2026年高考数学信息必刷卷01（上海卷）2026年高考数学二轮复习讲练测

2026年高考二轮信息必刷卷01 数 学 考情速递高考·新考法：核心围绕“素养落地、创新融合、实践应用”展开，具体可分为三个方向： 一、知识考查：从“单一模块”到“跨模块融合” 1. 模块边界模糊化：打破传统知识分类，要求学生建立知识间的逻辑关联。 2. 基础概念深度挖掘：不直接考查公式记忆，而是聚焦概念本质。 二、题型设计：从“固定套路”到“开放创新” ， 新定义题型常态化，另外 设问分层与开放性。 三、能力考查：从“解题技巧”到“实践与思维” 1. 实际应用能力强化：题目背景取材于真实生活，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。 2. 批判性思维考查：增加“问题辨析类”题目：给出错误的解题过程，要求学生找出逻辑漏洞并修正；或对统计结论的合理性进行评价，考查严谨的数学推理与质疑能力。 高考·新情境：核心是“真实场景+学科融合”，通过贴近生活、关联其他领域的情境，考查知识应用与问题解决能力，主要分为三类： 一、生活实践类情境：聚焦日常场景的数学转化。 二、学科融合类情境：关联其他学科的实际问题，例如： 1. 物理/体育场景：如“短跑比赛的加速度与速度关系（导数的物理意义）”。 2. 生物/环境场景：如“种群数量的增长模型（数列、指数函数）”“水质检测的数据分析（统计量计算、正态分布）”。 三、社会热点类情境 ：结合城市发展、公共事务等热点，例如： 1. 城市建设场景：如“上海地铁新线路的站点布局优化（坐标系、距离公式）”“滨江步道的景观设计（几何图形的面积、周长）”。 2. 公共管理场景：如“核酸检测的混检策略（概率计算）”。 这些情境的特点是“去抽象化”，需要先从情境中提取数学要素，再选择对应知识解决问题，而非直接套用公式。 命题·大预测：本套试卷立足新教材，新高考，呈现出基础题占比稳定、注重素养考查、题型灵活创新的特点。同时在设问方式、知识融合等方面适度创新。第11题数学建模问题，第7题引入新定义“卡西尼卵形线”，第16题伯努利双纽线考查学生的迁移应用能力，体现创新性。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，，则 . 2．已知（为虚数单位，），则的值为 ． 3．不等式的解集为 . 4．已知，则 ． 5．已知向量，若，则 . 6．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是 ． 7．卡西尼卵形线是由到两个定点（叫做焦点）距离之积为常数的所有点连接形成的图形，设一条卡西尼卵形线方程为，其两焦点直角坐标系坐标为和，动点是上一点，则最小值为 . 8．已知各项均为正数的等比数列满足，，则 . 9．设函数，若，，则当取得最小值时， . 10．已知函数， 的值域为，则的取值范围是 ． 11．2023年第5号台风“杜苏芮”强度偏强、影响严重，影响了我国东部14省（区、市）并造成严重灾害损失.中央气象台介绍，“杜苏芮”（DOKSURI）（超强台风级）的中心附近最大风力有17级（58米/秒），七级风圈半径300-450公里，十级风圈半径120-180公里，十二级风圈半径90-120公里.如图为我国东南地区局部某台风风云图．其中，福州市与台北市的直线距离约为240千米，且在平面地图中，其直线距离方向与经线（视为直线）所成角度为60°．若某时存在一台风C，已经运动到另一个地点，且记中心地点为点Q，Q位于台北市西偏南15°方向，福州市位于Q北偏东20°方向.记福州市为点P，台北市为点T，若此台风向东北方向以15公里每小时的速度匀速运动，且台风运动过程中，各参数（如运动方向、风速等）视为不变，从台风运动到Q点开始，到福州市受台风C的风圈半径为180公里的十级风圈影响结束为止的总时间约为 小时.（结果精确到整数位）（参考数据：，，，） 12．已知向量，，满足，，，向量与的夹角为，则的最小值是 . 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．已知均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为.已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（    ）    A． B． C． D． 15．如图，三棱柱满足棱长都相等且⊥平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面与平面的夹角是（   ） A．先增大再减小 B．减小 C．增大 D．先减小再增大 16．如图所示的曲线C被称为伯努利双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其几何性质可以描述为：平面上的动点到两定点的距离满足：，则以下结论中不正确的是（   ） A．若是曲线上一点，且在第一象限，则 B．当时，|OP|的最大值是（为坐标原点） C．曲线C的方程是： D．面积的最大值是. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．A4纸是长､宽比为的矩形纸张.设一张A4纸的四个顶点分别为，以两长边的中点连线为折痕，将矩形折起，连接，得到如图所示的直三棱柱是的中点. (1)证明：平面平面； (2)设，三棱柱的体积为，且为钝角，求二面角的正弦值. 