分式的混合运算典型题型归纳专项练- -2025-2026学年人教版数学八年级上册

分式的混合运算 一、分式的混合运算问题 1.计算： 2x 2y (1)x-yx-yi f- x+1 2.计算： a a2 a+1a (1) o x-1 3.计算： 5a+3b 2a (0a2-6-a2-b (x+3 x-1 x (22-3xx2-6x+9)x-9 4.计算： w(〔】 20-30a-3a+1 a2+aa2-1a-1 2+1x+1+x (3) x-2x-22-x 2小 .a2-2a+1 a+2 二、分式的混合运算先化简求值问题 5.先化简，再求值： 3-3x）x2-4 x-2厂x2-4x+4,其中 =4 a2-41 2 6.先化简，再求值： a24a+42-a广a-2a,其中a=10-3a 7.先将 m2-1 、+4m十m+山化简，再从一22四个数字选取个你认为合适的m的值代入求 值. x2-8x+16. 8.先化简，再求值： ÷x-2-12）1 x2+2x 2x+2厂x+4,其中，满足2+4x-3=0 三、分式的混合运算错解复原问题 9.下面是小红同学进行分式化简的过程： 2x 化简 ······第一步 …第二步 =x-1 …第三步 2x (I)小红同学的化简过程从第_步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从-1,0,1,2中选择合适的数作为x的值代入求值， 10.小坪在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下： 先化简，后求值：x2x,其中≤x<3”任选一个合适的整数作为x的值代入， 解：原式-x-2+40 x-2 x-2 =x2-4x+4-x+4x② x-2 4 2⑧ 4 当x=1时，原式一24国 请帮助小坪找出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程. (1)小坪在第 步出错，错误原因是 (2)请在下方写出正确解答过程 11.在化简 x+x2-9 x+3 x-3/x 的过程中，小明、小红同学分别给出了如下的部分运算过程： 小明：原式= x(x-3) +c+3)1.x2-9 (x+3)(x-3)(x+3)(x-3)x … 小红：原式=-9+x-9 x+3 x x-3 x (1)小明解法的依据是 ,小红解法的依据是 (填序号) ①等式的基本性质：②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律 (2)试选一种解法，写出完整的解答过程. 12.(1)下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务 异分母的分式加减法回顾与反思【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，其基本思路是将异分母分 式通过通分转化为同分母分式，再进行加减运算. 、2 a-1 下面是我在课堂上化简分式。一a一2a+的过程： 2 a-1 解：原式a+la-)a-第一步 。1 (a+1a-Da-1第二步 2 a+1 (a+a-)(a+1a-)第三步 2-a+1 (a+1(a-)第四步 3-a (a+1)(a-)·第五步 【反思】在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础， 任务： ①以上化简过程中，第三步是进行分式的 它的依据是 ②上述解题过程中，从第 步开始出现错误，写出正确的化简过程： 3）.x2-4x+4 (2)先化简，再求值： x+1 x+1，其中 =-21 四、分式的混合运算规律探究问题 13.观察以下等式： 第1个等式： 2 第2个等式： 1+引2- 第3个等式： 第4个式：-24 第5个等式： … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式：-： (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明. 14.观察下列各个等式的规律： 121 第1个等式：1x2x332 1 31 第2个等式：2x3×483 141 第3个等式：3x4×5154 151 第4个等式： 4×5×6245 … 用上述等式反映的规律，解答下列问题. (1)请直接写出第5个等式： (2)猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并证明其正确性. 15.观察下列等式： 第1个等式：×21 1、11, 第2个等式：2×32+1= 3； 第3个等式：有r好}1 111 149 根据以上规律解答下面问题： (1)直接写出第4个等式： (2)猜想出第n个等式（用含n的式子表示），并证明. 16.【观察思考】 观察下列等式： (13)12_3 13）204 第1个等式： 281=2:第2个等式： 3152=3 13.305 第3个等式： 4243=4；第4个等式： 13426 535×4=5: 【规律发现】 (1)第5个等式是_； (2)猜想第n个等式是_（用含n的代数式表示）： 【规律论证】 (3)请证明猜想的第n个等式， 五、分式的混合运算新定义型问题 17.定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A-B=AB,则称分式B是分式A的“关联分式”. 例如：中与中2 1 11 11 1 X- x+1x+2(x+1)(x+2)’x+1x+2(x+1)(x+2)’ :1 上十)是的“关联分式” x+1 2 2 2 (1已知分式a-,则a2+1 的“关联分式”（填“是”或“不是”）： a-b 2)求分式2a+36的“关联分式”： 6)观察D）(2)的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”： 18.定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分 式”. 0脸出下列分流①生，@2李：回告号：@，其中候于和暗分式”的光 (填序 号)； R包将“和汽分式“。之+3化成个整式与一个分了为传玫的分式的妇附形式 x+6x-1,x2-1 3)化简 +1x产+2·若该式的值为整数，求x的整数值. 19.定义：若两个分式的和为n(n为正整数)，则称这两个分式互为“n阶分式”，例如： 33死二3+3x_31+0-3,则分式中与+x 3 3x 互为“3阶分式”. 1+x1+x1+x1+x 15 10x 0分式3+2x与3+2x互为“ 阶分式”； 2x.2y (2已知正数x,y满足=子求证：分式x+少与)y十产互为“2阶分式”： 同若分式的与的6互为1阶分式”（其中a,b均为正数），求6的值。 2b 20.定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A-B=AB,则称分式B是分式A的“分裂分式”. 如1与1 11 1 11 1 +与x+2因为x中1x+2+x+2x+x+2x+x+2,所以十2是的“分裂分 X- x+2x+1 式”. 填空：分式十3 分式+2的“分裂分式”（填“是”或“不是”）； 2x+3 ②四分式3x+3是分式A的“分裂分式”·求整数，为何值时，分式A的值是正整数，并写出分式A的值. 日洁关于，的分式子。足 m-1 n是关于x的分式十的“分裂分式”，求n的值. 六、分式的混合运算假分数问题 21.分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式， 刷如：分式千，是真分式，如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式，如 2x2x2+2x-2x_2xx+l_2x=2x-2x+2-2=2x-2+2 x+1 x+1 x+1x+1 x+1 +1 4x+1 (1)将假分式2x一化为一个整数与一个真分式的和： ②)若x是整数，且假分式 x一2的值为正整数，求x的值： 4x2+7x-3 (3)若假分式 x+2 化为一个整式与个真分式的和的形式为4+分，4，B均为关于的多项式，若 A=4a-9,B=b-10,求a2+b2+ab的最小值. x-1 22.阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如： x+1’ 这样的分式就是假分式：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： 1 x+2 x+1 当这华有分式流足顶分式我斑道，分妆可以心为唐分，创：；2-导类似 假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： +2x-1_+2-1-x- 1 x+2 x+2 r+2 (x2+2x-2xxc+2)-2x-4+4_xx+2到-2x+2到+4=x-2+4 x+2 x+2 x+2 x+2 +2 请根据上述材料，解答下列问题： )填空：①分式x+2是 分式（填“真”或“假”） ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： x2-3x+5 x-3 2把分式+2x-13 x3巴化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为 整数 23.阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”·而假分数都可化为带分数，如： 8=6+2=2+2=22 33 3 :2?·我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母 的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”， 如： x-1x2 x+1x- 这样的分式就是假分式：再如：32这样的分式就是真分式。类似的，假分式也可 x+1'x2+1 以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：-x+-2-1-2 x+1x+1 +1 再如： 22-1+1_x+(x-+1-x+1+ x-1x-1 x-1 x-11 解决下列问题： 分式： 是 一（填“真分式”或“假分式”）： 2x+1 (2)如果分式x+1的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值. 5x2+9x-3 (3)把分式 x+2 化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程. 七、分式的混合运算“倒数法”求值问题 24.阅读下面的解题过程： x I 解：由x+3可知x≠0， +1=3,即x+=30 X +〔+22@ 1 -2运用了公式：；（要求：用含a、b的式子表示） (2)上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 1 x2 已知：-3x+4,求x+7+ 的值： ab I bc 1 ac 1 (3)已知： abc a+b2024'b+c2025'a+c2026,求b+bc+ac的值. 25。（)操作发现：问读下列解题过程：已知并分求手的值。 x2 解由知70所1=，即43 x2 +的值为7的倒数，即 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做 “倒数法”， (二)实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： x2 已知一x+7求 4-x2+1 的值 (三)问题解决： ab 2 ca 3 be 6 己知： a+h3c+a4+c5·求代数式a+h+e的值. 26.阅读下面的解题过程： 已知x=1 +15,求 的值 x4+1 解由4兮知0所以中-5，即x5 所以：(2s223 所以 的值为23 1 x4+1 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： x 1 x2 )已知+3求产+的值： (2)若。x=1， x2 ++25'求++4的值： y=-1z=1z-1 、3拓展：已知+y2y+26”x+210求g+z+2x的值. 答案 一、分式的混合运算问题 2x 2y 1.(1)解：x-yx-y =2x-2y x-y =2(x-2=2 x-y 2)银： =x+1 /x(x+)_3x-1 x(x-1)x+1 x+1 =x+1.x2+x-3x+1 x(x-1） x+1 =x+Lx2-2x+1 x(x-1)x+1 =x+1.c-_x-1 x(x-1)x+1x 2.(1)解： a-11-a =a2 a-1a-1 =q-a2 a-1 =a-a) a-1 .-a(a-1) a-1 =-a;