全国初中数学竞赛模拟卷（三）全国通用

全国初中数学竞赛模拟卷（三） 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．数，，的平均值是333，则数，，的平均值是（    ） A．444 B．333 C．555 D．111 2．甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米，用时6小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80千米用时8小时．则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶150千米需要（   ）小时 A．10 B．9 C．8 D．12 3．如图，将纸片沿折叠，使得点D落在边上点F处，当时，与的关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，二次函数在第一象限的图象上有三点、、，这三点的横坐标为连续的三个整数、、，过这三点分别作轴的垂线，垂足分别为点、、，直线交线段于点，则的长度为（   ） A． B． C． D． 5．，，，这四个数从小到大的排列顺序是（  　） A． B． C． D． 6．如图，将长方形纸片分别沿，折叠，点D，E恰好重合于点M．记面积为，面积为，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子出生后的天数为 个． 8．若、、为实数，且满足，求的值为 ． 9．定义一个运算， ，如果x满足方程，则x的值为 ． 10．如图，四边形为矩形，连接，将矩形绕点B旋转至矩形使得边经过中点，并交于点，若，则的值为 ．    11．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．已知，把一块含有角的三角板如图1叠放，将三角板绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图2），射线构成内半角，则旋转时间为 秒． 12．如图，在平面直角坐标系中有一点，连接，然后将绕点按逆时针方向旋转后，截取得到点；再将绕点按逆时针方向旋转后，截取得到点按照同样的方法继续作下去，直至得到点，则点的坐标为 ． 三、解答题（共6小题，满分60分） 13．（本题10分）在梯形中，，，，连接、交于O，过O作，E、F在、上， (1)用含a，b的代数式表示； (2)， ，比较与大小； (3)若两个梯形对应角相等，四组对应边的比例相同，则这两个梯形相似．证明使分得的梯形与梯形相似． 14．（本题10分）通过改变的值得到动态函数，并且探索函数图象的相关性质． 规定：当，此时函数解析式为，且记点的坐标分别为． (1)当函数解析式为，且，则___________； (2)若点的坐标分别为，函数的图象与轴有两个交点时的取值范围； (3)若点的坐标为，点在点的右边，且满足，且此时函数的最小值为2，求出此函数的解析式． 15．（本题10分）已知两个等腰直角、，它们有公共的直角顶点A，． (1)如图1所示，分别连接、，判断、之间的数量和位置关系，并加以证明； (2)如图2所示，分别连接、，取中点M，直线交直线于点N，判断、之间的数量和位置关系，并加以证明； (3)在（2）的条件下，，在同一平面内将绕点A旋转，使得，则； (4)如图3所示，连接、，分别取线段、、的中点P、Q、M，连接、、、，若，则的面积为 ． 16．（本题10分）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“1阶差函数”． (1)函数①；②；③．其中函数__________是在上的“1阶差函数”；（填序号） (2)已知函数：． ①当时，函数是在上的“1阶差函数”，求的值； ②函数是在（m为整数）上的“1阶差函数”，且存在整数k，使得，求a的值． 17．（本题10分）已知代数式，当、时，解得、，则称、为代数式的零点．绝对值符号运算中，利用代数式的零点进行分类讨论解决含有绝对值的式子的运算称为“零点分段法”． (1)试应用“零点分段法”，解方程； (2)设．请应用“零点分段法”探究是否存在最小值？若存在，试求出的最小值，并求此时的取值范围，若不存在，请说明理由． 18．（本题10分）如图1，抛物线与轴交于两点在的左侧，交轴于点． (1)当时，点在直线上，若满足的点恰有一个，直接写出的值； (2)如图2，四边形是的内接矩形，当矩形的面积取最大值时，连接并延长交抛物线于点，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 全国初中数学竞赛模拟卷（三） 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．数，，的平均值是333，则数，，的平均值是（    ） A．444 B．333 C．555 D．111 【答案】A 【分析】此题考查了平均数的定义，首先根据题意得到，求出，然后根据平均数的定义求解即可． 【详解】解：∵，，的平均值是333， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A． 2．甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米，用时6小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80千米用时8小时．则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶150千米需要（   ）小时 A．10 B．9 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．先设静水速度为x千米/时，再根据静水速度=顺水速度-水流速度，静水速度=逆水速度+水流速度，即可列出方程并求解出静水速度，接着根据时间=路程÷速度，即可求出答案． 【详解】解：设静水速度为x千米/时， 由题可列方程：， 解得：， （小时）， 故选：A． 3．如图，将纸片沿折叠，使得点D落在边上点F处，当时，与的关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，如图，连接，利用平行四边形的性质和三角形的外角的性质求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由翻折变换的性质可知，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．如图，二次函数在第一象限的图象上有三点、、，这三点的横坐标为连续的三个整数、、，过这三点分别作轴的垂线，垂足分别为点、、，直线交线段于点，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，梯形的中位线性质，先根据题意得出,，根据梯形的中位线性质得出的长度，再表示，最后根据求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】∵二次函数在第一象限的图象上有三点、、，这三点的横坐标为连续的三个整数、、，过这三点分别作轴的垂线，垂足分别为点、、， ∴,， ∴， 当时，， ∴， 故选：A． 5．，，，这四个数从小到大的排列顺序是（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式加减的应用．根据分式的加减求出是解题的关键；设为真分数，，通过计算可得，据此即可得到答案． 【详解】解：设为真分数，，则，，， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，将长方形纸片分别沿，折叠，点D，E恰好重合于点M．记面积为，面积为，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，过点作于点，则，根据相似三角形的性质得出，设，则，根据折叠的性质及矩形的性质推出，，，，则，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于点，   ， ， ， ， ， 设，则， 由折叠可知，，，，，， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ，， ， ， ， ， ，， ， 故选：D． 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子出生后的天数为 个． 【答案】552 【分析】类比现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数． 【详解】解：孩子出生后的天数为1×73+4×72+1×7+6=552 故答案为552． 【点睛】本题考查了“满七进一”，以“古代结绳”为背景，按满七进一计算孩子出生后的天数，运用类比的方法，根据图中的数字列式计算． 8．若、、为实数，且满足，求的值为 ． 【答案】 【分析】根据配方法的理论依据，即公式，将原方程转化为即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 9．定义一个运算， ，如果x满足方程，则x的值为 ． 【答案】2008 【分析】本题主要考查了新定义运算，解一元一次方程，绝对值的意义，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论．分三种情况：当时，当时，当时，分别根据新定义进行求解即可． 【详解】解：当时，原方程可变为， 整理得：， ∴或（此方程无解）， 解得：； 当时，原方程可变为， 整理得：， ∴或， 解得：（不符合题意舍去）或（不符合题意舍去）； 当时，原方程可变为，此时没有x的值符合题意； 综上分析可知：． 故答案为：2008． 10．如图，四边形为矩形，连接，将矩形绕点B旋转至矩形使得边经过中点，并交于点，若，则的值为 ．    【答案】 【分析】延长交于点，连接，，，先证和全等，得出，再证和全等，得出，进而证四边形为平行四边形，得出，设，，则，，，，，，根据得，由此得，进而得，，然后在中利用勾股定理求出，代入计算的值即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，，，    ∵四边形为矩形，点是对角线的中点， ∴经过点，，， ，， 由旋转的性质可知：，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵为平行四边形的对角线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 11．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．已知，把一块含有角的三角板如图1叠放，将三角板绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图2），射线构成内半角，则旋转时间为 秒． 【答案】5，45，135，175 【分析】本题主要考查的是新定义、角度计算等知识点，根据题意构建方程是解题的关键． 根据新定义角的内半角定义，分情况讨论三角板在运动过程中形成的内半角，得出时间t即可． 【详解】解：设t秒时，射线构成内半角，分情况讨论． 如图①：当 由旋转的性质可得：， ∴， ∵， ∴，解得：； 如图②：当, 由旋转的性质可得：， ∴，， ∵， ∴，解得：； 如图③：当, 由旋转的性质可得：， ∴，， ∵， ∴，解得：； 如图④：当, 由旋转的性质可得：， ∴， ∵， ∴，解得：． 综上，旋转时间为5，45，135，175． 故答案是：5，45，135，175． 12．如图，在平面直角坐标系中有一点，连接，然后将绕点按逆时针方向旋转后，截取得到点；再将绕点按逆时针方向旋转后，截取得到点按照同样的方法继续作下去，直至得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标点规律的探索，根据旋转求解，勾股定理，含角的直角三角形特征，过点作轴，根据勾股定理求出的长度，根据题意即可求出，，，，，得到，即可推出轴，与x轴夹角为，与x轴夹角为，轴，与x轴夹角为，根据含角的直角三角形特征，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作轴， 则为直角三角形， ， ， ， ，，，，， ，， ， 每次旋转， 则轴，与x轴夹角为，与x轴夹角为，轴，与x轴夹角为， 的横坐标为， 的纵坐标为， 的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（共6小题，满分60分） 13．（本题10分）在梯形中，，，，连接、交于O，过O作，E、F在、上， (1)用含a，b的代数式表示； (2)， ，比较与大小； (3)若两个梯形对应角相等，四组对应边的比例相同，则这两个梯形相似．证明使分得的梯形与梯形相似． 【答案】(1) (2) (3)详见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）利用证明，得到，从而得到，同理证明得到，从而得解； （2）同理可得，从而得到，通过对变形可以证明，继而得到，从而得解； （3）过D作平行线交于M，交于N，则四边形和四边形是平行四边形， ，，证明得到，继而证明，利用两直线平行同位角相等可得对应角相等，从而得证． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：与（1）同理可得：， ∴， ∵， ∴，即 ∴， ∴，即； （3）解：过D作平行线交于M，交于N，则四边形和四边形是平行四边形， ，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵，， ， ∴， ∴梯形与梯形相似． 14．（本题10分）通过改变的值得到动态函数，并且探索函数图象的相关性质． 规定：当，此时函数解析式为，且记点的坐标分别为． (1)当函数解析式为，且，则___________； (2)若点的坐标分别为，函数的图象与轴有两个交点时的取值范围； (3)若点的坐标为，点在点的右边，且满足，且此时函数的最小值为2，求出此函数的解析式． 【答案】(1)4或0； (2)或 (3)或 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出点的坐标分别为，再由两点之间的距离得出绝对值方程求解即可； （2）根据题意得出，再由二次函数与坐标轴的交点与一元二次方程的关系求解即可； （3）根据题意得或，代入二次函数关系式，利用最值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点的坐标分别为． ∵， ∴， 解得：或， 故答案为：4或0； （2）解：∵点的坐标分别为， ∴， ∴函数解析式为， ∵函数的图象与轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴， 解得：或； （3）解：∵点的坐标为，点在点的右边， ∴， ∵， ∴或， ∴或， ∵函数的最小值为2， ∴或， 解得：或（舍去）或或2（舍去）， ∴函数的解析式为：或． 15．（本题10分）已知两个等腰直角、，它们有公共的直角顶点A，． (1)如图1所示，分别连接、，判断、之间的数量和位置关系，并加以证明； (2)如图2所示，分别连接、，取中点M，直线交直线于点N，判断、之间的数量和位置关系，并加以证明； (3)在（2）的条件下，，在同一平面内将绕点A旋转，使得，则； (4)如图3所示，连接、，分别取线段、、的中点P、Q、M，连接、、、，若，则的面积为 ． 【答案】(1)且，证明见解析 (2)且，证明见解析 (3) (4)8 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质（）、三角形中位线定理、勾股定理及垂直关系的判定与性质，解题的关键是利用等腰直角三角形的边角等量关系构造全等三角形，或借助中位线转化线段与位置关系，结合旋转中的不变量推导结论．（1）通过（均为），结合、，用证，得；再利用对顶角相等和三角形内角和，证，得． （2）延长AM至使，结合是CD中点，用证，得且；推导（均为），结合、，用证，得；再通过和，证，得． （3）过作延长线，由得，结合，用角性质得、；由，勾股定理求，得；设，用勾股定理列，解得，再求，得． （4）连接EC，由（1）得且；用三角形中位线定理，得PQ是的中位线（、），QM是的中位线（、）；证，用面积公式得． 【详解】（1）且，理由如下： ∵， ∴， ∴， 如图1，延长交于I，交于K，在和中，， ∴， ∴， ∴且； （2）且；理由如下： 延长至K，使得，连接，如图， 又∵中点为M， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则 ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴且； （3）过点K作，交延长线于点H，如图， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴， ∴， ∵， 在和中，由勾股定理得， 设，则， ∴， 解得， ， ∴， 故答案为：； （4）如图3，连接，延长交于点交于点I， 由（1）知， 在中，点P为中点，点Q为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 在中，M为中点，Q为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：8． 16．（本题10分）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“1阶差函数”． (1)函数①；②；③．其中函数__________是在上的“1阶差函数”；（填序号） (2)已知函数：． ①当时，函数是在上的“1阶差函数”，求的值； ②函数是在（m为整数）上的“1阶差函数”，且存在整数k，使得，求a的值． 【答案】(1)②； (2)①或；② 【分析】本题考查了新定义“1阶差函数”以及反比例函数、一次函数、二次函数的性质，解题的关键是根据函数的变化规律，分析给定的范围（如，等）内的最大值与最小值，结合“1阶差函数”（最大值减最小值等于1）的定义求解． （1）分别在这个的范围里，计算三个函数的最大值和最小值，验证最大值减最小值是否为1； （2）①当时，得到二次函数，先求对称轴，再分不同情况讨论这个的范围里的最大值和最小值，利用“最大值减最小值等于1”列方程求；②将函数化为顶点式，分析这个的范围的单调性，得出最大值和最小值的表达式，结合是整数以及，求出的值． 【详解】（1）解：（1）当时， 函数①，当时，，当时， ， 函数①不是在上的“1阶差函数”； 对函数②；当时，，当时， ， 函数②是在上的“1阶差函数”； 对函数③，当时，，当时， ， 函数③不是在上的“1阶差函数”； 故答案为：②； （2）①当时，函数为，对称轴为直线． 当时，，当时，， 当时，． 若；则，解得（舍去）； 若，则，解得（舍去），； 若，则，解得（舍去）； 若，则，解得（舍去）． 综上所述，或； ② ∴抛物线的对称轴为直线， 又， ． 当时，随的增大而增大， 当时取得最大值，时取得最小值， 函数在（为整数）上的“1阶差函数”， ， 为整数， 为整数，即为整数， ，且为整数， 是4的因数，又 或，而时，不符合题意，舍去， ，把代入得： ． 17．（本题10分）已知代数式，当、时，解得、，则称、为代数式的零点．绝对值符号运算中，利用代数式的零点进行分类讨论解决含有绝对值的式子的运算称为“零点分段法”． (1)试应用“零点分段法”，解方程； (2)设．请应用“零点分段法”探究是否存在最小值？若存在，试求出的最小值，并求此时的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在，最小值为，此时 【分析】本题考查了绝对值的化简，绝对值方程，整式的加减运算，正确分类讨论是解题的关键． （1）分三种情况讨论，化简绝对值，解方程即可； （2）分五种情况讨论，化简绝对值，再求最值． 【详解】（1）解： 当时，, 解得； 当时，， 方程无解； 当时，, 解得； 综上所述，方程的解为或； （2）解：存在， 当时，， ∴当时，W的值最小为； 当时，， ∴当时，W的值最小为； 当时，； 当时，， ∴当时，W的值最小为； 当时，， ∴当时，W的值最小为； 综上所述，W的最小值为2028，此时． 18．（本题10分）如图1，抛物线与轴交于两点在的左侧，交轴于点． (1)当时，点在直线上，若满足的点恰有一个，直接写出的值； (2)如图2，四边形是的内接矩形，当矩形的面积取最大值时，连接并延长交抛物线于点，求的值． 【答案】(1)，，或 (2) 【分析】（1）以线段AC为直径做辅助圆，利用“圆内接三角形一边为直径，则对角为直角”可知，除点A和点C外的圆上其他点P与点A和C所成，且要满足点恰有一个，需要根据直线与圆的交点关系，判断出P点可能位置及坐标． （2）设E点坐标为(m,0)，利用和，求出矩形的长和宽，将矩形的面积表示为m的二次函数；矩形的面积取最大值时，就是函数的值是最大值时，根据二次函数的性质就可以求出相应的m的值，则矩形的四个顶点的坐标就可以求出；进而求出直线的解析式，联立抛物线方程，便可求出直线与抛物线的交点M坐标；过点M作x轴的垂线交x轴于点N，利用，便可求出的值． 【详解】（1）解：当时，抛物线方程为； 令，则得出抛物线与轴的交点坐标分别为； 令，则求出抛物线与轴交点的坐标为． 如图3所示，以为直径作圆，圆心，圆半径； 圆与直线交于点P， 为圆内接三角形，AC为直径， 除点A和点C外的圆上其他点P与点A和C所成，且要满足点恰有一个，则点只能有四种情况，即图3所示的点、点、和点． 点和点是直线与圆相切的切点，即切线垂直于直径， 点和点坐标分别为，，对应和； 点、点、点和点形成圆内接矩形， 点和点对应和． 所以，取值可能为，，或． （2）设点E坐标为，； ， 即， 得出：  ， 又 ， ； 同理，， ， ， ∴， 当时，矩形DEFG面积最大，且最大值为． 此时． 设直线的解析式为， 把点E和点G坐标代入，得出解析式为； 直线与抛物线交于点，解方程组 消去y，得， 解得， ， ， ， ． 如图4所示，过点M作轴于点N， ，， ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $