课时测评26 用坐标方法解决几何问题-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评26　用坐标方法解决几何问题 (时间：60分钟　满分：125分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.如图，圆弧形拱桥的跨度｜AB｜＝12米，拱高｜CD｜＝4米，则拱桥的直径为(　　) A.15米 B.13米 C.9米 D.6.5米 答案：B 解析：如图，设圆心为O，半径为r， 则由勾股定理得｜OB｜2＝｜OD｜2＋｜BD｜2， 即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝， 所以拱桥的直径为13米. 2.已知点A(－1，1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是(　　) A.6－0 B.8 C.4 D.10 答案：B 解析：因为点A关于x轴的对称点A'(－1，－1)，A'与圆心(5，7)的距离为＝10.所以所求最短路程为10－2＝8. 3.已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　) A.π B.4π C.8π D.9π 答案：B 解析：设动点P的轨迹坐标为(x，y)，则由｜PA｜＝2｜PB｜，知 ＝2，化简得(x－2)2＋y2＝4，得轨迹曲线为以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π. 4.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，则DE的最短距离(　　) A.6 km B.(4－1) km C.(4＋1) km D.4 km 答案：B 解析：以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8. 当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE为最短距离. 此时DE的最小值为－1＝(4－1) km. 所以DE的最短距离为(4－1) km. 5.设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，在公园外两点A(－2，0)，B(0，2)与公园边上任意一点修建一处舞台，则舞台面积的最小值为(　　) A.3－ B.3＋ C.3－ D. 答案：A 解析：lAB：x－y＋2＝0，圆心(1，0)到l的距离d＝＝， 所以AB边上的高的最小值为－1. 所以Smin＝×2＝3－. 6.(多选)从点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上，则下列结论正确的是(　　) A.若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x－4y－3＝0 B.若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x－y＝0 C.若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是5－1 D.若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是 答案：BCD 解析：点A(－3，3)关于x轴的对称点为A'(－3，－3).圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，求题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0.由相切知＝1， 解得k＝或k＝. 所以反射光线方程为y＋3＝(x＋3)或y＋3＝(x＋3). 即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A错误. 又A'(－3，－3)，C(2，2)的方程为y＝x，故B正确； 因为｜A'C｜＝＝5，所以直线的最短路程为5－1，故C正确. 由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为(1，0)和，所以被挡住的范围是，故D正确. 7.设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且｜PA｜＝1，则P点的轨迹方程是　　　　　　. 答案：(x－1)2＋y2＝2 解析：设P(x，y)是轨迹上任一点，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1，0)， 则｜PA｜2＋1＝｜PB｜2，所以(x－1)2＋y2＝2. 8.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为　　　　h. 答案：1 解析：如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则台风中心经过以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区， 即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，可求得｜MN｜＝20，所以时间为1 h. 9.(10分)如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程. 解：设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4，3)且点C是线段AB的中点，所以4＝，3＝， 于是有x0＝8－x ，y0＝6－y.① 因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动， 所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4， 即(x0＋1)2＋＝4，② 把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4， 整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4. 所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4. 10.(10分)已知正方形ABCD，E为对角线BD上任意一点，EF⊥BC，EG⊥CD，F、G为垂足，求证：AE⊥FG. 解：以B为原点，BC、BA分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 设A点坐标为(0，a)，则C点坐标为(a，0)，D点坐标为(a，a)， 直线BD的方程为y＝x，则设E点坐标为(b，b)(b＜a)， 则F点坐标为(b，0)，G点坐标为(a，b)， 所以直线FG的斜率为kFG＝，直线AE的斜率为kAE＝， 因为kFG·kAE＝－1，所以AE⊥FG. (11—14小题，每小题5分，共20分) 11.(多选)如图所示，已知直线l的方程是y＝x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为(　　) A.6秒 B.8秒 C.10秒 D.16秒 答案：AD 解析：设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)， 则圆心到直线l的距离为＝， 得m＝－或m＝－， 所以该圆运动的时间为＝6(秒)或＝16(秒). 12.某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，则支柱A2P2的长为(　　) A.(12－24) m B.(12＋24) m C.(24－12) m D.不确定 答案：A 解析：如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(－18，0)，(18，0)，(0，6). 设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 因为A，B，P在此圆上，故有 故圆拱所在圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0. 将点P2的横坐标x＝6代入上式， 结合图形解得y＝－24＋12. 故支柱A2P2的长为(12－24) m. 13.如图是一公路隧道截面图，下方ABCD是矩形，且AB＝4 m，BC＝8 m，隧道顶APD是一圆弧，拱高OP＝2 m，隧道有两车道EF和FG，每车道宽3.5 m，车道两边留有0.5 m人行道BE和GC，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6 m的间隙，则此隧道允许通行车辆的限高是　　　　m.(精确到0.01 m，≈7.141) 答案：3.97 解析：建立如图所示的平面直角坐标系xOy， 设弧APD所在圆的圆心坐标为O1(0，b)，半径为r，则其方程为x2＋(y－b)2＝r2. 将P(0，2)，D(4，0)的坐标代入以上方程， 解得b＝－3，r＝5， 故圆O1的方程为x2＋(y＋3)2＝25. 过点E作AD的垂线交AD于点M，延长交弧AD于点N， 将N(－3.5，h)代入圆O1的方程， 解得h≈0.571，即｜MN｜≈0.571， 则｜EN｜≈4＋0.571＝4.571， 从而车辆的限高为4.571－0.6≈3.97 (m). 14.自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是　　　　　　　　. 答案：x2＋y2＝2 解析：设点P的坐标为(x，y)， 则｜PO｜＝. 因为∠MPN＝90°，所以四边形OMPN为正方形， 所以｜PO｜＝｜OM｜＝， 所以＝，即x2＋y2＝2. 15.(13分)如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) 解：如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系， 则A(40，0)，B(0，30)， 圆O的方程为x2＋y2＝252. 直线AB的方程为＋＝1， 即3x＋4y－120＝0. 设点O到直线AB的距离为d， 则d＝＝24＜25， 所以外籍轮船能被海监船监测到. 设监测时间为t， 则t＝＝0.5(h). 16.(15分)如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan ∠BCO＝. (1)求新桥BC的长； (2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？ 解：(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy. 由条件知，A(0，60)，C(170，0)， 直线BC的斜率kBC＝－tan ∠BCO＝－. 又因为AB⊥BC， 所以直线AB的斜率kAB＝. 设点B的坐标为(a，b)， 则kBC＝＝－，① kAB＝＝，② 联立①②解得a＝80，b＝120. 所以｜BC｜＝＝150. 因此新桥BC的长为150 m. (2)设保护区的边界圆M的半径为r m，｜OM｜＝d m(0≤d≤60). 由条件知，直线BC的方程为y＝－(x－170)， 即4x＋3y－680＝0. 由于圆M与直线BC相切， 故点M(0，d)到直线BC的距离是r， 即r＝＝. 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m， 所以 即 解得10≤d≤35. 故当d＝10时，r＝最大，即圆的面积最大. 所以当｜OM｜＝10 m时，圆形保护区的面积最大. 17.(17分)设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？ 解：如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系. 设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，设D点坐标为(a，0)，C点坐标为(0，b)，则CD所在直线的方程为＋＝1(a＞3，b＞3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意，有 所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇. 学生用书⬇第73页 学科网（北京）股份有限公司 $