3.3.2 抛物线的简单几何性质（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

3.3.2　抛物线的简单几何性质 基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　抛物线的几何性质 1.若点P在抛物线x2=-12y上,且P到抛物线准线的距离为d,则d的取值范围是(　　) A.[6,+∞)　　　　B.[3,+∞) C.(6,+∞)　　　　D.(3,+∞) 2.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,且OA⊥OB,则△AOB的面积是(　　) A.8p2　　　　B.4p2 C.2p2　　　　D.p2 3.顶点在原点,对称轴为y轴且经过点(4,1)的抛物线,其准线与对称轴的交点坐标是　　　　.   4.已知点A(0,5),过抛物线x2=12y上一点P作直线y=-3的垂线,垂足为B,若|PB|=|PA|,则|PB|=　　　　.  题组二　直线与抛物线的位置关系 5.过点P(2,2)作抛物线y2=4x的弦AB,若弦AB恰好被P平分,则弦AB所在的直线方程是(　　) A.x-y=0　　　　B.2x-y-2=0 C.x+y-4=0　　　　D.x+2y-6=0 6.过抛物线y2=4x上的一点A(3,y0)(y0>0)作其准线的垂线,垂足为B,抛物线的焦点为F,直线BF在x轴下方交抛物线于点E,则|FE|=(　　) A.1　　　　B. C.3　　　　D.4 7.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线分别交抛物线于A,B两点,若|AF|=4,|BF|=1,则p=(　　) A.　　　　B.2 C.　　　　D.1 8.若过点P(0,2)的直线l与抛物线C:y2=2x有且只有一个公共点,则这样的直线l共有(　　) A.1条　　　　B.2条 C.3条　　　　D.4条 9.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点,O是坐标原点. (1)求证:OA⊥OB; (2)当△OAB的面积等于时,求k的值. 10.在平面直角坐标系中,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到双曲线x2-=1的渐近线的距离为. (1)求该抛物线的方程; (2)设抛物线的准线与x轴交于点M,过M作斜率为k的直线l与抛物线交于A,B两点,弦AB的中点为P,AB的中垂线交x轴于点N,求点N横坐标的取值范围. 题组三　抛物线的综合应用 11.下列图形中,可能是方程ax+by2=0和ax2+by2=1(a≠0且b≠0)图形的是(　　) 12.苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑,“门”的造型是东方之门的立意基础,“门”的内侧曲线呈抛物线形,如图1,两栋建筑第八层由一条长60 m的连桥连接,在该抛物线两侧距连桥150 m处各有一窗户,两窗户的水平距离为30 m,如图2,则此抛物线顶端O到连桥AB的距离为(　　) A.180 m　　　　B.200 m C.220 m　　　　D.240 m 13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过F的直线与抛物线C交于点A,B,与l交于点D,若=4,|AF|=4,则p=(　　) A.2　　B.3　　C.4　　D.6 能力提升练 题组一　抛物线的几何性质 1.(多选)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,斜率为且经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线l交于点D,若|AF|=4,则以下结论正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.p=2　　　 　B.F为AD的中点 C.|BD|=2|BF|　　　　D.|BF|=2 2.已知拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,C的准线l与x轴相交于点B,A为C上的一点,直线AO与直线l相交于点E,若∠BOE=∠BEF,|AF|=6,则C的标准方程为　　　　.  3.已知抛物线x2=8y的焦点为F,准线为l,点P是l上一点,过点P作PF的垂线交x轴的正半轴于点A,AF交抛物线于点B,PB与y轴平行,则|FA|=　　　　.  题组二　直线与抛物线的位置关系 4.已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0),则斜率k的取值范围是(　　) A.(-∞,1)　　　　B.(-∞,1] C.(1,+∞)　　　　D.[1,+∞) 5.已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点F为抛物线的焦点,点P在抛物线上,且满足|PA|=m|PF|,则m的最大值是(　　) A.1　　B.　　C.2　　D.4 6.(多选)过抛物线x2=6y的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点,则(　　) A.以线段AB为直径的圆与直线y=-相切 B.以线段BM为直径的圆与y轴相切 C.当=2时,||= D.|AB|的最小值为6 题组三　抛物线的综合应用 7.已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B(O为坐标原点),若△OAB的垂心为抛物线C2的焦点,则双曲线C1的离心率为(　　) A.　　B.　　C.　　D.2 8.扎花灯是中国的一门传统手艺,逢年过节常常可以在大街小巷看到各式各样的花灯.现有一个花灯,它的外围轮廓是由两段形状完全相同的抛物线绕着它们共同的对称轴旋转而来的(纵截面如图),花灯的下顶点为A,上顶点为B,AB=8分米,在它的内部放有一个半径为1分米的球形灯泡,球心C在轴AB上,且AC=2分米,若球形灯泡的球心C到四周轮廓上的点的最近距离是在下顶点A处取得,建立适当的坐标系可得以A为顶点的抛物线方程为y=ax2(a>0),则实数a的取值范围是　　　　.  答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.B　由已知得2p=12,所以=3,因此d的取值范围是[3,+∞). 2.B　不妨设点A在x轴上方,由抛物线的对称性及OA⊥OB,可知kOA=1,故直线OA的方程为y=x,则A(2p,2p),B(2p,-2p),故=×2p×4p=4p2. 3.答案　(0,-4) 解析　依题意设抛物线的方程为x2=2py(p>0),则有42=2p,即p=8,则抛物线的准线方程为y=-4,准线与对称轴的交点坐标是(0,-4). 4.答案　7 解析　由题意得,焦点为F(0,3),准线方程为y=-3,由抛物线的定义可得|PB|=|PF|, 又∵|PB|=|PA|, ∴|PA|=|PF|,即△PAF是等腰三角形,∵A(0,5),F(0,3),∴yP==4,∴|PB|=yP+3=4+3=7. 5.A　易知弦AB所在的直线斜率存在,且不为0.设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在直线的方程为y-2=k(x-2),即y=kx+2-2k,由消去y并整理,得k2x2+[2k(2-2k)-4]x+(2-2k)2=0,则x1+x2=-,∵P为弦AB的中点, ∴-=4,解得k=1.∴所求的直线方程为y=x.故选A. 6.D　如图,将(3,y0)(y0>0)代入y2=4x,得y0=2,则B(-1,2),又因为F(1,0),所以直线BF的方程为y=-x+,与y2=4x联立并消去y,得3x2-10x+3=0, 解得x=3或x=,因为点E在x轴下方,所以xE=3,所以|FE|=xE+1=4,故选D. 7.C　由题意可知直线AB的斜率存在,设为k,则其方程为y=k,由消去y可得k2x2-(k2+2)px+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨令x1>x2>0,则x1x2=,x1+=4,x2+=1,所以=,解得p=.故选C. 8.C　当直线l的斜率不存在时,直线l:x=0与抛物线y2=2x有且只有一个交点;当直线l的斜率为0时,直线l:y=2与抛物线y2=2x有且只有一个交点;当直线l的斜率存在且不为0时,若直线l与抛物线y2=2x有且只有一个公共点,则直线与抛物线相切,设直线方程为y=kx+2(k≠0),代入抛物线方程 y2=2x,得k2x2+2(2k-1)x+4=0,则Δ=4(2k-1)2-16k2=0,解得k=,即直线的方程为y=x+2. 综上,满足条件的直线l共有3条,故选C. 9.解析　(1)证明:当k=0时,直线与抛物线仅有一个交点,不符合题意,∴k≠0. 由y=k(x+1),y2=-x消去x并整理,得y2+y-1=0. 设A(-,y1),B(-,y2), 则y1+y2=-,y1y2=-1, ∴kOA·kOB=·==-1,∴OA⊥OB. (2)设直线AB与x轴交于点E, 则E(-1,0),∴|OE|=1, ∴S△OAB=|OE|(|y1|+|y2|)=|y1-y2|==,解得k=±. 10.解析　(1)易知F,双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,则F到渐近线的距离d==,解得p=2. ∴抛物线的方程为y2=4x. (2)由(1)知M(-1,0),则直线l的方程为y=k(x+1),k≠0. 联立得k2x2+2(k2-2)x+k2=0. 则Δ=4(k2-2)2-4k4>0,所以0<k2<1. 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),N(x0,0), 则x3==-,y3=k=. ∴直线PN的方程为y=-+, 令y=0,得x0=1+. 又∵k2∈(0,1),∴x0>3. ∴点N横坐标的取值范围为(3,+∞). 11.D　方程ax+by2=0化为标准方程为y2=-x,则抛物线的焦点在x轴上,故B错误;若方程ax2+by2=1表示椭圆,则a>0,b>0,则-<0,抛物线应开口向左,故A错误;若方程ax2+by2=1表示焦点在y轴上的双曲线,则a<0,b>0,则->0,则抛物线应开口向右,故C错误,D正确. 12.B　建立平面直角坐标系,如图所示, 设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),D(15,t)(t<0),则点B(30,-150+t), 由B,D在抛物线上, 得解得 所以抛物线顶端O到连桥AB的距离为150+50=200(m),故选B. 13.B　如图所示,过点A作AN⊥l于点N,过点B作BM⊥l于点M,则|AF|=|AN|,|BM|=|BF|, 又因为=4,即|DB|=4|BF|=4|BM|,所以cos∠DBM==,所以cos∠FAN=,过点F作FH⊥AN于点H,则cos∠FAN==,由|AF|=4可得|AH|=1,又因为|AN|=|AF|=4,所以|NH|=4-1=3, 所以点F到准线l的距离为3,由抛物线的定义可得p=3. 能力提升练 1.ABC　设准线l与x轴交于点N.如图所示,过点A作AC⊥l于点C,AM⊥x轴于点M,过点B作BE⊥l于点E.因为直线的斜率为,所以tan∠AFM=,∠AFM=,又因为|AF|=4,所以|MF|=2,|AM|=2,所以A,将点A的坐标代入抛物线方程可求得p=2,所以|NF|=|FM|=2,故△AMF≌△DNF,故F为AD的中点,又因为∠BDE=,所以|BD|=2|BE|=2|BF|,|BD|+|BF|=|DF|=|AF|=4,故|BF|=.故选ABC. 2.答案　y2=8x 解析　∵∠BOE=∠BEF,∠OBE=∠EBF=90°, ∴△OBE∽△EBF,∴=,即|BE|2=|OB|·|BF|=·p=,∴|BE|=p, ∴tan∠BOE==,不妨令点A在第一象限,则直线AO的方程为y=x, 联立得即A(p,p),所以|AF|=p+==6,解得p=4,所以C的标准方程为y2=8x. 3.答案　6 解析　由题意得焦点为F(0,2),准线方程为y=-2,设P(m,-2)(m>0),∴kPF==-. ∵PF⊥PA,∴kPA=,∴直线PA的方程为y+2=(x-m),令y=0,解得x=+m,即A, ∵PB与y轴平行,且B点在抛物线上, ∴可设B,∵F,A,B三点共线,∴=, 即m4+8m2-128=0,解得m=2或m=-2(舍去), ∴A(4,0),∴|FA|==6. 4.C　设直线l的方程为y=kx+b, A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,并整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,∴Δ=(2kb-4)2-4k2b2>0,且x1+x2=,x1x2=,∴kb<1,y1+y2=k(x1+x2)+2b=.∵线段AB的中点为M(1,m)(m>0),∴x1+x2==2,y1+y2==2m,∴b=,m=,∵m>0,∴k>0,又∵kb<1,∴2-k2<1,∴k>1.故选C. 5.B　由抛物线x2=4y可得准线方程为y=-1,故A(0,-1).如图,不妨设点P在第一象限或为原点,过P作准线y=-1的垂线,垂足为E,则|PE|=|PF|,故===sin∠PAE. 当直线AP与抛物线相切时,∠PAE最小,而当点P的位置变化时,0<∠PAE≤,当∠PAE=时,点P与点O重合,此时m=1;当0<∠PAE<时,设直线AP:y=kx-1,由得x2-4kx+4=0,令Δ=16k2-16=0,得k=1或k=-1(舍去),所以直线AP与抛物线相切时,∠PAE=,故的最小值为,即m的最大值为,故选B. 6.ACD　由抛物线方程知F,准线方程为y=-,由题意可知,直线AB的斜率存在,可设AB:y=kx+,设A(x1,y1),B(x2,y2).对于A,易知|AB|=y1+y2+3,∵M为AB的中点,∴点M到准线y=-的距离d=+=,∴以线段AB为直径的圆与直线y=-相切,A正确;对于B,由得x2-6kx-9=0,则Δ=36k2+36>0,∴x1+x2=6k,x1x2=-9,∴y1+y2=k(x1+x2)+3=6k2+3, ∴M,设BM的中点为N,则xN=, |BM|=|AB|==,∵=不恒成立,∴以线段BM为直径的圆与y轴未必相切,B错误;对于C,若=2,则x1=-2x2,不妨设x1<0,x2>0,∵x1x2=-9,∴x2=,x1=-3,则A(-3,3),B,∴||=3++3=,C正确;对于D,∵|AB|=y1+y2+3=6k2+6,∴当k=0时,|AB|min=6,D正确.故选ACD. 7.A　抛物线的焦点F的坐标为,设OA所在的直线方程为y=x,则OB所在的直线方程为y=-x,解方程组得则点A的坐标为.∵F是△OAB的垂心, ∴kOB·kAF=-1,∴-·=-1,即=, ∴e2==1+=,∴e=,故选A. 8.答案　 信息提取　①花灯的截面是两段抛物线;②在它的内部放有一个半径为1分米的球形灯泡,球心C在轴AB上. 数学建模　建立平面直角坐标系,利用抛物线的方程y=ax2(a>0)设出抛物线上的动点P(m,am2),构造函数|PC|2=m2+(am2-2)2=a2m4+(1-4a)m2+4,将问题转化为不等式a2t2+(1-4a)t+4≥4对任意的t≥0恒成立,从而求得a的范围. 解析　由题意,以A为原点,AB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示: 则A(0,0),C(0,2),由抛物线方程为y=ax2(a>0),设抛物线上任意一点P(m,am2), 则|PC|2=m2+(am2-2)2=a2m4+(1-4a)m2+4. 由于|PC|的最小值是在P位于A(0,0)处取得的,即m=0时,|PC|取得最小值2, 故对任意的实数m,|PC|2=a2m4+(1-4a)m2+4≥4恒成立. 令t=m2,其中t≥0,则有a2t2+(1-4a)t+4≥4对任意的t≥0恒成立. 整理可得t(a2t+1-4a)≥0, 则a2t+1-4a≥0对任意的t≥0恒成立. 故(a2t+1-4a)min=1-4a≥0,解得a≤. 综上,实数a的取值范围为. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$