第2章 §2.7 用坐标方法解决几何问题（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦“用坐标方法解决几何问题”，涵盖坐标法证明几何问题与求动点轨迹方程两大核心内容。导语从笛卡尔创立解析几何切入，连接坐标系、曲线方程等前序知识，通过“三步曲”构建学习支架，引导学生将几何问题转化为代数问题求解。 其亮点在于以“三步曲”为主线，结合例1建系证明EF平分CD、跟踪训练2用三种方法求轨迹方程等实例，培养学生用数学眼光抽象几何元素、用数学思维推理运算、用数学语言表达关系的能力。分层练习助力学生巩固，教师可直接利用提升教学效率，学生能掌握转化思想，发展逻辑推理素养。

第2章 <<< §2.7　用坐标方法解决几何问题 1.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题. 2.进一步掌握用解析法处理平面几何问题. 学习目标 笛卡尔创立解析几何之后，人们借助坐标系把形与数联系起来，使几何问题可以通过建立坐标系，把几何问题代数化，图形性质坐标化，从而使几何问题由难变简，本节就利用坐标法来解决平面几何中的有关问题. 导 语 一、坐标法证明几何问题 二、求动点的轨迹方程 课时对点练 随堂演练 内容索引 坐标法证明几何问题 一 1.坐标法：平面解析几何的基本思想方法就是在平面直角坐标系中，把点用坐标表示，将直线与圆等曲线用方程表示，通过研究方程来研究图形的性质，这种代数研究方法被称为坐标法. 2.用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将几何问题转化为代数问题； 第二步：实施代数运算，求解代数问题； 第三步：将代数解转化为几何结论并作答. 知识梳理 　　　如图所示，在圆O上任取一点C为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于点H，求证：EF平分CD. 例 1 7 以AB所在直线为x轴，O为坐标原点， 建立平面直角坐标系，如图所示， 设|AB|＝2r，D(a，0)， ∴圆O：x2＋y2＝r2， 8 ∴EF平分CD. 9 (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴. (2)充分利用图形的对称性. (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称. (4)关键点的坐标易于求得. 反 思 感 悟 建立直角坐标系应遵循的原则 10 　　　　　如图，Rt△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值. 跟踪训练 1 11 如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系， 于是有B(－m，0)，C(m，0)，P(－n，0)，Q(n，0). 设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上， 故|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2 ＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2 ＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值). 12 二 求动点的轨迹方程 　点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点. (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； 例 2 设线段AP的中点M(x，y)， 由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2,2y). ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为 (x－1)2＋y2＝1. 14 (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程. 设线段PQ的中点N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 15 反 思 感 悟 (1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明. (2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程. (3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程. 求轨迹方程的常用方法 　　　　　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程. 跟踪训练 2 17 方法一　设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1. 化简得x2＋y2－2x－3＝0， 所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1). 18 方法二　同方法一，得x≠3，且x≠－1， 由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16， 化简得x2＋y2－2x－3＝0， 所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1). 方法三　设AB的中点为D，由中点坐标公式， 得D(1,0)， 19 由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心， 以2为半径的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 设C(x，y)，所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1). 20 1.知识清单： (1)坐标法证明几何问题. (2)坐标法求动点的轨迹方程. 2.方法归纳：坐标法，转化思想. 3.常见误区：求轨迹方程时易忽视排除不符合的点. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.方程x2＋xy＝x的曲线是 A.一个点 B.一个点和一条直线 C.一条直线 D.两条直线 √ 2.(多选)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数k(k>0)的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知O(0,0)，A(3,0)，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)上有且只有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的取值可以是 A.1 B.4 C.3 D.5 1 2 3 4 √ √ 1 2 3 4 设P(x，y)，由|PA|＝2|PO|，得(x－3)2＋y2＝4x2＋4y2，整理得(x＋1)2＋y2＝4，又圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)上有且仅有一点P满足|PA|＝2|PO|，所以两圆相切.圆(x＋1)2＋y2＝4的圆心为(－1,0)，半径为2，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)的圆心为(2,0)，半径为r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，r＋2＝3，得r＝1，当两圆内切时，|r－2|＝3，得r＝5(负值舍去). 3.长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为__________. 1 2 3 4 x2＋y2＝9 方法一　设M(x，y)，因为△AOB是直角三角形，所以|OM|＝ |AB|＝3为定值，故M的轨迹是以O为圆心，3为半径的圆，故M的轨迹方程为x2＋y2＝9. 