精品解析：浙江省台州市玉环市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年浙江省台州市玉环市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “垃圾分一分，环境美十分”下列四种垃圾回收标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知方程的一个根为，则c的值为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知的半径是3，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 不能确定 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如果正n边形的一个外角是40°，则n的值为（   ） A. 5                                            B. 6                                            C. 8                                            D. 9 6. 某地政府通过下调药品价格来解决老百姓看病贵、看病难的问题，某种药品经过连续两次调价，由每盒元下调至元，求平均每次下调的百分率．设平均每次下调百分率为x，根据题意列方程得（    ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点D，与交于点E，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 把一张四边形纸片分别进行如下操作，下列操作结果能判定它是正方形的是（    ） A. 沿一条对角线所在直线折叠，直线两旁的部分能互相重合 B. 沿一组对边的中点所在直线折叠，直线两旁的部分能互相重合 C. 绕对角线交点旋转，能与自身重合 D. 绕对角线交点旋转，能与自身重合 9. 一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线上有两点，下列条件中，一定能判断的是（    ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形内接于，对角线恰好是的直径，若，则的长为（    ） A. B. 3 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在平面直角坐标系中，点A（﹣4，2）关于原点对称的点的坐标为____． 12. 已知点在抛物线上，则有______． 13. 将长为的线段绕端点A旋转，则线段扫过的面积为______（结果保留） 14. 在欧几里得的《原本》中，记载了形如的一元二次方程的图解法．如图，以和b为直角边作，以点B为圆心，的长为半径作弧，与斜边所在的直线交于点D，．已知该方程的正根等于线段的长，而它的负根的绝对值也等于图中某条线段的长，则该线段是______． 15. 我国古代数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接、外切正多边形逼近圆，从而估算范围．如图，设圆半径为r，利用两个正六边形周长为，，可得，即．若利用两个正六边形的面积，则可得的范围为______． 16. 小明用“试根法”探索关于的一元二次方程的解．当的值分别取时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如下表所示，则该方程的解为______． 的值 … 0 1 2 3 … 等号左边的值 … 0 2 5 9 … 等号右边的值 … 1 3 5 7 … 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解一元二次方程：． 18. 如图，要在一块长为30米，宽为24米的长方形绿地上修建“两纵两横”四条宽度相等的小路，若剩余绿地面积为520平方米，求小路宽度． 小明的解法是设小路宽度为x米，列出两个方程： ①，得到； ②，得到． （1）请分别判断小明所列的两个方程是否正确？ （2）请推测小路的宽度（要求写出推理过程） 19. 如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 （1）画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． （2）在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 20. 某体育用品商店销售某款足球，若将销售价格定为x元/个，则销售利润为元/个，年销售量为个． （1）当时，该商店销售该款足球的年利润为多少元？ （2）为获得与（1）一样的年利润，能否将销售单价定为另外一个数量？若能，请求出该数量；若不能，请说明理由． 21. 小明在求抛物线的顶点坐标过程中，初步感受到当自变量x取顶点横坐标的值时，二次项与一次项的值可能存在特殊关系，于是开展了如下探究活动． （1）绘制表格，呈现特殊结果请帮小明完成表格 解析式 顶点横坐标x 4 2 8 ______ ______ ______ （2）猜想：当x取顶点横坐标的值时，m，n的值有何关系？ （3）请证明你的猜想． 22. 如图，为直径，以为腰作等腰，底边交于点D，连结． （1）如图1，若，求证：是的切线． （2）如图2，的延长线交于点E，，求的面积． 23. 某种弹性小球从地面某处竖直向上弹起，到达最高点后落回原处，再弹起、落回…，小球离地的高度（单位：）是运动时间（单位：）的函数．若，h是t的二次函数，部分对应数据如下表： 0 1 2 0 2 0 若，t取任意值时的小球高度一定是时的． （1）若，求h关于t的函数解析式． （2）若 ①当时，求t的值． ②判断时，h关于t的函数是不是二次函数？若是，求出函数的解析式；若不是，请说明理由． （3）直接写出：小球第几次弹起后的最大高度最接近？ 24. 如图，的直径，点P在上，点P与直径构成． （1）如图1，当点P与A重合时，求． （2）如图2，． ①当时，分别求的长． ②在点M，N的运动过程中，是否定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． ③当的周长为时，求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省台州市玉环市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “垃圾分一分，环境美十分”下列四种垃圾回收标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称的定义，即可判断． 【详解】A、图形旋转180゜后不能与原来的图形重合，故不是中心对称图形； B、图形旋转180゜后能与原来的图形重合，故是中心对称图形，所以结论正确； C、图形旋转180゜后不能与原来的图形重合，故不是中心对称图形； D、图形旋转180゜后不能与原来的图形重合，故不是中心对称图形． 故选：B． 【点睛】本题根据中心对称图形的概念，判断所给图形是否是中心对称图形，判断的关键是旋转180゜后，仍能与原来的图形重合． 2. 已知方程的一个根为，则c的值为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， 解得：， 故选：C. 3. 已知的半径是3，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键．将点到圆心的距离（即的长度）与的半径进行比较即可得． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点在外， 故选：A． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握形如的顶点坐标为是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选C． 5. 如果正n边形的一个外角是40°，则n的值为（   ） A. 5                                            B. 6                                            C. 8                                            D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360°即可求解． 【详解】∵n边形的外角和为360°， ∴正n边形的一个外角是 ， ∴=40°， ∴n=9， 故选D. 6. 某地政府通过下调药品价格来解决老百姓看病贵、看病难的问题，某种药品经过连续两次调价，由每盒元下调至元，求平均每次下调的百分率．设平均每次下调百分率为x，根据题意列方程得（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系． 设平均每次下调百分率为x，则每次调价后价格为原价的倍，经过两次调价，列方程求解． 【详解】解：∵初始价格为元，经过两次下调，每次下调率为x， ∴第一次下调后价格为元， 第二次下调后价格为元， 根据题意，下调后价格为元， ∴． 故选：A． 7. 如图，在中，，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点D，与交于点E，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质，掌握切线性质是解答的关键．先根据切线性质得到，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质求得，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵与相切于点D， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 故选：B． 8. 把一张四边形纸片分别进行如下操作，下列操作结果能判定它是正方形的是（    ） A. 沿一条对角线所在直线折叠，直线两旁的部分能互相重合 B. 沿一组对边的中点所在直线折叠，直线两旁的部分能互相重合 C. 绕对角线交点旋转，能与自身重合 D. 绕对角线交点旋转，能与自身重合 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的对称性质，需掌握各四边形的旋转对称特征：正方形有90°旋转对称性，而矩形和菱形（非正方形）仅具有旋转对称性． 通过旋转对称性判断：正方形具有旋转对称性，而其他四边形如矩形（非正方形）或菱形（非正方形）均无此性质，故选项C能唯一判定正方形． 【详解】解：A．沿一条对角线所在直线翻折，两旁的部分能互相重合，可能是菱形，不一定是正方形，故该选项不正确，不符合题意； B．沿一组对边的中点所在直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，可能是矩形，不一定是正方形，故该选项不正确，不符合题意； C．绕对角线交点旋转，能与自身重合，是正方形，故该选项正确，符合题意； D．绕对角线交点旋转，能与自身重合，可能是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 9. 一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线上有两点，下列条件中，一定能判断的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线的图象与性质，涉及二次函数图形与轴交点与一元二次方程的根关系、二次函数的对称性等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 先由二次函数图形与轴交点与一元二次方程的根关系得到抛物线的对称轴为，再结合抛物线上点的对称性分析，若，则由抛物线上点的对称性可知，对称轴，据此分析各个选项即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 则抛物线的对称轴是， 抛物线上有两点， 若，则由抛物线上点的对称性可知，， A、当时，，不符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，四边形内接于，对角线恰好是的直径，若，则的长为（    ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作于E，由等腰三角形三线合一的性质以及垂径定理证得过圆心，利用三角形中位线定理求得，然后通过证得得到，设圆的半径为r，则，则，根据直径所对的圆周角为直角可得出是直角三角形，由勾股定理可得出，解方程求得即可求得BD的长． 【详解】解：作于E， ， ， 垂直平分， 过圆心， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 设圆的半径为r，则， ， ， 在中，， ， 整理得，即， （负值舍去）． 故选：D． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和判断，等腰三角形三线合一，三角形的中位线，掌握相关知识是解决问题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在平面直角坐标系中，点A（﹣4，2）关于原点对称的点的坐标为____． 【答案】（4，﹣2）． 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点A（﹣4，2）关于原点对称的点的坐标是：（4，﹣2）． 故答案为（4，﹣2）． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键． 12. 已知点在抛物线上，则有______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数比较函数值大小，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 由二次函数图象与性质得到二次函数的开口向下，对称轴为轴，从而得到抛物线上的点到对称轴距离越近值越大，求出点到抛物线对称轴的距离，比较距离大小即可得到答案． 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为轴， ∴由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近值越大， ∴点到对称轴的距离为、， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 将长为的线段绕端点A旋转，则线段扫过的面积为______（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式，先根据题意得到线段扫过的图形为圆心角为、半径为的扇形，然后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，线段扫过的面积为． 故答案为：． 14. 在欧几里得的《原本》中，记载了形如的一元二次方程的图解法．如图，以和b为直角边作，以点B为圆心，的长为半径作弧，与斜边所在的直线交于点D，．已知该方程的正根等于线段的长，而它的负根的绝对值也等于图中某条线段的长，则该线段是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，熟练掌握勾股定理和一元二次方程的应用是解题的关键． 解方程，得，则，，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：， ， 解得：， 方程的正根等于线段的长， ， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由题意可知，， ， 该方程的负根的绝对值等于图中线段的长， 故答案为：． 15. 我国古代数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接、外切正多边形逼近圆，从而估算范围．如图，设圆半径为r，利用两个正六边形周长为，，可得，即．若利用两个正六边形的面积，则可得的范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，锐角三角函数，掌握相关知识是是正确解答的关键．根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系求出、的底和高，进而求出正六边形，正六边形的面积，有两个正六边形的面积与圆面积的大小关系得出答案． 【详解】解：如图，连接，则是正三角形， ，， 作， ， ， 连接， ∵切圆于点， ∴， 在中，， ， ， ， ， 圆的面积为， ， 即， 故答案为： 16. 小明用“试根法”探索关于的一元二次方程的解．当的值分别取时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如下表所示，则该方程的解为______． 的值 … 0 1 2 3 … 等号左边的值 … 0 2 5 9 … 等号右边的值 … 1 3 5 7 … 【答案】， 【解析】 【分析】通过表格数据，设等式左边与x的关系为，代入对于的数值求出a、b、c的值得出；由表可知，x的值每增加1，等号右边的值增加2，则等式右边与x的关系为，则方程为，然后解方程即可． 【详解】解：由表可知， 设等式左边与x的关系为， 则， 解得， ∴； 当时，，符合题意； 由表可知，x的值每增加1，等号右边的值增加2， ∴等式右边与x的关系为 ∴方程为， 化简得， 解方程，． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解一元二次方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 则或， 解得 18. 如图，要在一块长为30米，宽为24米的长方形绿地上修建“两纵两横”四条宽度相等的小路，若剩余绿地面积为520平方米，求小路宽度． 小明的解法是设小路宽度为x米，列出两个方程： ①，得到； ②，得到． （1）请分别判断小明所列的两个方程是否正确？ （2）请推测小路的宽度（要求写出推理过程） 【答案】（1）小明所列的两个方程都不正确 （2）小路的宽度为2米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设小路宽度为x米，则剩余绿地的长为米，宽为米，即可解决问题； （2）设小路宽度为y米，则剩余绿地的长为米，宽为米，根据剩余绿地面积为520平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设小路宽度为x米，则剩余绿地的长为米，宽为米， 由题意得：， 小明所列的两个方程都不正确； 【小问2详解】 解：设小路宽度为y米，则剩余绿地的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：小路的宽度为2米． 19. 如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 （1）画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． （2）在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 【答案】（1） 如图，即为所求,． （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，弧长的计算，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． 根据旋转的性质作图即可； 利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴点B的运动路径长为 20. 某体育用品商店销售某款足球，若将销售价格定为x元/个，则销售利润为元/个，年销售量为个． （1）当时，该商店销售该款足球的年利润为多少元？ （2）为获得与（1）一样的年利润，能否将销售单价定为另外一个数量？若能，请求出该数量；若不能，请说明理由． 【答案】（1）该商店销售该款足球的年利润为5000元 （2）可以将销售单价定为另外一个数量，即100元/个 【解析】 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列得关于x的一元二次方程，解方程并判断即可． 本题考查一元二次方程的应用，理解题意并列得正确的算式及方程式解题的关键． 【小问1详解】 解： 元， 即当时，该商店销售该款足球的年利润为5000元； 【小问2详解】 解：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：， ， 可以将销售单价定为另外一个数量，即100元/个． 21. 小明在求抛物线的顶点坐标过程中，初步感受到当自变量x取顶点横坐标的值时，二次项与一次项的值可能存在特殊关系，于是开展了如下探究活动． （1）绘制表格，呈现特殊结果请帮小明完成表格 解析式 顶点横坐标x 4 2 8 ______ ______ ______ （2）猜想：当x取顶点横坐标的值时，m，n的值有何关系？ （3）请证明你的猜想． 【答案】（1）； （2）； （3） 证明：二次函数的顶点的横坐标为， ∴ ， ． ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点坐标，规律探索，分式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据所给函数解析式求出顶点横坐标，然后代入求值完成表格的填写即可； （2）根据所填表格，猜想m，n值得关系即可； （3）二次函数的顶点的横坐标为，代入求出m，n进行证明． 【小问1详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴顶点的横坐标为， 则，． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由表格可知， 当取顶点横坐标的值时，，的值的关系为； 【小问3详解】 略 22. 如图，为直径，以为腰作等腰，底边交于点D，连结． （1）如图1，若，求证：是的切线． （2）如图2，的延长线交于点E，，求的面积． 【答案】（1） 证明：以AB为腰作等腰，底边BC交于点D， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）因为以AB为腰作等腰，底边为BC，所以，由AB为的直径，得，而，由，求得，即可证明AC是的切线； （2），得，由，推导出，则，所以，由，得，由，得，则，求得 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论，切线的判定，勾股定理，完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键． 23. 某种弹性小球从地面某处竖直向上弹起，到达最高点后落回原处，再弹起、落回…，小球离地的高度（单位：）是运动时间（单位：）的函数．若，h是t的二次函数，部分对应数据如下表： 0 1 2 0 2 0 若，t取任意值时的小球高度一定是时的． （1）若，求h关于t的函数解析式． （2）若 ①当时，求t的值． ②判断时，h关于t的函数是不是二次函数？若是，求出函数的解析式；若不是，请说明理由． （3）直接写出：小球第几次弹起后的最大高度最接近？ 【答案】（1） （2）①或；②是， （3）小球第四次弹起后的最大高度最接近 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由表格数据，用待定系数法求出函数解析式； （2）①根据，t取任意值时的小球高度一定是时的，求出函数解析式； ②根据①的解析式判断即可； （3）求出第一次，第二次，第三次，第四次最高高度即可判断． 【小问1详解】 解：当时，由表格数据可知，二次函数图象的对称轴为直线， 二次函数的顶点坐标为， 二次函数的解析式为， 把代入函数解析式得：， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：，t取任意值时的小球高度一定是时的， 时， ， 当时，， 整理得：， 解得， 当时，t的值为或； ②由①可知，， 关于t的函数是二次函数； 【小问3详解】 解：第一次弹起时，最大高度为； 第二次弹起时，最大高度为； 第三次弹起时最大高度是第二次弹起时最大高度的，即； 第四次弹起时最大高度是第三次弹起时最大高度的，即； 小球第四次弹起后的最大高度最接近 24. 如图，的直径，点P在上，点P与直径构成． （1）如图1，当点P与A重合时，求． （2）如图2，． ①当时，分别求的长． ②在点M，N的运动过程中，是否定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． ③当的周长为时，求 【答案】（1） （2）①，；②在点M，N的运动过程中，是定值，该定值为；③ 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可知，利用勾股定理解答即可； （2）①过点N作于点Q，利用勾股定理即可求得，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可求得； ②过点P作于点H，设，则，再利用勾股定理和完全平方公式解答即可； ③利用三角形的周长的意义求得，利用完全平方公式求得，再利用完全平方公式解答即可得出结论． 【小问1详解】 解：的直径，为的直径， ， 当点P与A重合时， ， ； 【小问2详解】 解：当时，过点N作于点Q，如图， ∴， ， ， ， ； 在和中， ， ， ， ， ， ； ②在点M，N的运动过程中，是定值，该定值为理由： 过点P作于点H，如图， 由题意得：， 设，则， 在点M，N的运动过程中，是定值，该定值为； ③当的周长为时， ， ， ， ， 由②知：是定值，该定值为， ， ， 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，完全平方公式，全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $