课时测评23 圆的一般方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评23　圆的一般方程 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为(　　) A.(x－2)2＋(y－3)2＝16 B.(x－2)2＋(y＋3)2＝16 C.(x＋2)2＋(y－3)2＝16 D.(x＋2)2＋(y＋3)2＝16 答案：C 解析：将x2＋y2＋4x－6y－3＝0配方，易得(x＋2)2＋(y－3)2＝16. 2.过A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点的圆的一般方程是(　　) A.x2＋y2＋8x＋6y＝0 B.x2＋y2－8x－6y＝0 C.x2＋y2＋8x－6y＝0 D.x2＋y2－8x＋6y＝0 答案：D 解析：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点在圆上，则所以所求圆的一般方程是x2＋y2－8x＋6y＝0. 3.与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圆心，且过点(1，－1)的圆的方程是(　　) A.x2＋y2－4x＋6y－8＝0 B.x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 C.x2＋y2＋4x－6y－8＝0 D.x2＋y2＋4x－6y＋8＝0 答案：B 解析：设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由该圆过点(1，－1)，得m＝8，所以所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0. 4.若a∈，则方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋a2＋a＝0表示的圆的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：B 解析：因为方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋a2＋a＝0表示圆， 所以(2a)2＋(2a)2－4(a2＋a)＞0，即a2－a＞0， 解得a＜0或a＞1， 所以当a∈时，只有a＝－2时，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋a2＋a＝0表示圆.故选B. 5.(多选)关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列说法正确的是(　　) A.圆心在直线y＝－x上 B.圆心在直线y＝x上 C.圆过原点 D.圆的半径为｜a｜ 答案：ACD 解析：圆x2＋y2＋2ax－2ay＝0可化为(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2，圆心坐标为(－a，a)，适合方程y＝－x， 不适合y＝x，故A正确，B错误；把(0，0)代入圆的方程，C正确；又r2＝2a2，r＝｜a｜，故D正确.故选ACD. 6.圆心在x轴上，半径为3，且过点(1，0)的圆的一般方程为　　　　　　　　. 答案：x2－8x＋y2＋7＝0或x2＋4x＋y2－5＝0 解析：设圆的方程为(x－a)2＋y2＝9. 把(1，0)代入得(1－a)2＝9，解得a＝4或－2， 所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝9或(x＋2)2＋y2＝9， 即x2－8x＋y2＋7＝0或x2＋4x＋y2－5＝0. 7.设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是　　　　　　　　. 答案：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 解析：设M的坐标为(x，y)， 由题意可知圆心A的坐标为(2，－1)，P(2x－2，2y＋1)在圆上， 故(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0， 即x2＋y2－4x＋2y＋1＝0. 8.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是　　　　，半径是　　　　. 答案：(－2，－4)　5 解析：由题意知a2＝a＋2，则a＝2或a＝－1. 当a＝2时，方程为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，即＋(y＋1)2＝－，不能表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所以圆心坐标是(－2，－4)，半径是5. 9.(10分)已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的一般方程. 解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将P，Q的坐标分别代入上式， 得 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，　③ 由已知｜y1－y2｜＝4，其中y1，y2是方程③的两根. 所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.　④ 联立①②④解得， 故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 10.(13分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形MNPQ的底边长分别为6和4，高为3，O为MN的中点，求这个等腰梯形的外接圆方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 解：由等腰梯形MNPQ的底边长分别为6和4，高为3，知点M，N，P的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，(2，3). 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将M，N，P三点的坐标代入上述方程， 可得 故所求圆的方程为x2＋y2－y－9＝0. 将圆的一般方程x2＋y2－y－9＝0化为标准方程，得x2＋(y－)2＝， 故所求圆的圆心坐标为(0，)，半径为. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.方程Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线为圆，则有(　　) A.A＝C≠0且D2＋E2－4A＞0 B.D2＋E2－4F＞0 C.A＝C≠0且D2＋E2－4AF＞0 D.A＝C≠0且D2＋E2－4AF≥0 答案：C 解析：由题意A＝C≠0，方程化为x2＋y2＋x＋y＋＝0，则＋－4＞0，即D2＋E2－4AF＞0，故选C. 12.已知圆C：x2＋y2＝4，则圆C关于直线l：x－y－3＝0对称的圆的方程为(　　) A.x2＋y2－6x＋6y＋14＝0 B.x2＋y2－6x－6y＋14＝0 C.x2＋y2－4x＋4y＋4＝0 D.x2＋y2＋4x－4y＋4＝0 答案：A 解析：设圆心C(0，0)关于直线l：x－y－3＝0的对称点为D(a，b)，则由 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝4，化为一般方程为x2＋y2－6x＋6y＋14＝0.故选A. 13.已知点P(7，3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则｜SP｜＋｜SQ｜的最小值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案：C 解析：由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1，5)，半径为1.如图所示，作点P(7，3)关于x轴的对称点P'(7，－3)， 连接MP'，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时｜SP｜＋｜SQ｜的值最小，否则，在x轴上另取一点S'，连接S'P，S'P'，S'Q，由于P与P'关于x轴对称，所以｜SP｜＝｜SP'｜，｜S'P｜＝｜S'P'｜，所以｜SP｜＋｜SQ｜＝｜SP'｜＋｜SQ｜＝｜P'Q｜＜｜S'P'｜＋｜S'Q｜＝｜S'P｜＋｜S'Q｜. 故(｜SP｜＋｜SQ｜)min＝｜P'M｜－1＝－1＝9. 14.(15分)已知圆的方程x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0. (1)求此圆的圆心与半径； (2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的半径相等的圆. 解：(1)x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9，所以圆心为(1－m，2m)，半径r＝3. (2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且圆心(a，b)满足方程组即2a＋b＝2.所以不论m为何值，方程表示的是圆心在直线2x＋y－2＝0上，半径都等于3的圆. 15.(17分)在平面直角坐标系xOy中，长度为2的线段EF的两端点E，F分别在两坐标轴上运动. (1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程； (2)设轨迹C与x轴交于A1，A2两点，P是轨迹C上异于A1，A2的任意一点，直线PA1交直线l：x＝3于M点，直线PA2交直线l于N点，求证：以MN为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标. 解：(1)设G(x，y)，由中点坐标公式得E(2x，0)，F(0，2y)，所以｜EF｜＝＝2， 整理得x2＋y2＝1， 所以线段EF的中点G的轨迹C的方程为x2＋y2＝1. (2)证明：由已知设A1(－1，0)，A2(1，0)， 设P(x0，y0)，x0≠±1，＋＝1， 直线PA1的方程为y＝(x＋1)， 令x＝3，得y＝，则M， 同理，可求N，MN的中点坐标为，｜MN｜＝＝2， 所以以MN为直径的圆C的方程为(x－3)2＋＝. 令y＝0，得(x－3)2＝－＋＝＝8. 所以x＝3±2，圆C总过定点，定点坐标为(3＋2，0)或(3－2，0). 学科网（北京）股份有限公司 $