两点，若，，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $