课时测评35 抛物线的标准方程及其性质的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评35　抛物线的标准方程及其性质的应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是(　　) A.y2＝x B.y2＝3x C.y2＝6x D.y2＝－6x 答案：C 解析：顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p＞0)，由题意知＝，故p＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝6x. 2.过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则｜P1P2｜＝(　　) A.5　　　　 B.6　　　　 C.8　　　　 D.10 答案：C 解析：抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以｜P1P2｜＝y1＋y2＋2＝8.故选C. 3.与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为(　　) A.2x－y＋3＝0 B.2x－y－3＝0 C.2x－y＋1＝0 D.2x－y－1＝0 答案：D 解析：设切线方程为2x－y＋m＝0，联立得x2－2x－m＝0.由Δ＝4＋4m＝0，得m＝－1，所以切线方程为2x－y－1＝0.故选D. 4.在同一平面直角坐标系中，方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0的曲线大致为(　　) 答案：D 解析：将方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0转化为＋＝1与y2＝－x，所以椭圆的焦点在y轴上，抛物线的焦点在x轴上，且开口向左.故选D. 5.若直线y＝2x＋与抛物线x2＝2py(p＞0)相交于A，B两点，则｜AB｜＝(　　) A.5p B.10p C.11p D.12p 答案：B 解析：将直线方程代入抛物线方程， 可得x2－4px－p2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝4p，所以y1＋y2＝9p. 因为直线过抛物线的焦点， 所以｜AB｜＝y1＋y2＋p＝10p. 6.直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是　　　　. 答案：(3，2) 解析：将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0. 由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3， 所以＝＝＝2. 所以所求点的坐标为(3，2). 7.已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为　　　　. 答案： 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以y1＋y2＝4. 因为A，B在抛物线上， 所以相减得 －＝2(x1－x2)， 即＝＝＝. 8.设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是　　　　. 答案：[3，＋∞) 解析：因为抛物线的焦点到顶点的距离为3， 所以＝3，即p＝6. 又抛物线上的点到准线距离的最小值为， 所以抛物线上的点到准线距离的取值范围为[3，＋∞). 9.(10分)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程. 解：由于抛物线的焦点F， 故可设直线AB的方程为x＝my＋. 由得y2－2pmy－p2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2， 所以－p2＝－4，由p＞0，可得p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. 10.(13分)已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程. 解：设所求抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，则｜y1｜＋｜y2｜＝2，即y1－y2＝2.由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，)在抛物线y2＝2px上，点(－1，)在抛物线y2＝－2px上，可得p＝.于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.已知F是抛物线C：y2＝2px的焦点，x＝－3是抛物线C的准线，点N(0，t)(t≠0)，连接FN交抛物线C于M点，＋＝0，则△OFN的面积为(　　) A.4 B.9 C.4 D.9 答案：D 解析：由直线x＝－3是抛物线C的准线，可得－＝－3，即p＝6， 所以抛物线的方程为C：y2＝12x， 其焦点为F(3，0)， 因为＋＝0，可得＝－， 故M，N，F三点共线，且M为NF的中点， 又因为F(3，0)，N(0，t)，所以M(，)， 将点M(，)代入抛物线y2＝12x， 可得t＝±6， 所以△OFN的面积为S＝·＝×3×6＝9. 故选D. 12.抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且｜MF｜＝3｜OF｜，△MFO的面积为16，则抛物线的方程为(　　) A.y2＝6x B.y2＝8x C.y2＝16x D.y2＝20x 答案：C 解析：设M(x0，y0)，由｜MF｜＝3｜OF｜可得x0＋＝，解得x0＝p，所以M(p，±p)，所以，S△MFO＝××p＝16，解得p＝±8.因为p＞0，所以p＝8.所以抛物线的方程为y2＝16x.故选C. 13.已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，若｜AB｜＝4，则AB的中点的纵坐标为　　　　. 答案： 解析：设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A'，Q，B'.由题意得｜AA'｜＋｜BB'｜＝｜AB｜＝4，｜PQ｜＝＝2.又｜PQ｜＝y0＋，所以y0＋＝2，解得y0＝. 14.(15分)已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点. (1)求证：l与C必有两交点. (2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值. 解：(1)证明：联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，可得2x2－kx－1＝0， 所以Δ＝k2＋8＞0，所以l与C必有两交点. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＋＝1，① 因为y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，代入①， 得2k＋＝1，② 由(1)可得x1＋x2＝k，x1x2＝－， 代入②得k＝1. 15.(17分)设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点. (1)若l的斜率为2，求｜AB｜； (2)求证：·是一个定值. 解：(1)依题意得F(1，0)，所以直线l的方程为y＝2(x－1). 设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2). 由消去y整理得x2－3x＋1＝0， 所以Δ＝9－4＝5＞0，x1＋x2＝3，x1x2＝1. 所以｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5. (2)证明：根据题意设直线l的方程为x＝ky＋1，直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2). 由消去x整理得y2－4ky－4＝0， Δ＝16k2＋16＞0， 所以y1＋y2＝4k，y1y2＝－4. 因为·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3， 所以·是一个定值. 学科网（北京）股份有限公司 $