精品解析：浙江杭州学军中学紫金港校区2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

2028届学军紫金港校区10月高二月考试卷 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1. 已知复数满足，是的共轭复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，若；，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4. 直线绕原点逆时针旋转后所得直线与圆的位置关系是（     ） A. 相交且相交弦长为 B. 相交且相交弦长为 C. 相切 D. 相离 5. 若，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆：，是右焦点．设为椭圆上任意一点，以为直径的圆记为，则恒与下列哪个圆相切（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 定每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点关于直线的对称点为 C. 过，两点的直线方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 10. 如图所示，用一个与圆柱底面成（）角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，、为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点．若圆柱的底面圆半径为2，．则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长为8 B. 椭圆的离心率为 C. 满足的点共有2个 D. 的最小值是 11. 如图，正方体中，顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，顶点，B，C到的距离分别为，1，2，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 直线与所成角比直线与所成角大 D. 正方体的棱长为 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知椭圆过点和点，则此时椭圆的标准方程为________． 13. 已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 14. 已知直线与椭圆（）交于A，B两点，若在E上存在一点C使得是以为斜边的直角三角形，则E的离心率的最小值为______． 四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分. 请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积为. （1）若，求的值； （2）当角A为何值时，取得最大值，并求出该值. 16. 某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图求出的值，并用样本数据估计该校学生周平均课外阅读时间的分位数； （2）用分层抽样的方法从，两组中抽取人，再从这人中随机选出人，这人恰好在同一组的概率． 17. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点M是线段的中点，N为线段CD上一点． （1）若，证明：平面； （2）在线段CD上是否存在点N，使平面与平面MNB夹角的余弦值为？若存在，指出点N的位置；若不存在，说明理由． 18. 已知点及圆． （1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程； （2）若过点的直线与圆交于、两点，且，求以为直径的圆的方程； （3）若直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 19. 设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，过A与垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且． （1）求椭圆C的离心率； （2）若过A、Q、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程； （3）过的直线l与（2）中椭圆交于不同的两点M、N，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届学军紫金港校区10月高二月考试卷 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1. 已知复数满足，是的共轭复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 所以. 所以的虚部为. 2. 已知直线，，若；，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行可构造方程求得的值，由推出关系可得结论. 【详解】若，则，解得：或，经检验，符合. ，，是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知，利用基本不等式“1”的应用，即可求出的最小值. 【详解】由，，所以，由基本不等式可得， ， 当且仅当，即时，取等号，此时取最小值为4. 4. 直线绕原点逆时针旋转后所得直线与圆的位置关系是（     ） A. 相交且相交弦长为 B. 相交且相交弦长为 C. 相切 D. 相离 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式计算斜率，再由直线与圆的关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，直线绕原点逆时针旋转后所得直线的倾斜角为，则，， 所以， 所以，即， 圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为：， 所以圆与直线相交， 相交弦长为：. 5. 若，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】，几何意义是点到原点的距离的平方. 【详解】，化为标准方程为， 所以点在以为圆心，为半径的圆上. 的几何意义是点到原点的距离的平方， 在平面直角坐标系中画出草图，分析可知， 当三点共线且在中间时， 距离取最小值为， 所以的最小值为. 6. 已知椭圆：，是右焦点．设为椭圆上任意一点，以为直径的圆记为，则恒与下列哪个圆相切（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用坐标计算，求出以为直径的圆的圆心和半径，发现以为直径的圆的圆心到原点的距离与半径之和为定值2，从而可以判断其与圆内切. 【详解】设，显然，右焦点，记左焦点为， 则， 则圆的圆心 ，半径， 此时 ， 即，因此圆与以原点为圆心、半径为  的圆内切， 因此恒与圆相切(内切). 7. 已知直线恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线过定点分析可知，且三点共线，可知弦的中点的轨迹是以为圆心，半径的圆，根据点到直线的距离公式可得，结合圆的性质分析求解即可. 【详解】直线，即为， 令，解得， 即直线恒过定点， 圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆内， 直线与圆相交， 又因为，可知三点共线， 设弦的中点为，则， 且，， 则，即， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆（点除外）， 设点到直线的距离分别为， 则，且点到直线的距离分别为， 可得， 设点到直线的距离分别为， 则，，， 可得， 所以的最大值为. 故选：C. 8. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论去绝对值求解. 【详解】（1）当或时，， 不等式为， 若不等式恒成立，必需 所以； （2）当时，， 不等式为即， （ⅰ）当时，不等式对任意恒成立， （ⅱ）当时， 不等式恒成立即恒成立， 所以，解得， （ⅲ）当时， 不等式恒成立即恒成立， 所以，解得 综上，实数的取值范围是 【点睛】本题考查绝对值不等式，含参数的二次不等式恒成立. 含参数的二次不等式恒成立通常有两种方法：1、根据二次函数的性质转化为不等式组；2、分离参数转化为求函数最值. 二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 定每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点关于直线的对称点为 C. 过，两点的直线方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】对选项A，分别令和，求出直线与坐标轴交点，再结合面积公式判断即可；对选项B，求出对称点坐标即可判断；对选项C特殊情况不成立；对选项D，缺少过原点的直线． 【详解】A．令得，令得，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积，正确； B．设关于直线对称点坐标为，则，解得，正确； C．两点式使用的前提是，错误； D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线还有过原点的直线，错误． 故选：AB． 10. 如图所示，用一个与圆柱底面成（）角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，、为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点．若圆柱的底面圆半径为2，．则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长为8 B. 椭圆的离心率为 C. 满足的点共有2个 D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由椭圆性质，椭圆中的关系，确定，从而得到长轴长，离心率，即可判断AB；以为半径的圆与椭圆交点个数，即可判断C；设，，可得，，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】 对于选项A：已知圆柱底面半径为，，所以， 可得，即，长轴长等于8，故A选项正确； 对于选项B：因为，即， 所以椭圆离心率，故选项B正确； 对于选项C：原题意即为以为圆心，为半径的圆与椭圆有几个交点个数， 因为，故满足条件的点P共有4个，选项C错误； 对于选项D：设，， 由椭圆定义可得，即，可得， 因为在椭圆上，的取值范围是，即， 则， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 所以的最小值为，故D正确. 11. 如图，正方体中，顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，顶点，B，C到的距离分别为，1，2，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 直线与所成角比直线与所成角大 D. 正方体的棱长为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据点到面的距离的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义、面面相交的性质进行求解判断即可. 【详解】因为B，C到的距离分别为1，2，显然不相等， 所以BC不可能与平面平行，因此选项A不正确； 设的交点为，显然是的中点， 因为平面， C到的距离为2， 所以O到的距离分别为1，而B到的距离为1， 因此，即，设平面， 所以， 因为是正方形，所以， 又因为平面，平面， 所以，因为平面， 所以平面，因此有平面，而， 所以平面平面，因此选项B正确； 设到平面的距离为， 因为平面，是正方形，点，B到的距离分别为，1， 所以有， 设正方体的棱长为， 设直线与所成角为，所以， 设直线与所成角为，所以， 因为，所以，因此选项C不正确； 因为平面平面，平面平面， 所以在平面的射影与共线， 显然，如图所示： 由， ， 由（负值舍去）， 因此选项D正确， 故选：BD 【点睛】关键点睛：利用点到面距离的性质是解题的关键. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知椭圆过点和点，则此时椭圆的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【详解】设所求椭圆的方程为． 将两点，的坐标代入，得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为． 13. 已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用两圆的相交关系，求出相交弦方程，再由已知及点线距离公式列方程求参数r. 【详解】由圆，得圆心为，半径， 由圆，得圆心为，半径为， 所以两圆的圆心距， 两圆方程相减，得公共弦的方程：， 化简得，则到直线的距离为， 要使两圆相交，需使,解得， ，可得，因，则， 由，解得，满足， 因此的值为. 14. 已知直线与椭圆（）交于A，B两点，若在E上存在一点C使得是以为斜边的直角三角形，则E的离心率的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先转化为以AB为直径的圆与椭圆的交点找到点C的坐标，再利用椭圆上的点的坐标取值范围求解. 【详解】将直线 代入椭圆方程 ， ，因此，，， 因为是以为斜边的直角三角形，所以,即点C在以AB为直径的圆上， AB 的中点（圆心）是，故半径 圆的方程： 因为点 在椭圆上，联立 由椭圆方程解出 ，代入圆的方程：， 所以，即，因为是方程的一个解， 所以，解得（舍去），（对应点 C 的纵坐标）， 椭圆上点的纵坐标范围为 ，只需满足：， 解得， 椭圆离心率 ， 由于 随 增大而增大，故当 时， 取得最小值：. 四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分. 请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积为. （1）若，求的值； （2）当角A为何值时，取得最大值，并求出该值. 【答案】（1） （2），最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理，即可求解； （2）根据（1）的过程可知，， 【小问1详解】 依题意，，即， 由正弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）得，再结合余弦定理和三角恒等变换和三角函数的性质，即可求解. 由余弦定理得， 所以， 所以当，时，取得最大值为. 16. 某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图求出的值，并用样本数据估计该校学生周平均课外阅读时间的分位数； （2）用分层抽样的方法从，两组中抽取人，再从这人中随机选出人，这人恰好在同一组的概率． 【答案】（1），分位数为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图面积之和为求出的值，根据累计频率确定分位数所在区间并列方程求解； （2）根据频率比确定分层抽样各组抽取人数，利用古典概型概率公式计算即可． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，， 解得， 前组的频率之和为， 前组的频率之和为， 所以分位数位于第组， 设分位数为，则，解得， 所以该校学生周平均课外阅读时间的分位数为； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知， 组的频率为，组的频率为， 两组频率之比为， 利用分层抽样的方法从这两组中抽取人， 则从组中抽取人，记为， 从组中抽取人，记为， 从这人中随机选出人，样本空间，共个样本点， 其中人恰好在同一组的为，共个样本点， 所以所求概率为． 17. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点M是线段的中点，N为线段CD上一点． （1）若，证明：平面； （2）在线段CD上是否存在点N，使平面与平面MNB夹角的余弦值为？若存在，指出点N的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 取线段的中点P，连接PM，PD， 因为MP为梯形的中位线，所以， 又因为，所以， 因为，，且，所以，， 所以四边形MNDP为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面． （2） 在平面中，作于O， 因为平面平面ABCD，且平面平面， 所以平面ABCD， 在正方形ABCD中，过O作AD的平行线交CD于点Q，则， 分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为四边形为等腰梯形，，，所以， 又因为，所以， 则，，，，，设，，所以， 设平面的法向量为， 所以，则， 令，所以， 又因为M为的中点， 所以，所以，， 设平面BMN的法向量为， 所以，则， 令，所以， 又因为平面与平面MNB夹角的余弦值为， 所以，整理得， 所以，解得或， 又因为，所以， 所以存在，点N为CD的中点． 【解析】 【分析】（1）取线段的中点P，连接PM，PD，利用已知可证四边形MNDP为平行四边形，进而可得，可证结论； （2）在平面中，作于O，可证，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，平面BMN的一个法向量为，利用向量法可求得，可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知点及圆． （1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程； （2）若过点的直线与圆交于、两点，且，求以为直径的圆的方程； （3）若直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ，； （2） ； （3）不存在，理由如下： 直线，即， 代入圆的方程，消去，整理得． 由于直线交圆于，两点， 故， 解得． 则实数的取值范围是． 若存在实数，使得过点的直线垂直平分弦，则圆心必在上． 所以的斜率，而，所以． 由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦． 【解析】 【分析】（1）设出直线方程，结合点到直线的距离公式，计算参数，即可得出所求直线方程，注意分斜率存在与否两种情况讨论； （2）求出点P与圆心C之间的距离，再根据逆用弦长公式求出弦心距d，发现，则点P为MN的中点，故以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，写出圆的方程即可； （3）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△>0，列出关于a的不等式，求出a的范围，再计算的斜率，求出a的值，即可. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径， 当的斜率存在时，设直线的斜率为， 则方程为． 依题意得， 解得. 所以直线的方程为，即． 当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件. 【小问2详解】 由于， 而弦心距， 所以． 所以为的中点． 故以为直径的圆的方程为． 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题． 19. 设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，过A与垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且． （1）求椭圆C的离心率； （2）若过A、Q、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程； （3）过的直线l与（2）中椭圆交于不同的两点M、N，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）椭圆的方程为；（3）存在，内切圆面积为，此时直线的方程为. 【解析】 【分析】（1）由 ,可知为的中点，由此可得Q点的坐标，由，即得，进一步计算可求出离心率的值. （2）由（1）知，可求出的外接圆圆心为，即，半径,所以再利用圆心到直线的距离等于半径,可得到关于的方程，解出值，从而得到椭圆C的方程.（3）这是探索性命题，一般先假设存在， 可设，要想的内切圆的面积最大，只需R最大，此时也最大，而，所以可设直线的方程为,直线与椭圆方程联立，消，再借助韦达定理来解决即可. 【详解】（1）由题，为的中点． 设，，则，， 由题，即，所以，即，所以； （2）外接圆圆心为斜边的中点，半径， 因为由题外接圆与直线相切，所以，即，所以c=1，a=2c=2，，故所求的椭圆C的方程为； （3）设，由题异号． 设的内切圆的半径为，则的周长为4a=8， ， 因此要使内切圆的面积最大，只需R最大，此时也最大． ， 由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为， 由得：， 由韦达定理得：，，其中恒成立， ， 令，则， 由对勾函数性质可知：当时有最大值3．此时，m=0，， 故的内切圆的面积的最大值为，此时直线的方程为. 【点睛】圆锥曲线与内切圆相结合，通常情况下，要使用内切圆半径来表示三角形的面积，这样可以让问题得以转化熟悉的问题，比如本题中要求的是的内切圆面积是否存在最大值，可以转化为求解最大值，再利用弦长公式进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $