专题03 直线和圆的方程23考点（期末真题汇编，四川专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题03直线和圆的方程 23大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角 考点02 直线的斜率 考点03 直线的方向向量 考点04 两条直线的位置关系求参数 考点05 两条直线位置关系求直线方程 考点06 点到直线的距离 考点07 两条平行线的距离 考点08 直线的定点 考点09 直线的方程 考点10 圆的方程 考点11 圆的一般方程表示圆求范围 考点12 圆的方程对称问题 考点13 直线与圆的位置关系 考点14 直线与圆的位置关系求参数 考点15圆的切线问题 考点16已知圆的切线求参数 考点17 直线与圆弦长问题 考点18 切线长问题 考点19 圆与圆的位置关系 考点20 圆与圆的位置关系求参数 考点21 圆与圆的相交弦 考点22 圆中最值问题 考点23 弦长最短问题 地 城 考点01 直线的倾斜角 1．(24-25高二上·四川资阳天立学校·期末)下列直线中，倾斜角最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出各选项中的直线倾斜角，再比较大小即得. 【详解】直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为， 显然直线的倾斜角最大. 故选：C 2．(24-25高二上·四川资阳天立学校·期末)若直线过两点和，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线上两点坐标表示斜率，再利用斜率和倾斜角的关系，即得解 【详解】由题意，设直线的斜率为，倾斜角为， 故，由于，故. 故选：C. 3．(24-25高二上·四川成都简阳实验学校（成都石室阳安学校）·期末)经过，两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点求出直线斜率即可得解. 【详解】设倾斜角为，因为，所以，又，所以. 故选：D 4．(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)直线倾斜角为，且过点，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由倾斜角确定斜率，再由斜率公式列出等式即可求解； 【详解】由题意可知，则， 由直线过点P，则得 ， 故选：A 地 城 考点02 直线的斜率 1．(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)过点的直线与曲线有交点，则直线的斜率范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到表示的圆心为，半径为1的圆，位于轴上方的部分（含轴上的两点），画出图形，得到特殊位置的斜率，得到答案. 【详解】，两边平方得，即， 故表示的圆心为，半径为1的圆，位于轴上方的部分（含轴上的两点）， 如图所示，设，连接，并过点作半圆的切线，切点为， 其中，故， 设切线为，即， 圆心到直线的距离为1， 即，即， 解得或，由图形可知，切线斜率大于1， 故舍去， 所以直线的斜率范围为. 故选：C 2．(24-25高二上·四川南充·期末)如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【详解】由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故． 故选：B 地 城 考点03 直线的方向向量 1．(24-25高二上·四川眉山中学校·期末)直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 又因为与共线，所以的一个方向向量可以是， 故选：A. 2．（多选）(24-25高二·四川雅安·期末)下列说法中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．三点共线 C．直线（其中）必过定点 D．经过点，倾斜角为的直线方程为 【答案】ABC 【分析】对A，根据直线垂直轴判断；对B，由可判断B；对C，由题意可得出，即，解方程可判断C；对D，时，直线的斜率不存在可判断D. 【详解】对于A，直线即，垂直轴，所以直线的一个方向向量为，故A正确； 对于B，，，所以，故B正确； 对于C，由可得：， 则，解得：， 所以直线必过定点，故C正确； 对于D，当时，直线的斜率不存在，故D错误. 故选：ABC. 3．(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学·期末)直线的一个方向向量为 ． 【答案】答案不唯一 【分析】根据直线的斜率写方向向量即可. 【详解】斜率，所以直线的方向向量可以为. 故答案为：答案不唯一. 地 城 考点04 两条直线的位置关系求参数 1．(24-25高二上·四川乐山普通高中·期末)已知直线，直线平行，则实数（   ） A． B． C．或 D．不存在 【答案】A 【分析】根据两直线的位置关系，直接求解参数即可. 【详解】由题可得， 解得. 故选：A 2．(24-25高二上·四川凉山州·期末)“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线一般式中平行满足的系数关系，即可结合充分不必要条件的定义求解. 【详解】直线与直线平行,则满足 ，解得或， 因此“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件， 故选：C 3．(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学·期末)已知直线，直线，则“”是“”的（   ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】B 【分析】根据求出，再由必要但不充分条件定义判断可得答案. 【详解】若，则，解得，或， 当时，，，，符合题意， 当时，，，，符合题意， 所以若“”，则“，或”， 则“”是“” 必要条件但不是充分条件. 故选：B. 4．(24-25高二上·四川眉山东坡区眉山育英实验学校·期末)已知直线，，若，则实数 . 【答案】或 【分析】根据给定条件，利用直线垂直的充要条件列式计算即得. 【详解】直线，，由，得， 所以或. 故答案为：或 地 城 考点05 两条直线位置关系求直线方程 1．(24-25高二上·四川眉山·期末)经过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直关系确定直线的斜率，再应用点斜式写出直线方程. 【详解】与直线垂直的直线的斜率为，又直线过点， 所以直线方程为，整理得. 故选：C 2．(24-25高二上·四川眉山东坡区眉山育英实验学校·期末)过点，且与直线平行的直线方程是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由设所求直线方程是，再根据所求直线过点求解. 【详解】解：因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线方程是， 又因为所求直线过点， 代入直线方程得：， 所以所求直线方程为， 故选：D 3．(24-25高二上·四川绵阳·期末)过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两直线垂直的充要条件及点斜式计算即可. 【详解】若直线与垂直，则其斜率为， 又该直线过，根据点斜式有，整理得. 故选：C 4．(24-25高二上·四川安岳中学·期末)若直线l过点，且与双曲线过第一和第三象限的渐近线互相垂直，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线方程写出其渐近线方程，根据两直线垂直求出直线的斜率，由点斜式即得的方程. 【详解】 如图，由可知双曲线过第一和第三象限的渐近线方程为：， 直线l与之垂直，则直线l的斜率为， 又直线l过点，故直线l的方程为，即. 故选：B. 地 城 考点06 点到直线的距离 1．(24-25高二上·四川乐山普通高中·期末)点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】法一：写出点到直线的距离的表达式，换元，利用对勾函数的性质即可求解；法二：利用几何法即可求出最值. 【详解】法一：点到直线的距离为， ， 令，当时，， 当时，，由对勾函数的性质可知， 所以，所以， 所以. 法二：易知直线过定点，则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即. 故选：C. 2．(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由题意可知，当直线与直线垂直时，、两点间距离最小， 点到直线的距离， 故、两点间距离的最小值为. 故选：B. 3．(23-24高二上·四川绵阳·期末)已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【答案】D 【分析】求出点到直线的距离和点到直线的距离，二者相等求解方程即可. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或. 故选：D. 4．（多选）(24-25高二上·四川内江·期末)设直线l：，则（    ） A．直线l的纵截距为m B．当时，直线l与直线垂直 C．直线l过定点 D．原点到直线l的距离的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据直线在坐标轴上的截距的概念，判断出A项的正误；根据垂直的两条直线的斜率关系，判断出B项的正误；将直线l方程化简为，由此求出直线l经过的定点坐标，从而判断出C项的正误；由直线l经过定点，根据点到直线的距离的定义判断出D项的正误． 【详解】对于A，在方程中取，得， 所以直线l在y轴上的截距为，即纵截距等于，故A项错误； 对于B，当时，直线l方程为，其斜率， 而直线的斜率，结合，可知直线l与直线垂直，故B项正确； 对于C，直线l方程可化为， 所以直线l经过直线与的交点，故C项正确； 对于D，设直线l经过的定点为，结合点到直线的距离的定义， 可知：当时，原点O到l的距离等于，达到最大值，故D项正确． 故选：BCD. 5．(24-25高二上·四川眉山洪雅县·期末)已知点在直线上，若的最小值为4，则 ． 【答案】或9 【分析】根据的几何意义，结合点线距离公式求参数即可. 【详解】因为点在直线上， 那么的最小值是定点到直线的距离的平方， 所以，解得或9． 故答案为：或9 地 城 考点07 两条平行线的距离 1．(24-25高二上·四川自贡·期末)已知直线，，两直线之间的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】直接利用平行线间的距离公式计算即可. 【详解】直线，， 根据平行线间的距离公式得. 故选：C 2．(24-25高二上·四川眉山·期末)已知直线与直线平行（其中为实数），则它们之间的距离为 . 【答案】3 【分析】根据直线平行求得，即可求两平行线之间的距离. 【详解】因为直线与直线平行， 则，解得， 可知两直线分别为，，符合题意， 所以两直线的距离为. 故答案为：3. 3．(24-25高二上·四川绵阳三台中学·期末)两平行直线，的距离为 . 【答案】 【分析】由两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可计算出结果. 【详解】由于直线与平行，则，整理得，解得. 所以，直线的方程为，直线的方程为，即， 因此，两直线间的距离为. 故答案为：. 【点睛】本题考查两平行直线间距离的计算，同时也考查了利用直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题. 地 城 考点08 直线的定点 1．(24-25高二上·四川自贡·期末)已知是、的等差中项，直线恒过定点，则定点的坐标为 . 【答案】 【分析】由题意可得出，将直线方程变形得出，由可求得点的坐标. 【详解】因为为、的等差中项，则，所以，， 所以，直线的方程即为，即， 由可得， 所以，直线恒过定点. 故答案为：. 2．(24-25高二上·四川内江第六中学·期末)已知，三条直线两两相交，交点分别为． (1)证明：是直角三角形，且有一个顶点为定点； (2)求面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据直线垂直的性质，结合直线点斜式方程的特征进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）记的交点为A，记的交点为B，记的交点为C， 的斜率为，的斜率为， ，                         ，即是直角三角形，其中， 又，所以过定点， ，所以过定点， 有一个顶点B为定点； （2）的面积为， 其中AB为B到直线的距离，即， 又得交点为到直线的距离，即， ， 当且仅当时取等号， 时，面积取得最大值． 地 城 考点09 直线的方程 1．(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学·期末)过、两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由截距式得到直线方程. 【详解】由截距式可得直线方程为，A正确，BCD错误. 故选：A 2．(24-25高二上·四川内江第六中学·期末)在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】对直线方程，令，即可求得结果. 【详解】对方程，令，解得； 故直线在轴上的截距为. 故选：A. 3．(24-25高二上·四川安岳中学·期末)已知顶点，，. (1)求边BC上的高所在直线的方程； (2)若直线l过点A，且l的纵截距是横截距的2倍，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据、，即可得中点及斜率，进而可得其高线方程； （2）当直线l过坐标原点时可得直线方程；当直线l不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解. 【详解】（1）由、，且， 所以其高线斜率满足，即， 所以边BC的高所在直线的方程为，即； （2）当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 4．(24-25高二上·四川自贡·期末)已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）根据题意，求得，设点，求得，再求得点，进而求得的斜率，进而求得直线的方程． 【详解】（1）解：因为边上的高所在的直线方程为，可得斜率为， 可得直线的斜率，又因为的顶点， 所以直线的方程为，即； 所以直线的方程为. （2）解：直线边上的中线所在的直线方程为， 由方程组，解得，所以点， 设点，则的中点在直线上，所以，即， 又点在直线上，，解得，所以， 所以的斜率，所以直线的方程为， 即直线的方程为． 5．(24-25高二上·四川自贡第一中学校·期末)已知顶点、、． (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据、，即可得中点及斜率，进而可得其中垂线方程； （2）当直线过坐标原点时可得直线方程；当直线不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解. 【详解】（1）由、， 可知中点为，且， 所以其垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； （2）当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 地 城 考点10 圆的方程 1．(24-25高二上·四川眉山东坡区眉山育英实验学校·期末)已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合中点坐标公式并由代入法即可求解. 【详解】设点，根据中点的坐标公式可得， 代入椭圆方程得，其中. 故选：B 2．(24-25高二上·四川自贡·期末)已知平面内两定点，动点满足，面积的最大值为（  ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】根据两点间的距离公式列式，化简得到点P的轨迹方程，然后根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】由题意可得： 化简得： 所以点P的轨迹方程为 圆半径为3，圆心为在直线上，又 故选：D 3．(23-24高二·四川泸州·期末)若圆被直线平分，则圆C的半径为 ． 【答案】 【分析】首先根据条件确定圆心在直线上，代入求后，即可求圆的半径． 【详解】若圆被直线平分，则直线过圆心， 圆的圆心为， 即， 解得：， 则圆，则圆的半径为． 故答案为：． 4．(24-25高二上·四川眉山东坡区眉山育英实验学校·期末)已知圆过，两点，且圆心在上． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的标准方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据直线与CD垂直得到斜率，再由CD的中点坐标为 求解； （2）法一：直线与CD的垂直平分线的方程联立求得圆心，然后求得半径即可；法二：根据圆心在上，设，圆的半径为，再将点，坐标代入求解； 【详解】（1）解： ， ，又因为CD的中点坐标为 ， 所以线段的垂直平分线的方程为：； （2）法一：由， ， 所以圆的标准方程为：， 法二：由题意，因为圆心在上，所以可设， 设圆的半径为， 又圆过，两点， 所以，解得，则圆心为， 所以圆的方程为； 5．(24-25高二上·四川眉山仁寿县部分学校·期末)如图所示，等腰梯形ABCD的底边AB在x轴上，顶点A与顶点B关于原点O对称，且底边AB和CD的长分别为6和，高为3． (1)求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程； (2)若点N的坐标为(5,2)，点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等腰梯形的对称性，可确定圆心在y轴上，利用圆心到B，C点的距离相等可确定圆心和半径，即可得圆E的方程； （2）因为P是MN的中点，将点P设出，然后利用点M的在圆E上的特点，求点P的轨迹方程. 【详解】（1）设， 由已知可得：， 由得： ， ∴圆的圆心为，半径为， ∴圆的方程为：． （2）设， ∵为线段的中点，∴， 代入点所在圆的方程得： ， ∴点的轨迹方程为． 地 城 考点11 圆的一般方程表示圆求范围 1．(24-25高二上·四川眉山东坡区眉山育英实验学校·期末)若方程表示圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程，由求解. 【详解】解：因为方程表示圆， 所以， 解得， 故选：B 2．(24-25高二上·四川仁寿县铧强中学·期末)若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围. 【详解】由， 得， 由该曲线表示圆， 可知， 解得或， 故选：B. 3．(24-25高二上·四川绵阳·期末)已知直线：平分圆：的周长，则实数 . 【答案】 【分析】根据直线和圆的位置关系列方程，从而求得的值. 【详解】圆：的圆心为， 由于直线平分圆的周长， 所以直线过圆心， 即. 故答案为： 地 城 考点12 圆的方程对称问题 1．(24-25高二上·四川凉山州·期末)设点，若直线关于轴对称的直线与圆相切，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】根据对称求解直线的方程，即可根据相切关系，结合点到直线的距离公式求解. 【详解】由可得，故直线关于轴对称的直线斜率为，且经过点，故直线方程为， 圆的圆心和半径分别为， 由相切可得，解得， 故选：A 2．（多选）(24-25高二上·四川自贡第一中学校·期末)已知圆与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线与圆不一定相交 B．当时，圆上至少有两个不同的点到直线的距离为1 C．当时，圆关于直线对称的圆的方程是 D．当时，若直线与轴，轴分别交于，两点，为圆上任意一点，当最小时， 【答案】AD 【分析】A：根据直线所过的定点进行分析；B：先分析圆心到直线的距离满足的条件，然后求解出的范围；C：设出对称圆的方程，根据圆心连线的中点在已知直线上、圆心连线与已知直线垂直列出方程组，由此求解出对称圆的方程；D：结合图示，分析得到与圆相切时最小，然后利用勾股定理求解出结果. 【详解】对于A，直线过定点，又因为， 所以点在圆外，所以直线与圆不一定相交，故A正确； 对于B，要使圆上有至少两个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离要小于， 所以有，解得，故B错误； 对于C，当时，直线，设圆关于直线对称的圆的方程是， 根据题意有，解得，， 所以对称圆的方程为，故C错误； 对于D，当时，直线，则点，，且圆心，半径， 当与圆相切时最小，此时，故D正确； 故选：AD. 3．(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)已知圆心为的动圆与：外切，与：内切. (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与的轨迹交于，两点，且为线段的中点，求坐标原点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据这些关系求出动圆圆心M到两定圆圆心的距离之和为定值，从而根据椭圆的定义确定M的轨迹方程.   （2）利用点差法求出直线AB的斜率，进而得到直线AB的方程，再根据点关于直线对称的性质求出点P的坐标. 【详解】（1）设动圆M的半径为r，的圆心，半径； 的圆心，半径. 圆相内切， 因为动圆M与外切，所以； 动圆M与内切，所以，则. 又. 因为， 根据椭圆的定义，点M的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆. 则，，根据，可得. 所以M的轨迹方程为. （2）设，. 因为A，B在椭圆上，所以. 两式相减得：. 因为N为线段AB的中点，所以，. 则直线AB的斜率. 直线AB的方程为，即. 设点P，则，即. 又中点在直线AB上，所以. 将代入上式得：. 解得，. 所以点P的坐标为. 地 城 考点13 直线与圆位置关系 1．（多选）(24-25高二上·四川资阳天立学校·期末)对于直线与圆，下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．的半径为9 C．与可能相切 D．被截得的弦长最小值为 【答案】AD 【分析】根据含参直线方程求定点坐标判断项；根据圆的一般方程与标准方程的互化判断项；根据直线所过定点在圆内，知直线与圆必相交判断项；当直线与过定点和圆心的直线垂直时，被截得的弦长最小，从而计算弦长最小值可判断项. 【详解】对于，可变形为， 由得所以直线过定点，故正确； 对于，圆，化为标准方程为，所以圆的半径为，故错误； 对于，因为，所以点在圆内部，所以直线与不可能相切，故错误； 对于，设直线所过定点为，则当直线时，直线被截得的弦长最小. 因为圆心，所以，所以直线的斜率，解得， 此时直线. 因为圆心到直线的距离，所以弦长，故正确. 故选：. 2．(24-25高二上·四川泸州·期末)已知直线过定点，圆的方程为． (1)求的坐标，并判断与圆的位置关系； (2)已知，圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由． (3)已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作．若为线段，求点集所表示的图形面积． 【答案】(1)点的坐标为，直线与圆相交 (2)不存在 (3) 【分析】（1）将直线的方程变形，可求出点的坐标，然后判断点与圆的位置关系，即可得出直线与圆的位置关系； （2）设点，根据求出点的轨迹方程，可知点在圆上，判断圆和圆的位置关系，即可得出结论； （3）确定点集所对应的平面区域，数形结合可求出点集对应的平面区域的面积. 【详解】（1）将直线变形为， 令，解得：，所以点的坐标为， 将圆的方程转化为标准方程， 则圆心，半径，点到圆心的距离， 因为，即点到圆心的距离小于圆的半径， 所以点在圆内部，直线与圆相交． （2）设点，已知、， 由，可得：， 整理得，即，即， 所以，点在圆上，且圆心，半径为， 圆的方程为，， 所以，，所以，两圆外离， 所以，圆上不存在点，使得成立. （3）已知、，则线段的方程为， 点集所表示的图形是由两条平行于且与距离为的线段， 以及以、为圆心，半径为的两个半圆所围成的图形，两条平行线段的长度为， 两个半圆可拼成一个半径为的圆， 所以该图形的面积为． 3．(24-25高二上·四川眉山·期末)已知直线：，圆（点为圆心）. (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)当时，判断直线与圆是否相交于不同的两点？如果相交于不同两点，记这两点为，，并求的面积，如果不相交，请说明理由. 【答案】(1)，或 (2)是， 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径可得答案； （2）当时，利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得直线与圆相交，再由及求出的面积. 【详解】（1）圆，，半径， 若直线与圆相切，则，解得，或； （2）当时，直线的方程为， 由圆心到直线的距离为， 得直线与圆相交于不同两点， 所以， 所以. 4．(23-24高二上·四川绵阳·期末)已知直线：（），圆：. (1)试判断直线与圆的位置关系，并加以证明； (2)若直线与圆相交于，两点，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)直线与圆相交，证明见解析 (2)最小值为4，方程为 【分析】（1）由直线恒过定点，并且定点在圆的内部，即可得出直线与圆相交. （2）由题意得直线与直线垂直时，弦长最小，由直线和圆相交的弦长公式即可求得答案. 【详解】（1）∵（），∴， 令解得∴直线恒过定点. 又， ∴点在圆内部， ∴直线与圆相交. （2）∵圆：的圆心为，半径为3， 当直线与直线垂直时，弦长最小，此时， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为，即. 圆心到直线的距离为， ∴， ∴弦长的最小值为4，此时直线的方程为. 地 城 考点14 直线与圆位置关系求参数 1．(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学·期末)若直线与圆只有一个公共点，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】分析直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式可求的值. 【详解】因为直线与圆只有一个公共点，所以直线与圆相切. 又 ，所以圆心为，半径为1. 由 . 故选：C 2．(24-25高二上·四川成都简阳实验学校（成都石室阳安学校）·期末)已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围. 【详解】曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过点定点，如下图， 由图知，当与半圆左上部相切时，且，可得， 结合图知. 故选：B 3．(24-25高二上·四川乐山普通高中·期末)已知圆，直线.若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为 . 【答案】 【分析】由题可知，圆的半径是2，圆上点到直线距离为1，该距离为半径的一半，则要使圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则圆心到l的距离为1，据此即可求解． 【详解】由题可知，圆的圆心为(0，0)，半径为2， 故要使圆上恰有3个点到l的距离为1， 则圆心到直线l的距离为1， 即． 故答案为：． 4．(24-25高二上·四川安岳中学·期末)在平面直角坐标系xOy中，若直线上存在一点P，圆x2＋（y－1）2＝1上存在一点Q，满足，则实数k的最小值为 ． 【答案】 【解析】根据求出点P的轨迹方程，只需直线与点P的轨迹有公共点即可. 【详解】设点P（x，y），由可得，又点Q在圆x2＋（y－1）2＝1上，可得，即x2＋（y－3）2＝9，所以点P既在圆x2＋（y－3）2＝9上，又在直线上，即直线与圆有公共点，所以圆心到直线距离， 解得，所以实数k的最小值为. 故答案为： 【点睛】此题考查求曲线的轨迹方程和通过直线与圆的位置关系求参数的取值范围，直线与圆有公共点转化为圆心到直线距离小于等于半径. 5．(24-25高二上·四川资阳天立学校·期末)直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出两直线的交点，再根据两直线垂直求出直线的斜率，最后写出点斜式方程； （2）分类讨论，直线斜率不存在和存在两种，利用圆心到直线的距离列式计算. 【详解】（1）联立两直线和，解得，即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为：. 综上：直线的方程为或. 地 城 考点15 圆的切线 1．(24-25高二上·四川眉山仁寿县部分学校·期末)若过点，且与圆相切的直线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】验证点在圆外，然后讨论切线斜率存在与不存在两种情况即可解决. 【详解】圆的圆心是 ，半径是 ， 把点的坐标代入圆的方程可知点P在圆外， 当直线斜率不存在时， 直线为 ，不满足题意； 当直线斜率存在时， 设直线为 ，即 ， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，即 ， 解得 或 ， 切线为或 ， 故选：D. 2．（多选）(24-25高二上·四川安岳中学·期末)已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上第一象限的点，且，过点的直线与交于两点，圆，则（    ） A． B．若，则直线倾斜角的正弦值为 C．若的面积为6，则直线的斜率为 D．过点作圆的两条切线，则两切点连线的方程为 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的定义、弦长、面积、圆的切线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，则，则，故，故A正确； 设直线，联立则， 设，则， 故.， 解得，则直线倾斜角的正弦值为，故B错误； ，解得， 则直线的斜率为，故C正确； 由上述分析可知，， 圆可化为，圆心，半径， 易知为其中一条切线，切点为，且两切点连线与垂直， ，两切点连线的斜率为， 故两切点连线为， 即，故D正确. 故选：ACD    【点睛】方法点睛： 联立方程法求交点：通过设定直线方程并联立抛物线方程，得到交点的坐标表达式．这是求解涉及两条曲线交点时的基本方法． 面积与斜率的关系：在C选项的分析中，利用三角形面积公式推导出直线的斜率，通过面积与几何图形特性的关系有效求解参数． 圆的切线与切点方程：在D选项的分析中，使用圆的标准方程，通过作切线与圆心的垂直关系，找到切点并确定切线方程． 地 城 考点16 直线与圆弦长问题 1．(24-25高二上·四川自贡第一中学校·期末)直线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用垂径定理，将弦长问题转化为在弦心距与半径，半弦长构成的直角三角形中求解即可． 【详解】圆M的半径，圆心，则圆心M到直线l的距离， 故． 故选：D． 2．(24-25高二上·四川仁寿第一中学校南校区·期末)已知圆经过坐标原点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； (3)过点引圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】（1）根据圆心半径求圆的标准方程； （2）根据点到直线的距离以及勾股定理求解弦长； （3）分类讨论然后结合圆心到直线的距离为半径求解； 【详解】（1）由题意可得，圆心为，半径为2，则圆的方程为； （2）由（1）可知：圆的半径， 设圆心 到的距离为，则， 所以. （3）当斜率不存在时，为过点的圆C的切线. 当斜率存在时，设切线方程为，即， =2，解得 ，所以. 综上所述：切线的方程为和． 3．(24-25高二上·四川宜宾·期末)已知圆C过点和点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线与圆C相交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆心坐标为，由题意得，求解即可求得圆的方程； （2）求出圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求得即可得解. 【详解】（1）由于圆C的圆心在直线上， 所以设， 因为圆C过点和点， 所以， 即， 解得， 即圆心坐标为， 所以半径， 所以圆C的方程为. （2）依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆C相交于两点， 所以弦长， 所以. 地 城 考点17 已知弦长求参数 1．(24-25高二上·四川自贡第一中学校·期末)过点的直线与圆相交于两点．记直线的斜率等于，．则是的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可. 【详解】当直线的斜率等于时，直线的方程为，代入方程中， 得，显然， 当直线的不存在斜率时，直线的方程为，代入方程中， 得，显然， 因此是的充分不必要条件， 故选：A 2．(24-25高二上·四川南充·期末)若直线被圆截得的弦长为2，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形可得，再利用基本不等式可得答案. 【详解】圆化为标准方程为， 所以圆心坐标为，半径为， 可得圆心到直线的距离为， 若直线被圆截得的弦长为2， 则，整理得，即， 又，所以 ， 当且仅当即时等号成立， 则的最小值为2. 故选：C. 3．(24-25高二上·四川凉山州·期末)平面内一动点到点与的距离之比为． (1)求动点的轨迹方程； (2)斜率为1的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可. 【详解】（1）设动点， 因为，则， 整理可得， 所以动点的轨迹方程为. （2）由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得， 所以直线的方程为. 4．(24-25高二上·四川眉山洪雅县·期末)在平面直角坐标系中，已知圆M的圆心在直线上，且圆M与直线相切于点. (1)求圆M的方程； (2)过坐标原点O的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据直线与圆的相切的关系得出圆心与切点连线方程，联立方程组计算可得圆心坐标，根据两点距离公式计算半径即可得圆M的标准方程； （2）根据弦长公式可得圆心M到直线的距离，分类讨论直线斜率是否存在，并点到直线的距离公式计算斜率即可. 【详解】（1）易知过点且与直线垂直的直线斜率为， 故圆心M与切点连线方程为， 联立解得， 所以； 所以圆M的半径为， 所以圆M的方程为. （2）如图，由（1）可知圆M的方程为，    因为直线被圆M截得的弦长为， 所以M到直线的距离为， 若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为1，不符合题意； 若直线的斜率存在，设方程为， 则，即，解得或， 所以直线的方程为或. 5．(24-25高二上·四川资阳天立学校·期末)已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点． (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且被圆C截得的弦长为的直线方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意，求得圆心和半径，即可求得结果； （2）设直线方程为，利用弦长公式，求解即可. 【详解】（1）设圆C的标准方程为 圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点， ，解方程组得； 所以圆C的标准方程为. （2）设直线的方程为：， 圆心到直线l的距离， 所以，解得或， 所以直线l的方程为或 地 城 考点18 切线长问题 1．(24-25高二上·四川仁寿第一中学校南校区·期末)已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则=（    ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可知直线过圆心，求得，根据点结合点到直线距离以及等面积法可得结果. 【详解】由圆可得， 所以圆心，半径为； 又由直线是圆的对称轴，即直线过圆心， 所以，解得，即； 因此， 所以切线长； 由圆的性质可知，所以四边形的面积为， 可得. 故选：D 地 城 考点19 圆与圆位置关系 1．(24-25高二上·四川巴中·期末)已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】C 【分析】根据圆的方程确定圆心、半径，根据圆心距与半径和差关系判断位置关系. 【详解】由，得，半径， 由，得，半径， 所以， 所以，即， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故选：C 2．(24-25高二上·四川成都·期末)圆和圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【答案】C 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到圆心距与两圆半径的关系，即可得到两圆位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 圆心距，， 所以，即，故两圆相交． 故选：C. 3．(24-25高二上·四川眉山仁寿县部分学校·期末)圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是 ．（选择以下答案填空：“相离”，“外切”，“相交”，“内切”，“内含”） 【答案】内切 【分析】首先计算两圆圆心之间的距离，利用圆心距与两圆半径作比较即可判断. 【详解】由题意可得圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径， 两圆圆心距， 因为，所以两圆内切， 故答案为：内切 4．(24-25高二上·四川绵阳·期末)在平面直角坐标系中，已知，，，四点都在圆上. (1)求圆的方程； (2)已知为坐标原点，点，圆上是否存在点，满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)两圆内含，故两圆无公共点. 【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法可求圆的方程； （2）求出点的轨迹方程，根据圆心距与半径差的关系可判断两圆内含. 【详解】（1）设圆， 则，故， 故圆的方程为，而， 故也在圆上，故圆的方程为. （2）设，则， 整理得到：，其标准方程为， 故的轨迹为圆，圆心，半径为， 而圆：，而，其半径为， ，故两圆内含，故两圆无公共点. 地 城 考点20 圆与圆位置关系求参数 1．(24-25高二上·四川眉山洪雅县·期末)已知圆与圆外切，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和.先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据两圆外切的性质列出等式求解的值. 【详解】对于圆，其圆心坐标，半径. 对于圆，即， 其圆心坐标，半径， 因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距， 根据两圆外切性质，即，解得. 故选：B. 2．(21-22高二上·四川宜宾·期末)与圆和圆都外切的圆的圆心在（    ） A．一个圆上 B．一个椭圆上 C．双曲线的一支上 D．一条抛物线上 【答案】C 【分析】设动圆的半径为，然后根据动圆与两圆都外切得，再两式相减消去参数，则满足双曲线的定义，即可求解. 【详解】设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1； 圆的圆心为，半径为2． 依题意得，则， 所以点的轨迹是双曲线的一支． 故选：C． 3．(24-25高二上·四川仁寿县铧强中学·期末)若圆与圆有3条公切线，则正数a= . 【答案】3 【分析】根据两圆外切半径之和等于圆心距即可求解. 【详解】两圆有三条公切线，则两圆外切，∴∴ 故答案为：3 4．(24-25高二上·四川眉山中学校·期末)已知圆. (1)若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程； (2)若圆与圆C相切，求实数m的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）首先设出过定点直线，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线，不要忘记讨论斜率不存在的情况； （2）分内切和外切，结合公式，列式求值. 【详解】（1）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与圆C相切，符合题意. 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即， 则，解得，所以直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. （2）圆的方程可化为. 若圆与圆C外切，则，解得. 若圆与圆C内切，则，解得. 综上，或. 地 城 考点21 圆与圆相交弦 1．（多选）(24-25高二上·四川乐山普通高中·期末)已知和，则下列说法正确的是（   ） A．两圆相交，有两个公共点 B．两圆的公共弦所在直线方程为 C．两圆公共弦长度为 D．经过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程为 【答案】ABD 【分析】确定两圆的圆心和半径，确定两圆的位置关系，可确定两圆的位置关系，判断A的真假；求两圆公共弦所在直线方程，确定B的真假；求公共弦长判断C的真假；求满足条件的圆的标准方程，判断D的真假. 【详解】因为： ，所以，. ： ，所以，. 所以. 对A选项：因为，即，所以两圆相交，有两个公共点，故A正确； 对B选项：由 ， 所以两圆的公共弦所在直线方程为即，故B正确； 对C选项：到直线的距离为：，所以两圆的公共弦长度为：，故C错误； 对D选项：设所求圆的方程为：（） 整理得：. 因为圆心在直线上，所以 . 所以所求圆的方程为：即， 配方得：.故D正确. 故选：ABD 2．（多选）(24-25高二上·四川宜宾·期末)已知圆与圆交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．两圆的公切线有2条 B．直线的方程为 C．若两点到直线的距离相等，则 D．当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1 【答案】ABD 【分析】求得圆心距，可判断A；两圆方程相减求得得公共弦的方程可判断B；求得两交点坐标，可得，求解可判断C；由题意有4个公共点时，求解可判断D. 【详解】由圆，可得圆，所以圆心，半径， 由圆，可得圆， 所以，半径， 所以两圆的圆心距为，所以， 所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条，故A正确； 因为圆与圆， 所以两圆的方程相减可得公共弦的方程：，即，故B正确； 由，得，代入圆，可得， 整理得，解得或，所以，， 由两点到直线的距离相等，所以， 解得或，故C错误； 由圆上恰有4个点到直线的距离等于1，则，解得， 所以当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1，故D正确. 故选：ABD. 地 城 考点22 圆中最值问题 1．(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学·期末)已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍．动点的轨迹与直线交于两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据列等式，整理得动点的方程，根据直线的方程得到直线恒过定点，根据几何知识可得当时，最小，最后求弦长即可. 【详解】 设，则，整理得， 所以动点的轨迹为圆心为，半径为的圆， 直线的方程可整理为， 令，解得， 所以直线恒过定点， 有几何知识可得当时，最小， ，所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求动点轨迹的方法： ①定义法：根据曲线定义得到曲线类型，然后计算； ②列等式法：设动点坐标，然后根据题设列等式，整理即可. 2．（多选）(24-25高二上·四川眉山东坡区眉山育英实验学校·期末)已知圆，圆，直线，直线与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是（ ） A．若时，圆与圆相交 B．若时，两圆公共弦所在直线的方程为 C．弦长的最小值为 D．若点，则的最大值为 【答案】BD 【分析】分别求两圆的圆心和半径，根据圆与圆的位置关系，即可判断A，两圆相减即可判断B，根据直线所过的定点，由定点与圆的位置关系，即可判断C，对应D选项，首先判断点的轨迹，利用向量的运算转化为的最大值，即可判断D. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，当时，，圆与圆相内切，，A错误； 对于B，当时，，圆与圆相交，两圆方程相减得 ，即，B正确； C.直线，变形为，所以直线恒过定点，且点在圆内，当定点为弦的中点时，此时最短， 由于点为弦的中点时，的方程为, 而直线不可能表示直线, 没有 最小值，故C不正确； 对于D，令弦的中点为，线段的中点为，当与点都不重合时， ，有，当与点之一重合，上式成立，则， 因此点的轨迹是以为直径的圆，即以为圆心，1为半径的圆，， 而，因此的最大值为，D正确. 故选：BD 3．（多选）(24-25高二上·四川南充·期末)已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．弦的中点的轨迹方程为 C．若为坐标原点，则的最大值为 D．直线的交点的轨迹方程为（去掉点） 【答案】BCD 【分析】求出直线所过定点判断A；利用圆的弦长公式求出弦心距判断B；利用圆的性质求出最大值判断C；确定两直线垂直并求出轨迹方程判断D. 【详解】对于A，直线恒过定点，A错误； 对于B，圆的圆心，半径，则， 因此弦的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，直线过定点，而直线不包含直线， 直线不包含直线，由，得，因此点的轨迹是以 点与为直径端点的圆（不含点），方程为（去掉点），D正确. 故选：BCD 4．（多选）(24-25高二上·四川绵阳·期末)已知点是圆：上任意一点，直线：，是直线上一点，则（    ） A．不可能是直线与圆的公共点 B．圆上有3个点到直线距离为1 C．若直线与圆相切，则长度的最小值为2 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系可判断A，由与直线距离为1的直线至多一条与圆有公共点判断B，根据切线性质转化为求圆心到直线距离的最小值即可判断C，利用三角换元求范围判断D. 【详解】由圆：知圆心为，半径， 对A，圆心到直线：的距离， 所以直线与圆相离，故A正确； 对B，设与直线：平行且距离为1的直线为， 则，解得或，由A选项可知，时直线在下方，不可能和圆有公共点，所以只有直线为有可能与圆有公共点，但至多2个，故B错误； 对C，当直线与圆相切时，，所以当取最小值时，有最小值，由A知，，所以长度的最小值为，故C正确； 对D，因为点是圆：上任意一点， 可设，则， 由可知，故D正确. 故选：ACD 5．(24-25高二上·四川乐山普通高中·期末)已知圆C的方程为. (1)求圆C关于直线对称的圆的方程； (2)若点在圆C上运动，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）由圆C的标准方程得到圆心为，半径为1，求得圆心关于对称的点为即可； （2）由即为点P到原点的距离的平方，利用几何法求解. 【详解】（1）由圆C的标准方程为，可知圆心为，半径为1. 圆心关于对称的点为， 圆C关于直线对称的圆的方程为. （2）即为圆上的点P到原点的距离的平方. 圆心到原点的距离为， 的最大值为，最小值为. 地 城 考点23 弦长最短问题 1．(24-25高二上·四川仁寿第一中学校南校区·期末)设，圆，若动直线与圆交于点A、C，动直线与圆交于点B、D，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，根据几何关系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值. 【详解】， 圆心M(1，3)，半径r＝， 过定点E(2,1)， 过定点E(2,1)， 且⊥， 如图，设AC和BD中点分别为F、G，则四边形EFMG为矩形， 设，，则， 则＝ ，当且仅当即时取等号. 故答案为：. 2．(24-25高二上·四川成都·期末)已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当直线被圆截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，最短弦长 【分析】（1）整理可得直线，根据直线过定点分析求解即可； （2）根据题意可得圆心和半径，结合圆的性质以及垂径定理分析求解即可. 【详解】（1）由直线，得， 联立方程，解得， 即当时，方程对实数恒成立， 所以直线恒过定点． （2）因为圆的方程可化为，可知圆心为，半径． 因为，可知点在圆C内， 由圆的性质可知：圆心到直线的距离， 则弦长． 故当时，直线被圆截得的弦长最短． 此时，故． 即，解得， 最短弦长． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题03直线和圆的方程 ☆23大高频考点概览 考点01直线的倾斜角 考点02直线的斜率 考点03直线的方向向量 考点04两条直线的位置关系求参数 考点05两条直线位置关系求直线方程 考点06点到直线的距离 考点07两条平行线的距离 考点08直线的定点 考点09直线的方程 考点10圆的方程 考点11圆的一般方程表示圆求范围 考点12圆的方程对称问题 考点13直线与圆的位置关系 考点14直线与圆的位置关系求参数 考点15圆的切线问题 考点16已知圆的切线求参数 考点17直线与圆弦长问题 考点18切线长问题 考点19圆与圆的位置关系 考点20圆与圆的位置关系求参数 考点21圆与圆的相交弦 考点22圆中最值问题 考点23弦长最短问题 目目 考点1 直线的倾斜角 1.(24-25高二上四川资阳天立学校期末)下列直线中，倾斜角最大的是() A.3x+y+1=0 B.3x-y+1=0 C.x+y+1=0 D.x-y+1=0 2.(24-25高二上·四川资阳天立学校期末)若直线过两点0,0和3，-1，则直线的倾斜角为() 2π B. 3 C.5n 6 D.6 3.(24-25高二上·四川成都简阳实验学校（成都石室阳安学校）·期末)经过A(2,3),B(3,2)两点的直线的 倾斜角为() A.45° B.60° C.120° D.135 1/13 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 4.(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)直 y=kx顿斜角为135o,且过点pR3,0”则a=6（） A.-3 B.3 C.-3 D.3 目目 考点02 直线的斜率 1.(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)过点-2，-4的直线与曲线y=2x一x有交点，则直线的斜率 范围是() A.1,2 B. 6-V66+V6 4,4」 6+6 6-V6 2.(24-25高二上·四川南充·期末)如图所示，直线l1,2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则下列结论正确的是 () A.k1>k2>k3B.k2>k3>k1 C.k2>k1>k3 D.k3>k2>k1 目目 考点03 直线的方向向量 1.(24-25高二上·四川眉山中学校·期末)直线3x+2y-1=0的一个方向向量是（) A.2,-3 B.2,3 C.-3,2 D.3,2 2.（多选)(24-25高二·四川雅安·期末)下列说法中，正确的是（) A.直线2x+1=0的一个方向向量为0,1 B.A3,1,B5,2,C-3,-2三点共线 C.直线2m+1x+3-my-9-5m=0(其中m∈R)必过定点3,1 D.经过点P0,1,倾斜角为0的直线方程为y=xtan0+1 3.(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学期末)直线x+3y-1=0的一个方向向量为 目目 考点04 两条直线的位置关系求参数 1.(24-25高二上四川乐山普通高中期末)已知直线L1:ax+y+a+1=0,直线l2:2x+a-1)y+3=0平行， 2/13 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 则实数a=乙() A.-1 B.2 C.-1或2 D.不存在 2.(24-25高二上·四川凉山州期末)m=-2”是“直线l1:m+1)x+y-1=0与直线l2:2x+my+1=0平 行”的() A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学期末)已知直线l1:x+2ay-6=0,直线 12:1-3ax+ay-4=0则“1，/12”是“a=的() 6 A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 4.(24-25高二上·四川眉山东坡区眉山育英实验学校·期末)已知直线m:(a+2)x+ay+3=0, n:ax+2y-4=0,若m⊥n,则实数a= 目目 考点05 两条直线位置关系求直线方程 1.(24-25高二上·四川眉山期末)经过点P2,3且与直线2x-y=0垂直的直线1的方程为() A.2x+y-7=0B.2x-y-1=0 C.x+2y-8=0D.x+2y+4=0 2.(24-25高二上·四川眉山东坡区眉山育英实验学校期末)过点-3,2，且与直线x+2y-3=0平行的直 线方程是()· A.2x-y+3=0B.2x-y+5=0 C.x+2y-4=0 D.x+2y-1=0 3.(24-25高二上·四川绵阳·期末)过点(3,2)且垂直于直线x-2y+1=0的直线方程为() A.2x-y-4=0 B.2x-y+4=0 C.2x+y-8=0 D.x-2y+4=0 4.2425高上四川交岳中学期末若直线1过点-3，-2，且与双曲线X一y=1过第一和第三象限的 渐近线互相垂直，则直线1的方程为() A.2x+y-8=0 B.2x+y+8=0 C.2x-y+8=0 D.2x-y-6=0 目目 考点06 点到直线的距离 1.(24-25高二上四川乐山普通高中：期末)点(0，-1)到直线x-y+=0(1为任意实数)距离的最大值为 3/13 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 () 4.2 B.1 C.2 D.2 2 2.(24-25高二上·四川达州普通高中：期末)己知点A(1,0,点B为直线x-y+1=0上动点，则A、B两点间 距离的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.2 3.(23-24高二上·四川绵阳·期末)已知A-2,0,B4,m两点到直线：x-y+1=0的距离相等，则m= () A.-2 B.6 C.-2或4 D.4或6 4.（多选)(24-25高二上·四川内江·期末)设直线：m-1x+y+m=0,则() A.直线的纵截距为m B.当m=2时，直线1与直线y=x垂直 C.直线1过定点-1，-1 D.原点到直线I的距离的最大值为2 5.24-25高二上·四川眉山洪雅县·期末)已知点Ma,b在直线4x-3y+c=0上，若(a-1)2+(b-1)2的最 小值为4，则c=( 目目 考点07 两条平行线的距离 1.(24-25高二上·四川自贡·期末)已知直线l1:3x+4y+10=0,12:3x+4y-5=0,两直线之间的距离为 () A.1 B.2 C.3 D.4 2.(24-25高二上·四川眉山·期末)已知直线m-2x+m-1y-4=0与直线3x+4y+m+6=0平行（其中 m为实数)，则它们之间的距离为 3.(24-25高二上四川绵阳三台中学期末)两平行直线l1:ax+3y+1=0,12:x+(a-2)y+a=0的距离为 考点08 直线的定点 1.(24-25高二上·四川自贡·期末)已知b是a、c的等差中项，直线ax+by+c=0恒过定点A,则定点A的坐 标为 2.(24-25高二上·四川内江第六中学·期末)已知a>0,三条直线 l1:ax-y+a=0,l2:X+ay-a(a+1)=0,l3:(a+1)x-y+a+1=0两两相交，交点分别为A,B,C. (1)证明：△ABC是直角三角形，且有一个顶点为定点： (2)求△ABC面积的最大值. 4/13 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 目目 考点09 直线的方程 1.(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学·期末)过A2,0、B0,3两点的直线方程是（) c.y=3 3 D.y= 2.(24-25高二上四川内江第六中学期末在平面直角坐标系xOy中，直线X-义=1在y轴上的截距为 48 () 1 A.-8 B.8 c日 D.8 3.(24-25高二上·四川安岳中学·期末)已知△ABC顶点A(1,2),B(-3,-1),C(3,-3) (1I)求边BC上的高所在直线的方程； (2)若直线1过点A,且1的纵截距是横截距的2倍，求直线1的方程 4.(24-25高二上·四川自贡·期末)已知△ABC的顶点B-2,0,AB边上的高所在的直线方程为 x+3y-26=0. (I)求直线AB的方程； (2)若BC边上的中线所在的直线方程为y=3,求直线AC的方程， 5.(24-25高二上·四川自贡第一中学校期末)已知△ABC顶点A1,2、B-3,-1、C3,-3. (1)求边BC的垂直平分线l1的方程； (2)若直线l2过点A,且l2的纵截距是横截距的2倍，求直线L2的方程. 目目 考点10 圆的方程 1.(2425高二上四川眉山东坡区眉山育英实验学校：期利已知椭图C:亡+y =1,从C上任意一点P向y 164 轴作垂线段PP',P为垂足，则线段PP的中点M的轨迹方程为() A.+-10x≠0) B.x2+y2=4(x≠0) 644 D.x2+y2=8(x≠0) 2.(24-25高二上·四川自贡·期末)已知平面内两定点A(-9,0),B(-1,0),动点P(x,y)满足PA=3PB, △ABP面积的最大值为() A.9 B.10 C.11 D.12 5/13 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 3.23-24高二·四川泸州期末)若圆C:x2+y2+2mx-2y=0被直线2x+y+1=0平分，则圆C的半径为一 4.(24-25高二上四川眉山东坡区眉山育英实验学校·期末)已知圆M过C1,-1,D一1,1两点，且圆心 M在x+y+2=0上. (1)求线段CD的垂直平分线的方程： (2)求圆M的标准方程 5.(24-25高二上·四川眉山仁寿县部分学校期末)如图所示，等腰梯形ABCD的底边AB在x轴上，顶点A 与顶点B关于原点O对称，且底边AB和CD的长分别为6和2V6,高为3. (I)求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程； (2)若点N的坐标为(5,2)，点M在圆E上运动，求线段MW的中点P的轨迹方程. B 目目 考点11 圆的一般方程表示圆求范围 1.(24-25高二上·四川眉山东坡区眉山育英实验学校期末)若方程x2+y2-2x+2y-m=0表示圆，则m的 取值范围为() A.m>2 B.m>-2 C.m←2 D.m<2 2.(24-25高二上·四川仁寿县铧强中学·期末)若曲线C:x2+y2+2ax-4ay-10a=0表示圆，则实数a的 取值范围为() A.-2,0 B.-o,-2U0,+∞ C.[-2,0] D.-o,-2U0,+∞ 3.(24-25高二上四川绵阳·期末)己知直线1：x-2y+3=0平分圆C:x2+y2-ay-3=0的周长，则实数 a=i_ 目目 考点12 圆的方程对称问题 1.(24-25高二上·四川凉山州期末)设点A-1,2,B0,m,若直线AB关于y轴对称的直线与圆 6/13 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 x+2+y-3=10相切，则m的值为() A.-1 B.0 c D.1 2.(多选)(24-25高二上四川自贡第一中学校期末)已知圆C:x-52+y-52=16与直线 :x+2y-4=0,下列选项正确的是() A.直线与圆C不一定相交 16. B.当m≥ 时，圆C上至少有两个不同的点到直线的距离为1 15 C.当m=-2时，圆C关于直线l对称的圆的方程是x+32+y+32=16 D.当m=1时，若直线1与x轴，y轴分别交于A,B两点，P为圆C上任意一点，当∠PBA最小时， PB=3V2 3.(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)已知圆心为M的动圆与⊙C1:x2+y-4}2=1外切，与⊙C2: x2+y+42=81内切. (1)求M的轨迹方程： (2)过点N 35 2’2 的直线与M的轨迹交于A,B两点，且N为线段AB的中点，求坐标原点O关于直线AB的 对称点P的坐标 目目 考点13 直线与圆位置关系 1. （多选)(24-25高二上·四川资阳天立学校期末)对于直线：(m-2)x+y-2m+1=0与圆 C:x2+y2-6x-4y+4=0,下列说法正确的是() A.I过定点(2,3) B.C的半径为9 C.与C可能相切 D.l被C截得的弦长最小值为27 2.(24-25高二上·四川泸州期末)已知直线1：x+y-m=0过定点A,圆C的方程为 x2+y2-2x-2y-2=0 (1)求A的坐标，并判断l与圆C的位置关系： (2)己知B9,0,圆C上是否存在点M,使得MA+MBP=40成立？若存在，求点M的个数；若不存在， 7/13 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 请说明理由. (3)已知平面上的线段l1及点P,任取l1上一点Q,线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作 dP,l1.若L为线段AC,求点集D=所表示的图形面积. 3.(24-25高二上·四川眉山期末)已知直线：y=kx+1,圆M:x2+y2-4x-4y+4=0(点M为圆心). (1)若直线与圆M相切，求实数k的值： (2)当k=1时，判断直线与圆M是否相交于不同的两点？如果相交于不同两点，记这两点为A,B,并求 △MAB的面积，如果不相交，请说明理由 4.(23-24高二上四川绵阳·期末)已知直线1：kx+y-2k+1=0(k∈R),圆C:(x-12+y-12=9, (1)试判断直线与圆C的位置关系，并加以证明： (2)若直线与圆C相交于A,B两点，求AB的最小值及此时直线的方程. 目 考点14 直线与圆位置关系求参数 1.(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学·期末)若直线1：y=kx+2与圆O:x+y2-2y=0只有一个公共 点，则k=式() A.2 B.1 C.0 D.-1 2.(24-25高二上·四川成都简阳实验学校（成都石室阳安学校）·期末)已知直线y=kx+2与曲线 y=1一x2有公共点，则实数k的取值范围是() 「-33 3 A. B. 3’3 0,3 D.-3,3 3.(24-25高二上·四川乐山普通高中期末)已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=x+b.若圆C上恰有三个点到直 线的距离等于1，则b的值为一 4.(24-25高二上·四川安岳中学·期末)在平面直角坐标系xOy中，若直线y=k(x-33)上存在一点P,圆 x2+(y-1)2=1上存在一点Q,满足OP=3O0,则实数k的最小值为 5.(24-25高二上·四川资阳天立学校期末)直线经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点. (1)若直线1与直线3x+y-1=0垂直，求直线的方程： (2)若直线1与圆（x-32+(y-1)2=25相切，求直线1的方程. 考点15 圆的切线 8/13 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1.(24-25高二上·四川眉山仁寿县部分学校·期末)若过点P(2,1),且与圆x2+y2=1相切的直线方程为 () A.2x+y-5=0 B.2x+y-5=0或y=1 C.4x-3y-5=0 D.4x-3y-5=0或y=1 2.(多选)(24-25高二上四川安岳中学·期末)已知O为坐标原点，抛物线C:y=4x的焦点为F,A为C上 第一象限的点，且AF=2,过点F的直线l与C交于P,Q两点，圆E:x2+y2-4x=0,则() A.OA=5 B.若PQ=6,则直线倾斜角的正弦值为 3 3 C.若△OPQ的面积为6，则直线1的斜率为± 4 D.过点A作圆E的两条切线，则两切点连线的方程为x一2y+2=0 考点16 直线与圆弦长问题 1.(24-25高二上四川自贡第一中学校期末)直线1：y=x与圆M:x2+y-12=4交于A,B两点，则 AB=() A.2 B.7 C.2V7 D.14 2.(24-25高二上·四川仁寿第一中学校南校区·期末)已知圆C经过坐标原点，且圆心为2,0. (1)求圆C的标准方程： (2)已知直线1：3X+4y-1=0与圆C相交于A,B两点，求弦长AB的值； (3)过点P4,一4引圆C的切线，求切线的方程. 3.(24-25高二上·四川宜宾期末)已知圆C过点M(2,0)和点N(1,-1),且圆心C在直线l1:x-y-3=0上. ()求圆C的方程； (2)已知直线l2:x+2y-1=0与圆C相交于A,B两点，求△ABC的面积， 考点17 已知弦长求参数 1.(24-25高二上，四川自贡第一中学校期末)过点P(4,1)的直线1与圆(x-3)2+y2=4相交于A,B两点.记 p:直线l的斜率等于0，q:VABV乙2V3.则p是q的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.(24-25高二上四川南充期末)若直线ax+by-2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2-2x-2y+1=0截得的弦长 9/13 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 为2，则2+的最小值为() a b C.2 D.4 3.(24-25高二上四川凉山州·期末)平面内一动点C到点A1,0与B4,0的距离之比为1：2. (1)求动点C的轨迹方程： (2)斜率为1的直线与曲线C交于M、N两点，且MN=23,求直线的方程. 4.(24-25高二上·四川眉山洪雅县·期末)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=-2x上， 且圆M与直线x-y-5=0相切于点P(2,-3. (1)求圆M的方程； (2)过坐标原点O的直线被圆M截得的弦长为√6，求直线的方程. 5.(24-25高二上·四川资阳天立学校期末)已知圆C的圆心在直线x一2y=0上，且与直线x-2y+5=0相 切于点(3,4). (1)求圆C的标准方程： (2)求过点(2,0)且被圆C截得的弦长为 22 的直线方程 目目 考点18 切线长问题 1.(24-25高二上·四川仁寿第一中学校南校区·期末)己知直线1：x+qy-1=0(a∈R)是圆 C:x2+y2-6x-2y+1=0的对称轴，过点P(-4,a)作圆C的两条切线，切点分别为A和B,则AB= () A.7 B.V58 C.210 D. 21V58 29 目目 考点19 圆与圆位置关系 1.(24-25高二上·四川巴中.期末)已知圆C1:(x+1)2+(y+4)2=25,圆C2:x2+y2-4x-4y-1=0,则圆 C1与圆C2的位置关系是() A.外离 B.外切 C.相交 D.内含 2.(24-25高二上四川成都期末)圆C1:x2+y2=4和圆C2:x-32+y-42=16的位置关系是() A.内切 B.外切 C.相交 D.相离 3.(24-25高二上·四川眉山仁寿县部分学校期末)圆M:x2+y2-4y=0,圆N: 10/13