课时测评19 两条直线平行与垂直的判定-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评19　两条直线平行与垂直的判定 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.(多选)若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是(　　) A.若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B.若斜率k1＝k2，则l1∥l2 C.若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2 D.若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 答案：AC 解析：需考虑两条直线重合的情况，B，D都可能是两条直线重合，所以AC正确.故选AC. 2.已知l1：3kx－ky＋1＝0，l2：x＋3ky＝0，若l1⊥l2，则实数k＝(　　) A.0或1 B.－ C.1 D.0或－ 答案：C 解析：因为l1⊥l2，所以3k×1＋×3k＝0，k＝0或k＝1， 又当k＝0时，l1不存在故舍去，所以k＝1.故选C. 3.已知直线l与直线3x－2y＝6平行，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的方程为(　　) A.15x－10y－6＝0 B.15x－10y＋6＝0 C.6x－4y－3＝0 D.6x－4y＋3＝0 答案：A 解析：若直线l过原点，则直线l在两坐标轴上的截距相等，不合乎题意， 设直线l的方程为＋＝1，其中a≠0且a≠－1， 则直线l的斜率为k＝－＝－＝，解得a＝－， 所以直线l的方程为－＝1，即15x－10y－6＝0.故选A. 4.已知直线l1：x＋y＋a－2＝0与l2：ax＋2y＋8＝0平行，则a的值为(　　) A.1 B.－2 C.－ D.1或－2 答案：A 解析：因为直线l1：x＋y＋a－2＝0与l2：ax＋2y＋8＝0平行， 所以解得a＝1. 故选A. 5.(多选)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形，下列结论正确的有(　　) A.kAB＝－ B.kBC＝－ C.以A点为直角顶点的直角三角形 D.以B点为直角顶点的直角三角形 答案：AC 解析：kBC＝＝－5，kAB＝＝－，kAC＝＝， 因为kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC， 所以△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形. 故AC正确，BD错误. 6.已知△ABC中，A(0，3)，B(2，－1)，E，F分别为AC，BC的中点，则直线EF的斜率为　　　　. 答案：－2 解析：因为E，F分别为AC，BC的中点，所以EF∥AB. 所以kEF＝kAB＝＝－2. 7.若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为　　　　. 答案：－1 解析：由P，Q为不同两点，得a＋b≠3.由过两点的直线的斜率公式可得kPQ＝＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1. 8.直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3，5)，N(x，7)，P(－1，y).若l1⊥l2，则x＝　　　　，y＝　　　　. 答案：－1　7 解析：因为l1⊥l2，l1的斜率为2，所以l2的斜率为－， 所以 9.(10分)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2). (1)若l1∥l2，求a的值； (2)若l1⊥l2，求a的值. 解：直线l2的斜率k2＝＝－. (1)若l1∥l2，则直线l1的斜率为k1＝，所以＝－，解得a＝1或a＝6，经检验当a＝1或a＝6时，l1∥l2. (2)若l1⊥l2，①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意；②当k2≠0时，l1的斜率存在，k1＝， 由k1·k2＝－1得到＝－1， 解得a＝3或a＝－4，经检验当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2. 10.(13分)如图，在▱OABC中，O为坐标原点，点C(1，3). (1)求OC所在直线的斜率； (2)过C作CD⊥AB于D，求直线CD的斜率. 解：(1)点O(0，0)，C(1，3)，所以OC所在直线的斜率kOC＝＝3. (2)在▱OABC中，AB∥OC，因为CD⊥AB，所以CD⊥OC，所以kOC·kCD＝－1， kCD＝＝－. 故直线CD的斜率为－. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.(多选)已知点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，则下列结论正确的是(　　) A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QR D.PR⊥QS 答案：ABCD 解析：由斜率公式知kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，kQR＝＝＝.所以ABCD均正确. 12.已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：设D(x，y). 因为AD⊥BC，所以·＝－1， 所以x＋5y－9＝0. 因为AB∥CD，所以＝， 所以x－2y－4＝0. 联立故选D. 13.已知△ABC的顶点B(2，1)，C(－6，3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为　　　　. 答案：(－19，－62) 解析：设A(x，y)，由已知，得AH⊥BC，BH⊥AC，且直线AH，BH的斜率存在， 所以 即 解得即A(－19，－62). 14.(15分)已知△ABC的三顶点是A，B，C，直线l平行于AB，交AC，BC分别于E，F，且E、F分别是AC、BC的中点.求： (1)AB边上的高所在直线的方程. (2)直线l的方程. 解：(1)在△ABC中，A，B，C，则直线AB的斜率为k＝＝， 于是得AB边上的高所在直线斜率为－2，其方程为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0， 所以AB边上的高所在直线的方程是2x＋y－8＝0. (2)因直线l平行于AB，则直线l的斜率为，又边AC的中点E(0，)在直线l上， 于是得直线l的方程为y＝x＋，即x－2y＋5＝0， 所以直线l的方程为x－2y＋5＝0. 15.(17分)如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5 m，宽AB＝3 m.其中一条小路定为AC，另一条小路过点D， (1)如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？ (2)在问题(1)的条件下，若再在花园里设计一条过M且与AC平行的小路，怎样设计？ 解：(1)如图，以点B为坐标原点，BC，BA所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系.由AD＝5 m，AB＝3 m，可得C(5，0)，D(5，3)，A(0，3).设点M的坐标为(x，0).因为AC⊥DM， 所以kAC·kDM＝－1. 所以＝－1.即x＝. 即当BM＝ m时，两条小路AC与DM相互垂直. (2)设过M与AC平行的小路(直线)交AB于N，且设N点坐标为(0，y)，则kAC＝kNM. 由(1)知M，所以＝，解得y＝，即当BM＝ m，BN＝ m时，小路MN与小路AC互相平行. 学科网（北京）股份有限公司 $