课时测评28 椭圆的简单几何性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评28　椭圆的简单几何性质 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.椭圆9x2＋25y2＝225上的点P(x，y)的横、纵坐标的范围分别为(　　) A.｜x｜≤3，｜y｜≤5 B.｜x｜≤，｜y｜≤ C.｜x｜≤5，｜y｜≤3 D.｜x｜≤，｜y｜≤ 答案：C 解析：椭圆的标准方程为＋＝1，故｜x｜≤5，｜y｜≤3. 2.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为(　　) A.(－3，0) B.(－4，0) C.(－10，0) D.(－5，0) 答案：D 解析：因为圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(3，0)，所以c＝3.又b＝4，所以a＝＝5.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为(－5，0). 3.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)和直线l：＋＝1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：已知过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，且直线l的斜率为－，则＝，又b2＋c2＝a2，所以e＝＝. 4.(多选)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：AB 解析：因为a＝4，e＝， 所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7. 因为焦点的位置不确定， 所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1. 5.从椭圆的长轴的一个端点看短轴的两个端点的视角为60°，那么此椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为椭圆的长轴为A1A2，B为短轴一端点， 所以∠CA2B＝60°， 所以b＝a， 即3b2＝a2， 又a2－c2＝b2， 所以2a2＝3c2， 解得e＝＝. 故选B. 6.若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为　　　　. 答案： 解析：因为焦点在y轴上，所以0＜m＜2，a＝，c＝. 所以e＝＝，所以m＝. 7.比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则　　　　更扁(填序号). 答案：① 解析：x2＋9y2＝36化为标准方程为＋＝1，故离心率e1＝＝；＋＝1的离心率e2＝，因为e1＞e2，故①更扁. 8.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的长轴长为　　　　，其标准方程是　　　　　　　　　. 答案：8　＋＝1 解析：已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍， 可得 所以可得a＝4，2a＝8. 所以＋＝1为椭圆的标准方程. 9.(10分)(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6，0)，(6，0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程. 解：(1)因为c＝＝，焦点在x轴上， 所以所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0). 设所求椭圆的方程为 ＋＝1(a＞b＞0). 因为e＝＝，c＝， 所以a＝5，b2＝a2－c2＝20， 所以所求椭圆的方程为＋＝1. (2)因椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 因为2c＝8，所以c＝4， 又a＝6，所以b2＝a2－c2＝20. 所以椭圆的方程为＋＝1. 10.(13分)已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标. 解：椭圆方程可化为＋＝1， 由m＞0，易知m＞， 所以a2＝m，b2＝. 所以c＝＝. 由e＝，得 ＝，解得m＝1， 所以椭圆的标准方程为x2＋＝1. 所以a＝1，b＝，c＝. 所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点坐标分别为 F1，F2， 顶点坐标分别为A1(－1，0)，A2(1，0)， B1，B2. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.(多选)如图，两个椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列四个判断中正确命题为(　　) A.P到F1(－4，0)，F2(4，0)，E1(0，－4)，E2(0，4)四点的距离之和为定值 B.曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称 C.曲线C所围区域面积必小于36 D.曲线C总长度不大于6π 答案：BC 解析：逐一考查所给的说法： 考虑点P不是交点的情况，若点P在椭圆＋＝1上，P到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0，4)两点的距离之和不为定值，故A错；两个椭圆关于直线y＝x，y＝－x均对称，曲线C关于直线y＝x，y＝－x的均对称，故B正确；曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C正确；曲线C所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故D错误.故选BC. 12.如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为　　　　，短轴长为　　　　，离心率为　　　　. 答案：8 cm　12 cm　 解析：由题图知短轴长等于底面直径12 cm，长轴长为＝8(cm)，则c2＝(4)2－62＝12， 所以c＝2，所以离心率e＝＝. 13.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为　　　　. 答案：6 解析：由题意，F(－1，0)，设点P(x0，y0)，则有＋＝1，解得＝3，因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)， 所以·＝x0(x0＋1)＋ ＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3. 此二次函数对应的拋物线的对称轴为 x0＝－2. 因为－2≤x0≤2. 所以当x0＝2时，·＋2＋3＝6. 14.(15分)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率. 解：根据椭圆的对称性，不妨设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，左、右焦点坐标分别为F1(－c，0)，F2(c，0). 依题意设点A坐标为，则点B坐标为 ，所以｜AB｜＝. 由△ABF2是正三角形得2c＝，即b2＝2ac. 又因为b2＝a2－c2，所以a2－c2－2ac＝0，两边同除以a2，得＋2·－＝0，即e2＋2e－＝0，解得e＝＝. 15.(17分)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶. (1)求椭圆C的方程； (2)设点M(m，0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当｜｜最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围. 解：(1)由题意知 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)设P(x0，y0)，且＋＝1， 所以｜｜2＝(x0－m)2＋ ＝－2mx0＋m2＋12＝－2mx0＋m2＋12＝(x0－4m)2－3m2＋12.所以｜｜2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为4m.由题意知，当x0＝4时，最小，所以4m≥4，所以m≥1. 又点M(m，0)在椭圆长轴上， 所以1≤m≤4. 学生用书⬇第82页 学科网（北京）股份有限公司 $