18．为了解某一地区纯电动汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为． (1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱； (2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 购买非电动车 购买电动车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与性别有关？ (3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和期望． ①参考数据：； ②参考公式：（i）线性回归方程：，其中． （ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强． （iii），其中． 附表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19．函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数图象关于点成中心对称图形的充要条件为函数为奇函数．已知函数． (1)证明：函数的图象关于点成中心对称图形； (2)判断函数的单调性，并说明理由； (3)若，求实数t的取值范围． 20．有一条直线：与长轴长为，短半轴长为，且焦点在轴的椭圆交于两点A和B. (1)请写出该椭圆方程的表达式以及该椭圆离心率的表达式（用含，的式子进行表达）； (2)设点，，请用含，，，的表达式来表达，，，； (3)请用含题目给到的字母（）的式子来表达三角形的面积，并写出你求该三角形面积最大值的思路（无需给出答案，你只需要写出你的思路即可，评卷人员将根据你提供的思路的完整度以及清晰度来进行评分）. 21．已知A，B，C为函数图象上不同的三点．它们的横坐标依次成等差数列，且函数在点处的切线斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设函数． (1)讨论函数的单调性； (2)已知函数 ①证明：当时，是其定义域上的“等差偏移”函数； ②当时，函数，数列满足．其前项和为，试证明：． 1 / 6学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考二轮信息必刷卷01 数 学 考情速递高考·新考法：核心围绕“素养落地、创新融合、实践应用”展开，具体可分为三个方向： 一、知识考查：从“单一模块”到“跨模块融合” 1. 模块边界模糊化：打破传统知识分类，要求学生建立知识间的逻辑关联。 2. 基础概念深度挖掘：不直接考查公式记忆，而是聚焦概念本质。 二、题型设计：从“固定套路”到“开放创新” ， 新定义题型常态化，另外 设问分层与开放性。 三、能力考查：从“解题技巧”到“实践与思维” 1. 实际应用能力强化：题目背景取材于真实生活，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。 2. 批判性思维考查：增加“问题辨析类”题目：给出错误的解题过程，要求学生找出逻辑漏洞并修正；或对统计结论的合理性进行评价，考查严谨的数学推理与质疑能力。 高考·新情境：核心是“真实场景+学科融合”，通过贴近生活、关联其他领域的情境，考查知识应用与问题解决能力，主要分为三类： 一、生活实践类情境：聚焦日常场景的数学转化。 二、学科融合类情境：关联其他学科的实际问题，例如： 1. 物理/体育场景：如“短跑比赛的加速度与速度关系（导数的物理意义）”。 2. 生物/环境场景：如“种群数量的增长模型（数列、指数函数）”“水质检测的数据分析（统计量计算、正态分布）”。 三、社会热点类情境 ：结合城市发展、公共事务等热点，例如： 1. 城市建设场景：如“上海地铁新线路的站点布局优化（坐标系、距离公式）”“滨江步道的景观设计（几何图形的面积、周长）”。 2. 公共管理场景：如“核酸检测的混检策略（概率计算）”。 这些情境的特点是“去抽象化”，需要先从情境中提取数学要素，再选择对应知识解决问题，而非直接套用公式。 命题·大预测：本套试卷立足新教材，新高考，呈现出基础题占比稳定、注重素养考查、题型灵活创新的特点。同时在设问方式、知识融合等方面适度创新。第11题数学建模问题，第7题引入新定义“卡西尼卵形线”，第16题伯努利双纽线考查学生的迁移应用能力，体现创新性。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，，则 . 【答案】 【解析】对于集合，要使根式有意义，即. 解不等式，可得，所以集合. 已知集合，集合. 根据并集的定义,所以. 故答案为：. 2．已知（为虚数单位，），则的值为 ． 【答案】 【解析】因为，由复数相等的充要条件得， 所以． 故答案为：. 3．不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由得，整理得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为， 故答案为： 4．已知，则 ． 【答案】 【解析】． 故答案为： 5．已知向量，若，则 . 【答案】或3 【解析】向量，由，得， 所以或. 故答案为：或3 6．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是 ． 【答案】 【解析】解：由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得，所以， 所以该球的体积的最大值是． 故答案为： 7．卡西尼卵形线是由到两个定点（叫做焦点）距离之积为常数的所有点连接形成的图形，设一条卡西尼卵形线方程为，其两焦点直角坐标系坐标为和，动点是上一点，则最小值为 . 【答案】 【解析】由卡西尼卵形线的定义，可得卡西尼卵形线上的点有为定值， 因为西尼卵形线方程为，可得点在卡西尼卵形线上， 则由 所以，当时，等号成立， 所以最小值为. 故答案为：. 8．已知各项均为正数的等比数列满足，，则 . 【答案】/ 【解析】设正项等比数列的公比为， 则，所以， 所以． 故答案为： 9．设函数，若，，则当取得最小值时， . 【答案】 【解析】， （当且仅当，即时取等号）， ，则，即（当且仅当时取等号）， . 故答案为：. 10.已知函数， 的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，， 当时，取得最小值，最小值为，此时的值域为， 当时，， ①当时，函数在上为单调递增，可得的值域为， 要使得函数的值域为，则，解得； ②当时，函数在为单调递减，可得的值域为， 此时函数的值域不可能为，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 11．2023年第5号台风“杜苏芮”强度偏强、影响严重，影响了我国东部14省（区、市）并造成严重灾害损失.中央气象台介绍，“杜苏芮”（DOKSURI）（超强台风级）的中心附近最大风力有17级（58米/秒），七级风圈半径300-450公里，十级风圈半径120-180公里，十二级风圈半径90-120公里.如图为我国东南地区局部某台风风云图．其中，福州市与台北市的直线距离约为240千米，且在平面地图中，其直线距离方向与经线（视为直线）所成角度为60°．若某时存在一台风C，已经运动到另一个地点，且记中心地点为点Q，Q位于台北市西偏南15°方向，福州市位于Q北偏东20°方向.记福州市为点P，台北市为点T，则∠PQT的大小为 ；若此台风向东北方向以15公里每小时的速度匀速运动，且台风运动过程中，各参数（如运动方向、风速等）视为不变，从台风运动到Q点开始，到福州市受台风C的风圈半径为180公里的十级风圈影响结束为止的总时间约为 小时.（结果精确到整数位）（参考数据：，，，） 【答案】 【解析】      过点作竖直方向的直线，过点作水平方向的直线，设两直线交于点. 则，且根据题目条件，有，. 所以，. 从而. 由于，故，. 设当福州市受台风C的风圈半径为180公里的十级风圈影响结束时，台风位于点处，则，. 设，由于，，故. 代入已知数据得，即，所以. 由知应取较大根，故. 所以，故总时间约为小时. 故答案为：. 12．已知向量，，满足，，，向量与的夹角为，则的最小值是 . 【答案】1 【解析】由题意， 代入，得，则夹角为， 如图所示在直角三角形中，， ， 令，则， 即为向量与的夹角为， 则点C在所对圆周角为的圆弧上，其圆心角为， 如图所示，要使得最小，显然在下方的圆弧上， 由于，则在上取，由于，由余弦定理可得，同理可求， 所以点即为圆心，半径， 则，此时共线且点C在之间， 故的最小值是1. 故答案为：1. 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．已知均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，则，则 所以，因此充分性成立. 若，则， 即，即， 从而，即，因此必要性成立. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 14．晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为.已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知区域和全等，且都是底面半径为，高为的圆柱的侧面的一部分， 将区域还原到如图所示圆柱中.    由图可知，，， 由扇形的弧长公式可知，的长为， 结合圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故选：B 15．如图，三棱柱满足棱长都相等且⊥平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面与平面的夹角是（   ） A．先增大再减小 B．减小 C．增大 D．先减小再增大 【答案】D 【解析】以AC中点O为坐标原点，OB，OC分别为x，y轴，建立空间直角坐标系． 设所有棱长均为2， 则，， ， ，设平面BDE法向量， 则， 令，则， 故． 又平面的法向量， 故平面与底面所成锐二面角的平面角的余弦值， 又，故在上单调递增，上单调递减， 即随着x增大先增大后减小，且在单调递减，所以随着x增大先减小后增大． 故选：D． 16．如图所示的曲线C被称为伯努利双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其几何性质可以描述为：平面上的动点到两定点的距离满足：，则以下结论中不正确的是（   ） A．若是曲线上一点，且在第一象限，则 B．当时，|OP|的最大值是（为坐标原点） C．曲线C的方程是： D．面积的最大值是. 【答案】A 【解析】由题意，得曲线的方程为， 对于A，令，则，即，解得，此时，不满足，故A错误， 对于B，时，，因为， 所以， 即① 在中，由余弦定理得② 所以 ，，所以， 所以，即的最大值为，故B正确 对于C，将双纽线的方程，两边平方得，化简可得，故C正确； 对于D，由可得， 令，则， 因为该方程有实数根，故， 解得，故， ，故D正确， 故选：A. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．A4纸是长､宽比为的矩形纸张.设一张A4纸的四个顶点分别为，以两长边的中点连线为折痕，将矩形折起，连接，得到如图所示的直三棱柱是的中点. (1)证明：平面平面； (2)设，三棱柱的体积为，且为钝角，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）由且为中点，得，(2分) 又三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面，平面，所以平面，(4分) 又平面，所以平面平面.(6分) （2）取中点，故平面，又由（1）知，所以两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 因为，由题意得，(8分) 所以三棱柱的体积， 所以，又为钝角，所以， 所以，即， 则，，， 所以，，，（10分) 设平面的法向量为， 则，取，则， 即，(11分) 设平面的法向量为， 则，取，则， 即，(12分) 设二面角的平面角为， ， 所以， 所以二面角的正弦值.(14分) 18．为了解某一地区纯电动汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为． (1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱； (2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 购买非电动车 购买电动车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与性别有关？ (3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和期望． ①参考数据：； ②参考公式：（i）线性回归方程：，其中． （ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强． （iii），其中． 附表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)，与线性相关较强 (2)可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与车主性别有关 (3)分布列见解析， 【解析】（1）相关系数为 (2分) 故与线性相关较强(4分) （2）零假设为：购买电动汽车与车主性别无关； (6分) 可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与车主性别有关(8分) （3）抽样比，男性车主选取2人，女性车主选取5人，则的可能取值为0，1，2， 故， 故的分布列为.(12分) 0 1 2 (14分) 19．函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数图象关于点成中心对称图形的充要条件为函数为奇函数．已知函数． (1)证明：函数的图象关于点成中心对称图形； (2)判断函数的单调性，并说明理由； (3)若，求实数t的取值范围． 【答案】(1)证明见解析. (2)单调递增，理由见解析. (3) 【解析】（1）证明：设，定义域为R， 则， 所以为奇函数，(2分) 根据题意：函数图象关于点成中心对称图形的充要条件为函数为奇函数， 所以函数的图象关于点成中心对称图形.(4分) （2）单调递增，理由如下：(5分) 因为，所以在R上单调递增，则也单调递增，(7分) 则 ，所以单调递减， 所以在R上单调递增，(9分) （3）因为的图象关于点成中心对称图形， 所以，(8分) 因为， 所以，即，(10分) 因为在R上为增函数， 所以，即，解得， 所以实数t的取值范围是.(14分) 20．有一条直线：与长轴长为，短半轴长为，且焦点在轴的椭圆交于两点A和B. (1)请写出该椭圆方程的表达式以及该椭圆离心率的表达式（用含，的式子进行表达）； (2)设点，，请用含，，，的表达式来表达，，，； (3)请用含题目给到的字母（）的式子来表达三角形的面积，并写出你求该三角形面积最大值的思路（无需给出答案，你只需要写出你的思路即可，评卷人员将根据你提供的思路的完整度以及清晰度来进行评分）. 【答案】(1)； (2)答案见解析 (3)，最大值为. 【解析】（1）因为椭圆长轴为，短半轴为，且焦点在轴， 所以椭圆标准方程为，离心率为.(4分) （2）联立，， 得，.(6分) 则由韦达定理得，， 则，.(8分) ..(10分) （3）如图，作出符合题意的图形， (12分) 由（2）可得， (14分) 则，(16分) 先将视为常数，视为变量， 则是关于的二次函数且开口朝下， 则当时，最大值为， 故.(18分) 21．已知A，B，C为函数图象上不同的三点．它们的横坐标依次成等差数列，且函数在点处的切线斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设函数． (1)讨论函数的单调性； (2)已知函数 ①证明：当时，是其定义域上的“等差偏移”函数； ②当时，函数，数列满足．其前项和为，试证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【解析】（1）函数的定义域为R，求导得：，（1分） 当时，恒成立，函数在R上单调递增； 当时，令，解得，（2分） 当时，，函数在单调递减， 当时，，函数在单调递增， 函数的单调增区间为，单调减区间为 综上所述：当时，函数在R上单调递增；   当时，函数的单调增区间为，单调减区间为；（4分） （2）①设三点的横坐标成等差数列， 且满足，则，（6分） 又由，， 则，， （8分） 令，则，令，求导得， 在内单调递增，，即， 因为，，所以， 即函数在点处的切线斜率恒小于直线AC的斜率， 所以当时，是其定义域上的“等差偏移”函数；（10分） ②由，当时，，， 设，求导得，（12分） 当时，，则在内单调递增， ， ，符合题意， 构造函数，求导得，（14分） 在内单调递增，则， 当时，， ，即， ，即，得（16分） ， 即， ．（18分） 1 / 15学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考二轮信息必刷卷01 数 学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3． 4． 5．或3 6． 7． 8．/ 9． 10． 11． 12．1 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 题号 13 14 15 16 答案 C B D A 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．(14分) 【解析】（1）由且为中点，得，(2分) 又三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面，平面，所以平面，(4分) 又平面，所以平面平面.(6分) （2）取中点，故平面，又由（1）知，所以两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 因为，由题意得，(8分) 所以三棱柱的体积， 所以，又为钝角，所以， 所以，即， 则，，， 所以，，，（10分) 设平面的法向量为， 则，取，则， 即，(11分) 设平面的法向量为， 则，取，则， 即，(12分) 设二面角的平面角为， ， 所以， 所以二面角的正弦值.(14分) 18．（14分） 【解析】（1）相关系数为 (2分) 故与线性相关较强(4分) （2）零假设为：购买电动汽车与车主性别无关； (6分) 可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与车主性别有关(8分) （3）抽样比，男性车主选取2人，女性车主选取5人，则的可能取值为0，1，2， 故， 故的分布列为.(12分) 0 1 2 (14分) 19．（14分） 【解析】（1）证明：设，定义域为R， 则， 所以为奇函数，(2分) 根据题意：函数图象关于点成中心对称图形的充要条件为函数为奇函数， 所以函数的图象关于点成中心对称图形.(4分) （2）单调递增，理由如下：(5分) 因为，所以在R上单调递增，则也单调递增，(7分) 则 ，所以单调递减， 所以在R上单调递增，(9分) （3）因为的图象关于点成中心对称图形， 所以，(8分) 因为， 所以，即，(10分) 因为在R上为增函数， 所以，即，解得， 所以实数t的取值范围是.(14分) 20．（18分） 【解析】（1）因为椭圆长轴为，短半轴为，且焦点在轴， 所以椭圆标准方程为，离心率为.(4分) （2）联立，， 得，.(6分) 则由韦达定理得，， 则，.(8分) ..(10分) （3）如图，作出符合题意的图形， (12分) 由（2）可得， (14分) 则，(16分) 先将视为常数，视为变量， 则是关于的二次函数且开口朝下， 则当时，最大值为， 故.(18分) 21．（18分） 【解析】（1）函数的定义域为R，求导得：，（1分） 当时，恒成立，函数在R上单调递增； 当时，令，解得，（2分） 当时，，函数在单调递减， 当时，，函数在单调递增， 函数的单调增区间为，单调减区间为 综上所述：当时，函数在R上单调递增；   当时，函数的单调增区间为，单调减区间为；（4分） （2）①设三点的横坐标成等差数列， 且满足，则，（6分） 又由，， 则，， （8分） 令，则，令，求导得， 在内单调递增，，即， 因为，，所以， 即函数在点处的切线斜率恒小于直线AC的斜率， 所以当时，是其定义域上的“等差偏移”函数；（10分） ②由，当时，，， 设，求导得，（12分） 当时，，则在内单调递增， ， ，符合题意， 构造函数，求导得，（14分） 在内单调递增，则， 当时，， ，即， ，即，得（16分） ， 即， ．（18分） 7 / 7学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $