专题01 函数综合（二次函数与反比例函数）重点复习必备知识+重难题型+分层验收（期末复习讲义）九年级数学上学期沪科版

该初中数学期末复习讲义以二次函数与反比例函数为核心，通过表格系统梳理核心考点、复习目标及考情规律，用框架图呈现二次函数三种表达式的适用条件和图象变换规律，清晰构建知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与解题模板指导，如“二次函数实际应用中的销售问题”题型培养模型意识，“反比例函数|k|的几何意义”题型提升几何直观与推理能力。基础、重难、综合拓展练满足不同学生需求，助力教师精准教学，学生高效自主复习。

专题01 函数综合（二次函数与反比例函数）（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的定义 能根据二次函数的定义，准确识别二次函数以及求出参数的值或范围 基础必考点，常出现在小题 二次函数的图象与性质 能够画出抛物线，利用抛物线的对称性求对称轴、比较大小；能够利用二次函数的增减性求最大值或最小值；会用待定系数法解函数解析式；能够根据抛物线准确判断各项系数的符号，理解各项系数与抛物线之间的关系 高频考点，考查难度较大，除了基础考查外，也会进行压轴考查，不仅限于解答题，选择和填空的压轴也会考查 二次函数与方程不等式的关系 能够利用图象法解一元二次方程和一元二次不等式的解或解集； 能够利用解方程的方法求抛物线中的交点坐标 二次函数的实际应用 会建立二次函数模型，并求出解析式，进而解决实际问题 通常以解答题的形式进行考查，难度中等 反比例函数的定义 能够根据反比例函数的定义准确识别反比例函数 基础必考点，常出现在小题 反比例函数的图象与性质 能够利用双曲线的增减性比较大小，理解并运用k的几何意义解决反比例函数与几何综合问题；会求解反比例函数的解析式 常以选择或填空的形式进行考察，有时也会考察解答题，难度中等 反比例函数的实际应用 能够构建反比例函数模型解决实际问题以及跨学科问题 常以跨学科的形式进行考察 知识点01 二次函数的图象与性质 1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.二次函数的常见表达式： 名称 解析式 适用条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 3.二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 4.二次函数的图象变换 （1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 （3）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 6.二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： （1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； （2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 7.用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）审：仔细审题，理清题意； （2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； （3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； （4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； （5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. ·易错点： 二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 8.利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 9.利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 10.利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 11.利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 12.利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． ·易错点： 1. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围. 2. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. 3. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. 知识点02 反比例函数的图象与性质 1.反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 2.反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数，等号右边是一个分式； ②； ③分母中含有自变量x，且指数为1. ·易错点： （1） 反比例函数（）的自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数. （2）反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式． （3）反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k. 3.反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． ·易错点： 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 题型一 列二次函数关系式 解｜题｜技｜巧 根据实际问题列二次函数关系式的方法： （1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； （2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； （3）列出相应二次函数的关系式. 【典例1】西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为 (化为一般式) 【答案】 【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：． 故答案为：． 【变式1】将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为 ． 【答案】 【详解】解：依题意，另一边的长度为（米）， ∴， 故答案为：． 【变式2】2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为 ． 【答案】 【详解】解：设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为． 即． 故答案为：． 题型二 二次函数的识别 解｜题｜技｜巧 二次函数的结构特征： （1）函数关系式是整式； （2）自变量的最高次数是2； （3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零. 【典例1】以为自变量的函数：①；②；③；④，是二次函数的有 ． 【答案】①②③ 【详解】解：①，符合二次函数的定义，故①是二次函数； ②，符合二次函数的定义，故②是二次函数；   ③，符合二次函数的定义，故③是二次函数；   ④，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数．   所以，是二次函数的有①②③，   故答案为①②③．   【变式1】下列函数①；②；③；④；⑤，其中是二次函数的是 ． 【答案】②④ 【详解】解：①，自变量的最高次数为1，不是二次函数； ②是二次函数； ③自变量次数为3，不是二次函数； ④是二次函数； ⑤ 函数式为分式，不是二次函数． 故答案为：②④． 【变式2】观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【详解】①，是二次函数； ②，是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤∵中不是整 式，∴不是二次函数； ⑥，不是二次函数． ∴①②③是二次函数． 故答案为：①②③． 【典例2】函数是二次函数，则m的值为 ． 【答案】3 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：3． 【变式1】若函数是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， 则指数部分，且系数， 解得：， 故答案为：． 【变式2】已知：是关于的二次函数，则 ． 【答案】0 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴且， ∴或，且， 即， 故答案为：0 题型三 待定系数法求二次函数解析式 解｜题｜技｜巧 求二次函数解析式的一般方法： 1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式. 2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 【典例1】已知抛物线经过两点，求这条抛物线的解析式 【答案】 【详解】解：将两点代入得： ，解得：， ∴这条抛物线的解析式为：； 【变式1】已知某个二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标是， ∴设二次函数的解析式为， 把点代入，则， 解得：； ∴这个二次函数的表达式为：． 故答案为：． 【变式2】抛物线与轴交于点，，与轴交于点，求抛物线的解析式． 【答案】 【详解】解：将点、代入得： ， 解得：， ∴． 题型四 二次函数图象与各项系数的关系 解｜题｜技｜巧 1.a>0，开口向上；a<0，开口向下； 2.对称轴在y轴左侧ab>0，对称轴在y轴右侧ab<0. 3.当时，;当时，;当时，; 4.判断只含有的式子时，先利用对称轴找出的数量关系，用b表示a，再找一个特殊值带入。 【典例1】如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，二次函数图象对称轴为直线，给出五个结论：①；②当时，随着的增大而增大；③；④；⑤．其中正确结论是（   ） A．①②⑤ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④ 【答案】A 【详解】解：此二次函数的开口向下， ， 二次函数的对称轴为， ，故结论①正确， 由函数图象可知，当时，随着的增大而增大；故结论②正确， 图象过点，二次函数图象对称轴为直线， ∴抛物线经过， ∴当时，，故结论③错误； ∴当时，，故结论④错误； 二次函数图象对称轴为直线， 是最大值， ∴， ∴，故结论⑤正确； 综上，正确的结论有①②⑤， 故选：A． 【变式1】已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：观察函数图象，得出开口方向向上，故， 观察函数图象，得出对称轴在轴的正半轴，故， 即， ∵， ∴， ∴，故①错误； ∵ ∴ ∴，故③正确； 观察函数图象，得出二次函数与轴有两个交点，即， 故②正确； 观察函数图象，得出当时，， 即 ∴ 故④正确； 故选：D 【变式2】如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法： ①； ②； ③当时，随的增大而减小； ④（为任意实数）． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 又∵对称轴为直线， ∴，即， ∴， 由图象可知，当时，， ∵和两点关于对称轴对称， ∴当时，，即， ∴，故①正确； 由①得，，代入， 得， 由图象可知，当时，，即， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，故③正确； 假设不等式成立，在不等式两边加c， 得， ∵不等式左侧为当时的函数值，右侧为时（为任意实数）的函数值， 又∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时的函数值为最大值，即恒成立， ∴成立，故④正确； 综上所述，正确的说法有4个． 故选：D． 题型五 一次函数、二次函数图象综合判断 答｜题｜模｜板 1.先根据一次函数图象确定各系数的符号； 2.再根据二次函数的图象确定各系数的符号； 3.观察相同系数符号是否矛盾。 【典例1】在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 故A选项不符合题意； B选项：由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 故B选项不符合题意 C选项：由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 故C选项符合题意； D选项：由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 故D选项不符合题意． 故选：C ． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b均不为0）与二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； B、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； C、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； D、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故C选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故D选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误，B选项正确． 故选：B． 题型六 根据对称点求对称轴 答｜题｜模｜板 若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 【典例1】若方程的两个根是和1，则二次函数的图象的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 方程 的两个根是 和 ， ∴ 二次函数 的图象的对称轴是直线 . 【变式1】二次函数的图象对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【详解】解：∵二次函数，其图象与轴的交点横坐标为和， ∴对称轴为两交点中点的横坐标，即， 故选：C． 【变式2】已知抛物线经过、两点，那么它的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点和点的纵坐标相同， ∴它们关于抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为直线 ， 故选：C． 题型七 二次函数的对称性 答｜题｜模｜板 1.抛物线上到对称轴的距离相等的点，它们的纵坐标相等，函数值相等； 2.开口向上时，距离对称轴越近的点其所对应的函数值越小； 3.开口向下时，距离对称轴越近的点其所对应的函数值越大。 【典例1】若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴点为顶点，且开口向下，故最大． ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴点C离对称轴更远，故最小． 因此． 故选：C． 【变式1】点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在二次函数中， 对于点：； 对于点，； 对于点，， ∵为常数， ∴， 即． 故选：A． 【变式2】二次函数的图像上有点A，B、C，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 二次函数 的二次项系数 ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为 ． ∵点A，B、C，到对称轴的距离分别为： ，，． ∴ 距离越大，函数值越大， ∴ ． 故选： B． 题型八 二次函数的最值问题 答｜题｜模｜板 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 【典例1】若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（    ） A．或5 B．或5 C．或7 D．或7 【答案】A 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，为最高点， ①当时，抛物线随的增大而增大， ∴当，即，函数有最大值4， ∴， 解得，或（舍去，） ∴； ②当时，抛物线随的增大而减小， ∴当时，即函数有最大值4， ∴， 解得，或（舍去） ∴； 综上，的值为或5， 故选A． 【变式1】函数的最大值和最小值分别是（   ） A．4和 B．和 C．5和 D．5和 【答案】C 【详解】解：， ， ∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值， ， 时，是最大值， ∴函数的最大值为5，最小值为． 故选：C． 【变式2】已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，有， 解得，，， 当或时，， 当时，的最小值为，最大值为， 结合图象可知，． 故选：C． 题型九 二次函数的图象平移 答｜题｜模｜板 1.先把二次函数化成顶点式 2.再根据左加右减的平移变化法则进行变换 【典例1】将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴， 故选：A． 【变式1】将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴平移后的解析为， 故选：A ． 【变式2】抛物线通过下列平移，得到抛物线．正确的是（    ） A．先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 B．先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 D．先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 【答案】B 【详解】解：的顶点坐标为，的顶点坐标为， 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，即可得到． 故选：B． 题型十 抛物线中的交点问题 答｜题｜模｜板 1.抛物线与x轴的交点求法，令y=0，化成一元二次方程,方程的两个根即为抛物线与x轴两个交点的横坐标； 2.抛物线与y轴的交点的纵坐标等于解析式的常数项项c的值； 3.抛物线与直线的交点坐标的求解方法：联立抛物线和直线解析式，解出x和y的值即为交点坐标。 【典例1】抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为() A．6 B．8 C．10 D．20 【答案】C 【详解】解：抛物线与轴交于点、， 令，得，解得， ，，。 抛物线与轴交于点， 令，得， 。 的底边，高为， ∴的面积为。 故选：C． 【变式1】抛物线与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线与轴相交时，， ∴ 将代入，得， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故选：D． 【变式2】若二次函数与轴两交点横坐标为与，且，均为正实数，那么a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数与轴有两个交点， ∴关于的方程有两个不相等的实数根，且， ∴这个方程根的判别式， ∴， 又∵关于的方程的两根，均为正实数， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 题型十一 图象法解方程与不等式 答｜题｜模｜板 1.图象法解解一元二次方程：的解为抛物线与x轴的交点的横坐标，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称；m的解为抛物线与直线的交点横坐标；的解为抛物线与直线的交点横坐标; 3.图像法解不等式：的解集是抛物线在x轴上方的部分对应的x的取值范围；的解集是抛物线在x轴下方的部分对应的x的取值范围；的解集是抛物线在直线上方的部分对应的x的取值范围；的解集是抛物线在直线下方的部分对应的x的取值范围；的解集是抛物线在直线上方的部分对应的x的取值范围；的解集是抛物线在直线下方的部分对应的x的取值范围； 【典例1】如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：令方程的正数解为， 如图可知，， 点关于直线的对称点坐标为， 抛物线关于直线对称， ． 故选：B． 【变式1】如图是二次函数的部分图象，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【详解】解：由图像得，对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的一个交点为， ∴轴的下方的图像对应的函数值小于， ∴当或时，； ∴不等式的解集是或， 故答案为：或． 【变式2】当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解： ， ∴当时，恒成立， 当时，即对应的二次函数在范围内其图象在轴下方， ∴二次函数的图象关于对称， ∵， ∴二次函数的图象开口向上，且时，有最大值， ∴，解得：， ∴； 当时，即对应的二次函数在范围内其图象在轴下方， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴，解得：， ∴； 当时，恒成立； 综上，k的取值范围是． 故答案为：． 题型十二 二次函数实际应用中的销售问题 答｜题｜模｜板 1.先用自变量x表示出一件商品的利润和销售量； 2.根据利润=一件商品的利润销售量列出函数解析式，并写出自变量的取值范围； 3.最大利润的求解通常需要进行配方，但要考虑在自变量取值范围内求最大值； 【典例1】某商店销售一种纪念品，每件成本为40元．经市场调研，售价为50元时，每天可销售200件；当每件的售价每增加1元，每天的销售量将减少10件． (1)当每件售价为52元时，每天的销售量为______件； (2)若每天获得的利润为2000元时，每件售价为多少元？ (3)当每件售价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)180 (2)50元或60元 (3)当每件售价为55元时，每天获得的利润最大，最大利润是2250元 【详解】（1）解：由题意得，售价从50元涨到52元，上涨了元， ∵每涨1元销量减少10件， ∴减少的销量为（件）， ∵原销量200件， ∴当前销量为（件）， 故答案为：180； （2）解：设每件纪念品销售价应定为元， 根据题意得， ， 解得：，， 答：若商店销售该纪念品每天获利2000元，每件纪念品销售价应定为50元或60元； （3）解：设每件纪念品的销售价定为元，利润为元， 由题意得， ， 当时，的最大值位2250， 答：当每件售价为55元时，每天获得的利润最大，最大利润是2250元． 【变式1】赵州雪花梨膏是河北传统名产，某特产店在旺季进购一批礼盒装雪花梨膏进行售卖，已知雪花梨膏每盒的进价为30元，售价为50元，每星期可卖出100盒，经市场调研发现，每盒售价每下降2元，每星期可多卖20盒．现特产店进行降价销售，每盒售价下降x元． (1)降价后该特产店每星期卖出雪花梨膏______盒（用含x的代数式表示）； (2)若该特产店想要实现每星期卖出雪花梨膏的利润为2240元的目标，同时尽可能的让利与顾客，求每盒雪花梨膏的售价； (3)求每盒售价下降多少元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)44元 (3)每盒售价下降5元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大，最大利润是2250元 【详解】（1）解：由题意得； （2）由题意可得 解得，. ∵要尽可能的让利与顾客， ∴x的值为6， ∴（元）. 答：每盒雪花梨膏的售价为44元； （3）设每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润为w元. 由题意得. 其中； ∵， ∴当时，w有最大值为2250. 答：当每盒售价下降5元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大，最大利润是2250元. 【变式2】位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝殿（又称无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低1元，平均每天可多售出200个，若要使每天销售旅游纪念章获利最多，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)元 【详解】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）． 答：平均增长率为； （2）解：设售价应降低m元，则每天的销量为个．设每天销售旅游纪念章获利元， 根据题意可得， ∵， ∴当时，取得最大值，          则要使每天销售旅游纪念章获利最多，则售价应降低元． 题型十三 构建二次函数模型解决实际问题 答｜题｜模｜板 1.构建二次函数模型：建立直角坐标系，根据题意标出已知点的坐标； 2.设出二次函数解析式，带入已知点求出解析式； 3.分析问题明确考点，根据解析式进行求解 【典例1】龙舟比赛起源于古代，主要与屈原的传说和越民族的图腾祭祀有关，经过历史演变成为中国传统文化的重要组成部分．某地城际龙舟赛事的航道宽度有，，三种类型．该地龙舟比赛的河道上有一座抛物线形拱桥．以拱桥最高点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，则该抛物线为．已知水面两端点的距离． (1)求拱桥最高点到水面的距离； (2)龙舟行进时，龙舟的最高点距离水面2m，若龙舟的最高点上方3m内无障碍物，方能保证龙舟安全行驶．为保证所有龙舟赛道的龙舟能够安全行进，且要设计4道航道，应设置哪种宽度的航道？ 【答案】(1)拱桥最高点到水面的距离为 (2)应设置宽的航道 【详解】（1）解：根据题意得， 则点的横坐标为， 将代入，得 因此，拱桥最高点到水面的距离为； （2）解：根据题意得， 将代入， 得 解得或 则 由于航道最宽为，， 则应设置宽的航道． 【变式1】某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系． (1)画出平面直角坐标系，并求当时，这条抛物线的解析式： (2)在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离： (3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点E，F）入水时才能达到训练要求，直接写出k的取值范围是_____． 【答案】(1) (2)运动员落水点与点C的距离为5米 (3) 【详解】（1）解：如图所示： 根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，点， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得，，解得，， ∴抛物线的解析式为． （2）解：当，则．解得：，． 故抛物线与x轴交点为：． ∴运动员落水点与点C的距离为5米． （3）解： ∵跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，是固定不变的， ∴设抛物线的解析式为，且过点， ∴，则， ∵米，米， ∴当时，，则，解得：； 当时，，则，解得，． 综上所述，k的取值范围是． 【变式2】研究发现：某烟花发射装置发射的烟花上升的高度满足关系式，其中是烟花发射后的时间，是烟花发射时的初速度． (1)若在调试阶段设定，求烟花发射后达到的最大高度； (2)若发射的烟花能达到的最大高度为，则烟花发射时的初速度是多少？ (3)按（2）中的初速度发射烟花，若烟花发射后的高度有两次达到，求这两次达到高度为之间的间隔时间． 【答案】(1)当时，烟花发射后达到的最大高度是； (2)烟花发射时的初速度是； (3)这两次达到高度为之间的间隔时间为． 【详解】（1）解：当时， 可得：， ， 有最大值， 即当时，， 当时，烟花发射后达到的最大高度是； （2）解： ， 抛物线的对称轴为直线， 可得：当时，， 整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 烟花发射时的初速度是 （3）解：由（2）知，当时， 可得：， 由， 可得：， 解得：， ， 这两次达到高度为之间的间隔时间为． 题型十四 反比例函数的识别 答｜题｜模｜板 反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数，等号右边是一个分式； ②； ③分母中含有自变量x，且指数为1. 【典例1】下列各式中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是反比例函数，故该选项不符合题意； B、是反比例函数，故该选项符合题意； C、不是y是x的反比例函数，故该选项不符合题意； D、不是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列关系式中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵反比例函数的标准形式为（）， 选项 A、，是正比例函数，选项A不符合题意； 选项 B、，符合 形式，且，选项B符合题意； 选项 C、，不是反比例函数，选项C不符合题意； 选项 D、，分母指数不是1，不是反比例函数，选项D不符合题意， 故选B． 【变式2】反比例函数的图象经过点，则m的值是（ ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ∴， 故选：C． 题型十五 求反比例函数值 答｜题｜模｜板 判断点是否在图象上通常需要将点的横坐标代入解析式就出函数值进行对比 【典例1】已知反比例函数的图象和点如图所示，点坐标为，则的值可能为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】解：设点是反比例函数图象上的一点， 由函数图象可知，点在点的上方， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 【变式1】反比例函数 的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 反比例函数解析式为 ， 对于选项A：当 时，，与点 的纵坐标一致， 对于选项B：当 时，， 对于选项C：当 时，， 对于选项D：当 时，， ∴ 只有点 在函数图象上， 故选A． 【变式2】已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．3 B． C．12 D． 【答案】B 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 题型十六 根据反比例函数图象确定解析式 答｜题｜模｜板 观察图象所处的象限，确定k的符号，再观察图象上点的特征确定k的值或k的取值范围进而确定k的值 【典例1】反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：据点、的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征， 观察函数图象可知：，即． 故选：C． 【变式1】反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（   ） A．10 B．3 C． D．5 【答案】D 【详解】解：∵， 观察图象得：， ∴k的值可能是5． 故选：D 【变式2】在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵该反比例函数位于第一象限的图象低于点， ∴， ∵该反比例函数位于第三象限的图象低于点， ∴， ∴， ∴k的值可能是3， 故选：C． 题型十七 反比例函数的增减性 答｜题｜模｜板 当k>0时，双曲线分布在一、三象限，函数在每一个象限内单调递减；当k<0时，双曲线分布在二、四象限，函数在每一个象限内单调递增； 【典例1】已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．若，则 【答案】B 【详解】解：∵ ， ∴ 图象在第二、四象限内，C正确； 当 时，， ∴ 图象必经过点 ，A正确； 当 时，图象在第四象限， 随 增大而增大，且 从 趋近于 ， ∴ ，即 ，D正确； 对于B，，在第二和第四象限内， 随 的增大而增大，但选项未指定象限，表述不完整，故B不正确； 故选：B 【变式1】关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，函数值 B．y随x的增大而增大 C．点在该函数的图象上 D．图象在第一、三象限 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数中， ∴当时，，故A正确； ∵点代入函数，当时，故C错误； ∵函数图象在第二、四象限，不在第一、三象限，故D错误； ∵虽然当时，在每个象限内y随x的增大而增大，但选项B未指定“在每个象限内”，表述不严谨，故B错误． 故选：A． 【变式2】在每一象限内的双曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在每一象限内，y随x的增大而减小， 比例系数， ， 故选：A 题型十八 求反比例函数的解析式 答｜题｜模｜板 设出反比例函数的解析式，将图象上点的坐标代入解析式求出k的值 【典例1】如图，点，在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为C，连接，． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)若点P是反比例函数图象上一点，且，请求出点P的坐标． 【答案】(1)，点B的坐标为； (2)或 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得； ∴点B的坐标为； （2）解：∵轴，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 解得或， 当时，；当时，， ∴点P的坐标为或． 【变式1】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）． (1)求出这个函数的解析式； (2)当气球体积为时，气球内的气压是多少千帕？ (3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应满足什么条件？ 【答案】(1)函数的解析式为 (2)气球内的气压是120千帕 (3)为了安全起见，气球的体积应不小于 【详解】（1）解：设这个函数的解析式，则有：， 解得：， ∴这个函数的解析式； （2）解：当时，千帕， 答：气球内的气压是120千帕． （3）解：根据题意，当时，为安全范围， ∴， 解得，， 故为了安全起见，气球的体积应不小于． 【变式2】如图，的顶点A是反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点，轴于点B，且． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求一次函数与反比例函数图象的两个交点A，C的坐标； (3)当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)， (3)当或时，一次函数的值大于反比例函数的值 【详解】（1）解：∵轴于点，且， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； （2）解：设一次函数的图象与轴的交点为， 令，得， ∴点的坐标为， 由， 解得或， ∴，； （3）解：∵，， ∴根据图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 题型十九 反比例函数|k|的几何意义 答｜题｜模｜板 1.反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为； 2.反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为； 3.反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|； 4.反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和； 5反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|； 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（    ） A．点A与点B关于原点中心对称 B． C．的周长等于的周长 D． 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数图象关于原点对称，直线与双曲线交于两点， ∴点A与点B关于原点中心对称，故A选项正确，不符合题意； 设，则， ∵轴于点， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴，， ∴B，D选项正确，不符合题意； ∴，，， ∴的周长为， 的周长为， ∴，即的周长不等于的周长，故C选项错误，符合题意； 故选：C ． 【变式1】如图，反比例函数（）的图象过Q，R两点，的延长线交x轴于点V，R为的中点，过点Q，R作x轴的垂线，交x轴于点S，T，交于点U，下列结论，①，②，③，④．其中正确的是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【详解】解： 轴，轴，且R为的中点，则令（平行线等分线段定理），作轴，轴，垂足分别为A、B点，同理，设，则，，由得，解得， ，，， ， ①正确； 由，得， ②正确； 由，得，即，，， ， ③错误； ， ④正确， 综上可知①②④正确； 故选：C． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，四边形是正方形，点，在轴的正半轴上，点为中点，点，在双曲线上，若正方形的面积为4，则的值为（   ） A．6 B．8 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2，即， ∵点为中点， ∴． 设B点坐标为，则E点坐标， ∵点B、E在反比例函数的图象上， ∴，解得，． 故选B． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知在二次函数的图象上，则的大小关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：分别将、、代入二次函数： 当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴ 故选：B． 3．（24-25九年级上·山东德州·期末）抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线的关系式为 ． 【答案】 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线的关系式为：，即， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，已知抛物线经过，B两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）解：将的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 则， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）得，顶点坐标为； ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 观察函数图象，得当时，； （3）解：由（2）得， ∵ ∴． 设，则， ∴． ∵抛物线的顶点坐标为，开口向上， 即当时，函数最小值为， ∴，（舍去） ∴， 解得，， ∴此时点P的坐标为或． 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）已知反比例函数． (1)如果这个函数图象经过点，求的值； (2)如果这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小，求的范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵反比例函数图象经过点， ∴， 解得； （2）∵这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小， ∴， 解得． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·山东临沂·期末）反比例函数的图象与直线有个交点，且两交点横坐标的积为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将与联立，得：， 化为整式方程，得：， 反比例函数的图象与直线有个交点，且两交点横坐标的积为负数， 有两个不相等的实数根，且， ， 解得， 故选：B． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：分别过点A和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将A，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图所示，矩形的面积为6，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过P点作轴于E，轴于F， ∵四边形为矩形，面积为6，P为对角线的交点， ∴， ∴， 又∵图像的一支在第一象限， ∴， ∴． 故答案为． 4．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)函数图像见解析， (2) (3) 【详解】（1）解：描点并连线，函数图像如图所示． 由图像可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． （2）解：当时，代入得，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是． （3）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为． 5．（24-25九年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式； (2)设关于原点对称的抛物线为，的顶点为，对称轴为．若点在上，点在上，连接、．若为等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或． 【详解】（1）解：把点，代入函数解析式，得： ，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， 则：关于原点对称的点为， ∵，关于原点对称，抛物线的开口大小不变，方向相反， ∴的解析式为：， ∴，对称轴为直线， 设，， 当点为直角顶点时，则，此时不存在点在抛物线上，不符合题意， 当点为直角顶点时，则，且，点在点下方： ∴轴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或， 当或时，， ∴， 当点为直角顶点时，过点作于点，则：， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或， 当或时，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， 综上：点的坐标为或． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】解：当点在上时（）： 过点作于点． ，， ． 又，， ． ． 这是一个二次函数，开口向下，顶点在处，但此阶段，函数在上图象不断上升，当时，． 当点在上时（）, ∵四边形是平行四边形， ，点从到用时秒， 此时在上的运动距离为，方向上的高与上的高相同，即（当时，后续在上时，到的距离不变）． ， ． 这是一个一次函数，随的增大而减小，当时，． 综上，当时，是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当时，是一次函数，图象不断下降． 故选：A． 2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得， 故A选项正确； ∴一次函数的解析式为． ∵对于一次函数，令，则； 令，则， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∴，故B选项正确； ，故C选项错误； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得当时，，故D选项正确． 故选：C． 3．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为的面积是，则的值为 ． 【答案】2 【详解】解：四边形是矩形， ，， ∵点的坐标为 ∴， 则点M的坐标为，点N的坐标为， ∴ 解得， 故答案为：2． 4．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)或 【详解】（1）解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； （2）解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 5．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 【答案】(1) ， ； (2)． 【详解】（1）解：∵为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； 因为正比例函数经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数表达式为， 设，则，， ∴ ， ∴当时，线段的长度取得最大值； （2）解：∵二次函数经过点， ∴，即， 令， 解得，， ∵二次函数与轴的一个交点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴的取值范围是． 6．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，横坐标为,， 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数综合（二次函数与反比例函数）（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的定义 能根据二次函数的定义，准确识别二次函数以及求出参数的值或范围 基础必考点，常出现在小题 二次函数的图象与性质 能够画出抛物线，利用抛物线的对称性求对称轴、比较大小；能够利用二次函数的增减性求最大值或最小值；会用待定系数法解函数解析式；能够根据抛物线准确判断各项系数的符号，理解各项系数与抛物线之间的关系 高频考点，考查难度较大，除了基础考查外，也会进行压轴考查，不仅限于解答题，选择和填空的压轴也会考查 二次函数与方程不等式的关系 能够利用图象法解一元二次方程和一元二次不等式的解或解集； 能够利用解方程的方法求抛物线中的交点坐标 二次函数的实际应用 会建立二次函数模型，并求出解析式，进而解决实际问题 通常以解答题的形式进行考查，难度中等 反比例函数的定义 能够根据反比例函数的定义准确识别反比例函数 基础必考点，常出现在小题 反比例函数的图象与性质 能够利用双曲线的增减性比较大小，理解并运用k的几何意义解决反比例函数与几何综合问题；会求解反比例函数的解析式 常以选择或填空的形式进行考察，有时也会考察解答题，难度中等 反比例函数的实际应用 能够构建反比例函数模型解决实际问题以及跨学科问题 常以跨学科的形式进行考察 知识点01 二次函数的图象与性质 1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.二次函数的常见表达式： 名称 解析式 适用条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 3.二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 4.二次函数的图象变换 （1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 （3）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 6.二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： （1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； （2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 7.用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）审：仔细审题，理清题意； （2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； （3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； （4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； （5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. ·易错点： 二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 8.利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 9.利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 10.利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 11.利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 12.利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． ·易错点： 1. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围. 2. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. 3. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. 知识点02 反比例函数的图象与性质 1.反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 2.反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数，等号右边是一个分式； ②； ③分母中含有自变量x，且指数为1. ·易错点： （1） 反比例函数（）的自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数. （2）反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式． （3）反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k. 3.反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． ·易错点： 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 题型一 列二次函数关系式 解｜题｜技｜巧 根据实际问题列二次函数关系式的方法： （1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； （2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； （3）列出相应二次函数的关系式. 【典例1】西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为 (化为一般式) 【变式1】将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为 ． 【变式2】2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为 ． 题型二 二次函数的识别 解｜题｜技｜巧 二次函数的结构特征： （1）函数关系式是整式； （2）自变量的最高次数是2； （3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零. 【典例1】以为自变量的函数：①；②；③；④，是二次函数的有 ． 【变式1】下列函数①；②；③；④；⑤，其中是二次函数的是 ． 【变式2】观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 【典例2】函数是二次函数，则m的值为 ． 【变式1】若函数是关于的二次函数，则的值为 ． 【变式2】已知：是关于的二次函数，则 ． 题型三 待定系数法求二次函数解析式 解｜题｜技｜巧 求二次函数解析式的一般方法： 1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式. 2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 【典例1】已知抛物线经过两点，求这条抛物线的解析式 【变式1】已知某个二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求这个二次函数的解析式． 【变式2】抛物线与轴交于点，，与轴交于点，求抛物线的解析式． 题型四 二次函数图象与各项系数的关系 解｜题｜技｜巧 1.a>0，开口向上；a<0，开口向下； 2.对称轴在y轴左侧ab>0，对称轴在y轴右侧ab<0. 3.当时，;当时，;当时，; 4.判断只含有的式子时，先利用对称轴找出的数量关系，用b表示a，再找一个特殊值带入。 【典例1】如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，二次函数图象对称轴为直线，给出五个结论：①；②当时，随着的增大而增大；③；④；⑤．其中正确结论是（   ） A．①②⑤ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④ 【变式1】已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【变式2】如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法： ①； ②； ③当时，随的增大而减小； ④（为任意实数）． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五 一次函数、二次函数图象综合判断 答｜题｜模｜板 1.先根据一次函数图象确定各系数的符号； 2.再根据二次函数的图象确定各系数的符号； 3.观察相同系数符号是否矛盾。 【典例1】在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b均不为0）与二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 题型六 根据对称点求对称轴 答｜题｜模｜板 若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 【典例1】若方程的两个根是和1，则二次函数的图象的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【变式1】二次函数的图象对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式2】已知抛物线经过、两点，那么它的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 题型七 二次函数的对称性 答｜题｜模｜板 1.抛物线上到对称轴的距离相等的点，它们的纵坐标相等，函数值相等； 2.开口向上时，距离对称轴越近的点其所对应的函数值越小； 3.开口向下时，距离对称轴越近的点其所对应的函数值越大。 【典例1】若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】二次函数的图像上有点A，B、C，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型八 二次函数的最值问题 答｜题｜模｜板 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 【典例1】若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（    ） A．或5 B．或5 C．或7 D．或7 【变式1】函数的最大值和最小值分别是（   ） A．4和 B．和 C．5和 D．5和 【变式2】已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型九 二次函数的图象平移 答｜题｜模｜板 1.先把二次函数化成顶点式 2.再根据左加右减的平移变化法则进行变换 【典例1】将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】抛物线通过下列平移，得到抛物线．正确的是（    ） A．先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 B．先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 D．先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 题型十 抛物线中的交点问题 答｜题｜模｜板 1.抛物线与x轴的交点求法，令y=0，化成一元二次方程,方程的两个根即为抛物线与x轴两个交点的横坐标； 2.抛物线与y轴的交点的纵坐标等于解析式的常数项项c的值； 3.抛物线与直线的交点坐标的求解方法：联立抛物线和直线解析式，解出x和y的值即为交点坐标。 【典例1】抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为() A．6 B．8 C．10 D．20 【变式1】抛物线与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若二次函数与轴两交点横坐标为与，且，均为正实数，那么a的范围是（    ） A． B． C． D． 题型十一 图象法解方程与不等式 答｜题｜模｜板 1.图象法解解一元二次方程：的解为抛物线与x轴的交点的横坐标，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称；m的解为抛物线与直线的交点横坐标；的解为抛物线与直线的交点横坐标; 3.图像法解不等式：的解集是抛物线在x轴上方的部分对应的x的取值范围；的解集是抛物线在x轴下方的部分对应的x的取值范围；的解集是抛物线在直线上方的部分对应的x的取值范围；的解集是抛物线在直线下方的部分对应的x的取值范围；的解集是抛物线在直线上方的部分对应的x的取值范围；的解集是抛物线在直线下方的部分对应的x的取值范围； 【典例1】如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图是二次函数的部分图象，则不等式的解集是 ． 【变式2】当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 ． 题型十二 二次函数实际应用中的销售问题 答｜题｜模｜板 1.先用自变量x表示出一件商品的利润和销售量； 2.根据利润=一件商品的利润销售量列出函数解析式，并写出自变量的取值范围； 3.最大利润的求解通常需要进行配方，但要考虑在自变量取值范围内求最大值； 【典例1】某商店销售一种纪念品，每件成本为40元．经市场调研，售价为50元时，每天可销售200件；当每件的售价每增加1元，每天的销售量将减少10件． (1)当每件售价为52元时，每天的销售量为______件； (2)若每天获得的利润为2000元时，每件售价为多少元？ (3)当每件售价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【变式1】赵州雪花梨膏是河北传统名产，某特产店在旺季进购一批礼盒装雪花梨膏进行售卖，已知雪花梨膏每盒的进价为30元，售价为50元，每星期可卖出100盒，经市场调研发现，每盒售价每下降2元，每星期可多卖20盒．现特产店进行降价销售，每盒售价下降x元． (1)降价后该特产店每星期卖出雪花梨膏______盒（用含x的代数式表示）； (2)若该特产店想要实现每星期卖出雪花梨膏的利润为2240元的目标，同时尽可能的让利与顾客，求每盒雪花梨膏的售价； (3)求每盒售价下降多少元时，每星期卖出礼盒装雪花梨膏的利润最大？最大利润是多少？ 【变式2】位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝殿（又称无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低1元，平均每天可多售出200个，若要使每天销售旅游纪念章获利最多，则售价应降低多少元？ 题型十三 构建二次函数模型解决实际问题 答｜题｜模｜板 1.构建二次函数模型：建立直角坐标系，根据题意标出已知点的坐标； 2.设出二次函数解析式，带入已知点求出解析式； 3.分析问题明确考点，根据解析式进行求解 【典例1】龙舟比赛起源于古代，主要与屈原的传说和越民族的图腾祭祀有关，经过历史演变成为中国传统文化的重要组成部分．某地城际龙舟赛事的航道宽度有，，三种类型．该地龙舟比赛的河道上有一座抛物线形拱桥．以拱桥最高点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，则该抛物线为．已知水面两端点的距离． (1)求拱桥最高点到水面的距离； (2)龙舟行进时，龙舟的最高点距离水面2m，若龙舟的最高点上方3m内无障碍物，方能保证龙舟安全行驶．为保证所有龙舟赛道的龙舟能够安全行进，且要设计4道航道，应设置哪种宽度的航道？ 【变式1】某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系． (1)画出平面直角坐标系，并求当时，这条抛物线的解析式： (2)在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离： (3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点E，F）入水时才能达到训练要求，直接写出k的取值范围是_____． 【变式2】研究发现：某烟花发射装置发射的烟花上升的高度满足关系式，其中是烟花发射后的时间，是烟花发射时的初速度． (1)若在调试阶段设定，求烟花发射后达到的最大高度； (2)若发射的烟花能达到的最大高度为，则烟花发射时的初速度是多少？ (3)按（2）中的初速度发射烟花，若烟花发射后的高度有两次达到，求这两次达到高度为之间的间隔时间． 题型十四 反比例函数的识别 答｜题｜模｜板 反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数，等号右边是一个分式； ②； ③分母中含有自变量x，且指数为1. 【典例1】下列各式中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列关系式中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】反比例函数的图象经过点，则m的值是（ ） A． B． C． D．2 题型十五 求反比例函数值 答｜题｜模｜板 判断点是否在图象上通常需要将点的横坐标代入解析式就出函数值进行对比 【典例1】已知反比例函数的图象和点如图所示，点坐标为，则的值可能为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式1】反比例函数 的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．3 B． C．12 D． 题型十六 根据反比例函数图象确定解析式 答｜题｜模｜板 观察图象所处的象限，确定k的符号，再观察图象上点的特征确定k的值或k的取值范围进而确定k的值 【典例1】反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（   ） A．10 B．3 C． D．5 【变式2】在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十七 反比例函数的增减性 答｜题｜模｜板 当k>0时，双曲线分布在一、三象限，函数在每一个象限内单调递减；当k<0时，双曲线分布在二、四象限，函数在每一个象限内单调递增； 【典例1】已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．若，则 【变式1】关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，函数值 B．y随x的增大而增大 C．点在该函数的图象上 D．图象在第一、三象限 【变式2】在每一象限内的双曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十八 求反比例函数的解析式 答｜题｜模｜板 设出反比例函数的解析式，将图象上点的坐标代入解析式求出k的值 【典例1】如图，点，在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为C，连接，． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)若点P是反比例函数图象上一点，且，请求出点P的坐标． 【变式1】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）． (1)求出这个函数的解析式； (2)当气球体积为时，气球内的气压是多少千帕？ (3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应满足什么条件？ 【变式2】如图，的顶点A是反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点，轴于点B，且． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求一次函数与反比例函数图象的两个交点A，C的坐标； (3)当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． 题型十九 反比例函数|k|的几何意义 答｜题｜模｜板 1.反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为； 2.反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为； 3.反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|； 4.反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和； 5反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|； 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（    ） A．点A与点B关于原点中心对称 B． C．的周长等于的周长 D． 【变式1】如图，反比例函数（）的图象过Q，R两点，的延长线交x轴于点V，R为的中点，过点Q，R作x轴的垂线，交x轴于点S，T，交于点U，下列结论，①，②，③，④．其中正确的是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，四边形是正方形，点，在轴的正半轴上，点为中点，点，在双曲线上，若正方形的面积为4，则的值为（   ） A．6 B．8 C．3 D．4 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知在二次函数的图象上，则的大小关系是(   ) A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东德州·期末）抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线的关系式为 ． 4．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，已知抛物线经过，B两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）已知反比例函数． (1)如果这个函数图象经过点，求的值； (2)如果这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小，求的范围． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·山东临沂·期末）反比例函数的图象与直线有个交点，且两交点横坐标的积为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图所示，矩形的面积为6，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则 ． 4．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 5．（24-25九年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式； (2)设关于原点对称的抛物线为，的顶点为，对称轴为．若点在上，点在上，连接、．若为等腰直角三角形，求点的坐标． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A．B．C．D． 2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 3．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为的面积是，则的值为 ． 4．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 5．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 6．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $