3.1.2 第2课时 直线与椭圆的位置关系-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　选择性必修　第一册　导学案 【湘教】 第2课时　直线与椭圆的位置关系 (教师独具内容) 课程标准：1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的位置关系及其应用． 教学重点：1.直线与椭圆的三种位置关系.2.直线与椭圆相交所得弦长的计算． 教学难点：直线与椭圆位置关系的综合问题． 核心素养：通过学习直线与椭圆的位置关系及直线与椭圆相交所得弦长的计算，培养直观想象素养、逻辑推理素养、数学抽象素养和数学运算素养． 核心概念掌握 知识点　直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立 消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程． 位置关系 公共点的个数 Δ的取值 相交 两个公共点 Δ>0 相切 一个公共点 Δ＝0 相离 无公共点 Δ<0 注意：直线与椭圆只有一个公共点是直线与该椭圆相切的充要条件． 1．点与椭圆的位置关系 设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示： 位置关系 满足条件 P在椭圆外 ＋>1 P在椭圆上 ＋＝1 P在椭圆内 ＋<1 2．求弦长的两种方法 (1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解； (2)结合根与系数的关系，利用弦长公式 l＝ 或l＝求解． 3．椭圆的通径 如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝，称为通径． 4．解决椭圆中点弦问题的三种方法 (1)根与系数的关系法； (2)点差法； (3)共线法． 5．椭圆＋＝1(a>0，b>0)上一点P(x0，y0)处的切线方程为＋＝1；从该椭圆外一点P1(x1，y1)所引的两条切线的切点弦方程为＋＝1. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．(　) (2)直线－y＝1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为.(　) (3)已知椭圆＋＝1(a>b>0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(　) (4)直线y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1相交．(　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)直线y＝kx－k＋1(k≠0)与椭圆＋＝1的位置关系是(　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 (2)直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是____． (3)已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为____． 答案　(1)A　(2)　(3) 核心素养形成 题型一　直线与椭圆的位置关系 例1　k为何值时，直线y＝kx＋2和椭圆2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？ [解]　联立得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0， 因为Δ＝24(3k2－2)， 当Δ>0，即k>或k<－时，直线与椭圆有两个公共点； 当Δ＝0，即k＝±时，直线与椭圆有一个公共点； 当Δ<0，即－<k<时，直线与椭圆没有公共点． 感悟提升 (1)判断直线与椭圆的公共点个数时，可直接求解相应方程组得到公共点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0. (2)依据直线与椭圆的公共点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元二次方程，将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解． [跟踪训练1]　已知椭圆E：＋＝1，直线l：y＝x＋m与椭圆E有两个公共点，则实数m的取值范围是____． 答案　(－2，2) 解析　联立方程消去y，得3x2＋4mx＋2m2－8＝0.因为Δ＝16m2－12(2m2－8)＝－8(m2－12)，直线与椭圆E有两个公共点，所以Δ>0，即－8(m2－12)>0.所以－2<m<2.故实数m的取值范围是(－2，2)． 题型二　弦长问题 　例2　已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长． [解]　因为直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1，0)，又直线的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即y＝2x－2. 解法一：解方程组 得交点A(0，－2)，B， 所以|AB|＝ ＝ ＝＝. 解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组 消去y得3x2－5x＝0， 因为Δ＝(－5)2＝25>0， 则x1＋x2＝，x1x2＝0. 所以|AB|＝ ＝＝. 解法三：由方程组 消去x得3y2＋2y－8＝0， 因为Δ＝22－4×3×(－8)＝100>0， 则y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以|AB|＝ ＝ ＝. 感悟提升 直线与椭圆相交弦长的求法 (1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长． (2)弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有 |AB|＝ ＝ ＝· ＝ ＝·(k为直线斜率)． 提醒：(1)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． (2)在应用根与系数的关系时，应保证Δ>0. [跟踪训练2]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)上任意一点到两个焦点的距离之和为6，其离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)过点(0，－2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程． 解　(1)由椭圆定义知2a＝6，∴a＝3. 又e＝，∴c＝，∴b2＝3， ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0， 此时|AB|＝2，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 得(3k2＋1)x2－12kx＋3＝0， 由Δ>0，得k>或k<－. ∴x1＋x2＝，x1x2＝ ∴|AB|＝|x1－x2| ＝＝2， 解得k＝±1，符合Δ>0. 综上，直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y＋2＝0或x＝0. 题型三　中点弦问题 例3　已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，求直线AB的方程． [解]　解法一：(根与系数的关系法) 由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)． 将其代入椭圆的方程并整理， 得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是上述方程的两根， 于是x1＋x2＝. 又M为线段AB的中点， ∴＝＝2，解得k＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 解法二：(点差法) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2. ∵M(2，1)为线段AB的中点， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B两点在椭圆上， 则x＋4y＝16，x＋4y＝16， 两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0， 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴＝－＝－＝－， 即kAB＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 解法三：[对称点法(或共线法)] 设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)， 由于点M(2，1)为线段AB的中点， 则另一个交点为B(4－x，2－y)． ∵A，B两点都在椭圆上， ∴ ①－②，得x＋2y－4＝0. 即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条， 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 感悟提升 解决椭圆中点弦问题的三种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决． (2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． (3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)，则另一交点为B(2x0－x，2y0－y)， 则 两式作差即得所求直线方程． 这三种方法中点差法最为常用，点差法中体现的设而不求思想还可以用于解决对称问题，因为这类问题也与弦中点和斜率有关． 与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程等．这类问题的解决，从不同的角度体现了判别式、根与系数的关系、点差法、椭圆的性质、线段的垂直平分线的性质等知识在直线与椭圆的位置关系中的作用，解法多、方法活． [跟踪训练3]　一组平行直线y＝2x＋b与椭圆＋＝1相交，求弦的中点M的轨迹方程． 解　设y＝2x＋b与椭圆＋＝1的两交点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的中点为M(x，y)，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y， 则 两式相减得 ＝－， 即－＝2·，即3x＋8y＝0， 又消去y得x＝±， 所以弦的中点M的轨迹方程为3x＋8y＝0. 题型四　直线与椭圆的综合问题 例4　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，且椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求证：＋为定值． [解]　(1)由题意可知2b＝2，b＝1. 又＝，a2＝b2＋c2，所以a＝，c＝1. 故椭圆C的方程为＋x2＝1. (2)证明：当直线AB的斜率不存在或为零时，＋＝； 当直线AB的斜率存在，且不为零时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 消去y，整理得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0， 因为Δ>0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－， 故|AB|＝· ＝. 同理可得|CD|＝， 所以＋＝＋＝＝. 综上所述，＋为定值． 感悟提升 解决直线与椭圆综合问题的注意点 (1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线的斜率是否存在时需要分两种情况讨论． (2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单． (3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易被忽视． [跟踪训练4]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，M为AB的中点，N(－1，0)，当△AOB(点O为坐标原点)的面积S最大时，求|MN|的取值范围． 解　(1)依题意，＝，2b＝2， 又a2＝b2＋c2，∴b＝，a＝2， ∴椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 由消去y， 得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0， Δ＝32k2－8m2＋16>0， 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 易知点O到直线l的距离d＝， ∴△AOB的面积S＝·d·|AB| ＝··· ＝· ≤·＝， 当且仅当m2＝4k2＋2－m2，即m2＝2k2＋1时，S取得最大值， 此时x0＝＝－＝－，y0＝kx0＋m＝－＋m＝. 又N(－1，0)， ∴|MN|＝ ＝＝ ＝＝. 设＝t，则m2＝2m2t2＋1，即(1－2t2)m2＝1，得m2＝>0， ∴－<t<，即－<<， ∴|MN|∈(－1，＋1)， 即|MN|的取值范围为(－1，＋1)． 随堂水平达标 1．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是(　) A．－＜k＜ B．k＝或k＝－ C．k＞或k＜－ D．k＜且k≠－ 答案　C 解析　由可得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)＞0，即k＞或k＜－时，直线与椭圆有两个公共点．故选C. 2．直线y＝x与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|等于(　) A．2 B. C. D. 答案　C 解析　由得x2＝1，可得A，B.由两点间的距离公式得|AB|＝＝＝. 3．(多选)设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是(　) A．直线AB与OM垂直 B．若点M的坐标为(1，1)，则直线方程为2x＋y－3＝0 C．若直线方程为y＝x＋1，则点M的坐标为 D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝ 答案　BD 解析　对于A，因为在椭圆中，根据椭圆中点弦的性质有kAB·kOM＝－＝－2≠－1，故A错误；对于B，根据kAB·kOM＝－2，kOM＝1，得kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，故B正确；对于C，若直线方程为y＝x＋1，点M，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，故C错误；对于D，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程＋＝1联立，得2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－，所以|AB|＝·＝，故D正确．故选BD. 4．与椭圆＋y2＝1有相同的焦点且与直线l：x－y＋3＝0相切的椭圆的离心率为____． 答案　 解析　因为所求椭圆与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为＋＝1(a>1)，联立方程组⇒(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，因为直线l与椭圆相切，所以Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)＝0，化简得a4－6a2＋5＝0，即a2＝5或a2＝1(舍去)，则a＝.又c＝1，所以e＝＝＝. 5．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程． 解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入椭圆方程，得 ax＋by＝1，① ax＋by＝1.② ②－①，得a(x2＋x1)(x2－x1)＋b(y2＋y1)·(y2－y1)＝0. 而＝kAB＝－1，＝kOC＝， 则b＝a. 又|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2， 所以|x2－x1|＝2. 又由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0， 所以Δ＝4(a＋b－ab)>0⇒a＋b>ab. x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|x2－x1|2＝(x1＋x2)2－4x1x2 ＝－4·＝4， 将b＝a代入，得a＝，b＝，满足Δ>0. 所以所求椭圆的方程为＋y2＝1. 课后课时精练 一、选择题 1．直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有公共点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的公共点(　) A．至多有一个 B．有2个 C．有1个 D．没有 答案　B 解析　∵直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有公共点，∴>2，∴m2＋n2<4，∴＋<＋＝1－m2≤1，∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的公共点有2个． 2．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为(　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　C 解析　设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以＝，又b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝3，椭圆C的方程为＋＝1. 3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　) A. B. C. D. 答案　B 解析　椭圆方程可化为＋＝1，∴F(－，0)．又直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为y＝x＋.由得7x2＋12x＋8＝0，显然Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，∴|AB|＝＝. 4．中心为(0，0)，一个焦点为F(0，5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆的方程是(　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　C 解析　解法一：c＝5，设椭圆方程为＋＝1，联立方程消去y，整理得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝＝1，解得a2＝75，所以椭圆的方程为＋＝1. 解法二：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则a2－b2＝50.① 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点(x0，y0)． ∵x0＝，∴y0＝3×－2＝－. 由⇒＝－ ⇒kAB＝＝－·＝3⇒a2＝3b2.② 由①②解得a2＝75，b2＝25， ∴椭圆的方程为＋＝1. 5．(多选)已知椭圆C：＋＝1，若直线l经过M(0，1)与椭圆交于A，B两点，且＝－，则直线l的方程可以为(　) A．y＝－x＋1 B．y＝x＋1 C．y＝－x＋1 D．y＝x＋1 答案　CD 解析　依题意，直线l的斜率存在，故设直线l：y＝kx＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由消去y，整理得(9k2＋5)x2＋18kx－36＝0，Δ＝(18k)2＋4×36×(9k2＋5)>0，由此解得k＝±，即直线l的方程为y＝±x＋1.故选CD. 二、填空题 6．已知点P是椭圆x2＋8y2＝8上的任一点，则点P到直线x－y＋4＝0的最小距离为____． 答案　 解析　设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋m＝0.由得9y2－2my＋m2－8＝0，则Δ＝4m2－36(m2－8)＝0，解得m＝3或－3，所以所求最小距离为d＝＝. 7．椭圆Г：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于____． 答案　－1 解析　因为tan∠MF1F2＝，∠MF1F2＝2∠MF2F1，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，所以F1M⊥F2M，且|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以c＋c＝2a，所以e＝＝－1. 8．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A，B两点，则k＝____时，⊥，此时|AB|的值为____． 答案　±　 解析　设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为2，短半轴长b＝＝1的椭圆，故曲线C的方程为x2＋＝1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 其坐标满足 消去y，并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，Δ＝(2k)2＋12(k2＋4)>0恒成立，故x1＋x2＝－，x1x2＝－. ∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0. ∵y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1， 于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1 ＝＝0， ∴k＝±. 当k＝±时，x1＋x2＝∓，x1x2＝－. |AB|＝， 而(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝＋4×＝， ∴|AB|＝＝. 三、解答题 9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是椭圆C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与椭圆C的另一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为，求椭圆C的离心率； (2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b的值． 解　(1)根据c＝及题意可得M， 所以kMN＝＝，即2b2＝3ac. 将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac， 解得＝或＝－2(舍去)． 故椭圆C的离心率为. (2)由题意得M. 因为原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴， 所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点， 故＝4，即b2＝4a.① 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则 即 代入椭圆C的方程，得＋＝1.　② 将①及c2＝a2－b2代入②得＋＝1. 解得a＝7，所以b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2. 10．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)，且离心率e＝. (1)求椭圆C的方程； (2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值． 解　(1)∵e2＝＝＝，∴a2＝4b2. 又椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)， ∴＋＝1，∴a2＝8，b2＝2. 故所求椭圆C的方程为＋＝1. (2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得x2＋2mx＋2m2－4＝0. ∵Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|<2. ∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4. 则|AB|＝×＝. 点P到直线l的距离d＝＝. ∴S△PAB＝d·|AB| ＝×× ＝≤＝2. 当且仅当m2＝2，即m＝±时，△PAB的面积取得最大值2. 1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点，且离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)设过点N(－1，0)的直线与椭圆交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为C(点C与点B不重合)，证明直线BC恒过定点，并求该定点的坐标． 解　(1)由题意知 解得 所以椭圆E的标准方程是＋y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x1，－y1)．由已知得直线的斜率存在，设斜率为k(k≠0)，则直线的方程为y＝k(x＋1)． 由得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0， 因为Δ>0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝. 直线BC的方程为y－y2＝(x－x2)， 所以y＝x－. 令y＝0， 则x＝＝ ＝＝－2， 所以直线BC与x轴交于定点(－2，0)． 2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，0)，离心率e＝，右焦点为F. (1)求椭圆C的方程； (2)过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点P，若＝m，＝n，求证：m＋n为定值． 解　(1)∵椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，0)，∴a＝2. 又e＝，∴c＝1，则b＝＝. ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)证法一：由题意知F(1，0)，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k(x－1)，则P(0，－k)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠1，x2≠1. 由＝m，得(x1，y1＋k)＝m(1－x1，－y1)，∴m＝. 由＝n，得(x2，y2＋k)＝n(1－x2，－y2)，∴n＝. 联立得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0. ∵Δ>0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝. 故m＋n＝＋＝ ＝＝－＝－. 证法二：由题意知F(1，0)，m≠－1，n≠－1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，y0)， 由＝m， 得(x1，y1－y0)＝m(1－x1，－y1)， ∴x1＝，y1＝，故A. ∵点A在椭圆C：＋＝1上， ∴＋＝1. 整理得9m2＋24m＋12－4y＝0. 同理，由＝n，得9n2＋24n＋12－4y＝0. 由此可得m，n是关于x的一元二次方程9x2＋24x＋12－4y＝0的两个实数根． ∴m＋n＝－＝－，为定值． 23 学科网（北京）股份有限公司 $$