专题01 平面直角坐标系与一次函数重点复习必备知识+重难题型+分层验收（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材沪科版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，以“知识点-题型-练习”分层架构构建平面直角坐标系与一次函数知识体系，用对比表格呈现点的坐标特征、平移规律等内容，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“解题技巧+分层练习”设计，如点到坐标轴距离题型强调“横纵绝对值区分”培养运算能力，函数图象识别用“垂线交点唯一”法发展几何直观。基础通关练夯实基础，重难突破练聚焦动态几何，综合拓展练衔接中考，助力不同学生提升，为教师精准教学提供清晰路径。

专题01 平面直角坐标系与一次函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平面内点的坐标表示 ①能准确写出坐标系内点的坐标； ②能够理解坐标系内个象限点的符号特征； ③能够理解点到坐标轴的距离。 基础必考点，常出现在小题，主要考查坐标系内坐标点的符号特征。 其中点到坐标轴的距离是高频易错考点。 平面坐标系内的图形平移 ①能掌握平面直角坐标系内点和图形的平移规律； ②能够根据平移规律画出平移图形或求出平移前后点的坐标； 通常考查平移作图，较为简单。 函数的概念 能够理解函数的概念、表示方法，掌握函数图象的画法；能够从函数图象中获取信息解决问题。 通常以选择和填空的形式考察，主要考察内容为根据图象辨别函数关系，根据实际情况列出函数解析式以及通过阅读函数图象获得信息的能力。 一次函数的图象与性质 能够理解正比例函数和一次函数的概念、区别与联系；能用待定系数法求解一次函数的解析式；能够画出一次函数的图象，并能掌握一次函数的性质。 选择和填空通常以一次函数的性质为考查重点，包括比较函数大小，判断点是否在图象上，交点坐标的求解等；解答题方面主要考查一次函数解析式的求解以及一次函数与几何的综合，且常以压轴题的形式进行考察。 一次函数的实际应用 能够建立一次函数模型解决实际问题。 通常以解答题的形式进行考察，构建一次函数模型解决销售利润以及方案设计问题。 知识点01 平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 我们可以在平面内画两条互相垂直、原点 重合的数轴，组成平面直角坐标系.水平的数轴称为 x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，习惯上取向上为正方向；两坐标轴的交点为原点. 2.有序数对：我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，例如（a,b）。 注意：(1)当 a=b时，(a,b)与 (b,a)表示同一有序数对；当 a≠b时，(a,b)与(b,a)表示不同的有序数对. (2)用有序数对可确定一个具体的位置，一个有序数对只能表示一个位置，此时，首先要确定a,b各表示什么。3.象限： 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被分为了四个部分，每个部分称为象限，右上部分叫做第一象限，其他三部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限、第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限.如下图。 4.点的坐标： （1）点的坐标的概念 对于平面内任意一点A, 由点A分别向x 轴、y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是a, 垂足N在y 轴上的坐标是b, 我们说点A 的横坐标是a, 纵坐标是b, 有序数对(a,b)叫做点A的坐标. （2）点的坐标特征 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的纵坐标相等 平行y轴 所有点的横坐标相等 （3）点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P， 则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝ . 5.坐标点的平移 具体变换过程 变换后的坐标 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 平移的三大要素：①平移的起点，②平移的方向，③平移的距离． 平移的性质： ①平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. ②平移前后对应线段平行且相等、对应角相等. ③任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 作图步骤： ①根据题意，确定平移的方向和平移的距离； ②找出原图形的关键点； ③按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点； ④按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形． 易错点： 1）原点既是x轴上的点，又是y 轴上的点. 2）点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y轴上或在x轴上. 3）已知点的坐标可以求出点到x 轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值. 4）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面： ①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关； ②距离都是非负数，而坐标可以是负数. 5）因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小. 知识点02 函数的概念 1.函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 2.函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 3.函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 4.函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 5.函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 6.函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 知识点03 一次函数 1.一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， 随的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， 随的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 ＞0，交点在轴正半轴上；=0，交点在原点；＜0，交点在轴负半轴上 2.一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 4.两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 5.用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法： 1）依据题意中等量关系直接列出解析式； 2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 6.正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性； b的符号决定直线与y轴的交点位置； k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 联系 1）正比例函数是特殊的一次函数． 2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． 4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 7.一次函数的实际应用： 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 易错点： 1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴. 2. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关. 3. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析. 4. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(, 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为s=. 题型一 点到坐标轴的距离 解｜题｜技｜巧 解决坐标点到坐标轴的距离类问题时，要注意： 1.区分点的横坐标的绝对值表示点到y轴的距离；点的纵坐标的绝对值表示点到X轴的距离。 2.在已知点到坐标轴的距离求点的坐标时，去绝对值时，注意有2种情况。 【典例1】在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，则a的值为 ． 【变式1】点P在第四象限，且点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是5，那么点P的坐标为 ． 【变式2】已知点在第三象限，且点到轴的距离为1，则的值是 ． 题型二 判断点所在的象限 解｜题｜技｜巧 判断点所在的象限时，要准确记忆各象限点的坐标的符号特征，即第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-）。 【典例1】在平面直角坐标系中，点所在的象限是第 象限． 【变式1】已知，且，则点在第 象限． 【变式2】已知点在第一、三象限的角平分线上，则点在第 象限． 题型三 点的坐标的平移 解｜题｜技｜巧 1.水平方向平移：点的纵坐标不变，左右平移遵循横坐标左减右加的原则，即左移横坐标减去平移距离，右移横坐标加上平移距离。 2.上下平移：点的横坐标不变，遵循上加下减的原则，即上移点的纵坐标加上平移距离，下移点的纵坐标减去平移距离。 【典例1】若点在x轴上，将M向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到点N，则N的坐标为 ． 【变式1】在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度，得到的点的坐标是 ． 【变式2】在数轴上，点、在原点的两侧，分别表示数、2，将点向右平移3个单位长度，得到点．若，则的值为 ． 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为 ． 【变式1】在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移至，点A的对应点为，点B的对应点为，则的值为 ． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，，，平移线段，使点A，B均落在坐标轴上，则点A平移后的对应点的坐标是 ． 题型四 图形的平移 解｜题｜技｜巧 作图步骤： ①根据题意，确定平移的方向和平移的距离； ②找出原图形的关键点； ③按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点； ④按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形． 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，． (1)若将向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到，请画出并写出点，，的坐标； (2)求的面积． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，四边形的各点坐标是，，，， (1)在平面直角坐标系中，画出四边形； (2)点是四边形中一点，平移四边形后，点的对应点是，画出平移后的四边形． 【变式2】的位置如图所示，现将平移，使点移到点的位置． (1)请画出平移后的，并写出点的对应点的坐标______； (2)若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是______． 题型五 函数图象的识别 解｜题｜技｜巧 函数图象的识别主要考查对函数含义的理解，即对于任意的一个自变量x的值都有唯一的函数值y与之对应。在进行函数图象识别时，可在图象上找一点，过该点做x轴的垂线，观察直线与图象的交点个数，只有一个交点的是函数图象。 【典例1】下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C． D． 【变式1】下列各图中，不是的函数是（   ） A．B．C． D． 【变式2】乌龟和兔子进行200米赛跑．它们同时从起点出发，乌龟坚持不懈，匀速跑到终点，兔子倚仗自己跑得快，跑了一段时间后在途中睡了一觉，醒来跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点，如图能表示它们所行路程与时间关系的图是（   ） A．．B．C． D． 题型六 从函数的图象获取信息 解｜题｜技｜巧 1.要先观察图象的横纵坐标轴的单位，明确横纵坐标的含义； 2.观察图象的起始位置； 3.寻找图象变化的拐点，正确描述函数变化的过程。 【典例1】化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下面四种说法：①加入絮凝剂的体积越大，净水率越高；②未加入絮凝剂时，净水率为0；③絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等；④加入絮凝剂的体积是时，净水率达到．错误的说法有几种（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图．则下列说法中正确的个数有：①小明家和学校距离1200米；②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分；③小华乘坐公共汽车后与小明相遇；④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校．（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 题型七 一次函数的识别 解｜题｜技｜巧 准确理解一次函数的定义： 1.自变量的最高次数是1次； 2.自变量x的系数不能为0； 3.自变量x不能在分母或被开方数的位置上（即解析式是整式） 【典例1】下列四个等式中，是的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式中，不是的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 题型八 正比例函数的图象与性质 解｜题｜技｜巧 正比例函数是一次函数的特殊情况，是经过原点的一次函数，正比例函数的图象关于原点成中心对称；当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。 【典例1】已知与成正比，当时，，那么当时，的值为（   ） A．4 B． C．6 D． 【变式1】若正比例函数经过第一、三象限，则k的可能值为（   ） A． B．0 C．2 D．5 【变式2】，是正比例函数图象上的两个点，则，的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 题型九 一次函数图象的判断 解｜题｜技｜巧 1.坐标系中若只有一个一次函数图象判断，则根据k、b的正负来判断即可，k>0，b>0时图象经过一、二、三象限；k>0，b=0时图象经过一、三象限；k>0，b<0时图象经过一、三、四象限；k<0，b>0时图象经过一、二、四象限；k<0，b=0时图象经过二、四象限；k<0，b<0时图象经过二、三、四象限。 2.若坐标系中有两个一次函数图象进行判断，则分别根据两个一次函数的图象求出k、b的符号，进行对比，如果一致则正确，如果矛盾则错误。 【典例1】正比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知一次函数，则该函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2】一次函数与在同一坐标系中大致的图象可能是（　　） A．B．C． D． 题型十 一次函数的增减性 解｜题｜技｜巧 当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。 【典例1】下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】直线经过和，若则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】已知函数（a为常数），当时，y有最大值为5，则a的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型十一 一次函数图象的平移 解｜题｜技｜巧 函数图象的平移需要遵循函数图象的平移法则，即左加右减，上加下减。 1.左右平移函数图象时，要先用括号将自变量x括起来，向左平移时在括号内x的后面加上平移距离；向右平移时在括号内x的后面减去平移距离。 2.上下平移函数图象时，向上平移在解析式后面加上平移距离，下移在解析式后面减去平移距离。 【典例1】将直线平移得到直线，则移动方法为（   ） A．向左平移3个单位B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位 【变式1】将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位，所得的直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得到，与轴、轴分别交于点、点，若，则直线的解析式（   ） A． B． C． D． 题型十二 一次函数解析式的求解 解｜题｜技｜巧 1.先设出一次函数的解析式 2.找出两个在函数图象上的点，并将这两个点的坐标代入所设函数解析式，列出二元一次方程组，求出k、b的值即可。 【典例1】已知一次函数，它的图象经过，两点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若在该函数图象上，求的值． 【变式1】已知一次函数的图象过，两点． (1)求这个一次函数的关系式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上． 【变式2】已知一次函数的图象经过点，求： (1)这个函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数图象上？ (3)图象上两点，，如果，比较，的大小，_____（填“”，“”，或“”） 题型十三 一次函数与二元一次方程 解｜题｜技｜巧 从函数的角度看二元一次方程，在平面直角坐标系中一个二元一次方程对应着一条直线，因此也可以将一次函数看成时二元一次方程，在这个基础上，两个一次函数的交点即为两个二元一次方程的公共解，因此在求两个一次函数的交点坐标时，可以联立两个一次函数构成一个二元一次方程组，求出方程组的解即为交点坐标。 【典例1】如图，直线与直线交于点． (1)直接写出方程组的解． (2)若点在直线的下方，直线的上方，求出的取值范围． 【变式1】已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则一次函数与的图象的交点坐标是 ． 【变式2】如图，已知函数与轴交于，与交于B，C两点． （1）点的坐标是 ； （2）若一次函数与有交点，则的取值范围是 ． 题型十四 一次函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 【典例1】某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表．甲、乙印刷社收费（元）与印制数（张）的函数关系如下表： 甲印刷社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数之间的函数关系式，并说明宣传单张数为600时选择哪家印刷社比较划算． 【变式1】某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【变式2】在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）已知点P在第四象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）关于一次函数，下列结论中正确的是（　　） A．图象必经过 B．图象经过第一、二、三象限 C．若，在图象上，则 D．图象向上平移1个单位长度得解析式为 3．（24-25八年级上·江西吉安·期末）已知为任意实数，则点 在平面直角坐标系中的第 象限． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求m的值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知点及第一象限的动点，且，设的面积为，当时，则点P的坐标为(    ) A． B． C．或 D． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川南充·期末）在同一平面直角坐系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组 的解为 ． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知，，对任意一个x，取，中的较大的值为m，则m的最小值是 ． 5．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点A，点P沿的折线运动． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)当的面积是的面积的时，直接写出此时点P的坐标． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 2．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A．B．C． D． 4．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点那么点的坐标为 ． 5．（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面直角坐标系与一次函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平面内点的坐标表示 ①能准确写出坐标系内点的坐标； ②能够理解坐标系内个象限点的符号特征； ③能够理解点到坐标轴的距离。 基础必考点，常出现在小题，主要考查坐标系内坐标点的符号特征。 其中点到坐标轴的距离是高频易错考点。 平面坐标系内的图形平移 ①能掌握平面直角坐标系内点和图形的平移规律； ②能够根据平移规律画出平移图形或求出平移前后点的坐标； 通常考查平移作图，较为简单。 函数的概念 能够理解函数的概念、表示方法，掌握函数图象的画法；能够从函数图象中获取信息解决问题。 通常以选择和填空的形式考察，主要考察内容为根据图象辨别函数关系，根据实际情况列出函数解析式以及通过阅读函数图象获得信息的能力。 一次函数的图象与性质 能够理解正比例函数和一次函数的概念、区别与联系；能用待定系数法求解一次函数的解析式；能够画出一次函数的图象，并能掌握一次函数的性质。 选择和填空通常以一次函数的性质为考查重点，包括比较函数大小，判断点是否在图象上，交点坐标的求解等；解答题方面主要考查一次函数解析式的求解以及一次函数与几何的综合，且常以压轴题的形式进行考察。 一次函数的实际应用 能够建立一次函数模型解决实际问题。 通常以解答题的形式进行考察，构建一次函数模型解决销售利润以及方案设计问题。 知识点01 平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 我们可以在平面内画两条互相垂直、原点 重合的数轴，组成平面直角坐标系.水平的数轴称为 x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，习惯上取向上为正方向；两坐标轴的交点为原点. 2.有序数对：我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，例如（a,b）。 注意：(1)当 a=b时，(a,b)与 (b,a)表示同一有序数对；当 a≠b时，(a,b)与(b,a)表示不同的有序数对. (2)用有序数对可确定一个具体的位置，一个有序数对只能表示一个位置，此时，首先要确定a,b各表示什么。3.象限： 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被分为了四个部分，每个部分称为象限，右上部分叫做第一象限，其他三部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限、第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限.如下图。 4.点的坐标： （1）点的坐标的概念 对于平面内任意一点A, 由点A分别向x 轴、y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是a, 垂足N在y 轴上的坐标是b, 我们说点A 的横坐标是a, 纵坐标是b, 有序数对(a,b)叫做点A的坐标. （2）点的坐标特征 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的纵坐标相等 平行y轴 所有点的横坐标相等 （3）点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P， 则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝ . 5.坐标点的平移 具体变换过程 变换后的坐标 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 平移的三大要素：①平移的起点，②平移的方向，③平移的距离． 平移的性质： ①平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. ②平移前后对应线段平行且相等、对应角相等. ③任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 作图步骤： ①根据题意，确定平移的方向和平移的距离； ②找出原图形的关键点； ③按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点； ④按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形． 易错点： 1）原点既是x轴上的点，又是y 轴上的点. 2）点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y轴上或在x轴上. 3）已知点的坐标可以求出点到x 轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值. 4）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面： ①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关； ②距离都是非负数，而坐标可以是负数. 5）因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小. 知识点02 函数的概念 1.函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 2.函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 3.函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 4.函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 5.函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 6.函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 知识点03 一次函数 1.一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， 随的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， 随的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 ＞0，交点在轴正半轴上；=0，交点在原点；＜0，交点在轴负半轴上 2.一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 4.两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 5.用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法： 1）依据题意中等量关系直接列出解析式； 2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 6.正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性； b的符号决定直线与y轴的交点位置； k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 联系 1）正比例函数是特殊的一次函数． 2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． 4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 7.一次函数的实际应用： 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 易错点： 1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴. 2. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关. 3. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析. 4. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(, 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为s=. 题型一 点到坐标轴的距离 解｜题｜技｜巧 解决坐标点到坐标轴的距离类问题时，要注意： 1.区分点的横坐标的绝对值表示点到y轴的距离；点的纵坐标的绝对值表示点到X轴的距离。 2.在已知点到坐标轴的距离求点的坐标时，去绝对值时，注意有2种情况。 【典例1】在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，则a的值为 ． 【答案】或1 【详解】解：∵点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 故答案为：或1 【变式1】点P在第四象限，且点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是5，那么点P的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是5， ∴，， 因为点P在第四象限， 所以，， 因此，． 故点的坐标为． 故答案为：． 【变式2】已知点在第三象限，且点到轴的距离为1，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵点在第三象限， ∴点横坐标小于，纵坐标小于， 即且， 解得：， ∵点到轴的距离为，， ∴． 解得：． 当时，，， 即点在第三象限，且到轴的距离为，符合条件． 故答案为：4． 题型二 判断点所在的象限 解｜题｜技｜巧 判断点所在的象限时，要准确记忆各象限点的坐标的符号特征，即第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-）。 【典例1】在平面直角坐标系中，点所在的象限是第 象限． 【答案】二 【详解】点P的横坐标为，是负数； 纵坐标为， 由于，故，是正数． 因此点P在第二象限． 故答案为：二． 【变式1】已知，且，则点在第 象限． 【答案】四 【详解】解：∵， ∴异号， ∵，， ∴， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 【变式2】已知点在第一、三象限的角平分线上，则点在第 象限． 【答案】一 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在第一象限， 故答案为：一． 题型三 点的坐标的平移 解｜题｜技｜巧 1.水平方向平移：点的纵坐标不变，左右平移遵循横坐标左减右加的原则，即左移横坐标减去平移距离，右移横坐标加上平移距离。 2.上下平移：点的横坐标不变，遵循上加下减的原则，即上移点的纵坐标加上平移距离，下移点的纵坐标减去平移距离。 【典例1】若点在x轴上，将M向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到点N，则N的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：因为点在x轴上， 所以其纵坐标，解得． 则点M的横坐标为， 故点M的坐标为． 将点M向左平移2个单位，横坐标变为； 再向上平移1个单位，纵坐标变为． 因此点N的坐标为． 故答案为：． 【变式1】在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度，得到的点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：将点向上平移2个单位长度，根据平移中点的变化规律，横坐标不变，纵坐标增加2，所以得到的点的坐标是． 故答案为：． 【变式2】在数轴上，点、在原点的两侧，分别表示数、2，将点向右平移3个单位长度，得到点．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：点、在原点的两侧，分别表示数、2， 故点A一定在原点的左侧， 故， 根据题意，点C表示的数为， 故， 由， 得， 解得，（舍去）， 故a的值为， 故答案为：． 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为 ． 【答案】2 【详解】解：由题意，线段向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到线段， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式1】在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移至，点A的对应点为，点B的对应点为，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵将线段平移至，且，，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，，，平移线段，使点A，B均落在坐标轴上，则点A平移后的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【详解】解：设平移后点A、B的对应点分别是、． 分两种情况： ①在y轴上，在x轴上，则横坐标为0，纵坐标为0， ∴线段向右平移个单位，向下平移n个单位， ∴，即， 此时点B平移后的对应点的坐标是，符合题意； ②在x轴上，在y轴上，则纵坐标为0，横坐标为0， ∴线段向右平移个单位，向下平移个单位， ∴，即， 此时点B平移后的对应点的坐标是，符合题意； 故答案为：或． 题型四 图形的平移 解｜题｜技｜巧 作图步骤： ①根据题意，确定平移的方向和平移的距离； ②找出原图形的关键点； ③按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点； ④按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形． 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，． (1)若将向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到，请画出并写出点，，的坐标； (2)求的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：由题意得，． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，四边形的各点坐标是，，，， (1)在平面直角坐标系中，画出四边形； (2)点是四边形中一点，平移四边形后，点的对应点是，画出平移后的四边形． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求． （2）解：点的对应点是，即四边形内的每个点向右平移4个单位长度，向下平移5个单位长度得到四边形，故分别找到平移后的对应点，然后顺次连接即可． 如图，四边形即为所求． 【变式2】的位置如图所示，现将平移，使点移到点的位置． (1)请画出平移后的，并写出点的对应点的坐标______； (2)若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是______． 【详解】（1）解：由图可得：，，， ∵点移到点， ∴平移规律为：横坐标向左平移5个单位，纵坐标向下平移2个单位， ∴，， 依次连接，即可得到，如图所示： 故答案为： （2）解：∵点为内部的点， ∴根据（1）中的平移规律可得：， 故答案为：． 题型五 函数图象的识别 解｜题｜技｜巧 函数图象的识别主要考查对函数含义的理解，即对于任意的一个自变量x的值都有唯一的函数值y与之对应。在进行函数图象识别时，可在图象上找一点，过该点做x轴的垂线，观察直线与图象的交点个数，只有一个交点的是函数图象。 【典例1】下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：A、对于在某一范围内的每一个确定的值，不是都有唯一确定的值与它对应，故不能表示y是x的函数，不符合题意； B、对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，故能表示y是x的函数，符合题意； C、对于在某一范围内的每一个确定的值，不是都有唯一确定的值与它对应，故不能表示y是x的函数，不符合题意； D、对于在某一范围内的每一个确定的值，不是都有唯一确定的值与它对应，故不能表示y是x的函数，不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列各图中，不是的函数是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：根据函数的定义，选项A、C、D图象表示y是x的函数， B图象中对于x的一个值y有两个值对应，故y不是x的函数， 故选：B． 【变式2】乌龟和兔子进行200米赛跑．它们同时从起点出发，乌龟坚持不懈，匀速跑到终点，兔子倚仗自己跑得快，跑了一段时间后在途中睡了一觉，醒来跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点，如图能表示它们所行路程与时间关系的图是（   ） A．．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：虚线一直增加且倾斜程度小于实线； 实线有三个阶段，1、跑了一段，增加；2、睡了一觉，不变，水平线；3、当它醒来时，跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点；只有D选项符合题意．故选：D． 题型六 从函数的图象获取信息 解｜题｜技｜巧 1.要先观察图象的横纵坐标轴的单位，明确横纵坐标的含义； 2.观察图象的起始位置； 3.寻找图象变化的拐点，正确描述函数变化的过程。 【典例1】化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下面四种说法：①加入絮凝剂的体积越大，净水率越高；②未加入絮凝剂时，净水率为0；③絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等；④加入絮凝剂的体积是时，净水率达到．错误的说法有几种（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①从图像能看到，絮凝剂体积超过后，净水率开始下降，因此加入絮凝剂的体积越大，净水率越高，该说法错误； ②未加入絮凝剂时，净水率为，非0，因此该说法错误。 ③从图像可知，絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量不相等，因此该说法错误。 ④从图像可知，加入絮凝剂的体积是时，净水率达到，此说法正确， ∴错误的说法是①②③，有3种，故选：C． 【变式1】小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图．则下列说法中正确的个数有：①小明家和学校距离1200米；②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分；③小华乘坐公共汽车后与小明相遇；④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校．（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：根据图示，小明家和学校距离1200米，故①正确； 小华乘坐公共汽车的速度是米/分，故②正确； 小华的速度是240米/分， （分钟）， 小华用了分钟达到480米处与小明相遇， 小华乘坐公共汽车后与小明相遇，故③正确； 小明先出发去学校，根据函数图象可得，时停下吃早餐，此时小华跑步去学校， 小明到学校的时间为， 当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，所用时间为（分钟）， 小华到学校的时间为， ∴他们可以同时到达学校，故④正确； 综上所述，正确的有：①②③④，共4个， 故选：D． 【变式2】甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 【答案】C 【详解】解：点中可知，乙1小时行驶了， ∴乙的速度， 点中可知，后，甲追上乙， ∴甲的速度为， 由点可知，甲到地，且甲乙相差，则： ， 点可知，休息分钟， ∴，； 点可知，甲乙再次相遇，； A．甲车的速度是，故A错误，不符合题意； B．由以上分析已知甲出发后到达B地，且甲速度为，所以A，B两地为，故B错误，不符合题意； C．甲车到达B地，乙车比甲车早出发，所以乙车出发时甲车到达地，故C正确，符合题意； D．从图中和可知，甲出发和与乙车相遇，故D错误，不符合题意． 故选：C． 题型七 一次函数的识别 解｜题｜技｜巧 准确理解一次函数的定义： 1.自变量的最高次数是1次； 2.自变量x的系数不能为0； 3.自变量x不能在分母或被开方数的位置上（即解析式是整式） 【典例1】下列四个等式中，是的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、，的最高次数为2，不是一次函数，故此选项不符合题意； B、，解出，不是函数关系，故此选项不符合题意； C、，形式为，其中，是一次函数，故此选项符合题意； D、，和未指定为常数且，因此不一定是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】下列各式中，不是的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、变形为，故是一次函数，不符合题意； B、是一次函数，不符合题意； C、是一次函数，不符合题意； D、，未知数次数为2，不是一次函数，符合题意， 故选：D． 【变式2】下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】∵ 一次函数的一般形式为 （）， ① ，符合定义； ② ，分母含自变量 ，不是整式，不符合定义； ③ ，符合定义； ④ ，符合定义； ⑤ ，最高次项为2次，不符合定义； ∴ 是一次函数的有①、③、④，共3个.故选：C. 题型八 正比例函数的图象与性质 解｜题｜技｜巧 正比例函数是一次函数的特殊情况，是经过原点的一次函数，正比例函数的图象关于原点成中心对称；当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。 【典例1】已知与成正比，当时，，那么当时，的值为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】解：∵与成正比， ∴ 设， 当时，， ∴ 解得：， ∴， ∴当时，即， 解得：． 故选：D． 【变式1】若正比例函数经过第一、三象限，则k的可能值为（   ） A． B．0 C．2 D．5 【答案】D 【详解】解：由题知， 因为正比例函数经过第一、三象限， 所以， 解得， 显然只有D选项符合题意． 故选：D 【变式2】，是正比例函数图象上的两个点，则，的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】解：∵在函数中，， ∴， ∴随的增大而增大． ∵， ∴． 故选：B． 题型九 一次函数图象的判断 解｜题｜技｜巧 1.坐标系中若只有一个一次函数图象判断，则根据k、b的正负来判断即可，k>0，b>0时图象经过一、二、三象限；k>0，b=0时图象经过一、三象限；k>0，b<0时图象经过一、三、四象限；k<0，b>0时图象经过一、二、四象限；k<0，b=0时图象经过二、四象限；k<0，b<0时图象经过二、三、四象限。 2.若坐标系中有两个一次函数图象进行判断，则分别根据两个一次函数的图象求出k、b的符号，进行对比，如果一致则正确，如果矛盾则错误。 【典例1】正比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，正比例函数经过一、三象限，一次函数经过一、二、三象限； 当时，正比例函数经过二、四象限，一次函数经过二、三、四象限； 综上判断： 选项，正比例函数经过二、四象限，一次函数图象经过一、二、四象限，不符合题意，选项错误； 选项，正比例函数经过一、三象限，一次函数经过一、二、三象限，符合题意，选项正确； 选项，图中无正比例函数，不符合题意，选项错误； 选项，正比例函数经过二、四象限，一次函数图象经过一、二、三象限，不符合题意，选项错误． 故选：． 【变式1】已知一次函数，则该函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为，所以函数图象从左到右呈上升趋势，经过第一、三象限， 又因为，所以函数图象与轴的交点在轴负半轴上， 综上，该一次函数的图象经过第一、三、四象限，观察选项，只有选项B符合． 故选：B． 【变式2】一次函数与在同一坐标系中大致的图象可能是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：由得， ， ∵两直线不重合， ∴， ∴， ∴两条直线交点的横坐标为， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 题型十 一次函数的增减性 解｜题｜技｜巧 当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。 【典例1】下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ A∶ ，，∴ y随x增大而增大，不符合题意； B∶ ，，∴ y随x增大而增大，不符合题意； C∶ ，，∴ y随x增大而增大，不符合题意； D∶ ，，∴y随x增大而减小，符合题意． 故选D． 【变式1】直线经过和，若则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：， ∴y随x的增大而减小，   又， ．   故选：A． 【变式2】已知函数（a为常数），当时，y有最大值为5，则a的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：当时，y有最大值为5， 或， 当时， 或， 解得或， 当时，，（舍去）， 当时，，； 当时， 或， 解得或， 当时，，， 当时，，（舍去）； 故或. 故选：C． 题型十一 一次函数图象的平移 解｜题｜技｜巧 函数图象的平移需要遵循函数图象的平移法则，即左加右减，上加下减。 1.左右平移函数图象时，要先用括号将自变量x括起来，向左平移时在括号内x的后面加上平移距离；向右平移时在括号内x的后面减去平移距离。 2.上下平移函数图象时，向上平移在解析式后面加上平移距离，下移在解析式后面减去平移距离。 【典例1】将直线平移得到直线，则移动方法为（   ） A．向左平移3个单位B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位 【答案】D 【详解】解：∵直线平移得到直线， ∴将原直线向下平移3个单位得到直线，故选：D． 【变式1】将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位，所得的直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位，所得的直线的解析式是， 故选：A． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得到，与轴、轴分别交于点、点，若，则直线的解析式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 直线由直线向上平移得到， ∴ 设直线的解析式为． ∵ 直线与轴交于点，且， ∴ 点的坐标为． 将代入，得，解得． ∴ 直线的解析式为． 故选：C． 题型十二 一次函数解析式的求解 解｜题｜技｜巧 1.先设出一次函数的解析式 2.找出两个在函数图象上的点，并将这两个点的坐标代入所设函数解析式，列出二元一次方程组，求出k、b的值即可。 【典例1】已知一次函数，它的图象经过，两点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若在该函数图象上，求的值． 【详解】（1）将，代入一次函数得， ， 解得 ∴； （2）∵在该函数图象上， ∴ ∴． 【变式1】已知一次函数的图象过，两点． (1)求这个一次函数的关系式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上． 【详解】（1）解：设解析式为， ∵一次函数的图象过，两点， ∴， 解得， ∴解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在这个一次函数的图象上． 【变式2】已知一次函数的图象经过点，求： (1)这个函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数图象上？ (3)图象上两点，，如果，比较，的大小，_____（填“”，“”，或“”） 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为：； （2）解：当时，， ∴不在这个函数图象上； （3）解：∵， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小， ∵， ∴． 题型十三 一次函数与二元一次方程 解｜题｜技｜巧 从函数的角度看二元一次方程，在平面直角坐标系中一个二元一次方程对应着一条直线，因此也可以将一次函数看成时二元一次方程，在这个基础上，两个一次函数的交点即为两个二元一次方程的公共解，因此在求两个一次函数的交点坐标时，可以联立两个一次函数构成一个二元一次方程组，求出方程组的解即为交点坐标。 【典例1】如图，直线与直线交于点． (1)直接写出方程组的解． (2)若点在直线的下方，直线的上方，求出的取值范围． 【详解】（1）解：由图象的交点坐标得方程组的解是． （2）解：由点在直线的下方，直线的上方， 得． 当时，，， 的取值范围是． 【变式1】已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则一次函数与的图象的交点坐标是 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． ∴二元一次方程组即的解为 ∴一次函数与的交点坐标为． 故答案为： ． 【变式2】如图，已知函数与轴交于，与交于B，C两点． （1）点的坐标是 ； （2）若一次函数与有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：（1）当时，，当时，， 联立，解得，则， 联立，解得，则， 故答案为：； （2）在中，当时，， ∴， ∵， ∴直线经过定点， 如图所示，当直线恰好经过点A时，则，解得， 当直线恰好经过点B时，则，解得， ∴当时，一次函数与有交点， 故答案为：． 题型十四 一次函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 【典例1】某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表．甲、乙印刷社收费（元）与印制数（张）的函数关系如下表： 甲印刷社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数之间的函数关系式，并说明宣传单张数为600时选择哪家印刷社比较划算． 【答案】(1)在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张 (2)，，选择甲印刷社划算 【详解】（1）解：设甲、乙两家印刷各印了、张宣传单， ， 解得， 答：在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张； （2）根据题意得，， 当时， 当时， ∴， 当时， ∵ ∴选择甲印刷社划算． 【变式1】某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)选方案二更优惠，理由见解析． 【详解】（1）解：由题意，； ； ；； （2）选方案二更优惠，理由如下： 当时，；； ， 选方案二更优惠． 【变式2】在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 【答案】(1) (2)选择B种套餐更合算 【详解】（1）解：根据题意得：，； （2）解：当时， ， ， 选择B种套餐更合算． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）已知点P在第四象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为点P在第四象限可知横坐标为正，纵坐标为负， 又因为“点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1” 所以点P的坐标为； 故选A． 2．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）关于一次函数，下列结论中正确的是（　　） A．图象必经过 B．图象经过第一、二、三象限 C．若，在图象上，则 D．图象向上平移1个单位长度得解析式为 【答案】D 【详解】A．当时，， ∴点不在图象上，A错误； B．∵，， ∴图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，B错误； C．∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴，故不成立，C错误； D．图象向上平移1个单位，解析式为，即，D正确． 故选：D． 3．（24-25八年级上·江西吉安·期末）已知为任意实数，则点 在平面直角坐标系中的第 象限． 【答案】四 【详解】解： ， ， 点 在平面直角坐标系中的第四象限． 故答案为：四． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是 【答案】 【详解】解：∵方程组的解为， ∴一次函数与的交点P的坐标是． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求m的值． 【答案】(1)(2)1 【详解】（1）解：设， 将，代入，得 ， 解得， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：将点代入表达式得 ， 解得：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知点及第一象限的动点，且，设的面积为，当时，则点P的坐标为(    ) A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】解：点、、构成的，以为底边，其长度为． 点到的垂直距离为，故面积公式为： 当时， 或 若，则，此时点为，在第一象限，符合条件 若，则，此时点为，在第四象限，不符合第一象限要求 选项C包含，但该点不在第一象限；选项B、D的坐标均含负数值，排除． 综上，唯一符合条件的点为，对应选项A． 故选：A． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点在上运动，即时，随着的增大而增大， 点在上运动，即时，， 当点在上运动，即时，随着的增大而减小， 故选：A． 3．（24-25八年级下·四川南充·期末）在同一平面直角坐系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组 的解为 ． 【答案】 【详解】解：直线过点， ， ，且过， ， ， 方程组为， 得：， 解得：， 将代入②，解得： 方程组的解为， 故答案为： 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知，，对任意一个x，取，中的较大的值为m，则m的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：由图象可得：直线与直线的交点坐标为， ∵对任意一个x，m都取，中的较大值， 由图象可知：当时，，， ∴此时； 当时，， ∴此时； 当时，＞，， ∴此时， 综上所述：， ∴m的最小值是2． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点A，点P沿的折线运动． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)当的面积是的面积的时，直接写出此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：联立得：， 解得：， ∴点A的坐标为， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵的面积是的面积的， ∴， 设点P的横坐标为m， 当点P在上时，点， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 当点P在上时，点， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 2．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意，故选：A． 3．（2025·江苏·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米）， ∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达， ∴， ∴， ∴现在小华开始的速度为（米/分钟）, 设小华分钟后与小丽相遇， 由题意得， 得， 则相遇时小华到图书馆的距离为（米）， 剩余路程为（米）， 再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟， 则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间， 可知只有选项A符合题意， 故选：A． 4．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点那么点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可知，，，，，，，，，……，每4个点一循环， ∵， 点与，，等点的纵坐标相等且为0，横坐标为序号的一半，即， ∴点的坐标， 故答案为：． 5．（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 【答案】(1) (2)，的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约万个； 预测我国2025年发明专利申请授权数万个 【详解】（1）解： ∴2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为； （2）解：将，代入得， ， 解得， ∴； 其中的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约 万个； 当时，， ∴预测我国2025年发明专利申请授权数万个． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $