课时测评29 椭圆方程及其性质的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评29　椭圆方程及其性质的应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.若点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　) A.－＜a＜ B.a＜－或a＞ C.－2＜a＜2 D.－1＜a＜1 答案：A 解析：由题意知＋＜1. 解得－＜a＜. 2.过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：椭圆的左焦点F1(－，0)，kAB＝，故直线AB：y＝(x＋)，由消去y整理得7x2＋12x＋8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 由弦长公式得｜AB｜＝＝. 3.已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　) A.3 B.2 C.2 D.4 答案：C 解析：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)， 由得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0.由Δ＝0及c＝2，可得a2＝7，所以2a＝2.故选C. 4.若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案：C 解析：由得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0. 当Δ＝16(16k2－5)＞0，即k＞或k＜－时，直线与椭圆有两个公共点，故选C. 5.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点是M(－4，1)，则椭圆的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：设直线x－y＋5＝0与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，直线AB的斜率k＝＝1. 由 得＋＝0， 所以＝－＝1，所以＝， 故椭圆的离心率e＝＝＝.故选C. 6.直线y＝x＋m(m∈R)被椭圆2x2＋y2＝2截得的线段的中点的横坐标为，则中点的纵坐标为　　　　. 答案：－ 解析：由消去y并整理得3x2＋2mx＋m2－2＝0， 设线段的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－， 所以－＝，解得m＝－， 由截得的线段的中点在直线y＝x－上，得中点的纵坐标y＝－＝－. 7.椭圆x2＋2y2＝2与直线y＝x＋m交于A，B两点，且｜AB｜＝，则实数m的值为　　　　. 答案：±1 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得3x2＋4mx＋2m2－2＝0， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， ｜AB｜＝｜x1－x2｜ ＝ ＝ ＝. 解得m2＝1，即m＝±1. 8.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则椭圆的离心率为　　　　，若过点F2且垂直于长轴的直线与椭圆交于两点，其中一点为A，则｜F1A｜＝　　　　. 答案：　 解析：由题意，可得a＝2，b＝，则c＝1，所以椭圆的离心率e＝＝.过点F2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A，所以｜AF2｜＝＝.由椭圆的定义，可知｜F1A｜＝2a－｜AF2｜＝4－＝. 9.(10分)已知椭圆有两个顶点A(－1，0)，B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，若｜CD｜＝，求直线l的方程. 解：因为椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 由已知得b＝1，c＝1，所以a＝. 所以椭圆方程为＋x2＝1. 当直线l垂直于x轴时CD＝2，与题意不符， 故设直线l的方程为y＝kx＋1，联立椭圆方程，化简 得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝－. ｜CD｜＝· ＝， 由已知得＝， 解得k＝±. 所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1. 10.(13分)已知直线l：y＝x－，椭圆C：x2＋4y2＝4. (1)求证：直线l与椭圆C有两个交点； (2)求连接这两个交点所成线段的长. 解：(1)证明：由 消去y得5x2－4x－3＝0. 所以Δ＝(－4)2－4×5×(－3)＝76＞0， 所以直线l与椭圆C有两个交点. (2)设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由(1)知x1＋x2＝，x1·x2＝－， 所以｜AB｜＝ ＝· ＝· ＝· ＝. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x＜0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0).如图所示，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为(　　) A.，1 B.，1 C.5，3 D.5，4 答案：A 解析：由题意知，a2－b2＝c2＝｜OF0｜2＝＝， b2－c2＝｜OF1｜2＝＝， 所以b2＝c2＋＝＋＝1，b＝1. 所以a2＝b2＋c2＝1＋＝，a＝. 12.(多选)椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　) A.kAB·kOM＝－1 B.若点M坐标为(1，1)，则直线l的方程为2x＋y－3＝0 C.若直线l的方程为y＝x＋1，则点M坐标为(，) D.若直线l的方程为y＝x＋2，则｜AB｜＝ 答案：BD 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式相减，得＋＝0，即·＝－2，即kAB·kOM＝－2.对于A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正确；对于B，由kAB·kOM＝－2，M(1，1)，得kAB＝－2，所以直线l的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B正确；对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，M(，)，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2， 所以C不正确；对于D，由得3x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－，所以｜AB｜＝×｜－－0｜＝，所以D正确.故选BD. 13.椭圆＋＝1(a＞b＞0)短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，若该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为　　　　. 答案： 解析：由椭圆＋＝1(a＞b＞0)短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积S＝bc，周长为2a＋2c.由题意可得S＝bc＝(2a＋2c)·，得a＋c＝5c，所以e＝＝，因此该椭圆的离心率为. 14.(15分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率e＝，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A，B是直线l：x＝2上的不同两点，若·＝0，求｜AB｜的最小值. 解：(1)由题意，得 解得 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由(1)知，F1，F2的坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)，设直线l：x＝2上A，B两点的坐标分别为A(2，y1)，B(2，y2)， 则＝(－3，－y1)，＝(－，－y2). 由·＝0得y1y2＋6＝0，即y2＝－. 不妨设y1＞0，则｜AB｜＝｜y1－y2｜＝y1＋≥2，当y1＝，y2＝－时取等号，所以｜AB｜的最小值是2. 15.(17分)已知点A，B的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2. (1)求动点M的轨迹方程； (2)若过点N的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程. 解：(1)设M(x，y). 因为kAM·kBM＝－2，所以·＝－2(x≠±1)， 化简得2x2＋y2＝2(x≠±1). 即点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1). (2)设C(x1，y1)，D(x2，y2). 当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝，易知此时线段CD的中点不是N，不符合题意. 当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y－1＝k，将点C(x1，y1)，D(x2，y2)的坐标代入2x2＋y2＝2(x≠±1)得2＋＝2，① 2＋＝2，② ①－②整理得k＝＝－＝ －＝－1， 故直线l的方程为y－1＝－， 即所求直线l的方程为2x＋2y－3＝0. 学生用书⬇第84页 学科网（北京）股份有限公司 $