方法二　设M(x，y)，则A(2x，0)，B(0,2y) 4.已知P是圆x2＋y2＝16上的动点，A(12,0)，M为PA的中点，则点M的轨迹方程为_______________. 1 2 3 4 (x－6)2＋y2＝4 设M(x，y)，∵A(12,0)，M为PA的中点， ∴P(2x－12,2y).∵P为圆x2＋y2＝16上的动点， ∴(2x－12)2＋4y2＝16，即(x－6)2＋y2＝4， 点M的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝4. 课时对点练 四 A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础巩固 √ 2.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是 A.点 B.直线 C.线段 D.圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ ∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)， ∴(1－a)2＋(0－b)2＝1， ∴(a－1)2＋b2＝1， ∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度应不超过 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹围成区域的面积为 A.π B.2π C.3π D.4π √ 5.已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4,2)，底边的一个端点是B(3,5)，则底边另一个端点C的轨迹方程是 A.(x－4)2＋(y－2)2＝10 B.(x＋4)2＋(y－2)2＝10 C.(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5) D.(x＋4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.设点A为圆B：(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是_______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设点P(x，y)是轨迹上任一点，圆B：(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，则|PA|2＋1＝|PB|2，所以点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2. (x－1)2＋y2＝2 7.平面直角坐标系xOy中，已知点P(2,4)，圆O：x2＋y2＝4与x轴的正半轴交于点Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B.若线段AB的中点为 M，则点M的轨迹方程为__________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设点M(x，y)， ∵M是弦AB的中点，∴MO⊥MP， ∴x(x－2)＋y(y－4)＝0， 即x2＋y2－2x－4y＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.树林的边界是直线l(如图CD所在的直线)，一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的A点和B点处，|AB|＝|BC|＝a(a为正常数)，若兔子沿AD方向以速度2μ(μ为正常数)向树林逃跑，同时狼沿线段BM(M∈AD)方向以速度μ进行追击，若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子，则兔子的所有不幸点(即可能 被狼吃掉的点)的区域面积S(a)＝__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0,2a)，B(0，a)，M(x，y)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以|OM|＝|BM|＝|MA|. 即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.已知圆O：x2＋y2＝4，直线l1的方程为(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0.若直线l1过定点P，点M，N在圆O上，且PM⊥PN，Q为线段MN的中点，求点Q的轨迹方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 直线l1的方程为(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0， 即(x－y)＋m(2x＋y－3)＝0， 即点P的坐标为(1,1).因为点M，N在圆O上，且PM⊥PN，Q为线段MN的中点，则MN＝2PQ，设MN的中点Q(x，y)， 则OM2＝OQ2＋MQ2＝OQ2＋PQ2， 即4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2， 圆C：(x－a)2＋(y－)2＝r2－a2. 两方程作差得直线EF的方程为2ax＋2y＝r2＋a2. 则|CD|＝， ∴C(a，)， 令x＝a，得y＝， ∴H，即H为CD的中点， 又因为kAC＝，kBC＝， 且kAC·kBC＝－1，所以·＝－1， 由直角三角形的性质，知|CD|＝|AB|＝2. ＝＝6，故M的轨迹方程为x2＋y2＝9. ∴|AB|＝ 由y＝－得x2＋y2＝25. 1.方程y＝－表示的曲线是 ∵y＝－≤0，∴曲线表示半个圆. A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 建立如图所示的平面直角坐标系，O为圆心，易得半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)，A(2.5,0)，因为B在半圆上，且BA⊥x轴，所以y＝16－2.52＝9.75，即yB＝.故车辆的最大高度应不超过 米. 以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则可取B(3,0). 设M(x，y)，依题意有，＝2，化简整理得x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，故点M的轨迹为圆，圆的面积为4π. 设C(x，y)，由题意知，|AB|＝＝， 因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形，于是有|CA|＝|AB|＝，即点C的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，又点A，B，C构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点B(3,5)及点B关于点A对称的点(5，－1)，所以点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝10(去掉(3,5)，(5，－1)两点). (x－1)2＋(y－2)2＝5 又∵＝(x，y)，＝(x－2，y－4)， 联立 又∵M在圆O的内部， ∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－2)2＝5. 解得或 (a>0) 由≤，得  x2＋2≤， ∴点M在以为圆心，为半径的圆上及圆 的内部，∴S(a)＝π×2＝(a>0). 如图所示，以直角三角形的直角顶点C为坐标原点，直角边CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则C(0,0).设A(a，0)，B(0，b)，则斜边中点M的坐标为. 因为|OM|＝＝， |BM|＝＝， |MA|＝＝， 则有解得 化简可得2＋2＝，即为点Q的轨迹方程. $